Calculus

Problem 7701

Find the derivative of $f(x)=\sqrt{6-x^{2}}$ . What is $f^{\prime}(x)$ ?

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Problem 7702

Die Funktion $f(x)=-\frac{1}{2} x^{2}+4 x-6$ beschreibt einen Hügel. Finde die Fußpunkte und die Steilheit am westlichen Punkt.

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Problem 7703

Berechnen Sie die Steigung der Funktion $f(x)=m x+n$ mit dem Differenzenquotienten.

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Problem 7704

Gegeben ist die Funktion $f_{a}(x)=\sqrt{a x^{2}+8}$ mit $a \in \mathbb{R}^{+}$ .
a) Finde $f_{a}^{\prime}(4)$ . b) Bestimme $a$ so, dass $f_{a}^{\prime}(4)=0,5$ . c) Finde die Tangentengleichung für $a=0,5$ in $P_{a}$ .

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Problem 7705

Find the work to pump water from a $5 \, m$ cone with radius $\frac{1}{4} \, m$ to $2 \, m$ above it. Set up the integral.

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Problem 7706

Find the derivative of $f(x)=\sin^{5}(x)$ .

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Problem 7707

Find the tangent line equation at $(2,11)$ for $f(x)=2x^{3}-4x^{2}+11$ . Use $y - 11 = m(x - 2)$ .

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Problem 7708

A plane at $47 \mathrm{~m/s}$ drops a package from $178 \mathrm{~m}$ . With $9.8 \mathrm{~m/s^2}$ gravity, how far does it land from the drop point? Answer in $m$ .

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Problem 7709

Bestimmen Sie die Funktion $f$ mit Basis e und die ersten beiden Ableitungen für die folgenden Funktionen: a) $f(x)=3^{x}$ , b) $f(x)=0,5^{x}$ , c) $f(x)=\left(\frac{2}{3}\right)^{x}$ , d) $f(x)=5 \cdot 4^{x}$ , e) $f(x)=2 \cdot 1,5^{x}+e^{x}$ , f) $f(x)=2 e^{x}-3 \cdot 5^{x}$ , g) $f(x)=x+1+5^{x}$ , h) $f(x)=2 \cdot 0,1^{x}-e \cdot x$ .

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Problem 7710

Find the derivative of $f(x) = 2(\sqrt{x}-1)^2$ at $x_0 = 1$ .

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Problem 7711

Compute the limit as $x$ approaches 0 for $\frac{1-\sqrt{1-x^{2}}}{x^{2}}$ .

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Problem 7712

Determine the local maxima, minima, and saddle points of the function $f(x, y)=\sqrt{306 x^{2}-3 y^{2}-36 x-71}+1-18 x$ .

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Problem 7713

Calculate the integral: $\int(4 x+5)^{3} d x$

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Problem 7714

Find the value of $f^{\prime}\left(\frac{3 \pi}{2}\right)$ if $f(x)=-\cos x$ .

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Problem 7715

Bestimmen Sie die Integralfunktion von $f(x) = 3x^{2} - 2x$ mit $a = 2$ und berechnen Sie Nullstellen und Extremstellen.

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Problem 7716

Find the derivative of $f(x)=\frac{x^{9}(x-6)^{7}}{(x^{2}+8)^{7}}$ using logarithmic differentiation. What is $f^{\prime}(6)$ ?

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Problem 7717

Find the derivative of $y=5 \tan x + 5 \csc x$ . What is $\frac{d y}{d x}$ ?

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Problem 7718

Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten der folgenden Funktionen:
a) $f(x)=-x^{2}+2x+4$ b) $f(x)=x^{3}-x$ c) $f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x-5$ d) $f(x)=x^{4}+x^{2}$ e) $f(x)=x^{4}-6x^{2}$ f) $f(x)=\frac{1}{4}x^{4}+3x^{2}-2$ g) $f(x)=\frac{1}{3}x^{6}-20x^{2}$ h) $f(x)=\frac{1}{20}x^{5}+\frac{1}{2}x^{4}+\frac{3}{2}x^{3}$ i) $f(x)=(x+2)^{2}(x-1)^{2}-3$
Verwenden Sie GTR zur Kontrolle.

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Problem 7719

Bestimmen Sie die Integralfunktion von $f$ und berechnen Sie Nullstellen und Extremstellen für die folgenden Funktionen: a) $f: x \mapsto 3 x^{2} ; a=-2$ b) $f: x \mapsto x^{3} ; a=2$ c) $f: x \mapsto-8 x+1 ; a=-0,5$ d) $f: x \mapsto 3 x^{2}-2 x ; a=2$ e) $f: x \mapsto 3(x+1)(x-1) ; a=-1$

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Problem 7720

Find the derivative of $y=3 \csc x \cot x$ with respect to $x$ : $\frac{d y}{d x}$ .

