Calculus

Problem 6901

Bestimme die Stammfunktion von $f(x)=\frac{x(5-x)(x-16)}{12}$ .

See Solution

Problem 6902

Berechne die Obersumme von $f(x)=x^{2}$ im Intervall $[0, 1]$ mit 8 Rechtecken.

See Solution

Problem 6903

Bestimmen Sie die erste Ableitung $f^{\prime}$ für die Funktionen: a. $f(x)=\frac{1}{4} x^{4}-x+1$ , b. $f(x)=\frac{3}{4 x^{2}}$ , c. $f(x)=(x-2)^{2}$ , d. $f(x)=4 x \cdot 2 \sqrt{x}$ .

See Solution

Problem 6904

Berechnen Sie den Differenzenquotienten der Funktion $f(x)=\frac{1}{x}+2$ in den Intervallen: a) $[0,1 ; 1]$ , b) $[2 ; 12]$ , c) $[0,01 ; 0,02]$ , d) $[100 ; 1000]$ .

See Solution

Problem 6905

Berechne die Obersumme von $f(x)=x^{2}$ im Intervall $[0, 1]$ mit 16 Rechtecken. Was ist die Höhe jedes Rechtecks?

See Solution

Problem 6906

Gegeben ist die Funktion $h(x)=\frac{1}{8} x^{4}-\frac{3}{4} x^{3}+\frac{3}{2} x^{2}$ . Untersuche $h$ auf Nullstellen, Extremstellen, Wendepunkte und Änderungsraten.

See Solution

Problem 6907

Skizzieren Sie den Graphen von $f(x)=x^{2} \cdot e^{x+1}$ und untersuchen Sie lokale Extrema. Wertetabelle erstellen.

See Solution

Problem 6908

Bestimmen Sie Minimum, Infimum, Maximum und Supremum der Folgen: i. $a_{n} = \frac{1}{n}$ ii. $b_{n} = 3 + (-1)^{n} \cdot \frac{1}{n}$ iii. $c_{n} = \max(0, 13n - 1)$

See Solution

Problem 6909

Bestimmen Sie den Differenzenquotienten der Funktion $f(x)=\frac{1}{x}+2$ in den Intervallen: a) $[0,1 ; 1]$ , b) $[2 ; 12]$ , c) $[0,01 ; 0,02]$ , d) $[100 ; 1000]$ .

See Solution

Problem 6910

Bestimme, wo die lokale Änderungsrate von $f(x)$ negativ oder positiv ist. Skizziere $f'$ und erkläre lokale Extrempunkte.

See Solution

Problem 6911

Bestimme die erste Ableitung $f^{\prime}$ für die folgenden Funktionen: a. $f(x)=\frac{1}{4} x^{4}-x+1$ , b. $f(x)=\frac{3}{4 x^{2}}$ , c. $f(x)=(x-2)^{2}$ , d. $f(x)=4 x \cdot 2 \sqrt{x}$ .

See Solution

Problem 6912

Gegeben ist die Funktion $f(x)=2,25-x^{2}$ . Finde die Nullstellen, die Ableitung $f'$ und zeichne beide Graphen im Intervall $I=[-3; 3]$ .

See Solution

Problem 6913

Untersuchen Sie die Änderungsrate der Funktion $f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-3,5 x^{2}+10 x$ und skizzieren Sie $f^{\prime}$ .

See Solution

Problem 6914

Ein ICE beschleunigt mit $s(t)=0,7 t^{2}$ . Berechne: a) Weg in 20 s und mittlere Geschwindigkeit, b) mittlere Geschwindigkeit in $[19; 20]$ , c) in $[19,99; 20]$ , d) Zeit für $300 \mathrm{~km/h}$ .

See Solution

Problem 6915

Ein Auto fährt gemäß der Funktion $s(t)=0,4 \cdot t^{2}$ für $t \in[0; 4]$ .
a) Vervollständigen Sie die Tabelle für $s(t)$ bei $t=0, 1, 2, 3, 4$ . b) Ist der Punkt $P(3,5 \mid 4,9)$ auf dem Graphen von $s$ ? c) Wann hat das Auto 5,184m zurückgelegt? d) Berechnen Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit im Intervall [3;4]. e) Erklären Sie den Begriff: $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{s(t+h)-s(t)}{h}$ .

See Solution

Problem 6916

Bestimmen Sie die Ableitungen der Funktionen: a. $f(x)=\frac{1}{4} x^{4}-x+1$ b. $f(x)=\frac{3}{4 x^{2}}$ c. $f(x)=(x-2)^{2}$ d. $f(x)=4 x \cdot 2 \sqrt{x}$

See Solution

Problem 6917

Skizzieren Sie die Graphen von $f(x)=\frac{1}{2} x$ und $g(x)=-\frac{1}{4} x^{2}+x$ für $0 \leq x \leq 2$ . Bestimmen Sie die lokalen Steigungen bei $x=1$ und die mittleren Steigungen im Intervall $[0 ; 2]$ .

See Solution

Problem 6918

Graphen von $f(x)=\frac{1}{2} x$ und $g(x)=-\frac{1}{4} x^{2}+x$ skizzieren und lokale sowie mittlere Steigungen bestimmen.

See Solution

Problem 6919

Bestimmen Sie die Fläche unter der Kurve $F(x) = e^{0.5-x}$ im Intervall $[0.5, 2]$ .

