Calculus

Problem 3901

Zeigen Sie, dass die Graphen der Funktionen $f(x)=x^{3}-4x+4$ und $g(x)=x^{2}-2x+3,5$ sich in $P(0,5)$ berühren und bestimmen Sie die Tangentengleichung.

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Problem 3902

Given functions $f$ and $g$ , find $F'(3)$ for $F(x)=f(f(x))$ and $G'(1)$ for $G(x)=g(g(x))$ .

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Problem 3903

Find the first derivative of $f(x)=5x^{2}-\frac{1}{3}x-3$ .

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Problem 3904

Finde die Stammfunktion von $f$ mit $f(x)=x$ .

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Problem 3905

Bestimmen Sie die Definitionslücke von $f(x)=\frac{x-1}{(x+3)^{2}}$ und analysieren Sie das Verhalten des Graphen dort.

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Problem 3906

Find $F^{\prime}(2)$ for $F(x)=f(g(x))$ given $f(-3)=4, f^{\prime}(-3)=5, g(2)=-3, g^{\prime}(2)=2$ . $F^{\prime}(2)=$

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Problem 3907

Bestimme die Tangentengleichung von $f$ an den Punkten: a) $f(x)=4 x^{2}-3 x+5$ bei $P(2 \mid f(2))$ b) $f(x)=x^{3}-3 x^{2}+5 x-2$ bei $P(1 \mid f(1))$ c) $f(x)=\sin (x)$ bei $P(\pi \mid f(\pi))$ d) $f(x)=\sqrt{x}$ bei $P(9 \mid f(9))$

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Problem 3908

Wasserreservoir: Analysiere den Graphen $f(t)=\frac{1}{1000} t^{3}-\frac{3}{25} t^{2}+\frac{18}{5} t$ für $0 \leq t \leq 60$ . Bestimme max. Zuflussrate und Zeitpunkt.

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Problem 3909

Die Kochdauer $t$ für ein Ei hängt vom Durchmesser $d$ ab: $t(d)=0,00262 d^{2}$ .
1) Finde die mittleren Änderungsraten für [40;50], [40;45] und [40;41]. 2) Bestimme die lokale Änderungsrate für $40 \mathrm{~mm}$ .

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Problem 3910

Ein Wasserreservoir wird von einem Fluss gespeist. Gegeben ist die Funktion $f(t)=\frac{1}{1000} t^{3}-\frac{3}{25} t^{2}+\frac{18}{5} t$ für $0 \leq t \leq 60$ .
a) Beschreiben Sie den Regenverlauf und die Wasseränderungen.
b) Bestimmen Sie die maximale Zuflussrate und den Wert in m³/h.
c) Bei $20000 \, m^{3}$ Wasser im Reservoir, wie viel ist nach 60 Stunden im Becken?

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Problem 3911

Solve the integral: $\int \frac{d y}{150-y}=\int \frac{d t}{200}$ .

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Problem 3912

Rakete: Berechne die Geschwindigkeit und den Weg einer Silvesterrakete in 4s. Bestimme auch die Höhe und die Funktionsgleichungen.

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Problem 3913

Eine Pflanze wächst laut $f(t)=(-t^{2}+t+0,75) \cdot e^{t-0,5}$ für $t \in[0 ; 2,1]$ . Wann hört das Wachstum auf?

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Problem 3914

Bungee-Sprung aus $190 \mathrm{~m}$ Höhe: a) Strecke in 3 Sekunden? b) Geschwindigkeiten nach 1, 2, 3 Sekunden? c) Durchschnittsgeschwindigkeit?

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Problem 3915

Gegeben ist die Funktion $f(x)=x^{3}+2x^{2}$ : a) Zeigen Sie, dass $x_{1}=-2$ und $x_{2}=0$ Nullstellen sind. b) Flächeninhalt zwischen Graph und X-Achse?

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Problem 3916

Prove continuity: (a) Show $c f(x)$ is continuous at $a$ . (b) Show $f(x) \cdot g(x)$ is continuous at $a$ .

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Problem 3917

Gegeben ist die Funktion $f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-2 x^{2}+\frac{16}{3}$ .
a) Finde die Tangentengleichung $t$ an $f$ im Punkt $P(2 \mid 0)$ . b) Skizziere den Graphen von $f'$ dazu.

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Problem 3918

Gegeben ist die Funktion $f(x)=e^{x}$ . a) Bestimme die Steigungen $f^{\prime}(-1)$ , $f^{\prime}(0)$ , $f^{\prime}(1)$ , $f^{\prime}(2)$ . b) Der Graph von $e^{x}$ und seiner Ableitung sind identisch. c) Finde die Tangentengleichung $y=$ im Punkt $P(a, e^{a})$ .

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Problem 3919

Show that the function $f(x)=x^{3}-4 x+1$ has a root in the interval $[0,1]$ using the intermediate value theorem.

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Problem 3920

Skizzieren Sie den Graphen von $f$ mit den Eigenschaften: a) Tiefpunkt $T(-2 \mid 4)$ , b) waagerechte Tangente bei $P(1 | 2)$ , c) zwei waagerechte Tangenten, d) $f'(x)<0$ , $f''(x)<0$ , e) linksgekrümmt ohne Extremstellen.