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Problem 7721

Given $x^{4}+y^{4}=82$ , find $\frac{d y}{d x}$ using implicit differentiation and the tangent line at $(-3,-1)$ .

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Problem 7722

Given the function $f(x)=x e^{x}$ , find its local minimum and horizontal asymptote, justifying your answers.

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Problem 7723

Find the derivative of the function $y=10 \cos \frac{1}{2} x$ . What is $\frac{d y}{d x}$ ?

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Problem 7724

Finde die Ableitung von $f(x)=-x^{3}$ .

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Problem 7725

A sprinter runs 200 m in 25 s. She accelerates to $9 \mathrm{~m/s}$ in 4 s, maintains it for 16 s, then decelerates. Find:
(a) distance in first 20 s,
(b) final speed $u$ ,
(c) deceleration in last 5 s.

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Problem 7726

Bestimme die Ableitung der Funktion $F(x)=(x-1) \cdot e^{x}$ .

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Problem 7727

Find the derivative of the function $f(x)=8^{-x}$ . What is $f^{\prime}(x)$ ?

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Problem 7728

Bestimme die Ableitung von $F(x)=(0,25 x-0,125) \cdot e^{x}$ .

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Problem 7729

Finden Sie $f(x)$ für die Ableitungen $f^{\prime}(x)$ : a) $f^{\prime}(x)=\sin (x)+(x+2) \cos (x)$ , b) $f^{\prime}(x)=2 \sin (0,5 x)+x \cdot \cos (0,5 x)$ .

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Problem 7730

Berechnen Sie die Ableitung von: a) $f(x)=(5-x) \cdot(3+x)$ b) $g(x)=3 x \cdot(0,5 x+1)^{2}$ c) $h(x)=\frac{1}{x} \cdot\left(x^{2}+5 x\right)$ Nutzen Sie Produkt-, Ketten-, Potenz- und Summenregel.

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Problem 7731

Bestimme die Grenzwerte der Funktionen für $x \rightarrow+\infty$ und $x \rightarrow-\infty$ : a) $f(x)=-\frac{2}{x}+6$ , b) $f(x)=\frac{1}{x+3}-4$ , c) $f(x)=5-\frac{3}{x-2}$ , c) $f(x)=-\frac{1}{4}(x-2)^{3}(x+2)^{3}$ , d) $f(x)=\frac{1}{3}(x-1)^{2}(x+1)^{2}(x+3)^{2}$ .

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Problem 7732

Find the value of $t$ that minimizes the function $G(t) = 9t^{4} + 6t^{2} + 2$ .

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Problem 7733

Untersuchen Sie die Grenzwerte von $f(x)$ für $x \rightarrow+\infty$ und $x \rightarrow-\infty$ für folgende Funktionen: a) $f(x)=\cos(2x)$ b) $f(x)=\frac{2}{x+3}+4$ c) $f(x)=x^{7}-x+2$ d) $f(x)=2-1.2^{x}$

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Problem 7734

Bestimme die Ableitung von $F(x)=(2 x-2) \cdot e^{x}$ .

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Problem 7735

Finde eine Funktion $f$ , die folgende Eigenschaften hat: a) $f \to 1$ für $x \to -\infty$ , divergiert für $x \to +\infty$ ; b) $f \to -\infty$ für $x \to -\infty$ und $x \to +\infty$ ; c) $f \to -\infty$ für $x \to -\infty$ und $f \to +\infty$ für $x \to +\infty$ mit $f(1) = -2$ .

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Problem 7736

Bestimme die ersten und zweiten Ableitungen von $f$ für die Funktionen a) $f(x)=x^{2} \cdot g(x)$ , b) $f(x)=x \cdot g^{\prime}(x)$ , c) $f(x)=x \cdot(g(x))^{2}$ , d) $f(x)=g(x) \cdot g^{\prime}(x)$ , wobei $g(x)$ eine Funktion ist.

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Problem 7737

Untersuchen Sie, ob die Funktionen $g(x)=f(x) \cdot \cos (x)$ und $h(x)=(x+1) \cdot f(x)$ auch eine waagerechte Tangente bei $P(0 \mid 1)$ haben.

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Problem 7738

Find $y^{\prime}(16)$ using implicit differentiation for $\sqrt{x}+\sqrt{y}=12$ and $y(16)=64$ .

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Problem 7739

Bestimmen Sie die Werte von a, für die der Graph $G_{f_{a}}$ rechtsgekrümmt ist für: a) $f_{a}(x)=a \cdot(2 x-3)^{4}$ , b) $f_{a}(x)=\sqrt{a^{2} x}$ , c) $f_{a}(x)=\frac{a}{x^{2}}$ .

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Problem 7740

Find the function $f(x)$ and the value $a$ given the derivative at $x=a$ : $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{8+h}-2}{h}$ .

