Calculus

Problem 20601

Gegeben ist die Funktion $f: x \mapsto -e^x$ . Bestimmen Sie die Tangentengleichung an der y-Achse und die senkrechte Gerade. Berechnen Sie die Fläche.

See Solution

Problem 20602

In Poisson regression with PMF $p(y \mid \lambda)=\frac{\lambda^{y}}{y !} e^{-\lambda}$ , derive the loss $\ell_{i}(\beta)$ and its gradient.

See Solution

Problem 20603

Soit la fonction $f(x)=x \cdot e^{-x}$ , calculez les limites, dérivée, variations, convexité, tangente en 0, et la solution de $f(x)=-1$ .

See Solution

Problem 20604

Färben Sie Kästchen mit derselben Farbe ein, wenn die Funktion $f$ dieselbe Ableitung hat.

See Solution

Problem 20605

Ein Motorradfahrer stürzt bei einer Kurve. Liegt der Wendepunkt $W$ innerhalb der Auffangbarriere zwischen A(2|1) und B(2|2)?

See Solution

Problem 20606

Étudiez la fonction $f(x)=x \cdot e^{-x}$ : limites, dérivée, variations, convexité, tangente en 0 et position relative.

See Solution

Problem 20607

The mass of a radioactive isotope is given by $m(t)=3 e^{-0.3 t}$ . Find: a) initial mass, b) mass after 20 hrs, c) half-life (1 dp).

See Solution

Problem 20608

Gegeben ist $f(x)=-x^{2}+2x$ .
a) Finde $f'(x_0)$ mit der h-Methode.
b) Bestimme die Tangentengleichungen für $x=\frac{1}{2}$ und $x=2$ und deren Neigungswinkel zur $x$ -Achse.
c) Finde den Schnittpunkt der Tangenten und den Winkel, unter dem sie sich schneiden.

See Solution

Problem 20609

Berechne die ersten beiden Ableitungen von $f(x)=2 e^{x}$ , $f(x)=-\frac{1}{2} e^{x}$ , $f(x)=e^{-2x}$ und $f(x)=-\frac{1}{e^{x}}$ . Untersuche Monotonie, Extrem- und Wendestellen sowie Krümmungsverhalten.

See Solution

Problem 20610

Trouvez les dérivées des fonctions suivantes sur l'intervalle donné :
1. $f(x)=\sqrt{x^{2}+x+1} \quad I=\mathbb{R}$
2. $f(x)=\frac{3 x-5}{x^{2}+1} \quad I=\mathbb{R}$
3. $f(x)=3(4 x+1)^{5} \quad I=\mathbb{R}$
4. $f(x)=\frac{5}{\left(x^{2}+4\right)^{3}} \quad I=\mathbb{R}$
5. $f(x)=\sqrt{2} x^{2}+e x-\frac{3}{x} \quad I=\mathbb{R}^{*}$

See Solution

Problem 20611

Bestimmen Sie die Ableitung von $f(x)=x^{4}+x^{3}$ .

See Solution

Problem 20612

Find the derivative of the function $f(x)=x^{4}+x^{3}$ . What is $f^{\prime}(x)$ ?

See Solution

Problem 20613

Find the second derivative of these functions: a) $f(x)=3x^{2}$ , b) $f(x)=5x^{3}$ , c) $f(x)=\frac{1}{2}x^{4}$ , d) $f(x)=-2x^{7}$ , e) $f(x)=\frac{1}{2}x^{-2}$ , f) $f(x)=-5x^{-3}$ .

See Solution

Problem 20614

Bestimmen Sie die Ableitung von $f(x)=x^{100}+3x^{7}+\frac{1}{2}x$ .

See Solution

Problem 20615

Untersuchen Sie $f(x)=\frac{x^{2}-x}{3 x^{2}}$ und $f(x)=\frac{3-x^{3}}{x^{3}}$ für $x \rightarrow \infty$ und $x \rightarrow -\infty$ .

See Solution

Problem 20616

Untersuchen Sie das Verhalten von $f(x)=\frac{3-x^{3}}{x^{3}}$ für $x \rightarrow \infty$ und $x \rightarrow -\infty$ .

See Solution

Problem 20617

Find the derivative of the function $f(x)=101 x^{3}+3.5 x^{5}$ . What is $f^{\prime}(x)$ ?

See Solution

Problem 20618

Find the derivative of $f(x)=x^{3}+a^{3}$ .

See Solution

Problem 20619

Untersuchen Sie die Funktion $f(x)=\frac{1}{4} x^{4}+x^{3}$ : Schnittpunkte, Ableitungen, Monotonie, Extrem- und Wendepunkte, Tangente und Wendetangente.

See Solution

Problem 20620

Zeigen Sie, dass für $f(x) = x - x^3$ die Gleichung $\int_{-1}^{1} f(x) dx = 0$ gilt.

See Solution

Problem 20621

A 50 kg child and a 2 kg seat slide down a frictionless slope from 7 m. With a friction coefficient of 0.30, how far do they slide?

See Solution

Problem 20622

Bestimme die Konzentration $c(t)=t^{3}-17 t^{2}+63 t+81$ eines Schmerzmedikaments für $-1 \leq t \leq 9$ .