See Solution

Problem 6920

Gegeben die Funktion $f(x)=e^{-2 \cdot x}$ . Bestimme die Steigung $\beta$ bei $x=2$ , wo $f$ die Steigung -1 hat und den Schnittwinkel mit der $y$ -Achse.

See Solution

Problem 6921

Bestimmen Sie die Ableitung von $f(x)=\frac{2}{2 x+5}$ unter Verwendung der Kettenregel.

See Solution

Problem 6922

Bestimme die Ableitung von $f(x)=2 \cos \left(x^{2}\right)$ .

See Solution

Problem 6923

Find the derivative of the function $y=5 \ln (\ln (6 x))$ .

See Solution

Problem 6924

Find the limit of $\frac{3-\left(\frac{1}{x^{2}}\right)}{-\frac{5}{x}+\left(\frac{7}{x^{2}}\right)}$ as $x \to \infty$ and $x \to -\infty$ .

See Solution

Problem 6925

Find the limit as $x$ approaches 0 from the left of $-\frac{1}{x}$ .

See Solution

Problem 6926

Find the interval(s) where $f(x)=\frac{1}{x}$ is decreasing. Choose A for intervals or B if none exist.

See Solution

Problem 6927

Find the tangent line equation for $f(x)=\pi^{9 x+8}$ at $x=1$ .

See Solution

Problem 6928

Determine the intervals where the function $f(x)=\frac{1}{x}$ is increasing, decreasing, or constant.

See Solution

Problem 6929

Find the derivative $\frac{d y}{d t}$ for the equation: $9 x^{3}-6 x y+7 y^{3}=7$ .

See Solution

Problem 6930

A room with volume $180 \mathrm{~m}^{3}$ starts with $0.15 \%$ CO₂. Fresh air at $0.05 \%$ CO₂ flows in at $2 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{min}$ . Find $p(t)$ , the CO₂ percentage over time, and $\lim _{t \rightarrow \infty} p(t)$ .

See Solution

Problem 6931

Find the intervals where the revenue function $R(x)=35x-0.025x^2$ is increasing and decreasing for $0 \leq x \leq 1100$ .

See Solution

Problem 6932

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow-\infty} 2 + 4x - 90x^{2} - 3x^{4}$ .

See Solution

Problem 6933

Find the derivative of $h(x)=\left(-9 x^{-3}+5 x+6\right)^{\frac{3}{2}}$ using positive, negative, and fractional exponents.

See Solution

Problem 6934

Find the derivative of the function $y=\sqrt[4]{7 x^{2}+9}$ using positive, negative, and fractional exponents.

See Solution

Problem 6935

Find $\frac{d y}{d x}$ at $x=3$ for $y=9 u^{3}-9 u+3$ , where $u=9 x^{2}-8 x+1$ .

See Solution

Problem 6936

Find $x$ that minimizes the average cost $C(x)=58320+1.6x+20x^{2}$ for $1 \leq x \leq 253$ .

See Solution

Problem 6937

Find the derivative of the function $f(x) = x^{6x}$ .

See Solution

Problem 6938

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{-1}{(x-2)^{2}}$ .

See Solution

Problem 6939

Find the derivative of the function $f(x)=x^{6 x}$ .

See Solution

Problem 6940

Find the derivative $\frac{d y}{d x}$ for the equation: $2 x^{2} y^{2}=2$ .

See Solution

Problem 6941

Find the intervals where the revenue $R(x)=35x-0.025x^{2}$ is increasing and decreasing for $0 \leq x \leq 1100$ .

See Solution

Problem 6942

Find the population growth rate in thousands after 15 years given $P(t)=(0.5 t-8)(0.1 t+2)+45$ . Round to two decimal places.

See Solution

Problem 6943

Find the marginal revenue for the demand function $D(x)=\frac{149}{5x+2}$ at $x=5$ . Round to the nearest cent.

See Solution

Problem 6944

Find the absolute extrema of $f(x)=4 x^{3}-12 x$ on $[-5,7]$ . Provide your answer as an ordered pair $(x, f(x))$ .

See Solution

Problem 6945

Find values of $x$ for horizontal tangents of $f(x)=-x^{2}-4x+1$ . Choose "None" if there are no such values.

See Solution

Problem 6946

Find the slope of the tangent line for the equation $3 x^{3}-4 y^{2}=-12$ at the point $(2,3)$ .

See Solution

Problem 6947

Prove by induction that $\frac{d^{n}\left(x^{m}\right)}{d x^{n}}=\frac{m !}{(m-n) !} x^{m-n}$ for $m \geqslant n$ .

See Solution

Problem 6948

Expand $f(x, y)=e^{x^{2} y} \sin(3y)$ using Taylor series and find the coefficient of the $x^{4} y^{5}$ term.

See Solution

Problem 6949

Find the absolute extrema of $f(x)=-3x-\frac{00}{x}$ on $[15,19]$ . Provide $(x, f(x))$ rounded to 3 decimal places.

See Solution

Problem 6950

Find the critical values of the function $f(x)=\frac{100 x^{2}-49}{x}$ . List multiple answers separated by commas.

See Solution

Problem 6951

Find the derivative of $g(t)=\left(9-\frac{8}{t^{2}}\right)\left(t^{4}+2 t^{2}-7\right)$ using Product or Quotient Rule.