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Problem 7741

Bestimmen Sie die Stammfunktion für folgende Funktionen: a) $f(x)=-3 x^{2}$ , b) $f(x)=x^{2}(x-1)$ , c) $f(x)=-\cos x$ , d) $f(t)=\frac{3}{t^{2}}$ , e) $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ , f) $f(x)=\frac{x^{4}}{4}-\frac{1}{x^{3}}$ , g) $f(t)=e^{t}-2$ , h) $f(x)=2 \sin x$ .

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Problem 7742

Find the tangent line equation to $f(x)$ at $x=-1$ given $f(-1)=1$ and $f'(-1)=\frac{4}{5}$ .

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Problem 7743

Compute the limit $\lim _{x \rightarrow \infty} \sqrt{x}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})$ .

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Problem 7744

Find the derivative of the function $f(\theta)=6 \cos^{2}(\theta)$ . What is $f^{\prime}(\theta)=?$

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Problem 7745

Find the tangent line equation to $g(x)$ at $x=6$ , given $g(x)=\frac{f(x)}{1+f(x)}$ , $f(6)=2$ , $f'(6)=-3$ . $y=$

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Problem 7746

Find these limits: (i) $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}+2 x-8}{x(x-2)}$ , (ii) $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}-1}{x-1}$ , (iii) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\frac{1}{x}}{x+\frac{1}{x}}$ , (iv) $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{27}-1}{x-1}$ .

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Problem 7747

Find $\theta$ in $[-\pi / 2, \pi / 2]$ where the derivative $f'(\theta) = -12 \cos(\theta) \sin(\theta)$ is zero.

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Problem 7748

Find the derivative $\frac{dy}{dx}$ for the implicit function defined by $x + y + 6x^2 + 5y^3 = 6$ .

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Problem 7749

Find $F^{\prime}(0)$ if $F(x)=f(g(x))$ , given $f(1)=8, f^{\prime}(1)=2, g(0)=1, g^{\prime}(0)=7$ .

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Problem 7750

Bestimmen Sie die Stammfunktion von $f(t) = 2 t^{3} - \frac{2}{t^{3}}$ mit dem Punkt $P(1, 0)$ .

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Problem 7751

Find the function $f(x)$ and the value of $a$ given the derivative at $x=a$ as $\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt[4]{1+h}-1}{h}$ .

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Problem 7752

Find the function $f(x)$ and the point $a$ where the derivative is $\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt[4]{1+h}-1}{h}$ .

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Problem 7753

Find the tangent line equation for $f(x)$ at $x=-2$ given $f(-2)=5$ and $f'(-2)=\frac{3}{5}$ .

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Problem 7754

Berechne die Integrale: $\int_{1}^{2}\left(x^{3}-\frac{1}{x^{2}}\right) d x$ und $\int_{-2}^{2}(x+\sin x) d x$ .

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Problem 7755

Sketch graphs of $f(x)$ for these limits: (i) $\lim_{x \to \infty} f(x)=-\infty$ , $\lim_{x \to -\infty} f(x)=\infty$ ; (ii) $\lim_{x \to \infty} f(x)=1$ , $\lim_{x \to -\infty} f(x)=\infty$ ; (iii) $\lim_{x \to 3} f(x)=5$ , $\lim_{x \to \pm \infty} f(x)=\infty$ .

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Problem 7756

Given the function $f(x)=\sqrt{22-18 x}$ , find:
(a) $f^{-1}(2)$ .
(b) $\left(f^{-1}(x)\right)^{\prime}$ at $x=2$ using $\left(f^{-1}(x)\right)^{\prime}=\frac{1}{f^{\prime}\left(f^{-1}(x)\right)}$ .
(c) A formula for $f^{-1}(x)$ .
(d) $\left(f^{-1}(x)\right)^{\prime}$ at $x=2$ using the formula from (c).

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Problem 7757

Given the function $f(x)=\sqrt{x^{3}+x^{2}+x+1}$ for $x \geq-1$ , find $x$ where $f(x)=2$ and compute $\left(f^{-1}(2)\right)^{\prime}$ .

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Problem 7758

Find the derivative of the function $e^{\sin(x)}$ .

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Problem 7759

Find $x$ in $[0, 2\pi]$ where the tangent line of $f(x) = 9\sin(x) - 9\cos(x)$ is horizontal.

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Problem 7760

Compute the limit as $x$ approaches infinity: $\lim _{x \rightarrow \infty} x^{2 / 3}((x+1)^{1 / 3}-(x-1)^{1 / 3})$ .

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Problem 7761

Compute the limit: $\lim _{x \rightarrow \infty} x^{2 / 3}\left((x+1)^{1 / 3}-(x-1)^{1 / 3}\right)$ .

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Problem 7762

Leiten Sie die Funktion $f(x)=(x+5)^{2}$ ab, bestätigen Sie $f'(x)=2\cdot(x+5)$ und finden Sie einen direkten Ableitungsweg.