See Solution

Problem 20623

Berechne die Steigung von $f$ an $x_0$ mit der $h$ -Methode für $f(x)=x^{2}$ und $x_{0}=1$ .

See Solution

Problem 20624

Bestimme die Ableitung von $f(x)=x^{s-1}$ . Was ist $f^{\prime}(x)$ ?

See Solution

Problem 20625

Find the limit of the difference quotient for $f(x) = 3$ at $x = 3$ : $\lim_{{h \to 0}} \frac{f(3+h)-f(3)}{h}$ .

See Solution

Problem 20626

Bestimme die Integrale: a) $\int_{0}^{2} (x^{3}-6 x^{2}+5 x+2) \, dx$ b) $\int_{-4}^{4} (x^{3}-x) \, dx$

See Solution

Problem 20627

Berechne die zweite Ableitung für die Funktionen: a) $f(x)=3 x^{2}$ , b) $f(x)=5 x^{3}$ , c) $f(x)=\frac{1}{2} x^{4}$ , d) $f(x)=-2 x^{7}$ , e) $f(x)=\frac{1}{2} x^{-2}$ , f) $f(x)=-5 x^{-3}$ , g) $f(x)=-0,2 x^{5}$ , h) $f(x)=4 x^{\frac{1}{2}}$ .

See Solution

Problem 20628

Gegeben ist die Funktion $f(x)=x^{3}-6 x^{2}+11 x-6$ . a) Zeigen Sie, dass der Wendepunkt auf $y=x-2$ liegt. b) Bestimmen Sie die Gleichung von $h$ , wenn (2/0) nach (3/2) verschoben wird.

See Solution

Problem 20629

Berechnen Sie die Steigung von $f(x)=x^{3}$ an der Stelle $x_{0}=2$ mit der $h$ -Methode.

See Solution

Problem 20630

Luftvolumen der Lunge:
a) Berechne $f(6)$ für $f(t)=-\frac{5}{\pi} \cos \left(\frac{2}{5} \pi \cdot t\right)+\frac{5}{\pi}$ .
b) Finde max. und min. Volumen mit Zeitpunkten.
c) Bestimme die Änderungsrate und zeichne den Graphen.
d) Finde Zeitpunkte für schnellstes Ein- und Ausatmen.
e) Berechne das mittlere Volumen zwischen 1 und 7 Sekunden.
f) Finde eine Funktionsgleichung für ein anderes Lungenvolumen zwischen 0,25 und 2,75 Litern.

See Solution

Problem 20631

1. Найдите производные: a) $2 x^{3}-\frac{1}{x^{2}}$ б) $(4-3 x)^{6}$ в) $e^{\mathrm{x}} \cdot \sin \mathrm{x}$ г) $\frac{3^{x}}{\cos x}$
2. Найдите производную функции $f(x)=2-\frac{1}{\sqrt{x}}$ в $x_0=\frac{1}{4}$ .
3. Запишите уравнение касательной к $f(x)=4x-\sin x+1$ в $x_0=0$ .

See Solution

Problem 20632

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=x-x^{3}$ . Zeigen Sie, dass $\int(x) d x=0$ .

See Solution

Problem 20633

Berechnen Sie die lokale Änderungsrate von $f(x)=0,5 x^{2}$ an der Stelle $x_{0}=2$ mit Grenzwertrechnung.

See Solution

Problem 20634

Berechne die Steigung von $f$ an $x_0$ mit der $h$ -Methode für: a) $f(x)=x^{2}, x_{0}=1$ b) $f(x)=2 x^{2}, x_{0}=-1$ c) $f(x)=x^{3}, x_{0}=2$ d) $f(x)=2 x, x_{0}$

See Solution

Problem 20635

Berechne das Luftvolumen $f(6)$ , finde max. und min. Volumen mit Zeiten, und bestimme die Änderungsrate der Funktion $f(t)$ .

See Solution

Problem 20636

Solve the equation $y' - (\ln 2) y - \ln 8 = 0$ with the solution $y = 2^{x+2}$ .

See Solution

Problem 20637

Solve the differential equation: $y^{\prime}-(\ln 2) y-\ln 8=0$ .

See Solution

Problem 20638

Find $u'(1)$ for $u(x)=\frac{\tan \pi x}{g(x)}$ , given $g(1)=3$ and $g'(1)=-3$ .

See Solution

Problem 20639

Bestimmen Sie das Integral von $-(x-2)^{2}+1$ .

See Solution

Problem 20640

Berechnen Sie die Steigung von $f(x)=2x$ an der Stelle $x_0=1$ mit der $h$ -Methode.

See Solution

Problem 20641

Berechnen Sie die Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$ -Achse für die Funktionen a) bis f).

See Solution

Problem 20642

Berechnen Sie die Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$ -Achse für die folgenden Funktionen: a) $f(x)=0.5 x^{2}-3 x$ b) $f(x)=(x-1)^{2}-1$ c) $f(x)=x^{4}-4 x^{2}$

See Solution

Problem 20643

Sketch the area for $\int_{0}^{2}\left(\frac{x}{3}+\sqrt{4-x^{2}}\right) d x$ and evaluate it as an area.