See Solution

Problem 6952

Find local extrema of the function $f(x)=\frac{100 x^{2}-49}{x}$ using the First Derivative Test. Provide ordered pairs.

See Solution

Problem 6953

Berechne die Fläche unter der Kurve $f(x)=-1,2 x^{2}+4,8$ von 0 bis 2 und den Flächeninhalt des Turms.

See Solution

Problem 6954

Find the rate of change of the angle of elevation $\frac{d \theta}{d x}$ for a 240 ft building when the shadow is 276 ft long. Round to 3 decimal places.

See Solution

Problem 6955

Find the rate of change of the angle of elevation $\frac{d \theta}{d x}$ for a 240 ft tall building when $x=276$ ft. Round to 3 decimal places.

See Solution

Problem 6956

Find the logarithmic derivative of $y=\frac{x^{2 x}(x-1)^{3}}{(3+5 x)^{4}}$ .

See Solution

Problem 6957

Find the difference quotient for $f(x)=6-x^{2}$ using $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ .

See Solution

Problem 6958

Skizziere den Graphen von $f(x)$ und berechne die Flächeninhalte zwischen $f$ und der $x$ -Achse in den Intervallen. a) $f(x)=\frac{x^{2}}{2};[-2;0];[1;3]$ und c) $f(x)=-\frac{x^{2}}{10}+3;[-3;-1];[2;4]$ .

See Solution

Problem 6959

Gegeben sind die Funktionen $f_1(x)=\frac{x^{2}}{2}$ und $f_2(x)=-\frac{x^{2}}{10}+3$ .
1. Skizzieren Sie die Graphen und berechnen Sie die Flächeninhalte zwischen $f_1$ und der $x$ -Achse in $[-2,0]$ und $[1,3]$ , sowie zwischen $f_2$ und der $x$ -Achse in $[-3,-1]$ und $[2,4]$ .

See Solution

Problem 6960

Find the logarithmic derivative of $y=x^{e^{x}}$ .

See Solution

Problem 6961

Bestimme die Stammfunktion für folgende Funktionen mit Anfangsbedingungen: a) $f(x)=2 x-1, F(1)=3$ ; b) $v(t)=6 t^{2}, s(0)=40$ ; c) $g(n)=10 \cdot e^{2 n}, G(0)=1$ ; d) $a(t)=-2, v(5)=20$ ; e) $y(t)=\frac{15}{t^{2}}, Y(1)=-5$ ; f) $a(z)=2 z \pi, A(0)=0$ .

See Solution

Problem 6962

A welder drops hot steel at 2,500°F. Use $f(t)=2420 e^{kt}+80$ to find $k$ (after 2 mins at 1,500°F) and time to reach 100°F.

See Solution

Problem 6963

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow-\infty}(\sqrt[3]{3 x-4}+x)$ .

See Solution

Problem 6964

Find $f(9.2)$ for the function $f(x)=e^{x}$ and round to the nearest hundredth.

See Solution

Problem 6965

Calculate the limit: $\lim _{x \rightarrow+\infty}(\sqrt{2 x+4}-\sqrt{2 x+2})$ .

See Solution

Problem 6966

Find the derivative of $f(x)=x^{3 x^{2}}$ .

See Solution

Problem 6967

Find the limit as $x$ approaches 1 from the left for the expression $\frac{-3 x+2}{2 x-2}$ .

See Solution

Problem 6968

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{\sqrt{2 x+2}-2}{x^{2}-x}$

See Solution

Problem 6969

Differentiate $x^{2}+y^{2}=10$ implicitly to find $\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}$ and the slope at (1,-3).

See Solution

Problem 6970

Find $\frac{d y}{d x}$ using implicit differentiation for $\sin (y) + \cos (x) = y$ .

See Solution

Problem 6971

Bestimmen Sie die Ableitung von $f(x) = 8x^2 \cdot \sin(x)$ mit der Produktregel und geben Sie $f'(x)$ an.

See Solution

Problem 6972

Führen Sie eine Kurvendiskussion für die Funktionen a) $f(x)=(2 x+2) \cdot e^{-0,5 x}$ , b) $f(x)=(1-x) \cdot e^{2-x}$ , c) $f(x)=e^{x}-2 e^{-x}$ durch. Untersuchen Sie Nullstellen, Extrema, Wendepunkte und das Verhalten für $x \rightarrow \pm \infty$ . Skizzieren Sie die Graphen und prüfen Sie diese mit TR/Computer.

See Solution

Problem 6973

Füllen Sie die Tabelle für $f(x)$ , $u(x)$ , $v(x)$ , $u^{\prime}(x)$ , $v^{\prime}(x)$ und $f^{\prime}(x)$ aus.

See Solution

Problem 6974

Find the maximum volume of an open-top box from a $10 \mathrm{in} \times 12 \mathrm{in}$ paper using $V(x)=x(10-2x)(12-2x)$ . Round to one decimal place.

See Solution

Problem 6975

Bestimmen Sie die Ableitungen der Funktionen: a) $f(x)=(2 x^{3}-x) \cdot \cos (x)$ b) $f(x)=\frac{1}{x} \cdot x^{2}$ c) $f(x)=\frac{1}{x} \cdot(-\sin (x))$ d) $f(x)=3 \sqrt{x} \cdot(x^{4}+1)$ Zusätzlich: Finden Sie $u(x)$ und $v(x)$ für $f(x)=x^{2} \cdot \sin (3 x+8)$ und leiten Sie ab!