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Problem 7763

Find the derivative $\frac{dy}{dx}$ for the equation $x+y+8x^2+9y^3=8$ .

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Problem 7764

Leiten Sie die Funktion $f(x)=(x+5)^{2}$ ab und zeigen Sie, dass $f^{\prime}(x)=2 \cdot(x+5)$ . Gibt es einen einfacheren Weg?

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Problem 7765

Given the function $f(x)=\sqrt{10-6 x}$ , find:
(a) $f^{-1}(2)$ .
(b) $\left(f^{-1}(x)\right)^{\prime}$ at $x=2$ using $\left(f^{-1}(x)\right)^{\prime}=\frac{1}{f^{\prime}\left(f^{-1}(x)\right)}$ .
(c) The formula for $f^{-1}(x)$ .
(d) $\left(f^{-1}(x)\right)^{\prime}$ at $x=2$ using the result from (c).

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Problem 7766

Consider the function $f(x)=\sqrt{x}$ at point $P(4,2)$ . Graph secant lines through $P$ and $Q(x, f(x))$ for $x=1,3,5$ . Find slopes and estimate tangent slope at $P$ .

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Problem 7767

Sketch the graph of a function $f$ with a local max at $x=b$ where $f^{\prime}(b)$ is undefined.

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Problem 7768

Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion für $f(x)=(a x+b)^{n}$ .

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Problem 7769

What defines an absolute extreme value for a function at point $c$ in interval $[a, b]$ ? Choose the correct answer.

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Problem 7770

What must be true for a function to have an absolute max and min on an interval? A. Continuous on $[a, b]$ B. Continuous on a subinterval C. Critical point on $[a, b]$ D. Continuous on $(a, b)$

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Problem 7771

Multipliziere $f(x)=(2x+1)^{3}$ in zwei Schritten aus, leite ab und zeige, dass $f'(x)=6 \cdot(2x+1)^{2}$ gilt. Wie könnte man die Ableitung einfacher finden? Leite auch $f(x)=(3x+5)^{3}$ mit der Produktregel ab.

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Problem 7772

How to find absolute max and min of a continuous function on $[a, b]$ ? Choose the correct method.

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Problem 7773

Multipliziere $f(x)=(3 x+5)^{2}$ aus, leite ab und zeige, dass $f^{\prime}(x)=6 \cdot(3 x+5)$ gilt. Nutze die Produktregel für die Ableitung.

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Problem 7774

A tour guide's profit function is $P(n)=n(46-0.5 n)-92$ .
a. Maximize profit with 92 people. b. Maximize profit with 42 people. Find the derivative $P^{\prime}(n)=$ .

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Problem 7775

Find the tangent line equation to $y=-7 \ln \left(x^{3}-7\right)$ at point $(2,0)$ . $y=$

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Problem 7776

Find the minimum surface area for a box with volume $60 \mathrm{ft}^{3}$ , given $S(x)=x^{2}+\frac{240}{x}$ . What are the dimensions? Calculate $S'(x)$ .

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Problem 7777

Define the function $f(x)$ piecewise. Find $k$ for continuity at $x=-3$ , the type of discontinuity at $x=0$ , and horizontal asymptotes.

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Problem 7778

Differentiate: $y=2 \sec x-\csc x$

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Problem 7779

Differentiate the function: $f(x)=3 x^{2}-2 \cos x$

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Problem 7780

Find the maximum or minimum of the function $g(z)=-24\left(e^{4 z}+3 e^{-4 z}\right)^{8}$ .

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Problem 7781

Find the extremum of the function $g(z)=-28(e^{4z}+2e^{-4z})^6$ .

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Problem 7782

Find the derivative $f^{\prime}(6)$ for the function $f(x)=-\frac{2 \sqrt{x^{3}}}{3}-\frac{\sqrt{x}}{2}$ .

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Problem 7783

Differentiate: $y=\sqrt{x} \sin x$

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Problem 7784

Find the derivative $f^{\prime}(4)$ for the function $f(x)=\frac{\sqrt{x^{3}}}{3}+\frac{5}{x}$ as a simplified fraction.

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Problem 7785

Find the derivative $f^{\prime}(3)$ for the function $f(x)=\frac{5 \sqrt{x}}{2}+\sqrt{x^{3}}$ .

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Problem 7786

Find the derivative $f^{\prime}(x)$ of the function $f(x)=-\frac{\sqrt{x^{3}}}{3}+\frac{1}{x}$ and calculate $f^{\prime}(4)$ .

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Problem 7787

Find the first and second derivatives of the function $h(s)=\frac{6}{s^{2}+1}$ .

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Problem 7788

Find the first and second derivatives of $h(s)=\frac{7}{s^{2}+8}$ . What is $h'(s)$ ?