See Solution

Problem 20644

Berechnen Sie die Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$ -Achse für die folgenden Funktionen: a) $f(x)=0,5 x^{2}-3 x$ , b) $f(x)=(x-1)^{2}-1$ , c) $f(x)=x^{4}-4 x^{2}$ , d) $f(x)=-4\left(x^{2}-1\right)$ , e) $f(x)=2 x^{3}-6 x^{2}+4 x$ , f) $f(x)=-0,5 x^{2}-2 x$ .

See Solution

Problem 20645

Evaluate the integral $\int_{0}^{2}\left(5-x^{2}+2 x^{3}\right) d x$ .

See Solution

Problem 20646

Define $\Delta x$ and $x_{i}$ for $\int_{0}^{2}(5-x^{2}+2x^{3})dx$ , then set up and solve the limit of the Riemann sum.

See Solution

Problem 20647

Differentiate $y=\left(\sec^{2}(x^{2})\right)^{7}$ with respect to $x$ .

See Solution

Problem 20648

Find the limit as $x$ approaches infinity: $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 x-4 x^{2}+5 x^{3}}{7-2 x-x^{3}}$ . Options: A. $\frac{3}{2}$ B. -5 C. $\infty$ D. 5

See Solution

Problem 20649

Zeigen Sie, dass $f(x)=\frac{3 x}{x^{2}+1}$ drei Wendepunkte hat. Berechnen Sie den Flächeninhalt $A$ zwischen der Ursprungsgerade und $f$ .

See Solution

Problem 20650

Find the derivative $g^{\prime}(2)$ for the function $g(x)=\frac{x-2}{x+2}$ .

See Solution

Problem 20651

Calculate the integral: $\int \frac{2}{z^{3}} dz$

See Solution

Problem 20652

Find $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ if $\frac{d y}{d x}=2 x y$ .

See Solution

Problem 20653

Evaluate the integral: $\int 2 t^{2}(t^{2}-3)^{2} dt$

See Solution

Problem 20654

Evaluate the integral $\int \sqrt[3]{(1-y)^{4}} \, dy$ .

See Solution

Problem 20655

Find $f^{\prime}(2)$ if $g(x)=x^{3}+x$ and $f(x)=g^{-1}(x)$ with $f(2)=1$ .

See Solution

Problem 20656

Find the integral of $(4 x)^{1/5}$ with respect to $x$ .

See Solution

Problem 20657

Find the derivative $\frac{dy}{dx}$ for the curve defined by $y^{3}-3 x y=2$ .

See Solution

Problem 20658

Find the derivative of the function $f(x)=\sqrt{x-6}$ using the definition of a derivative.

See Solution

Problem 20659

Find times $t$ in $0<t<90$ when Stephan changes direction, given $v(t)=2.38 e^{-0.02 t} \sin \left(\frac{\pi}{56} t\right)$ .

See Solution

Problem 20660

Determine the extrema of $f_a(x) = x^3 - 3ax^2$ given that $f_a'(x) = 3x(x - 2a) = 0$ .

See Solution

Problem 20661

Find the slope of the tangent line to the curve $2 x^{2}+1 x y-4 y^{3}=122$ at the point $(-2,-3)$ .

See Solution

Problem 20662

Given that $f^{\prime \prime}(x)$ is continuous and has an inflection point at $x=6$ , find $f^{\prime \prime}(2)$ , $f^{\prime \prime}(6)$ , $f^{\prime \prime}(14)$ . Is $y=f(x)$ concave up or down before and after $x=6$ ? What type of extremum is at $x=6$ ?

See Solution

Problem 20663

Find the local minimum and maximum of the function $f(x)=2 x^{3}-27 x^{2}+48 x+3$ .

See Solution

Problem 20664

Find the tangent line to the curve $x y^{3}+x y=2$ at $(1,1)$ in the form $y=m x+b$ . What are $m$ and $b$ ?

See Solution

Problem 20665

Show that if $y=\mathrm{e}^{\sin x}$ , then $\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}=y(1-\sin x-\sin ^{2} x)$ .

See Solution

Problem 20666

Find the first and second derivatives of $g(x)=6 x^{3}-27 x^{2}-180 x$ , then evaluate $g^{\prime \prime}(5)$ .

See Solution

Problem 20667

Given $f^{\prime \prime}(x)$ is continuous and has an inflection point at $x=6$ , suggest values for $f^{\prime \prime}(2)$ , $f^{\prime \prime}(6)$ , $f^{\prime \prime}(14)$ .

See Solution

Problem 20668

Find $\frac{d y}{d x}$ for the equation $-y^{2}=5 y-x^{2}-5 x^{3}$ at the point $(-1,-4)$ .

See Solution

Problem 20669

Berechnen Sie die Fläche zwischen $f(x)=0,5 x^{2}-4 x+3$ im Intervall $I(-6, -1)$ .

See Solution

Problem 20670

Find an equation to determine $b$ if the average rate of change of $f(x)=e^{2x}$ over $[1, b]$ is 20.

See Solution

Problem 20671

Daniel and Ella deposit \ $600 at$ 9\%$ continuous interest for 2 years. How much will they have for their trip?

See Solution

Problem 20672

Find intervals where the function $h$ is decreasing, given $h^{\prime}(x)=\frac{(x+3)}{x^{2}}$ . Options: (A) $x>0$ and $-3<x<0$ (B) $x<-3$ (C) $-3<x<0$ (D) $x<-3$ and $-3<x<0$ (E) Entire domain.