See Solution

Problem 6976

Find the derivative of $e^{x} \cos x$ .

See Solution

Problem 6977

A man on a 15-ft ladder is descending at what rate if the bottom moves away from the wall at 6 ft/min, when it's 9 ft from the wall?

See Solution

Problem 6978

A rectangle's length is twice its width. If the length increases at 5 in/sec, how fast is the area changing when width = 10 in?

See Solution

Problem 6979

Benzintank: Ein Tank hat zu Beginn 2 Liter. Zuflussrate $f(t)=-0,03 t^{3}+0,3 t^{2}$ . Berechnen Sie verschiedene Zuflüsse und Zeiten.

See Solution

Problem 6980

Bestimme die Tangentengleichung der Funktion $f(x)=-x^{3}+8 x$ im Punkt $B(1 \mid f(1))$ .

See Solution

Problem 6981

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion $f(x)=(x^{2}-x) \cdot \cos (2x)$ mithilfe der Produkt- und Kettenregel.

See Solution

Problem 6982

A farmer has 40 feet of fence for three sides of a rectangle against a barn. Find the dimensions for maximum area.

See Solution

Problem 6983

Aufgabe: Bestimmen Sie die Ableitung von $f(x)=\left(x^{2}-x\right) \cdot \cos (2 x)$ .

See Solution

Problem 6984

Bestimmen Sie $x_{0} \in \mathbb{R}$ , wo $f$ nicht definiert ist, und untersuchen Sie $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)$ für: a) $f(x)=\frac{-2 x^{2}+4 x+6}{x+1}$ b) $f(x)=\frac{3 x^{2}-9 x-30}{5-x}$ c) $f(x)=\frac{x^{4}-3 x^{2}+0,5 x}{2 x^{2}}$

See Solution

Problem 6985

Bestimme die Tangentengleichung der Funktion $f(x)=-x^{3}+8 x$ am Punkt $B(1, f(1))$ .

See Solution

Problem 6986

Bestimmen Sie die Ableitung von $f(x)=x^{2} \cdot \sin (3 x+8)$ mit der Produkt- und Kettenregel. Geben Sie $f^{\prime}(x)$ an.

See Solution

Problem 6987

Find the Taylor series of $(t)(x)=\frac{1}{x^{2}}$ at $x=-1$ up to the cubic term. Choose the correct option: (A) $1+2 \frac{x+2}{1!}-3 \frac{(x+1)^{2}}{2!}+\cdots$ (B) $2+\frac{1}{2} \frac{x}{1!}+\frac{1}{2} \frac{x^{2}}{2!}+\ldots$ (C) $1+2(x+1)+3(x+1)^{2}+\ldots$ (D) $1+2(x+1)+6(x+1)^{2}+\ldots$

See Solution

Problem 6988

Find the derivative of the function $f(w)=\sin \left[\cos ^{-1}(2 w)\right]$ .

See Solution

Problem 6989

A farmer uses a barn wall and 40 feet of fence to create a rectangle. What dimensions maximize the area?

See Solution

Problem 6990

Use implicit differentiation on $6 \sqrt{x}-5 \sqrt{y}=7$ and find the slope at the point $(4,1)$ .

See Solution

Problem 6991

Find $\frac{d y}{d x}$ using implicit differentiation for the equation $4 x^{2} y + 3 x y^{2} = -6$ .

See Solution

Problem 6992

Find the derivative $\frac{d y}{d x}$ for the curve $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$ and the tangent line at $\left(\frac{1}{2}, \frac{3}{4} \sqrt{15}\right)$ .

See Solution

Problem 6993

Determine the age of a wooden artifact with 40% carbon-14 remaining, given its half-life is 5730 years.

See Solution

Problem 6994

Find the derivatives of the curve $2 x^{2}+3 x+x y=9$ : (a) Calculate $\frac{d y}{d x}$ . (b) Express $\frac{d y}{d x}$ in terms of $x$ . (c) Determine $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ in terms of $x$ .

See Solution

Problem 6995

Find $\frac{d y}{d x}$ using implicit differentiation for $\cos(y^{3}) + 5 = x$ .

See Solution

Problem 6996

Find $\frac{d y}{d x}$ using implicit differentiation for $\cos(y^{3}) + 5 = x$ .

See Solution

Problem 6997

A boat is pulled to a dock by a rope $8$ ft above it, pulled in at $3$ ft/sec. How fast is it approaching when $10$ ft of rope is out?

See Solution

Problem 6998

A dinghy is pulled to a dock by a rope $8 \mathrm{ft}$ high. The rope is pulled in at $3 \mathrm{ft/sec}$ . Find: a. Speed of the boat when $10 \mathrm{ft}$ of rope is out? b. Rate of change of angle $\theta$ at that moment?

See Solution

Problem 6999

A dinghy is pulled to a dock by a rope through a ring $8 \mathrm{ft}$ high. The rope is pulled in at $3 \mathrm{ft/sec}$ .
a. How fast is the boat approaching when $10 \mathrm{ft}$ of rope is out? $5 \mathrm{ft/sec}$ .
b. What is the rate of change of the angle $\theta$ at this moment? $\mathrm{rad/sec}$ .