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Problem 7789

Find the second derivative $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ for $y=\sqrt{x^{2}+4}$ .

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Problem 7790

Find the second derivative $y^{\prime \prime}$ for the function $y=2 \csc x$ .

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Problem 7791

Find the derivatives dy/dx for the following functions: $\tan x$ , $\cot x$ , $\sec x$ , $\csc x$ , and others listed.

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Problem 7792

Find the second derivative $y^{\prime \prime}$ of $y=\frac{1}{36} \cot(6x-1)$ .

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Problem 7793

Find the derivative of $f(x) = \frac{-\csc^2 (6 x-1)}{6}$ .

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Problem 7794

Find the derivative of $f(x)=3 x^{2}+5 x-4$ and identify its critical points.

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Problem 7795

Find the second derivative $y^{\prime \prime}$ of the function $y=x(3x+2)^{4}$ .

See Solution

Problem 7796

Find the second derivative $y^{\prime \prime}$ of the function $y=\frac{1}{16} \tan (4 x+3)$ .

See Solution

Problem 7797

Find the smaller critical point of $F(t)=\frac{1}{3} t^{3}-8 t^{2}+60 t+24$ by setting its derivative to zero.

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Problem 7798

Find the initial rate of drug entry into the bloodstream given by $f(t)=100(1-e^{-5t})$ .

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Problem 7799

Find the horizontal asymptote of the function $f(t)=100(1-e^{-5t})$ as $t$ approaches infinity.

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Problem 7800

Find the second derivative $y^{\prime \prime}$ of the function $y=x(3 x+4)^{5}$ .

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337

Calculus

Problem 7701

Find the derivative of f(x)=6−x2f(x)=\sqrt{6-x^{2}}f(x)=6−x2​. What is f′(x)f^{\prime}(x)f′(x)?

Problem 7702

Die Funktion f(x)=−12x2+4x−6f(x)=-\frac{1}{2} x^{2}+4 x-6f(x)=−21​x2+4x−6 beschreibt einen Hügel. Finde die Fußpunkte und die Steilheit am westlichen Punkt.

Problem 7703

Berechnen Sie die Steigung der Funktion f(x)=mx+nf(x)=m x+nf(x)=mx+n mit dem Differenzenquotienten.

Problem 7704

Problem 7705

Find the work to pump water from a 5 m5 \, m5m cone with radius 14 m\frac{1}{4} \, m41​m to 2 m2 \, m2m above it. Set up the integral.

Problem 7706

Find the derivative of f(x)=sin⁡5(x)f(x)=\sin^{5}(x)f(x)=sin5(x).

Problem 7707

Find the tangent line equation at (2,11)(2,11)(2,11) for f(x)=2x3−4x2+11f(x)=2x^{3}-4x^{2}+11f(x)=2x3−4x2+11. Use y−11=m(x−2)y - 11 = m(x - 2)y−11=m(x−2).

Problem 7708

A plane at 47 m/s47 \mathrm{~m/s}47 m/s drops a package from 178 m178 \mathrm{~m}178 m. With 9.8 m/s29.8 \mathrm{~m/s^2}9.8 m/s2 gravity, how far does it land from the drop point? Answer in mmm.

Problem 7709

Problem 7710

Find the derivative of f(x)=2(x−1)2f(x) = 2(\sqrt{x}-1)^2f(x)=2(x​−1)2 at x0=1x_0 = 1x0​=1.

Problem 7711

Compute the limit as xxx approaches 0 for 1−1−x2x2\frac{1-\sqrt{1-x^{2}}}{x^{2}}x21−1−x2​​.

Problem 7712

Determine the local maxima, minima, and saddle points of the function f(x,y)=306x2−3y2−36x−71+1−18xf(x, y)=\sqrt{306 x^{2}-3 y^{2}-36 x-71}+1-18 xf(x,y)=306x2−3y2−36x−71​+1−18x.

Problem 7713

Calculate the integral: ∫(4x+5)3dx\int(4 x+5)^{3} d x∫(4x+5)3dx

Problem 7714

Find the value of f′(3π2)f^{\prime}\left(\frac{3 \pi}{2}\right)f′(23π​) if f(x)=−cos⁡xf(x)=-\cos xf(x)=−cosx.

Problem 7715

Bestimmen Sie die Integralfunktion von f(x)=3x2−2xf(x) = 3x^{2} - 2xf(x)=3x2−2x mit a=2a = 2a=2 und berechnen Sie Nullstellen und Extremstellen.

Problem 7716

Find the derivative of f(x)=x9(x−6)7(x2+8)7f(x)=\frac{x^{9}(x-6)^{7}}{(x^{2}+8)^{7}}f(x)=(x2+8)7x9(x−6)7​ using logarithmic differentiation. What is f′(6)f^{\prime}(6)f′(6)?