See Solution

Problem 20673

Find the intervals where the function $g$ is decreasing, given that $g^{\prime}(x)=\frac{x}{x+3}$ .

See Solution

Problem 20674

Find the value of $x$ where the tangent line to $f(x)=x^{4}+x^{3}-3 x^{2}-x-\cos(x^{2})$ has the greatest slope: (A) $x=-2$ (B) $x=-1$ (C) $x=0$ (D) $x=1$

See Solution

Problem 20675

Find $\frac{d y}{d t}$ for $y=2 x^{2}+x$ at $x=-2$ with $\frac{d x}{d t}=5$ .

See Solution

Problem 20676

Find how many values of $c$ in $(a, b)$ satisfy $\lim_{x \rightarrow c} \frac{f(x)-f(c)}{x-c}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ . Options: (A) Zero (B) Two (C) Three (D) Four.

See Solution

Problem 20677

Calculate the average rate of change for $f(x)=776(1.09)^{x}$ from $x=13$ to $x=24$ . Round to the nearest hundredth.

See Solution

Problem 20678

Berechne die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion $f(x)=x^{3}-3 x^{2}+2 x$ und der $x$ -Achse.

See Solution

Problem 20679

Find the function $f(x)$ given the slope $f^{\prime}(x)=e^{-x}+x^{3}$ and the point $(0,-5)$ .

See Solution

Problem 20680

Calculate the left Riemann sum $L_{n}$ for $\int_{3}^{7}(x^{2}+4) dx$ with $n=4$ .

See Solution

Problem 20681

Bestimmen Sie den Grenzwert von $\frac{f\left(\frac{1}{2} x^{2}+h\right)-\left(\frac{1}{2} x^{2}\right)}{h}$ für $h \to 0$ .

See Solution

Problem 20682

Calculate the integral $\int e^{-0.01 t}\left(e^{-0.14 t}+7\right) d t$ and verify by differentiation.

See Solution

Problem 20683

Calculate the left and right Riemann sums for $\int_{3}^{7}(x^{2}+4) dx$ with n=4.

See Solution

Problem 20684

Calculate the integral from 0 to 4 of $x^{2}$ with respect to $x$ : $\int_{0}^{4} x^{2} d x$ .

See Solution

Problem 20685

Find the limit: $\lim_{{h \to 0}} \frac{f(2x - 1 + h) - f(2x - 1)}{h}$ .

See Solution

Problem 20686

Calculate the left Riemann sum, $L_{n}$ , for the integral $\int_{3}^{6}(2 x^{3}-x) dx$ , with $n=6$ .

See Solution

Problem 20687

Berechnen Sie die Integrale: a) $\int_{0}^{4} x^{2} d x$ , b) $\int_{2}^{4} x^{2} d x$ , c) $\int_{-1}^{5} 2 x d x$ .

See Solution

Problem 20688

Calculate the integral of $\frac{(7+\ln x)^{5}}{x}$ with respect to $x$ .

See Solution

Problem 20689

Find the derivatives of: (1) $f(\theta)=\sin^{2} \theta \cos^{2} \theta$ , (2) $f(t)=3t \sin^{3}(2t-\pi)$ , (3) $y=x^{-1} \cos^{2} x$ .

See Solution

Problem 20690

Ein Stein sinkt mit $v(t)=2,5 \cdot(1-e^{-0,1 t})$ .
a) Finde $t$ für $v(t)=2 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ . b) Zeige, dass $v(t)$ stetig steigt. c) Erkläre $v(t+5)-v(t)=0,05$ . d) Finde $t$ für $\Delta v=0,13 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ . e) Bestimme $t$ für $a=2,6 \frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}^{2}}$ .

See Solution

Problem 20691

Ein Stein sinkt mit der Geschwindigkeit $v(t)=2,5 \cdot(1-e^{-0,1 t})$ .
c) Bestimme $v(t+5)-v(t)=0,05$ . d) Finde $t$ , wenn $v(t+1)-v(t)=0,13$ . e) Bestimme $t$ , wenn die Beschleunigung 2,6 $\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}^{2}}$ ist.

See Solution

Problem 20692

Determine the correct statement for the function $z=x^{0.25} y^{0.75}$ with positive $x$ and $y$ : a) iso- $x$ slope positive b) iso- $z$ slope negative c) all answers d) iso- $y$ slope decreasing.

See Solution

Problem 20693

What is the value of a \ $6,639 investment after 20 years at a 4% continuous compounding rate? Use$ e \approx 2.72$.

See Solution

Problem 20694

Write a Riemann sum formula for $f(x)=2 x^{2}$ on $[0,3]$ : $s_{n}=\square$

See Solution

Problem 20695

Find the second derivatives of $z=(x^{3}+2xy)(y-x^{2})$ at $x=2$ and $y=1$ . Round to two decimal places. (a) $\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}=$ (b) $\frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x}=$

See Solution

Problem 20696

Given $\lim _{x \rightarrow 6} f(x)=4$ , find these limits: (a) $\lim _{x \rightarrow 6} f(x)^{2}$ , (b) $\lim _{x \rightarrow 6} \frac{1}{f(x)}$ , (c) $\lim _{x \rightarrow 6} x \sqrt{f(x)}$ .