See Solution

Problem 7000

Find the tangent line equation for $f(x)=4-\ln x$ at $x=1$ .

See Solution

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337

Calculus

Problem 6901

Bestimme die Stammfunktion von f(x)=x(5−x)(x−16)12f(x)=\frac{x(5-x)(x-16)}{12}f(x)=12x(5−x)(x−16)​.

Problem 6902

Berechne die Obersumme von f(x)=x2f(x)=x^{2}f(x)=x2 im Intervall [0,1][0, 1][0,1] mit 8 Rechtecken.

Problem 6903

Bestimmen Sie die erste Ableitung f′f^{\prime}f′ für die Funktionen: a. f(x)=14x4−x+1f(x)=\frac{1}{4} x^{4}-x+1f(x)=41​x4−x+1, b. f(x)=34x2f(x)=\frac{3}{4 x^{2}}f(x)=4x23​, c. f(x)=(x−2)2f(x)=(x-2)^{2}f(x)=(x−2)2, d. f(x)=4x⋅2xf(x)=4 x \cdot 2 \sqrt{x}f(x)=4x⋅2x​.

Problem 6904

Berechnen Sie den Differenzenquotienten der Funktion f(x)=1x+2f(x)=\frac{1}{x}+2f(x)=x1​+2 in den Intervallen: a) [0,1;1][0,1 ; 1][0,1;1], b) [2;12][2 ; 12][2;12], c) [0,01;0,02][0,01 ; 0,02][0,01;0,02], d) [100;1000][100 ; 1000][100;1000].

Problem 6905

Berechne die Obersumme von f(x)=x2f(x)=x^{2}f(x)=x2 im Intervall [0,1][0, 1][0,1] mit 16 Rechtecken. Was ist die Höhe jedes Rechtecks?

Problem 6906

Gegeben ist die Funktion h(x)=18x4−34x3+32x2h(x)=\frac{1}{8} x^{4}-\frac{3}{4} x^{3}+\frac{3}{2} x^{2}h(x)=81​x4−43​x3+23​x2. Untersuche hhh auf Nullstellen, Extremstellen, Wendepunkte und Änderungsraten.

Problem 6907

Skizzieren Sie den Graphen von f(x)=x2⋅ex+1f(x)=x^{2} \cdot e^{x+1}f(x)=x2⋅ex+1 und untersuchen Sie lokale Extrema. Wertetabelle erstellen.

Problem 6908

Bestimmen Sie Minimum, Infimum, Maximum und Supremum der Folgen: i. an=1na_{n} = \frac{1}{n}an​=n1​ ii. bn=3+(−1)n⋅1nb_{n} = 3 + (-1)^{n} \cdot \frac{1}{n}bn​=3+(−1)n⋅n1​ iii. cn=max⁡(0,13n−1)c_{n} = \max(0, 13n - 1)cn​=max(0,13n−1)

Problem 6909

Bestimmen Sie den Differenzenquotienten der Funktion f(x)=1x+2f(x)=\frac{1}{x}+2f(x)=x1​+2 in den Intervallen: a) [0,1;1][0,1 ; 1][0,1;1], b) [2;12][2 ; 12][2;12], c) [0,01;0,02][0,01 ; 0,02][0,01;0,02], d) [100;1000][100 ; 1000][100;1000].

Problem 6910

Bestimme, wo die lokale Änderungsrate von f(x)f(x)f(x) negativ oder positiv ist. Skizziere f′f'f′ und erkläre lokale Extrempunkte.

Problem 6911

Bestimme die erste Ableitung f′f^{\prime}f′ für die folgenden Funktionen: a. f(x)=14x4−x+1f(x)=\frac{1}{4} x^{4}-x+1f(x)=41​x4−x+1, b. f(x)=34x2f(x)=\frac{3}{4 x^{2}}f(x)=4x23​, c. f(x)=(x−2)2f(x)=(x-2)^{2}f(x)=(x−2)2, d. f(x)=4x⋅2xf(x)=4 x \cdot 2 \sqrt{x}f(x)=4x⋅2x​.

Problem 6912

Gegeben ist die Funktion f(x)=2,25−x2f(x)=2,25-x^{2}f(x)=2,25−x2. Finde die Nullstellen, die Ableitung f′f'f′ und zeichne beide Graphen im Intervall I=[−3;3]I=[-3; 3]I=[−3;3].

Problem 6913

Untersuchen Sie die Änderungsrate der Funktion f(x)=13x3−3,5x2+10xf(x)=\frac{1}{3} x^{3}-3,5 x^{2}+10 xf(x)=31​x3−3,5x2+10x und skizzieren Sie f′f^{\prime}f′.

Problem 6914

Ein ICE beschleunigt mit s(t)=0,7t2s(t)=0,7 t^{2}s(t)=0,7t2. Berechne: a) Weg in 20 s und mittlere Geschwindigkeit, b) mittlere Geschwindigkeit in [19;20][19; 20][19;20], c) in [19,99;20][19,99; 20][19,99;20], d) Zeit für 300 km/h300 \mathrm{~km/h}300 km/h.