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Problem 3921

Untersuchen Sie Extrem- und Wendepunkte von $f(x)=x^{3}+6x^{2}+9x$ , $f(x)=x^{4}-8x^{3}+18x^{2}$ und $f(x)=\cos(x)+x$ für $0 \leq x \leq 2\pi$ . Bestimmen Sie die Tangentengleichung am Wendepunkt und skizzieren Sie den Graphen.

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Problem 3922

Finde die Stammfunktion von $f$ für die folgenden Funktionen: a) $f(x)=x$ b) $f(x)=2 x$ c) $f(x)=x^{2}$ d) $f(x)=2 x^{3}$

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Problem 3923

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Problem 3924

Finde die Stammfunktion von $f(x)=2 x$ .

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Problem 3925

Finde die Stammfunktion von $f(x)=x^{2}$ .

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Problem 3926

Finde die Stammfunktion von $f(x)=2 x^{3}$ .

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Problem 3927

Finde die Stammfunktion von $f(x) = -x^{2}$ .

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Problem 3928

Finde die Stammfunktion von $f(x)=x^{-1}$ .

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Problem 3929

Leiten Sie die Funktion $f(x)=2 \sin (x)+x^{-3}$ ab.

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Problem 3930

Calculate the integral from 0 to t of the function $9 t^{2}-3 t+5$ .

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Problem 3931

Sei $g(x)=-2 x^{3}+12 x^{2}$ .
a) Bestätige, dass $t(x)=24 x-16$ die Wendetangente ist. b) Berechne den Schnittwinkel zwischen $t$ und der $x$ -Achse.

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Problem 3932

Ein Wanderer läuft entlang eines Kanals.
a) Beschreiben Sie den Graphen.
b) Welche Aussagen zur Geschwindigkeit des Wanderers können Sie treffen?
c) Überprüfen Sie mit $v(t)=72 t^{3}-120 t^{2}+48 t$ die Aussagen aus b).

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Problem 3933

Find the derivative of $w=\log _{3}(5^{p}-4)$ .

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Problem 3934

Find the marginal cost of $C(q)=101q+98$ , the profit function, and profit from selling one more unit at $q=8$ .

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Problem 3935

Cost function: $C(q)=101 q+98$ ; Revenue function: $R(q)=101 q+\frac{55 q}{\ln q}$ . Find marginal cost, profit function, and profit for 9 units sold when 8 units are sold.

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Problem 3936

Find where the function $f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}-4}$ has a horizontal tangent line.

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Problem 3937

Berechne das Integral von $f(t)=(-t^{2}+t+0,75) \cdot e^{t-0,5}$ von 0 bis 1,5 für $t \in [0; 2,1]$ . Die Pflanze ist zu Beginn 20 cm hoch.

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Problem 3938

Bestimmen Sie die Stammfunktion von $\sqrt{x}$ .

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Problem 3939

Find values of $A$ and $B$ so that the piecewise function $f(x)=\left\{\begin{aligned} x^{2}+1, & x \leq 3 \\ A x+B, & x>3\end{aligned}\right.$ is differentiable everywhere.

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Problem 3940

Gegeben ist die Funktion $f_{a}(x)=x^{4}-a x^{2}$ .
a) Zeigen Sie, dass für $a \leqq 0$ keine Hochpunkte existieren.
b) Bestimmen Sie die Ortskurve der Tief- und Wendepunkte für $a > 0$ .
c) Finden Sie die Tangentengleichung im Punkt $P(1, f(1))$ und den Wert von $a$ für eine Steigung von $-0,5$ .

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Problem 3941

Find daily energy expenditure $F(33000)$ , calculate $F^{\prime}(33000)$ , and graph $F(x)$ on $[5000,30000]$ .

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Problem 3942

Berechne die Steigung der Funktion $f$ an $x_0$ für: a) $f(x)=x^{2}, x_{0}=-1$ und b) $f(x)=0,5 x^{2}, x_{0}=2$ .

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Problem 3943

An object is dropped from 50 m. Find the time to reach the ground assuming no air resistance. Use $h = \frac{1}{2}gt^2$ .

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Problem 3944

Solve the differential equation $y'' = x \cos(x)$ and find all solutions using separation of variables.

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Problem 3945

Find points on the graph of $f(x)=12 x^{2}-55 x+63$ where the tangent line slope is 0.

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Problem 3946

Find the values of $x$ where the derivative $f^{\prime}(x)=0$ for the function $f(x)=(x^{2}-5)(x^{2}-\sqrt{5})$ .

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Problem 3947

Gegeben ist die Funktion $f_{t}(x)=x^{3}+t \cdot (x^{2}-x)$ mit $t \in \mathbb{R}$ . Untersuchen Sie die Schnittpunkte, Extrempunkte und Wendepunkte.

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Problem 3948

Find the rate of change of vehicles in line for the function $f(x)=\frac{x^{2}}{3(2-x)}$ at $x=0.3$ . Round to four decimal places.