See Solution

Problem 20697

Calculate the average value of $f(t)=(t-7)^{2}$ over the interval $[0,12]$ .

See Solution

Problem 20698

Find the investment needed at $5\%$ continuous compounding to reach $5,505$ in 10 years. Round to 2 decimal places.

See Solution

Problem 20699

Find the population in 6 years using the model $P(t)=184,000 e^{-0.012 t}$ . Round to the nearest person.

See Solution

Problem 20700

Calculate the integral of $-\frac{7}{9} x$ .

See Solution

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337

Calculus

Problem 20601

Gegeben ist die Funktion f:x↦−exf: x \mapsto -e^xf:x↦−ex. Bestimmen Sie die Tangentengleichung an der y-Achse und die senkrechte Gerade. Berechnen Sie die Fläche.

Problem 20602

In Poisson regression with PMF p(y∣λ)=λyy!e−λp(y \mid \lambda)=\frac{\lambda^{y}}{y !} e^{-\lambda}p(y∣λ)=y!λy​e−λ, derive the loss ℓi(β)\ell_{i}(\beta)ℓi​(β) and its gradient.

Problem 20603

Soit la fonction f(x)=x⋅e−xf(x)=x \cdot e^{-x}f(x)=x⋅e−x, calculez les limites, dérivée, variations, convexité, tangente en 0, et la solution de f(x)=−1f(x)=-1f(x)=−1.

Problem 20604

Färben Sie Kästchen mit derselben Farbe ein, wenn die Funktion fff dieselbe Ableitung hat.

Problem 20605

Ein Motorradfahrer stürzt bei einer Kurve. Liegt der Wendepunkt WWW innerhalb der Auffangbarriere zwischen A(2|1) und B(2|2)?

Problem 20606

Étudiez la fonction f(x)=x⋅e−xf(x)=x \cdot e^{-x}f(x)=x⋅e−x : limites, dérivée, variations, convexité, tangente en 0 et position relative.

Problem 20607

The mass of a radioactive isotope is given by m(t)=3e−0.3tm(t)=3 e^{-0.3 t}m(t)=3e−0.3t. Find: a) initial mass, b) mass after 20 hrs, c) half-life (1 dp).

Problem 20608

Problem 20609

Berechne die ersten beiden Ableitungen von f(x)=2exf(x)=2 e^{x}f(x)=2ex, f(x)=−12exf(x)=-\frac{1}{2} e^{x}f(x)=−21​ex, f(x)=e−2xf(x)=e^{-2x}f(x)=e−2x und f(x)=−1exf(x)=-\frac{1}{e^{x}}f(x)=−ex1​. Untersuche Monotonie, Extrem- und Wendestellen sowie Krümmungsverhalten.

Problem 20610

Problem 20611

Bestimmen Sie die Ableitung von f(x)=x4+x3f(x)=x^{4}+x^{3}f(x)=x4+x3.

Problem 20612

Find the derivative of the function f(x)=x4+x3f(x)=x^{4}+x^{3}f(x)=x4+x3. What is f′(x)f^{\prime}(x)f′(x)?

Problem 20613

Find the second derivative of these functions: a) f(x)=3x2f(x)=3x^{2}f(x)=3x2, b) f(x)=5x3f(x)=5x^{3}f(x)=5x3, c) f(x)=12x4f(x)=\frac{1}{2}x^{4}f(x)=21​x4, d) f(x)=−2x7f(x)=-2x^{7}f(x)=−2x7, e) f(x)=12x−2f(x)=\frac{1}{2}x^{-2}f(x)=21​x−2, f) f(x)=−5x−3f(x)=-5x^{-3}f(x)=−5x−3.

Problem 20614

Bestimmen Sie die Ableitung von f(x)=x100+3x7+12xf(x)=x^{100}+3x^{7}+\frac{1}{2}xf(x)=x100+3x7+21​x.

Problem 20615

Untersuchen Sie f(x)=x2−x3x2f(x)=\frac{x^{2}-x}{3 x^{2}}f(x)=3x2x2−x​ und f(x)=3−x3x3f(x)=\frac{3-x^{3}}{x^{3}}f(x)=x33−x3​ für x→∞x \rightarrow \inftyx→∞ und x→−∞x \rightarrow -\inftyx→−∞.

Problem 20616

Untersuchen Sie das Verhalten von f(x)=3−x3x3f(x)=\frac{3-x^{3}}{x^{3}}f(x)=x33−x3​ für x→∞x \rightarrow \inftyx→∞ und x→−∞x \rightarrow -\inftyx→−∞.

Problem 20617

Find the derivative of the function f(x)=101x3+3.5x5f(x)=101 x^{3}+3.5 x^{5}f(x)=101x3+3.5x5. What is f′(x)f^{\prime}(x)f′(x)?

Problem 20618

Find the derivative of f(x)=x3+a3f(x)=x^{3}+a^{3}f(x)=x3+a3.

Problem 20619

Untersuchen Sie die Funktion f(x)=14x4+x3f(x)=\frac{1}{4} x^{4}+x^{3}f(x)=41​x4+x3: Schnittpunkte, Ableitungen, Monotonie, Extrem- und Wendepunkte, Tangente und Wendetangente.