Problem 6915

Problem 6916

Bestimmen Sie die Ableitungen der Funktionen: a. f(x)=14x4−x+1f(x)=\frac{1}{4} x^{4}-x+1f(x)=41​x4−x+1 b. f(x)=34x2f(x)=\frac{3}{4 x^{2}}f(x)=4x23​ c. f(x)=(x−2)2f(x)=(x-2)^{2}f(x)=(x−2)2 d. f(x)=4x⋅2xf(x)=4 x \cdot 2 \sqrt{x}f(x)=4x⋅2x​

Problem 6917

Skizzieren Sie die Graphen von f(x)=12xf(x)=\frac{1}{2} xf(x)=21​x und g(x)=−14x2+xg(x)=-\frac{1}{4} x^{2}+xg(x)=−41​x2+x für 0≤x≤20 \leq x \leq 20≤x≤2. Bestimmen Sie die lokalen Steigungen bei x=1x=1x=1 und die mittleren Steigungen im Intervall [0;2][0 ; 2][0;2].

Problem 6918

Graphen von f(x)=12xf(x)=\frac{1}{2} xf(x)=21​x und g(x)=−14x2+xg(x)=-\frac{1}{4} x^{2}+xg(x)=−41​x2+x skizzieren und lokale sowie mittlere Steigungen bestimmen.

Problem 6919

Bestimmen Sie die Fläche unter der Kurve F(x)=e0.5−xF(x) = e^{0.5-x}F(x)=e0.5−x im Intervall [0.5,2][0.5, 2][0.5,2].

Problem 6920

Gegeben die Funktion f(x)=e−2⋅xf(x)=e^{-2 \cdot x}f(x)=e−2⋅x. Bestimme die Steigung β\betaβ bei x=2x=2x=2, wo fff die Steigung -1 hat und den Schnittwinkel mit der yyy-Achse.

Problem 6921

Bestimmen Sie die Ableitung von f(x)=22x+5f(x)=\frac{2}{2 x+5}f(x)=2x+52​ unter Verwendung der Kettenregel.

Problem 6922

Bestimme die Ableitung von f(x)=2cos⁡(x2)f(x)=2 \cos \left(x^{2}\right)f(x)=2cos(x2).

Problem 6923

Find the derivative of the function y=5ln⁡(ln⁡(6x))y=5 \ln (\ln (6 x))y=5ln(ln(6x)).

Problem 6924

Find the limit of 3−(1x2)−5x+(7x2)\frac{3-\left(\frac{1}{x^{2}}\right)}{-\frac{5}{x}+\left(\frac{7}{x^{2}}\right)}−x5​+(x27​)3−(x21​)​ as x→∞x \to \inftyx→∞ and x→−∞x \to -\inftyx→−∞.

Problem 6925

Find the limit as xxx approaches 0 from the left of −1x-\frac{1}{x}−x1​.

Problem 6926

Find the interval(s) where f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x}f(x)=x1​ is decreasing. Choose A for intervals or B if none exist.

Problem 6927

Find the tangent line equation for f(x)=π9x+8f(x)=\pi^{9 x+8}f(x)=π9x+8 at x=1x=1x=1.

Problem 6928

Determine the intervals where the function f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x}f(x)=x1​ is increasing, decreasing, or constant.

Problem 6929

Find the derivative dydt\frac{d y}{d t}dtdy​ for the equation: 9x3−6xy+7y3=79 x^{3}-6 x y+7 y^{3}=79x3−6xy+7y3=7.

Problem 6930

Problem 6931

Find the intervals where the revenue function R(x)=35x−0.025x2R(x)=35x-0.025x^2R(x)=35x−0.025x2 is increasing and decreasing for 0≤x≤11000 \leq x \leq 11000≤x≤1100.

Problem 6932

Find the limit: lim⁡x→−∞2+4x−90x2−3x4\lim _{x \rightarrow-\infty} 2 + 4x - 90x^{2} - 3x^{4}limx→−∞​2+4x−90x2−3x4.

Problem 6933

Find the derivative of h(x)=(−9x−3+5x+6)32h(x)=\left(-9 x^{-3}+5 x+6\right)^{\frac{3}{2}}h(x)=(−9x−3+5x+6)23​ using positive, negative, and fractional exponents.

Problem 6934

Find the derivative of the function y=7x2+94y=\sqrt[4]{7 x^{2}+9}y=47x2+9​ using positive, negative, and fractional exponents.

Problem 6935

Find dydx\frac{d y}{d x}dxdy​ at x=3x=3x=3 for y=9u3−9u+3y=9 u^{3}-9 u+3y=9u3−9u+3, where u=9x2−8x+1u=9 x^{2}-8 x+1u=9x2−8x+1.

Problem 6936

Find xxx that minimizes the average cost C(x)=58320+1.6x+20x2C(x)=58320+1.6x+20x^{2}C(x)=58320+1.6x+20x2 for 1≤x≤2531 \leq x \leq 2531≤x≤253.

Problem 6937

Find the derivative of the function f(x)=x6xf(x) = x^{6x}f(x)=x6x.

Problem 6938

Find the limit: lim⁡x→2−1(x−2)2\lim _{x \rightarrow 2} \frac{-1}{(x-2)^{2}}limx→2​(x−2)2−1​.

Problem 6939

Find the derivative of the function f(x)=x6xf(x)=x^{6 x}f(x)=x6x.

Problem 6940

Find the derivative dydx\frac{d y}{d x}dxdy​ for the equation: 2x2y2=22 x^{2} y^{2}=22x2y2=2.