Problem 7717

Find the derivative of y=5tan⁡x+5csc⁡xy=5 \tan x + 5 \csc xy=5tanx+5cscx. What is dydx\frac{d y}{d x}dxdy​?

Problem 7718

Problem 7719

Problem 7720

Find the derivative of y=3csc⁡xcot⁡xy=3 \csc x \cot xy=3cscxcotx with respect to xxx: dydx\frac{d y}{d x}dxdy​.

Problem 7721

Given x4+y4=82x^{4}+y^{4}=82x4+y4=82, find dydx\frac{d y}{d x}dxdy​ using implicit differentiation and the tangent line at (−3,−1)(-3,-1)(−3,−1).

Problem 7722

Given the function f(x)=xexf(x)=x e^{x}f(x)=xex, find its local minimum and horizontal asymptote, justifying your answers.

Problem 7723

Find the derivative of the function y=10cos⁡12xy=10 \cos \frac{1}{2} xy=10cos21​x. What is dydx\frac{d y}{d x}dxdy​?

Problem 7724

Finde die Ableitung von f(x)=−x3f(x)=-x^{3}f(x)=−x3.

Problem 7725

A sprinter runs 200 m in 25 s. She accelerates to 9 m/s9 \mathrm{~m/s}9 m/s in 4 s, maintains it for 16 s, then decelerates. Find:(a) distance in first 20 s, (b) final speed uuu, (c) deceleration in last 5 s.

Problem 7726

Bestimme die Ableitung der Funktion F(x)=(x−1)⋅exF(x)=(x-1) \cdot e^{x}F(x)=(x−1)⋅ex.

Problem 7727

Find the derivative of the function f(x)=8−xf(x)=8^{-x}f(x)=8−x. What is f′(x)f^{\prime}(x)f′(x)?

Problem 7728

Bestimme die Ableitung von F(x)=(0,25x−0,125)⋅exF(x)=(0,25 x-0,125) \cdot e^{x}F(x)=(0,25x−0,125)⋅ex.

Problem 7729

Finden Sie f(x)f(x)f(x) für die Ableitungen f′(x)f^{\prime}(x)f′(x): a) f′(x)=sin⁡(x)+(x+2)cos⁡(x)f^{\prime}(x)=\sin (x)+(x+2) \cos (x)f′(x)=sin(x)+(x+2)cos(x), b) f′(x)=2sin⁡(0,5x)+x⋅cos⁡(0,5x)f^{\prime}(x)=2 \sin (0,5 x)+x \cdot \cos (0,5 x)f′(x)=2sin(0,5x)+x⋅cos(0,5x).

Problem 7730

Problem 7731

Problem 7732

Find the value of ttt that minimizes the function G(t)=9t4+6t2+2G(t) = 9t^{4} + 6t^{2} + 2G(t)=9t4+6t2+2.

Problem 7733

Problem 7734

Bestimme die Ableitung von F(x)=(2x−2)⋅exF(x)=(2 x-2) \cdot e^{x}F(x)=(2x−2)⋅ex.

Problem 7735

Problem 7736

Problem 7737

Untersuchen Sie, ob die Funktionen g(x)=f(x)⋅cos⁡(x)g(x)=f(x) \cdot \cos (x)g(x)=f(x)⋅cos(x) und h(x)=(x+1)⋅f(x)h(x)=(x+1) \cdot f(x)h(x)=(x+1)⋅f(x) auch eine waagerechte Tangente bei P(0∣1)P(0 \mid 1)P(0∣1) haben.

Problem 7738

Find y′(16)y^{\prime}(16)y′(16) using implicit differentiation for x+y=12\sqrt{x}+\sqrt{y}=12x​+y​=12 and y(16)=64y(16)=64y(16)=64.

Problem 7739

Bestimmen Sie die Werte von a, für die der Graph GfaG_{f_{a}}Gfa​​ rechtsgekrümmt ist für: a) fa(x)=a⋅(2x−3)4f_{a}(x)=a \cdot(2 x-3)^{4}fa​(x)=a⋅(2x−3)4, b) fa(x)=a2xf_{a}(x)=\sqrt{a^{2} x}fa​(x)=a2x​, c) fa(x)=ax2f_{a}(x)=\frac{a}{x^{2}}fa​(x)=x2a​.

Problem 7740

Find the function f(x)f(x)f(x) and the value aaa given the derivative at x=ax=ax=a: lim⁡h→08+h3−2h\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{8+h}-2}{h}limh→0​h38+h​−2​.

Problem 7741

Problem 7742

Find the tangent line equation to f(x)f(x)f(x) at x=−1x=-1x=−1 given f(−1)=1f(-1)=1f(−1)=1 and f′(−1)=45f'(-1)=\frac{4}{5}f′(−1)=54​.