Problem 20620

Zeigen Sie, dass für f(x)=x−x3f(x) = x - x^3f(x)=x−x3 die Gleichung ∫−11f(x)dx=0\int_{-1}^{1} f(x) dx = 0∫−11​f(x)dx=0 gilt.

Problem 20621

A 50 kg child and a 2 kg seat slide down a frictionless slope from 7 m. With a friction coefficient of 0.30, how far do they slide?

Problem 20622

Bestimme die Konzentration c(t)=t3−17t2+63t+81c(t)=t^{3}-17 t^{2}+63 t+81c(t)=t3−17t2+63t+81 eines Schmerzmedikaments für −1≤t≤9-1 \leq t \leq 9−1≤t≤9.

Problem 20623

Berechne die Steigung von fff an x0x_0x0​ mit der hhh-Methode für f(x)=x2f(x)=x^{2}f(x)=x2 und x0=1x_{0}=1x0​=1.

Problem 20624

Bestimme die Ableitung von f(x)=xs−1f(x)=x^{s-1}f(x)=xs−1. Was ist f′(x)f^{\prime}(x)f′(x)?

Problem 20625

Find the limit of the difference quotient for f(x)=3f(x) = 3f(x)=3 at x=3x = 3x=3: lim⁡h→0f(3+h)−f(3)h\lim_{{h \to 0}} \frac{f(3+h)-f(3)}{h}h→0lim​hf(3+h)−f(3)​.

Problem 20626

Bestimme die Integrale: a) ∫02(x3−6x2+5x+2) dx\int_{0}^{2} (x^{3}-6 x^{2}+5 x+2) \, dx∫02​(x3−6x2+5x+2)dx b) ∫−44(x3−x) dx\int_{-4}^{4} (x^{3}-x) \, dx∫−44​(x3−x)dx

Problem 20627

Problem 20628

Gegeben ist die Funktion f(x)=x3−6x2+11x−6f(x)=x^{3}-6 x^{2}+11 x-6f(x)=x3−6x2+11x−6. a) Zeigen Sie, dass der Wendepunkt auf y=x−2y=x-2y=x−2 liegt. b) Bestimmen Sie die Gleichung von hhh, wenn (2/0) nach (3/2) verschoben wird.

Problem 20629

Berechnen Sie die Steigung von f(x)=x3f(x)=x^{3}f(x)=x3 an der Stelle x0=2x_{0}=2x0​=2 mit der hhh-Methode.

Problem 20630

Problem 20631

Problem 20632

Gegeben ist die Funktion fff mit f(x)=x−x3f(x)=x-x^{3}f(x)=x−x3. Zeigen Sie, dass ∫(x)dx=0\int(x) d x=0∫(x)dx=0.

Problem 20633

Berechnen Sie die lokale Änderungsrate von f(x)=0,5x2f(x)=0,5 x^{2}f(x)=0,5x2 an der Stelle x0=2x_{0}=2x0​=2 mit Grenzwertrechnung.

Problem 20634

Berechne die Steigung von fff an x0x_0x0​ mit der hhh-Methode für: a) f(x)=x2,x0=1f(x)=x^{2}, x_{0}=1f(x)=x2,x0​=1 b) f(x)=2x2,x0=−1f(x)=2 x^{2}, x_{0}=-1f(x)=2x2,x0​=−1 c) f(x)=x3,x0=2f(x)=x^{3}, x_{0}=2f(x)=x3,x0​=2 d) f(x)=2x,x0f(x)=2 x, x_{0}f(x)=2x,x0​

Problem 20635

Berechne das Luftvolumen f(6)f(6)f(6), finde max. und min. Volumen mit Zeiten, und bestimme die Änderungsrate der Funktion f(t)f(t)f(t).

Problem 20636

Solve the equation y′−(ln⁡2)y−ln⁡8=0y' - (\ln 2) y - \ln 8 = 0y′−(ln2)y−ln8=0 with the solution y=2x+2y = 2^{x+2}y=2x+2.

Problem 20637

Solve the differential equation: y′−(ln⁡2)y−ln⁡8=0y^{\prime}-(\ln 2) y-\ln 8=0y′−(ln2)y−ln8=0.

Problem 20638

Find u′(1)u'(1)u′(1) for u(x)=tan⁡πxg(x)u(x)=\frac{\tan \pi x}{g(x)}u(x)=g(x)tanπx​, given g(1)=3g(1)=3g(1)=3 and g′(1)=−3g'(1)=-3g′(1)=−3.

Problem 20639

Bestimmen Sie das Integral von −(x−2)2+1-(x-2)^{2}+1−(x−2)2+1.

Problem 20640

Berechnen Sie die Steigung von f(x)=2xf(x)=2xf(x)=2x an der Stelle x0=1x_0=1x0​=1 mit der hhh-Methode.

Problem 20641

Berechnen Sie die Fläche zwischen dem Graphen von fff und der xxx-Achse für die Funktionen a) bis f).

Problem 20642

Berechnen Sie die Fläche zwischen dem Graphen von fff und der xxx-Achse für die folgenden Funktionen: a) f(x)=0.5x2−3xf(x)=0.5 x^{2}-3 xf(x)=0.5x2−3x b) f(x)=(x−1)2−1f(x)=(x-1)^{2}-1f(x)=(x−1)2−1 c) f(x)=x4−4x2f(x)=x^{4}-4 x^{2}f(x)=x4−4x2

Gegeben ist die Funktion $f: x \mapsto -e^x$ . Bestimmen Sie die Tangentengleichung an der y-Achse und die senkrechte Gerade. Berechnen Sie die Fläche.