Problem 6941

Bestimme die Stammfunktion von $f(x)=\frac{x(5-x)(x-16)}{12}$ .

Berechne die Obersumme von $f(x)=x^{2}$ im Intervall $[0, 1]$ mit 8 Rechtecken.

Bestimmen Sie die erste Ableitung $f^{\prime}$ für die Funktionen: a. $f(x)=\frac{1}{4} x^{4}-x+1$ , b. $f(x)=\frac{3}{4 x^{2}}$ , c. $f(x)=(x-2)^{2}$ , d. $f(x)=4 x \cdot 2 \sqrt{x}$ .

Berechnen Sie den Differenzenquotienten der Funktion $f(x)=\frac{1}{x}+2$ in den Intervallen: a) $[0,1 ; 1]$ , b) $[2 ; 12]$ , c) $[0,01 ; 0,02]$ , d) $[100 ; 1000]$ .

Berechne die Obersumme von $f(x)=x^{2}$ im Intervall $[0, 1]$ mit 16 Rechtecken. Was ist die Höhe jedes Rechtecks?

Gegeben ist die Funktion $h(x)=\frac{1}{8} x^{4}-\frac{3}{4} x^{3}+\frac{3}{2} x^{2}$ . Untersuche $h$ auf Nullstellen, Extremstellen, Wendepunkte und Änderungsraten.

Skizzieren Sie den Graphen von $f(x)=x^{2} \cdot e^{x+1}$ und untersuchen Sie lokale Extrema. Wertetabelle erstellen.

Bestimmen Sie Minimum, Infimum, Maximum und Supremum der Folgen: i. $a_{n} = \frac{1}{n}$ ii. $b_{n} = 3 + (-1)^{n} \cdot \frac{1}{n}$ iii. $c_{n} = \max(0, 13n - 1)$

Bestimmen Sie den Differenzenquotienten der Funktion $f(x)=\frac{1}{x}+2$ in den Intervallen: a) $[0,1 ; 1]$ , b) $[2 ; 12]$ , c) $[0,01 ; 0,02]$ , d) $[100 ; 1000]$ .

Bestimme, wo die lokale Änderungsrate von $f(x)$ negativ oder positiv ist. Skizziere $f'$ und erkläre lokale Extrempunkte.

Bestimme die erste Ableitung $f^{\prime}$ für die folgenden Funktionen: a. $f(x)=\frac{1}{4} x^{4}-x+1$ , b. $f(x)=\frac{3}{4 x^{2}}$ , c. $f(x)=(x-2)^{2}$ , d. $f(x)=4 x \cdot 2 \sqrt{x}$ .

Gegeben ist die Funktion $f(x)=2,25-x^{2}$ . Finde die Nullstellen, die Ableitung $f'$ und zeichne beide Graphen im Intervall $I=[-3; 3]$ .

Untersuchen Sie die Änderungsrate der Funktion $f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-3,5 x^{2}+10 x$ und skizzieren Sie $f^{\prime}$ .

Ein ICE beschleunigt mit $s(t)=0,7 t^{2}$ . Berechne: a) Weg in 20 s und mittlere Geschwindigkeit, b) mittlere Geschwindigkeit in $[19; 20]$ , c) in $[19,99; 20]$ , d) Zeit für $300 \mathrm{~km/h}$ .

Bestimmen Sie die Ableitungen der Funktionen: a. $f(x)=\frac{1}{4} x^{4}-x+1$ b. $f(x)=\frac{3}{4 x^{2}}$ c. $f(x)=(x-2)^{2}$ d. $f(x)=4 x \cdot 2 \sqrt{x}$

Skizzieren Sie die Graphen von $f(x)=\frac{1}{2} x$ und $g(x)=-\frac{1}{4} x^{2}+x$ für $0 \leq x \leq 2$ . Bestimmen Sie die lokalen Steigungen bei $x=1$ und die mittleren Steigungen im Intervall $[0 ; 2]$ .

Graphen von $f(x)=\frac{1}{2} x$ und $g(x)=-\frac{1}{4} x^{2}+x$ skizzieren und lokale sowie mittlere Steigungen bestimmen.

Bestimmen Sie die Fläche unter der Kurve $F(x) = e^{0.5-x}$ im Intervall $[0.5, 2]$ .

Gegeben die Funktion $f(x)=e^{-2 \cdot x}$ . Bestimme die Steigung $\beta$ bei $x=2$ , wo $f$ die Steigung -1 hat und den Schnittwinkel mit der $y$ -Achse.

Bestimmen Sie die Ableitung von $f(x)=\frac{2}{2 x+5}$ unter Verwendung der Kettenregel.

Bestimme die Ableitung von $f(x)=2 \cos \left(x^{2}\right)$ .

Find the derivative of the function $y=5 \ln (\ln (6 x))$ .

Find the limit of $\frac{3-\left(\frac{1}{x^{2}}\right)}{-\frac{5}{x}+\left(\frac{7}{x^{2}}\right)}$ as $x \to \infty$ and $x \to -\infty$ .

Find the limit as $x$ approaches 0 from the left of $-\frac{1}{x}$ .

Find the interval(s) where $f(x)=\frac{1}{x}$ is decreasing. Choose A for intervals or B if none exist.

Find the tangent line equation for $f(x)=\pi^{9 x+8}$ at $x=1$ .

Determine the intervals where the function $f(x)=\frac{1}{x}$ is increasing, decreasing, or constant.