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Problem 3949

Given functions $f$ and $g$ , find: (a) $h(4)$ , (b) $h'(4)$ for $h(x)=f(g(x))$ , (c) $k'(4)$ for $k(x)=g(f(x))$ , (d) $h'(4)$ for $h(x)=\frac{g(x)}{f(x)}$ , (e) $h'(4)$ for $h(x)=f(x)g(x)$ .

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Problem 3950

Find the rate of increase in coronary heart disease risk, given $R(c)=3.175(1.008)^{c}$ and $c=183$ , increasing by $16$ .

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Problem 3951

Check if the derivative of $f(x) = -3 \sin(4 - 2x)$ is $f'(x) = -3 \cos 2 (4 - 2x)$ .

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Problem 3952

Find the relationship between $h(y)$ and $g(x)$ given that $\int h(y) dy = \int g(x) dx$ .

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Problem 3953

Find $f^{\prime}(-1)$ for $f(x)=\sqrt{3x^2-6x}$ .

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Problem 3954

Aufgabe: Zeigen Sie, dass die Nullstellen $x_{1}=-2$ und $x_{2}=0$ von $f(x)=x^{3}+2x^{2}$ die einzigen sind. Berechnen Sie die Fläche unter dem Graphen.

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Problem 3955

Bestimme die Zerfallsfunktion für Plutonium $243$ , das $13\%$ pro Stunde zerfällt, und berechne die Halbwertszeit.

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Problem 3956

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=\frac{1}{9}(3 x+2)^{3}$ . Bestimme die Steigung im Punkt $P(2 \mid f(2))$ , waagerechte Tangenten und Punkte mit Steigung 1.

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Problem 3957

Calculate the integral: $\int\left(2 e^{2 x}-\frac{4}{x^{2}}\right) d x$

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Problem 3958

Find the derivative $g^{\prime}(x)$ for the function $g(x)=\frac{1}{\sqrt{\tan(3x^{2})}}$ .

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Problem 3959

Gegeben ist die Funktion $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + \frac{16}{3}$ .
a) Finde die Tangentengleichung $t$ am Punkt $P(2 \mid 0)$ .
b) Zeichne den Graphen von $f^{*}$ .

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Problem 3960

Berechne die Integrale a) $\int_{0}^{2} (x^{2}+2x-3) \, dx$ , b) $\int_{-1}^{1} (3x^{2}-x^{3}) \, dx$ , c) $\int_{-1}^{1} x^{3} \, dx$ . Bestimme eine Stammfunktion für die gegebenen Funktionen.

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Problem 3961

Bestimme die Stammfunktion für die Funktionen: c) $h(x)=\frac{6}{x^{2}}$ , a) $f(x)=\frac{1}{3} x^{2}-4 x+5$ , b) $g(x)=-10 x+2 x^{2}+1$ .

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Problem 3962

Find the derivative $f^{\prime}(x)$ for the function $f(x)=\tan^{2}(3x^{2})$ .

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Problem 3963

Find $p^{\prime}(5)$ for $p(x)=f(x) \cdot g(f(x))$ using the given values of $f(x)$ and $g(x)$ .

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Problem 3964

Differentiate these functions with respect to $x$ : (i) $f(x)=\cot(3x)$ , (ii) $y=e^{2\sqrt{x}}+\pi$ , (iii) $g(x)=\sqrt{x} \ln(-2x)$ .

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Problem 3965

Erkläre Nullstellen, Schnittpunkte, Extremstellen, Ableitungen, Graphverlauf, Integrale und Flächeninhalte zwischen Funktionen.

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Problem 3966

Calculate the average rate of change of $f(x)=x^{2}-2$ from $x=-2$ to $x=0$ .

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Problem 3967

Calculate the average rate of change of $f(x)=x^{2}-2$ from $x=-3$ to $x=-1$ .

See Solution

Problem 3968

Differentiate these functions with respect to $x$ : (i) $f(x)=\cot(3x)$ , (ii) $y=e^{2\sqrt{x}}+\pi$ , (iii) $g(x)=\sqrt{x}\ln(-2x)$ .

See Solution

Problem 3969

Calculate the average rate of change of $f(x)=2x^2-2x+1$ from $x=1$ to $x=2$ .

See Solution

Problem 3970

Calculate the average rate of change of $f(x)=-2 x^{2}+1$ from $x=-1$ to $x=0$ .

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Problem 3971

An object is thrown up at $20 \mathrm{~m/s}$ . Find the time to reach maximum height: $\frac{20}{9.8} \approx 2.045$ seconds.

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Problem 3972

1. (a) For $y=\sqrt{|3 x|}$ , find: (i) $y$ at $x=-3$ . (ii) $x$ when $y=4$ . (iii) Derivative for $x>0$ . (iv) Tangent equation at $x=3$ .

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Problem 3973

Find the difference quotient of $f(x)=\sqrt{2x+3}$ . Which option is correct? a) b) c) d) e) none.

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Problem 3974

Evaluate the integral $\int_{0}^{2} \frac{d t}{\sqrt{4+t^{2}}}$ .

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Problem 3975

Gegeben ist die Funktion $f(x)=x \cdot e^{x}$ . Skizziere sie und bestimme den Wendepunkt rechnerisch und graphisch.