In Poisson regression with PMF $p(y \mid \lambda)=\frac{\lambda^{y}}{y !} e^{-\lambda}$ , derive the loss $\ell_{i}(\beta)$ and its gradient.

Soit la fonction $f(x)=x \cdot e^{-x}$ , calculez les limites, dérivée, variations, convexité, tangente en 0, et la solution de $f(x)=-1$ .

Färben Sie Kästchen mit derselben Farbe ein, wenn die Funktion $f$ dieselbe Ableitung hat.

Ein Motorradfahrer stürzt bei einer Kurve. Liegt der Wendepunkt $W$ innerhalb der Auffangbarriere zwischen A(2|1) und B(2|2)?

Étudiez la fonction $f(x)=x \cdot e^{-x}$ : limites, dérivée, variations, convexité, tangente en 0 et position relative.

The mass of a radioactive isotope is given by $m(t)=3 e^{-0.3 t}$ . Find: a) initial mass, b) mass after 20 hrs, c) half-life (1 dp).

Berechne die ersten beiden Ableitungen von $f(x)=2 e^{x}$ , $f(x)=-\frac{1}{2} e^{x}$ , $f(x)=e^{-2x}$ und $f(x)=-\frac{1}{e^{x}}$ . Untersuche Monotonie, Extrem- und Wendestellen sowie Krümmungsverhalten.

Bestimmen Sie die Ableitung von $f(x)=x^{4}+x^{3}$ .

Find the derivative of the function $f(x)=x^{4}+x^{3}$ . What is $f^{\prime}(x)$ ?

Find the second derivative of these functions: a) $f(x)=3x^{2}$ , b) $f(x)=5x^{3}$ , c) $f(x)=\frac{1}{2}x^{4}$ , d) $f(x)=-2x^{7}$ , e) $f(x)=\frac{1}{2}x^{-2}$ , f) $f(x)=-5x^{-3}$ .

Bestimmen Sie die Ableitung von $f(x)=x^{100}+3x^{7}+\frac{1}{2}x$ .

Untersuchen Sie $f(x)=\frac{x^{2}-x}{3 x^{2}}$ und $f(x)=\frac{3-x^{3}}{x^{3}}$ für $x \rightarrow \infty$ und $x \rightarrow -\infty$ .

Untersuchen Sie das Verhalten von $f(x)=\frac{3-x^{3}}{x^{3}}$ für $x \rightarrow \infty$ und $x \rightarrow -\infty$ .

Find the derivative of the function $f(x)=101 x^{3}+3.5 x^{5}$ . What is $f^{\prime}(x)$ ?

Find the derivative of $f(x)=x^{3}+a^{3}$ .

Untersuchen Sie die Funktion $f(x)=\frac{1}{4} x^{4}+x^{3}$ : Schnittpunkte, Ableitungen, Monotonie, Extrem- und Wendepunkte, Tangente und Wendetangente.

Zeigen Sie, dass für $f(x) = x - x^3$ die Gleichung $\int_{-1}^{1} f(x) dx = 0$ gilt.

Bestimme die Konzentration $c(t)=t^{3}-17 t^{2}+63 t+81$ eines Schmerzmedikaments für $-1 \leq t \leq 9$ .

Berechne die Steigung von $f$ an $x_0$ mit der $h$ -Methode für $f(x)=x^{2}$ und $x_{0}=1$ .

Bestimme die Ableitung von $f(x)=x^{s-1}$ . Was ist $f^{\prime}(x)$ ?

Find the limit of the difference quotient for $f(x) = 3$ at $x = 3$ : $\lim_{{h \to 0}} \frac{f(3+h)-f(3)}{h}$ .

Bestimme die Integrale: a) $\int_{0}^{2} (x^{3}-6 x^{2}+5 x+2) \, dx$ b) $\int_{-4}^{4} (x^{3}-x) \, dx$

Gegeben ist die Funktion $f(x)=x^{3}-6 x^{2}+11 x-6$ . a) Zeigen Sie, dass der Wendepunkt auf $y=x-2$ liegt. b) Bestimmen Sie die Gleichung von $h$ , wenn (2/0) nach (3/2) verschoben wird.

Berechnen Sie die Steigung von $f(x)=x^{3}$ an der Stelle $x_{0}=2$ mit der $h$ -Methode.

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=x-x^{3}$ . Zeigen Sie, dass $\int(x) d x=0$ .

Berechnen Sie die lokale Änderungsrate von $f(x)=0,5 x^{2}$ an der Stelle $x_{0}=2$ mit Grenzwertrechnung.

Berechne die Steigung von $f$ an $x_0$ mit der $h$ -Methode für: a) $f(x)=x^{2}, x_{0}=1$ b) $f(x)=2 x^{2}, x_{0}=-1$ c) $f(x)=x^{3}, x_{0}=2$ d) $f(x)=2 x, x_{0}$

Berechne das Luftvolumen $f(6)$ , finde max. und min. Volumen mit Zeiten, und bestimme die Änderungsrate der Funktion $f(t)$ .