Problem 7743

Compute the limit lim⁡x→∞x(x+1−x)\lim _{x \rightarrow \infty} \sqrt{x}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})limx→∞​x​(x+1​−x​).

Problem 7744

Find the derivative of the function f(θ)=6cos⁡2(θ)f(\theta)=6 \cos^{2}(\theta)f(θ)=6cos2(θ). What is f′(θ)=?f^{\prime}(\theta)=?f′(θ)=?

Problem 7745

Find the derivative of $f(x)=\sqrt{6-x^{2}}$ . What is $f^{\prime}(x)$ ?

Die Funktion $f(x)=-\frac{1}{2} x^{2}+4 x-6$ beschreibt einen Hügel. Finde die Fußpunkte und die Steilheit am westlichen Punkt.

Berechnen Sie die Steigung der Funktion $f(x)=m x+n$ mit dem Differenzenquotienten.

Find the work to pump water from a $5 \, m$ cone with radius $\frac{1}{4} \, m$ to $2 \, m$ above it. Set up the integral.

Find the derivative of $f(x)=\sin^{5}(x)$ .

Find the tangent line equation at $(2,11)$ for $f(x)=2x^{3}-4x^{2}+11$ . Use $y - 11 = m(x - 2)$ .

A plane at $47 \mathrm{~m/s}$ drops a package from $178 \mathrm{~m}$ . With $9.8 \mathrm{~m/s^2}$ gravity, how far does it land from the drop point? Answer in $m$ .

Find the derivative of $f(x) = 2(\sqrt{x}-1)^2$ at $x_0 = 1$ .

Compute the limit as $x$ approaches 0 for $\frac{1-\sqrt{1-x^{2}}}{x^{2}}$ .

Determine the local maxima, minima, and saddle points of the function $f(x, y)=\sqrt{306 x^{2}-3 y^{2}-36 x-71}+1-18 x$ .

Calculate the integral: $\int(4 x+5)^{3} d x$

Find the value of $f^{\prime}\left(\frac{3 \pi}{2}\right)$ if $f(x)=-\cos x$ .

Bestimmen Sie die Integralfunktion von $f(x) = 3x^{2} - 2x$ mit $a = 2$ und berechnen Sie Nullstellen und Extremstellen.

Find the derivative of $f(x)=\frac{x^{9}(x-6)^{7}}{(x^{2}+8)^{7}}$ using logarithmic differentiation. What is $f^{\prime}(6)$ ?

Find the derivative of $y=5 \tan x + 5 \csc x$ . What is $\frac{d y}{d x}$ ?

Find the derivative of $y=3 \csc x \cot x$ with respect to $x$ : $\frac{d y}{d x}$ .

Given $x^{4}+y^{4}=82$ , find $\frac{d y}{d x}$ using implicit differentiation and the tangent line at $(-3,-1)$ .

Given the function $f(x)=x e^{x}$ , find its local minimum and horizontal asymptote, justifying your answers.

Find the derivative of the function $y=10 \cos \frac{1}{2} x$ . What is $\frac{d y}{d x}$ ?

Finde die Ableitung von $f(x)=-x^{3}$ .

A sprinter runs 200 m in 25 s. She accelerates to $9 \mathrm{~m/s}$ in 4 s, maintains it for 16 s, then decelerates. Find:
(a) distance in first 20 s,
(b) final speed $u$ ,
(c) deceleration in last 5 s.

Bestimme die Ableitung der Funktion $F(x)=(x-1) \cdot e^{x}$ .

Find the derivative of the function $f(x)=8^{-x}$ . What is $f^{\prime}(x)$ ?

Bestimme die Ableitung von $F(x)=(0,25 x-0,125) \cdot e^{x}$ .

Finden Sie $f(x)$ für die Ableitungen $f^{\prime}(x)$ : a) $f^{\prime}(x)=\sin (x)+(x+2) \cos (x)$ , b) $f^{\prime}(x)=2 \sin (0,5 x)+x \cdot \cos (0,5 x)$ .

Find the value of $t$ that minimizes the function $G(t) = 9t^{4} + 6t^{2} + 2$ .

Bestimme die Ableitung von $F(x)=(2 x-2) \cdot e^{x}$ .

Untersuchen Sie, ob die Funktionen $g(x)=f(x) \cdot \cos (x)$ und $h(x)=(x+1) \cdot f(x)$ auch eine waagerechte Tangente bei $P(0 \mid 1)$ haben.

Find $y^{\prime}(16)$ using implicit differentiation for $\sqrt{x}+\sqrt{y}=12$ and $y(16)=64$ .

Bestimmen Sie die Werte von a, für die der Graph $G_{f_{a}}$ rechtsgekrümmt ist für: a) $f_{a}(x)=a \cdot(2 x-3)^{4}$ , b) $f_{a}(x)=\sqrt{a^{2} x}$ , c) $f_{a}(x)=\frac{a}{x^{2}}$ .