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Problem 3976

Berechnen Sie den Flächeninhalt unter der Funktion $f(x) = mx + b$ zwischen den Grenzen $a$ und $b$ .

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Problem 3977

Find the derivative of $h(x)=\frac{8 x \cos (x)}{3 x+3 \sin (x)}$ .

See Solution

Problem 3978

Gegeben ist die Funktion $f(x)=x \cdot e^{x}$ . Skizziere sie und bestimme den Wendepunkt graphisch und rechnerisch.

See Solution

Problem 3979

Evaluate the integral from 1 to 2 of the function $x^{2}+1$ .

See Solution

Problem 3980

Calculate the integral $\int_{-1}^{2}(x-2) \, dx$ .

See Solution

Problem 3981

Evaluate the integral: $\int_{0}^{3}\left(2-\frac{1}{2} x^{2}\right) d x$

See Solution

Problem 3982

Calculate the integral $\int_{0}^{3}\left(2-\frac{1}{2} x^{2}\right) d x$ .

See Solution

Problem 3983

Bestimmen Sie die Stammfunktionen für die folgenden Funktionen: a) $f(x)=x^{4}$ , b) $f(x)=2 x^{3}-x+3$ , c) $f(x)=\frac{6}{x^{2}}$ , d) $f(x)=(2 x+1)^{3}$ , e) $f(x)=2 \cdot e^{-x}$ , f) $f(x)=3 \sin (\pi x+\pi)$ , g) $f(x)=4 e^{2 x+0,5}$ , h) $f(x)=\frac{8}{(2 x+1)^{3}}$ , i) $f(x)=n^{2} \cdot x^{n-1}, n \in \mathbb{N}$ .

See Solution

Problem 3984

Calculate the integral $\int_{0}^{4} \sqrt{x} \, dx$ .

See Solution

Problem 3985

Find the tangent line equation for $f(x)=18 e^{x}+5 x$ at $x=0$ . What is $y=$ ?

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Problem 3986

Find the tangent line equation for $f(x)=\ln x^{5}$ at $x=e^{4}$ . $y=\square \text { (Type an exact answer.) }$

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Problem 3987

Calculate the integral $\int_{-1}^{1} x^{3} d x$ .

See Solution

Problem 3988

Bestimme die Stammfunktion $F$ von $f(x)=3x^2-2x$ , die durch den Punkt P(2|-1) verläuft. Wähle $C$ passend.

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Problem 3989

Berechne die Integrale: a) $\int(3-6 x^{2}) dx$ , b) $\int_{0}^{2}(2 x-x^{2}) dx$ , c) $\int_{0}^{2} e^{-x} dx$ , d) $\int_{0}^{\pi} \cos(\frac{1}{2} x) dx$ .

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Problem 3990

Differentiate $y = \tan^{2}(t)$ .

See Solution

Problem 3991

Differentiate $y=\tan^2(t)$ .

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Problem 3992

Find the maximum $\delta$ for $\lim _{x \rightarrow 6} f(x)$ with $f(x)=13x+5$ such that $|f(x)-83|<0.001$ if $|x-6|<\delta$ . Answer to six decimal places.

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Problem 3993

Find the average rate of change of $f(x)=x^{2}+3$ between $(-1, f(-1))$ and $(4, f(4))$ , and for $(x, f(x))$ and $(x+h, f(x+h))$ .

See Solution

Problem 3994

Find the average rate of change of $f(x)=2x^{2}-3x+5$ on $[-1,2]$ and on $[x, x+h]$ .

See Solution

Problem 3995

Find the largest $\delta$ such that if $|x-3|<\delta$ , then $|x^{2}-9|<0.007$ . Round to five decimal places.

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Problem 3996

Differentiate these functions with respect to $x$ : (i) $f(x)=\cot(3x)$ , (ii) $y=e^{2\sqrt{x}}+\pi$ , (iii) $g(x)=\sqrt{x}\ln(-2x)$ .

See Solution

Problem 3997

Zerlegen Sie die Folge $a_{n}$ in konstant und Nullfolgen und bestimmen Sie den Grenzwert für: a) $a_{n}=\frac{8+n}{4 n}$ , b) $a_{n}=\frac{8+\sqrt{n}}{4 \sqrt{n}}$ , c) $a_{n}=\frac{8+2^{n}}{4 \cdot 2^{n}}$ , d) $a_{n}=\frac{6+n^{4}}{\frac{1}{4} n^{4}}$ , e) $a_{n}=\frac{4+n^{3}}{n^{3}}$ .

See Solution

Problem 3998

Differentiate these functions with respect to $x$ : (i) $f(x)=\frac{\cos (3 x)}{e^{2 x}}$ , (ii) $y=\ln (2 x) \tan (-x)$ , (iii) $g(x)=(13 x^{2}+\sin (4 x))^{2}$ .

See Solution

Problem 3999

Find the limit as $x$ approaches 1 for the expression $-\frac{x^{2}}{2}+2x+4$ .