Find the derivative $\frac{d y}{d t}$ for the equation: $9 x^{3}-6 x y+7 y^{3}=7$ .

Find the intervals where the revenue function $R(x)=35x-0.025x^2$ is increasing and decreasing for $0 \leq x \leq 1100$ .

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow-\infty} 2 + 4x - 90x^{2} - 3x^{4}$ .

Find the derivative of $h(x)=\left(-9 x^{-3}+5 x+6\right)^{\frac{3}{2}}$ using positive, negative, and fractional exponents.

Find the derivative of the function $y=\sqrt[4]{7 x^{2}+9}$ using positive, negative, and fractional exponents.

Find $\frac{d y}{d x}$ at $x=3$ for $y=9 u^{3}-9 u+3$ , where $u=9 x^{2}-8 x+1$ .

Find $x$ that minimizes the average cost $C(x)=58320+1.6x+20x^{2}$ for $1 \leq x \leq 253$ .

Find the derivative of the function $f(x) = x^{6x}$ .

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{-1}{(x-2)^{2}}$ .

Find the derivative of the function $f(x)=x^{6 x}$ .

Find the derivative $\frac{d y}{d x}$ for the equation: $2 x^{2} y^{2}=2$ .

Find the intervals where the revenue $R(x)=35x-0.025x^{2}$ is increasing and decreasing for $0 \leq x \leq 1100$ .

Find the population growth rate in thousands after 15 years given $P(t)=(0.5 t-8)(0.1 t+2)+45$ . Round to two decimal places.

Find the marginal revenue for the demand function $D(x)=\frac{149}{5x+2}$ at $x=5$ . Round to the nearest cent.

Find the absolute extrema of $f(x)=4 x^{3}-12 x$ on $[-5,7]$ . Provide your answer as an ordered pair $(x, f(x))$ .

Find values of $x$ for horizontal tangents of $f(x)=-x^{2}-4x+1$ . Choose "None" if there are no such values.

Find the slope of the tangent line for the equation $3 x^{3}-4 y^{2}=-12$ at the point $(2,3)$ .

Prove by induction that $\frac{d^{n}\left(x^{m}\right)}{d x^{n}}=\frac{m !}{(m-n) !} x^{m-n}$ for $m \geqslant n$ .

Expand $f(x, y)=e^{x^{2} y} \sin(3y)$ using Taylor series and find the coefficient of the $x^{4} y^{5}$ term.

Find the absolute extrema of $f(x)=-3x-\frac{00}{x}$ on $[15,19]$ . Provide $(x, f(x))$ rounded to 3 decimal places.

Find the critical values of the function $f(x)=\frac{100 x^{2}-49}{x}$ . List multiple answers separated by commas.

Find the derivative of $g(t)=\left(9-\frac{8}{t^{2}}\right)\left(t^{4}+2 t^{2}-7\right)$ using Product or Quotient Rule.

Find local extrema of the function $f(x)=\frac{100 x^{2}-49}{x}$ using the First Derivative Test. Provide ordered pairs.

Berechne die Fläche unter der Kurve $f(x)=-1,2 x^{2}+4,8$ von 0 bis 2 und den Flächeninhalt des Turms.

Find the rate of change of the angle of elevation $\frac{d \theta}{d x}$ for a 240 ft building when the shadow is 276 ft long. Round to 3 decimal places.

Find the rate of change of the angle of elevation $\frac{d \theta}{d x}$ for a 240 ft tall building when $x=276$ ft. Round to 3 decimal places.

Find the logarithmic derivative of $y=\frac{x^{2 x}(x-1)^{3}}{(3+5 x)^{4}}$ .

Find the difference quotient for $f(x)=6-x^{2}$ using $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ .

Find the logarithmic derivative of $y=x^{e^{x}}$ .

A welder drops hot steel at 2,500°F. Use $f(t)=2420 e^{kt}+80$ to find $k$ (after 2 mins at 1,500°F) and time to reach 100°F.

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow-\infty}(\sqrt[3]{3 x-4}+x)$ .

Find $f(9.2)$ for the function $f(x)=e^{x}$ and round to the nearest hundredth.

Calculate the limit: $\lim _{x \rightarrow+\infty}(\sqrt{2 x+4}-\sqrt{2 x+2})$ .

Find the derivative of $f(x)=x^{3 x^{2}}$ .

Find the limit as $x$ approaches 1 from the left for the expression $\frac{-3 x+2}{2 x-2}$ .

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{\sqrt{2 x+2}-2}{x^{2}-x}$

Differentiate $x^{2}+y^{2}=10$ implicitly to find $\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}$ and the slope at (1,-3).

Find $\frac{d y}{d x}$ using implicit differentiation for $\sin (y) + \cos (x) = y$ .

Bestimmen Sie die Ableitung von $f(x) = 8x^2 \cdot \sin(x)$ mit der Produktregel und geben Sie $f'(x)$ an.

Füllen Sie die Tabelle für $f(x)$ , $u(x)$ , $v(x)$ , $u^{\prime}(x)$ , $v^{\prime}(x)$ und $f^{\prime}(x)$ aus.

Find the maximum volume of an open-top box from a $10 \mathrm{in} \times 12 \mathrm{in}$ paper using $V(x)=x(10-2x)(12-2x)$ . Round to one decimal place.