Find the function $f(x)$ and the value $a$ given the derivative at $x=a$ : $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{8+h}-2}{h}$ .

Find the tangent line equation to $f(x)$ at $x=-1$ given $f(-1)=1$ and $f'(-1)=\frac{4}{5}$ .

Compute the limit $\lim _{x \rightarrow \infty} \sqrt{x}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})$ .

Find the derivative of the function $f(\theta)=6 \cos^{2}(\theta)$ . What is $f^{\prime}(\theta)=?$

Find the tangent line equation to $g(x)$ at $x=6$ , given $g(x)=\frac{f(x)}{1+f(x)}$ , $f(6)=2$ , $f'(6)=-3$ . $y=$

Find $\theta$ in $[-\pi / 2, \pi / 2]$ where the derivative $f'(\theta) = -12 \cos(\theta) \sin(\theta)$ is zero.

Find the derivative $\frac{dy}{dx}$ for the implicit function defined by $x + y + 6x^2 + 5y^3 = 6$ .

Find $F^{\prime}(0)$ if $F(x)=f(g(x))$ , given $f(1)=8, f^{\prime}(1)=2, g(0)=1, g^{\prime}(0)=7$ .

Bestimmen Sie die Stammfunktion von $f(t) = 2 t^{3} - \frac{2}{t^{3}}$ mit dem Punkt $P(1, 0)$ .

Find the function $f(x)$ and the value of $a$ given the derivative at $x=a$ as $\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt[4]{1+h}-1}{h}$ .

Find the function $f(x)$ and the point $a$ where the derivative is $\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt[4]{1+h}-1}{h}$ .

Find the tangent line equation for $f(x)$ at $x=-2$ given $f(-2)=5$ and $f'(-2)=\frac{3}{5}$ .

Berechne die Integrale: $\int_{1}^{2}\left(x^{3}-\frac{1}{x^{2}}\right) d x$ und $\int_{-2}^{2}(x+\sin x) d x$ .

Given the function $f(x)=\sqrt{x^{3}+x^{2}+x+1}$ for $x \geq-1$ , find $x$ where $f(x)=2$ and compute $\left(f^{-1}(2)\right)^{\prime}$ .

Find the derivative of the function $e^{\sin(x)}$ .

Find $x$ in $[0, 2\pi]$ where the tangent line of $f(x) = 9\sin(x) - 9\cos(x)$ is horizontal.

Compute the limit as $x$ approaches infinity: $\lim _{x \rightarrow \infty} x^{2 / 3}((x+1)^{1 / 3}-(x-1)^{1 / 3})$ .

Compute the limit: $\lim _{x \rightarrow \infty} x^{2 / 3}\left((x+1)^{1 / 3}-(x-1)^{1 / 3}\right)$ .

Leiten Sie die Funktion $f(x)=(x+5)^{2}$ ab, bestätigen Sie $f'(x)=2\cdot(x+5)$ und finden Sie einen direkten Ableitungsweg.

Find the derivative $\frac{dy}{dx}$ for the equation $x+y+8x^2+9y^3=8$ .

Leiten Sie die Funktion $f(x)=(x+5)^{2}$ ab und zeigen Sie, dass $f^{\prime}(x)=2 \cdot(x+5)$ . Gibt es einen einfacheren Weg?

Consider the function $f(x)=\sqrt{x}$ at point $P(4,2)$ . Graph secant lines through $P$ and $Q(x, f(x))$ for $x=1,3,5$ . Find slopes and estimate tangent slope at $P$ .

Sketch the graph of a function $f$ with a local max at $x=b$ where $f^{\prime}(b)$ is undefined.

Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion für $f(x)=(a x+b)^{n}$ .

What defines an absolute extreme value for a function at point $c$ in interval $[a, b]$ ? Choose the correct answer.

What must be true for a function to have an absolute max and min on an interval? A. Continuous on $[a, b]$ B. Continuous on a subinterval C. Critical point on $[a, b]$ D. Continuous on $(a, b)$

Multipliziere $f(x)=(2x+1)^{3}$ in zwei Schritten aus, leite ab und zeige, dass $f'(x)=6 \cdot(2x+1)^{2}$ gilt. Wie könnte man die Ableitung einfacher finden? Leite auch $f(x)=(3x+5)^{3}$ mit der Produktregel ab.

How to find absolute max and min of a continuous function on $[a, b]$ ? Choose the correct method.

Multipliziere $f(x)=(3 x+5)^{2}$ aus, leite ab und zeige, dass $f^{\prime}(x)=6 \cdot(3 x+5)$ gilt. Nutze die Produktregel für die Ableitung.

A tour guide's profit function is $P(n)=n(46-0.5 n)-92$ .
a. Maximize profit with 92 people. b. Maximize profit with 42 people. Find the derivative $P^{\prime}(n)=$ .