See Solution

Problem 4000

Find the derivative of the function $f(x)=8 e^{4 x}+7 \ln \left(x^{4}+3 x^{3}(x-2)^{2}+\frac{6}{x}+30\right)$ and determine the coefficients $a$ to $n$ in the expression for $\frac{d f}{d x}(x)$ .

See Solution

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337

Calculus

Problem 3901

Zeigen Sie, dass die Graphen der Funktionen f(x)=x3−4x+4f(x)=x^{3}-4x+4f(x)=x3−4x+4 und g(x)=x2−2x+3,5g(x)=x^{2}-2x+3,5g(x)=x2−2x+3,5 sich in P(0,5)P(0,5)P(0,5) berühren und bestimmen Sie die Tangentengleichung.

Problem 3902

Given functions fff and ggg, find F′(3)F'(3)F′(3) for F(x)=f(f(x))F(x)=f(f(x))F(x)=f(f(x)) and G′(1)G'(1)G′(1) for G(x)=g(g(x))G(x)=g(g(x))G(x)=g(g(x)).

Problem 3903

Find the first derivative of f(x)=5x2−13x−3f(x)=5x^{2}-\frac{1}{3}x-3f(x)=5x2−31​x−3.

Problem 3904

Finde die Stammfunktion von fff mit f(x)=xf(x)=xf(x)=x.

Problem 3905

Bestimmen Sie die Definitionslücke von f(x)=x−1(x+3)2f(x)=\frac{x-1}{(x+3)^{2}}f(x)=(x+3)2x−1​ und analysieren Sie das Verhalten des Graphen dort.

Problem 3906

Find F′(2)F^{\prime}(2)F′(2) for F(x)=f(g(x))F(x)=f(g(x))F(x)=f(g(x)) given f(−3)=4,f′(−3)=5,g(2)=−3,g′(2)=2f(-3)=4, f^{\prime}(-3)=5, g(2)=-3, g^{\prime}(2)=2f(−3)=4,f′(−3)=5,g(2)=−3,g′(2)=2. F′(2)= F^{\prime}(2)= F′(2)=

Problem 3907

Problem 3908

Wasserreservoir: Analysiere den Graphen f(t)=11000t3−325t2+185tf(t)=\frac{1}{1000} t^{3}-\frac{3}{25} t^{2}+\frac{18}{5} tf(t)=10001​t3−253​t2+518​t für 0≤t≤600 \leq t \leq 600≤t≤60. Bestimme max. Zuflussrate und Zeitpunkt.

Problem 3909

Die Kochdauer ttt für ein Ei hängt vom Durchmesser ddd ab: t(d)=0,00262d2t(d)=0,00262 d^{2}t(d)=0,00262d2. 1) Finde die mittleren Änderungsraten für [40;50], [40;45] und [40;41]. 2) Bestimme die lokale Änderungsrate für 40 mm40 \mathrm{~mm}40 mm.

Problem 3910

Problem 3911

Solve the integral: ∫dy150−y=∫dt200\int \frac{d y}{150-y}=\int \frac{d t}{200}∫150−ydy​=∫200dt​.

Problem 3912

Rakete: Berechne die Geschwindigkeit und den Weg einer Silvesterrakete in 4s. Bestimme auch die Höhe und die Funktionsgleichungen.

Problem 3913

Eine Pflanze wächst laut f(t)=(−t2+t+0,75)⋅et−0,5f(t)=(-t^{2}+t+0,75) \cdot e^{t-0,5}f(t)=(−t2+t+0,75)⋅et−0,5 für t∈[0;2,1]t \in[0 ; 2,1]t∈[0;2,1]. Wann hört das Wachstum auf?

Problem 3914

Bungee-Sprung aus 190 m190 \mathrm{~m}190 m Höhe: a) Strecke in 3 Sekunden? b) Geschwindigkeiten nach 1, 2, 3 Sekunden? c) Durchschnittsgeschwindigkeit?

Problem 3915

Gegeben ist die Funktion f(x)=x3+2x2f(x)=x^{3}+2x^{2}f(x)=x3+2x2: a) Zeigen Sie, dass x1=−2x_{1}=-2x1​=−2 und x2=0x_{2}=0x2​=0 Nullstellen sind. b) Flächeninhalt zwischen Graph und X-Achse?

Problem 3916

Prove continuity: (a) Show cf(x)c f(x)cf(x) is continuous at aaa. (b) Show f(x)⋅g(x)f(x) \cdot g(x)f(x)⋅g(x) is continuous at aaa.

Problem 3917

Gegeben ist die Funktion f(x)=13x3−2x2+163f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-2 x^{2}+\frac{16}{3}f(x)=31​x3−2x2+316​. a) Finde die Tangentengleichung ttt an fff im Punkt P(2∣0)P(2 \mid 0)P(2∣0). b) Skizziere den Graphen von f′f'f′ dazu.

Problem 3918

Problem 3919

Show that the function f(x)=x3−4x+1f(x)=x^{3}-4 x+1f(x)=x3−4x+1 has a root in the interval [0,1][0,1][0,1] using the intermediate value theorem.