Solve the equation $y' - (\ln 2) y - \ln 8 = 0$ with the solution $y = 2^{x+2}$ .

Solve the differential equation: $y^{\prime}-(\ln 2) y-\ln 8=0$ .

Find $u'(1)$ for $u(x)=\frac{\tan \pi x}{g(x)}$ , given $g(1)=3$ and $g'(1)=-3$ .

Bestimmen Sie das Integral von $-(x-2)^{2}+1$ .

Berechnen Sie die Steigung von $f(x)=2x$ an der Stelle $x_0=1$ mit der $h$ -Methode.

Berechnen Sie die Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$ -Achse für die Funktionen a) bis f).

Berechnen Sie die Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$ -Achse für die folgenden Funktionen: a) $f(x)=0.5 x^{2}-3 x$ b) $f(x)=(x-1)^{2}-1$ c) $f(x)=x^{4}-4 x^{2}$

Sketch the area for $\int_{0}^{2}\left(\frac{x}{3}+\sqrt{4-x^{2}}\right) d x$ and evaluate it as an area.

Evaluate the integral $\int_{0}^{2}\left(5-x^{2}+2 x^{3}\right) d x$ .

Define $\Delta x$ and $x_{i}$ for $\int_{0}^{2}(5-x^{2}+2x^{3})dx$ , then set up and solve the limit of the Riemann sum.

Differentiate $y=\left(\sec^{2}(x^{2})\right)^{7}$ with respect to $x$ .

Find the limit as $x$ approaches infinity: $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 x-4 x^{2}+5 x^{3}}{7-2 x-x^{3}}$ . Options: A. $\frac{3}{2}$ B. -5 C. $\infty$ D. 5

Zeigen Sie, dass $f(x)=\frac{3 x}{x^{2}+1}$ drei Wendepunkte hat. Berechnen Sie den Flächeninhalt $A$ zwischen der Ursprungsgerade und $f$ .

Find the derivative $g^{\prime}(2)$ for the function $g(x)=\frac{x-2}{x+2}$ .

Calculate the integral: $\int \frac{2}{z^{3}} dz$

Find $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ if $\frac{d y}{d x}=2 x y$ .

Evaluate the integral: $\int 2 t^{2}(t^{2}-3)^{2} dt$

Evaluate the integral $\int \sqrt[3]{(1-y)^{4}} \, dy$ .

Find $f^{\prime}(2)$ if $g(x)=x^{3}+x$ and $f(x)=g^{-1}(x)$ with $f(2)=1$ .

Find the integral of $(4 x)^{1/5}$ with respect to $x$ .

Find the derivative $\frac{dy}{dx}$ for the curve defined by $y^{3}-3 x y=2$ .

Find the derivative of the function $f(x)=\sqrt{x-6}$ using the definition of a derivative.

Find times $t$ in $0<t<90$ when Stephan changes direction, given $v(t)=2.38 e^{-0.02 t} \sin \left(\frac{\pi}{56} t\right)$ .

Determine the extrema of $f_a(x) = x^3 - 3ax^2$ given that $f_a'(x) = 3x(x - 2a) = 0$ .

Find the slope of the tangent line to the curve $2 x^{2}+1 x y-4 y^{3}=122$ at the point $(-2,-3)$ .

Find the local minimum and maximum of the function $f(x)=2 x^{3}-27 x^{2}+48 x+3$ .

Find the tangent line to the curve $x y^{3}+x y=2$ at $(1,1)$ in the form $y=m x+b$ . What are $m$ and $b$ ?

Show that if $y=\mathrm{e}^{\sin x}$ , then $\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}=y(1-\sin x-\sin ^{2} x)$ .

Find the first and second derivatives of $g(x)=6 x^{3}-27 x^{2}-180 x$ , then evaluate $g^{\prime \prime}(5)$ .

Given $f^{\prime \prime}(x)$ is continuous and has an inflection point at $x=6$ , suggest values for $f^{\prime \prime}(2)$ , $f^{\prime \prime}(6)$ , $f^{\prime \prime}(14)$ .

Find $\frac{d y}{d x}$ for the equation $-y^{2}=5 y-x^{2}-5 x^{3}$ at the point $(-1,-4)$ .

Berechnen Sie die Fläche zwischen $f(x)=0,5 x^{2}-4 x+3$ im Intervall $I(-6, -1)$ .

Find an equation to determine $b$ if the average rate of change of $f(x)=e^{2x}$ over $[1, b]$ is 20.

Daniel and Ella deposit \ $600 at$ 9\%$ continuous interest for 2 years. How much will they have for their trip?

Find intervals where the function $h$ is decreasing, given $h^{\prime}(x)=\frac{(x+3)}{x^{2}}$ . Options: (A) $x>0$ and $-3<x<0$ (B) $x<-3$ (C) $-3<x<0$ (D) $x<-3$ and $-3<x<0$ (E) Entire domain.

Find the intervals where the function $g$ is decreasing, given that $g^{\prime}(x)=\frac{x}{x+3}$ .

Find the value of $x$ where the tangent line to $f(x)=x^{4}+x^{3}-3 x^{2}-x-\cos(x^{2})$ has the greatest slope: (A) $x=-2$ (B) $x=-1$ (C) $x=0$ (D) $x=1$