Problem 3920

Skizzieren Sie den Graphen von fff mit den Eigenschaften: a) Tiefpunkt T(−2∣4)T(-2 \mid 4)T(−2∣4), b) waagerechte Tangente bei P(1∣2)P(1 | 2)P(1∣2), c) zwei waagerechte Tangenten, d) f′(x)<0f'(x)<0f′(x)<0, f′′(x)<0f''(x)<0f′′(x)<0, e) linksgekrümmt ohne Extremstellen.

Problem 3921

Problem 3922

Finde die Stammfunktion von fff für die folgenden Funktionen: a) f(x)=xf(x)=xf(x)=x b) f(x)=2xf(x)=2 xf(x)=2x c) f(x)=x2f(x)=x^{2}f(x)=x2 d) f(x)=2x3f(x)=2 x^{3}f(x)=2x3

Problem 3923

Problem 3924

Finde die Stammfunktion von f(x)=2xf(x)=2 xf(x)=2x.

Problem 3925

Finde die Stammfunktion von f(x)=x2f(x)=x^{2}f(x)=x2.

Problem 3926

Finde die Stammfunktion von f(x)=2x3f(x)=2 x^{3}f(x)=2x3.

Problem 3927

Finde die Stammfunktion von f(x)=−x2f(x) = -x^{2}f(x)=−x2.

Problem 3928

Finde die Stammfunktion von f(x)=x−1f(x)=x^{-1}f(x)=x−1.

Problem 3929

Leiten Sie die Funktion f(x)=2sin⁡(x)+x−3f(x)=2 \sin (x)+x^{-3}f(x)=2sin(x)+x−3 ab.

Problem 3930

Calculate the integral from 0 to t of the function 9t2−3t+59 t^{2}-3 t+59t2−3t+5.

Problem 3931

Sei g(x)=−2x3+12x2g(x)=-2 x^{3}+12 x^{2}g(x)=−2x3+12x2. a) Bestätige, dass t(x)=24x−16t(x)=24 x-16t(x)=24x−16 die Wendetangente ist. b) Berechne den Schnittwinkel zwischen ttt und der xxx-Achse.

Problem 3932

Ein Wanderer läuft entlang eines Kanals. a) Beschreiben Sie den Graphen. b) Welche Aussagen zur Geschwindigkeit des Wanderers können Sie treffen? c) Überprüfen Sie mit v(t)=72t3−120t2+48tv(t)=72 t^{3}-120 t^{2}+48 tv(t)=72t3−120t2+48t die Aussagen aus b).

Problem 3933

Find the derivative of w=log⁡3(5p−4)w=\log _{3}(5^{p}-4)w=log3​(5p−4).

Problem 3934

Find the marginal cost of C(q)=101q+98C(q)=101q+98C(q)=101q+98, the profit function, and profit from selling one more unit at q=8q=8q=8.

Problem 3935

Cost function: C(q)=101q+98C(q)=101 q+98C(q)=101q+98; Revenue function: R(q)=101q+55qln⁡qR(q)=101 q+\frac{55 q}{\ln q}R(q)=101q+lnq55q​. Find marginal cost, profit function, and profit for 9 units sold when 8 units are sold.

Problem 3936

Find where the function f(x)=x2x2−4f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}-4}f(x)=x2−4x2​ has a horizontal tangent line.

Problem 3937

Berechne das Integral von f(t)=(−t2+t+0,75)⋅et−0,5f(t)=(-t^{2}+t+0,75) \cdot e^{t-0,5}f(t)=(−t2+t+0,75)⋅et−0,5 von 0 bis 1,5 für t∈[0;2,1]t \in [0; 2,1]t∈[0;2,1]. Die Pflanze ist zu Beginn 20 cm hoch.

Problem 3938

Bestimmen Sie die Stammfunktion von x\sqrt{x}x​.

Problem 3939

Find values of AAA and BBB so that the piecewise function f(x)={x2+1,x≤3Ax+B,x>3f(x)=\left\{\begin{aligned} x^{2}+1, & x \leq 3 \\ A x+B, & x>3\end{aligned}\right.f(x)={x2+1,Ax+B,​x≤3x>3​ is differentiable everywhere.

Problem 3940

Problem 3941

Find daily energy expenditure F(33000)F(33000)F(33000), calculate F′(33000)F^{\prime}(33000)F′(33000), and graph F(x)F(x)F(x) on [5000,30000][5000,30000][5000,30000].

Problem 3942

Berechne die Steigung der Funktion fff an x0x_0x0​ für: a) f(x)=x2,x0=−1f(x)=x^{2}, x_{0}=-1f(x)=x2,x0​=−1 und b) f(x)=0,5x2,x0=2f(x)=0,5 x^{2}, x_{0}=2f(x)=0,5x2,x0​=2.

Problem 3943

Zeigen Sie, dass die Graphen der Funktionen $f(x)=x^{3}-4x+4$ und $g(x)=x^{2}-2x+3,5$ sich in $P(0,5)$ berühren und bestimmen Sie die Tangentengleichung.

Given functions $f$ and $g$ , find $F'(3)$ for $F(x)=f(f(x))$ and $G'(1)$ for $G(x)=g(g(x))$ .

Find the first derivative of $f(x)=5x^{2}-\frac{1}{3}x-3$ .

Finde die Stammfunktion von $f$ mit $f(x)=x$ .

Bestimmen Sie die Definitionslücke von $f(x)=\frac{x-1}{(x+3)^{2}}$ und analysieren Sie das Verhalten des Graphen dort.

Find $F^{\prime}(2)$ for $F(x)=f(g(x))$ given $f(-3)=4, f^{\prime}(-3)=5, g(2)=-3, g^{\prime}(2)=2$ . $F^{\prime}(2)=$

Wasserreservoir: Analysiere den Graphen $f(t)=\frac{1}{1000} t^{3}-\frac{3}{25} t^{2}+\frac{18}{5} t$ für $0 \leq t \leq 60$ . Bestimme max. Zuflussrate und Zeitpunkt.

Die Kochdauer $t$ für ein Ei hängt vom Durchmesser $d$ ab: $t(d)=0,00262 d^{2}$ .
1) Finde die mittleren Änderungsraten für [40;50], [40;45] und [40;41]. 2) Bestimme die lokale Änderungsrate für $40 \mathrm{~mm}$ .

Solve the integral: $\int \frac{d y}{150-y}=\int \frac{d t}{200}$ .

Eine Pflanze wächst laut $f(t)=(-t^{2}+t+0,75) \cdot e^{t-0,5}$ für $t \in[0 ; 2,1]$ . Wann hört das Wachstum auf?

Bungee-Sprung aus $190 \mathrm{~m}$ Höhe: a) Strecke in 3 Sekunden? b) Geschwindigkeiten nach 1, 2, 3 Sekunden? c) Durchschnittsgeschwindigkeit?

Gegeben ist die Funktion $f(x)=x^{3}+2x^{2}$ : a) Zeigen Sie, dass $x_{1}=-2$ und $x_{2}=0$ Nullstellen sind. b) Flächeninhalt zwischen Graph und X-Achse?

Prove continuity: (a) Show $c f(x)$ is continuous at $a$ . (b) Show $f(x) \cdot g(x)$ is continuous at $a$ .

Gegeben ist die Funktion $f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-2 x^{2}+\frac{16}{3}$ .
a) Finde die Tangentengleichung $t$ an $f$ im Punkt $P(2 \mid 0)$ . b) Skizziere den Graphen von $f'$ dazu.

Show that the function $f(x)=x^{3}-4 x+1$ has a root in the interval $[0,1]$ using the intermediate value theorem.

Skizzieren Sie den Graphen von $f$ mit den Eigenschaften: a) Tiefpunkt $T(-2 \mid 4)$ , b) waagerechte Tangente bei $P(1 | 2)$ , c) zwei waagerechte Tangenten, d) $f'(x)<0$ , $f''(x)<0$ , e) linksgekrümmt ohne Extremstellen.

Finde die Stammfunktion von $f$ für die folgenden Funktionen: a) $f(x)=x$ b) $f(x)=2 x$ c) $f(x)=x^{2}$ d) $f(x)=2 x^{3}$

Finde die Stammfunktion von $f(x)=2 x$ .

Finde die Stammfunktion von $f(x)=x^{2}$ .

Finde die Stammfunktion von $f(x)=2 x^{3}$ .

Finde die Stammfunktion von $f(x) = -x^{2}$ .

Finde die Stammfunktion von $f(x)=x^{-1}$ .

Leiten Sie die Funktion $f(x)=2 \sin (x)+x^{-3}$ ab.

Calculate the integral from 0 to t of the function $9 t^{2}-3 t+5$ .

Sei $g(x)=-2 x^{3}+12 x^{2}$ .
a) Bestätige, dass $t(x)=24 x-16$ die Wendetangente ist. b) Berechne den Schnittwinkel zwischen $t$ und der $x$ -Achse.

Ein Wanderer läuft entlang eines Kanals.
a) Beschreiben Sie den Graphen.
b) Welche Aussagen zur Geschwindigkeit des Wanderers können Sie treffen?
c) Überprüfen Sie mit $v(t)=72 t^{3}-120 t^{2}+48 t$ die Aussagen aus b).

Find the derivative of $w=\log _{3}(5^{p}-4)$ .

Find the marginal cost of $C(q)=101q+98$ , the profit function, and profit from selling one more unit at $q=8$ .

Cost function: $C(q)=101 q+98$ ; Revenue function: $R(q)=101 q+\frac{55 q}{\ln q}$ . Find marginal cost, profit function, and profit for 9 units sold when 8 units are sold.

Find where the function $f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}-4}$ has a horizontal tangent line.

Berechne das Integral von $f(t)=(-t^{2}+t+0,75) \cdot e^{t-0,5}$ von 0 bis 1,5 für $t \in [0; 2,1]$ . Die Pflanze ist zu Beginn 20 cm hoch.

Bestimmen Sie die Stammfunktion von $\sqrt{x}$ .

Find values of $A$ and $B$ so that the piecewise function $f(x)=\left\{\begin{aligned} x^{2}+1, & x \leq 3 \\ A x+B, & x>3\end{aligned}\right.$ is differentiable everywhere.

Find daily energy expenditure $F(33000)$ , calculate $F^{\prime}(33000)$ , and graph $F(x)$ on $[5000,30000]$ .

Berechne die Steigung der Funktion $f$ an $x_0$ für: a) $f(x)=x^{2}, x_{0}=-1$ und b) $f(x)=0,5 x^{2}, x_{0}=2$ .

An object is dropped from 50 m. Find the time to reach the ground assuming no air resistance. Use $h = \frac{1}{2}gt^2$ .

Solve the differential equation $y'' = x \cos(x)$ and find all solutions using separation of variables.

Find points on the graph of $f(x)=12 x^{2}-55 x+63$ where the tangent line slope is 0.

Find the values of $x$ where the derivative $f^{\prime}(x)=0$ for the function $f(x)=(x^{2}-5)(x^{2}-\sqrt{5})$ .

Gegeben ist die Funktion $f_{t}(x)=x^{3}+t \cdot (x^{2}-x)$ mit $t \in \mathbb{R}$ . Untersuchen Sie die Schnittpunkte, Extrempunkte und Wendepunkte.

Find the rate of change of vehicles in line for the function $f(x)=\frac{x^{2}}{3(2-x)}$ at $x=0.3$ . Round to four decimal places.

Find the rate of increase in coronary heart disease risk, given $R(c)=3.175(1.008)^{c}$ and $c=183$ , increasing by $16$ .

Check if the derivative of $f(x) = -3 \sin(4 - 2x)$ is $f'(x) = -3 \cos 2 (4 - 2x)$ .

Find the relationship between $h(y)$ and $g(x)$ given that $\int h(y) dy = \int g(x) dx$ .

Find $f^{\prime}(-1)$ for $f(x)=\sqrt{3x^2-6x}$ .

Aufgabe: Zeigen Sie, dass die Nullstellen $x_{1}=-2$ und $x_{2}=0$ von $f(x)=x^{3}+2x^{2}$ die einzigen sind. Berechnen Sie die Fläche unter dem Graphen.

Bestimme die Zerfallsfunktion für Plutonium $243$ , das $13\%$ pro Stunde zerfällt, und berechne die Halbwertszeit.

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=\frac{1}{9}(3 x+2)^{3}$ . Bestimme die Steigung im Punkt $P(2 \mid f(2))$ , waagerechte Tangenten und Punkte mit Steigung 1.

Calculate the integral: $\int\left(2 e^{2 x}-\frac{4}{x^{2}}\right) d x$

Find the derivative $g^{\prime}(x)$ for the function $g(x)=\frac{1}{\sqrt{\tan(3x^{2})}}$ .

Gegeben ist die Funktion $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + \frac{16}{3}$ .
a) Finde die Tangentengleichung $t$ am Punkt $P(2 \mid 0)$ .
b) Zeichne den Graphen von $f^{*}$ .

Berechne die Integrale a) $\int_{0}^{2} (x^{2}+2x-3) \, dx$ , b) $\int_{-1}^{1} (3x^{2}-x^{3}) \, dx$ , c) $\int_{-1}^{1} x^{3} \, dx$ . Bestimme eine Stammfunktion für die gegebenen Funktionen.

Bestimme die Stammfunktion für die Funktionen: c) $h(x)=\frac{6}{x^{2}}$ , a) $f(x)=\frac{1}{3} x^{2}-4 x+5$ , b) $g(x)=-10 x+2 x^{2}+1$ .

Find the derivative $f^{\prime}(x)$ for the function $f(x)=\tan^{2}(3x^{2})$ .

Find $p^{\prime}(5)$ for $p(x)=f(x) \cdot g(f(x))$ using the given values of $f(x)$ and $g(x)$ .

Differentiate these functions with respect to $x$ : (i) $f(x)=\cot(3x)$ , (ii) $y=e^{2\sqrt{x}}+\pi$ , (iii) $g(x)=\sqrt{x} \ln(-2x)$ .

Calculate the average rate of change of $f(x)=x^{2}-2$ from $x=-2$ to $x=0$ .

Calculate the average rate of change of $f(x)=x^{2}-2$ from $x=-3$ to $x=-1$ .

Differentiate these functions with respect to $x$ : (i) $f(x)=\cot(3x)$ , (ii) $y=e^{2\sqrt{x}}+\pi$ , (iii) $g(x)=\sqrt{x}\ln(-2x)$ .

Calculate the average rate of change of $f(x)=2x^2-2x+1$ from $x=1$ to $x=2$ .

Calculate the average rate of change of $f(x)=-2 x^{2}+1$ from $x=-1$ to $x=0$ .

An object is thrown up at $20 \mathrm{~m/s}$ . Find the time to reach maximum height: $\frac{20}{9.8} \approx 2.045$ seconds.

1. (a) For $y=\sqrt{|3 x|}$ , find: (i) $y$ at $x=-3$ . (ii) $x$ when $y=4$ . (iii) Derivative for $x>0$ . (iv) Tangent equation at $x=3$ .

Find the difference quotient of $f(x)=\sqrt{2x+3}$ . Which option is correct? a) b) c) d) e) none.

Evaluate the integral $\int_{0}^{2} \frac{d t}{\sqrt{4+t^{2}}}$ .