Calculus

Problem 4401

Calculate the derivative of $h(t)=10 \cdot(6-t) \cdot e^{-0.05 t^{2}+0.6 t-1.75}$ with respect to $t$ .

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Problem 4402

Zeichnen Sie die Graphen der Funktionen und finden Sie die Stellen $\mathrm{x}_{0}$ , an denen die Ableitung nicht existiert. a) $f(x)=\left|x^{2}-1\right|$ b) $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}, & x \leq 1 \\ x, & x>1\end{array}\right.$ c) $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}, & x \leq 0 \\ 0, & 0<x \leq 1 \\ x-1, & x>1\end{array}\right.$

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Problem 4403

Find the derivative of $f(t) = e^{-0.05t^2 + 0.6t - 1.75}$ .

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Problem 4404

Calculate the volume of the solid formed by rotating the parabola $y=x^{2}$ from $x=0$ to $x=3$ around the $x$ -axis.

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Problem 4405

Find the volume of the solid formed by rotating the area between $y=x-x^{2}$ and the $x$ -axis around the $x$ -axis.

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Problem 4406

Calculate the volume of the solid formed by rotating the area between the $x$ -axis and $x=\frac{1}{1+y^{2}}$ , $x=\frac{1}{2}$ around the $x$ -axis.

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Problem 4407

Find the volume of the solid formed by rotating the area between the $x$ -axis and $x=\sqrt{y}+5$ , $x=5$ , $x=7$ around the $x$ -axis.

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Problem 4408

Find the volume when the area between $y=3-x$ , $y=0$ , $x=0$ , $x=2$ is rotated around the $y$ -axis.

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Problem 4409

Find the volume when the region between $y=\frac{1}{4-x}$ , $y=0$ , $x=1$ , and $x=2$ is rotated around $x=4$ .

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Problem 4410

Find the volume when the area between $y=x^{2}$ and $y=3x$ is rotated around the $y$ -axis.

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Problem 4411

Calculate the integral: $\int_{1}^{2}\left(x^{2}+1\right) dx$ .

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Problem 4412

Finde die Extrempunkte der Funktion $f(x)=-\frac{1}{8} x^{4}-\frac{1}{3} x^{3}+1$ .

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Problem 4413

Find $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)$ and $\lim _{x \rightarrow -\infty} f(x)$ for $f(x)=\frac{x^{3}-2 x+11}{3-6 x^{5}}$ .

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Problem 4414

Finden Sie die Extrempunkte der Funktion $f(x)=x^{3}-12 x$ mit der ersten und zweiten Ableitung.

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Problem 4415

Bestimme die Extrempunkte der Funktionen $f(x)=x^{3}-3 x^{2}$ , $f(x)=-x^{3}+6 x^{2}$ , $f(x)=x^{3}-12 x$ , $f(x)=-\frac{1}{6} x^{3}+2 x$ , $f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{3}{2} x^{2}+1$ , $f(x)=\frac{1}{3} x^{3}+4 x^{2}-9 x$ mit Ableitungen.

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Problem 4416

Bestimme die Hoch- und Tiefpunkte der Funktionen: a) $f(x)=x^{3}-3 x^{2}$ , b) $f(x)=x^{3}-12 x$ , c) $f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{3}{2} x^{2}+1$ , d) $f(x)=-x^{3}+6 x^{2}$ , e) $f(x)=-\frac{1}{6} x^{3}+2 x$ mithilfe der Ableitungen.

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Problem 4417

Bestimmen Sie die Wertebereiche der Funktionen $f(x)=2 \sin (x)-1$ und $g(x)=2 x-1$ . Zeigen Sie, dass die Graphen $G_f$ und $G_g$ im Punkt $A(0|-1)$ die gleiche Steigung haben. Finden Sie eine Tangentengleichung an $G_f$ , die parallel zu $g$ verläuft und nicht den Punkt $A$ enthält.

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Problem 4418

A tank has 180 gallons and 45 oz of salt. Water flows in with concentration $\frac{1}{6}\left(1+\frac{1}{8} \sin t\right)$ oz/gal at 8 gal/min. Find the long-term oscillation level and amplitude, rounded to two decimals. Level = oz, Amplitude = oz.

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Problem 4419

A tank has 180 gallons and 45 oz of salt. Water with salt concentration $\frac{1}{6}\left(1+\frac{1}{8} \sin t\right)$ oz/gal flows in at 8 gal/min. Find the constant level O2 and amplitude of oscillation (oz), rounded to two decimal places.

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Problem 4420

Calculate the average rate of change of $y=\sqrt{5x+1}$ from $x=3$ to $x=7$ . Simplify your answer.

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Problem 4421

Find the integral of the expression: $\int(4 y+\cos (y)) d y$ .

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Problem 4422

Calculate the integral: $\int \frac{1}{y^{2}} d y$

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Problem 4423

Berechne den Flächeninhalt $A$ unter den Funktionen $f(x)=x^{3}$ , $f(x)=-x^{2}+2x+3$ , und $f(x)=x^{3}-4x^{2}+3x$ im Intervall von 0 bis 1.

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Problem 4424

Berechne die Ableitungen der Funktionen: a) $f(t)=\sqrt{7 t-3}$ , b) $f(x)=(x+1)^{-4}$ , c) $f(t)=(6 t)^{-2}$ , d) $f(t)=-2 \cdot \sqrt{4 t+6}$ , e) $f(x)=(-x+2)^{-6}$ , f) $f(x)=\sqrt{3-2 x}$ , g) $f(x)=-\sqrt{3-8 x}$ , h) $f(t)=3 \cdot(5 t-4)^{-3}$ , i) $f(x)=\sqrt{3 x}$ .

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Problem 4425

Leiten Sie die Funktionen ab: a) $f(x)=\sin (3 x+3)$ , b) $f(t)=2 \cdot \cos (\pi t-2)$ , c) $f(t)=-\cos (5 t)$ , d) $f(x)=-4 \cdot \sin (\pi-x)$ , e) $f(t)=\sin (t-6)$ , f) $f(x)=\cos (3 x+\pi)$ .

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Problem 4426

Finde die Hoch- und Tiefpunkte der Funktion $f(x) = (x-2)^2$ .

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Problem 4427

Geben Sie an, ob die Aussagen richtig oder falsch sind und nennen Sie Gegenbeispiele bei falschen Aussagen. a) $a_n + b_n$ konvergent? b) $a_n - b_n$ divergent? c) $a_n + b_n$ konvergent? d) Ist $b_n = \frac{1}{a_n}$ konvergent?

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Problem 4428

Find the derivative of $f(x)=e^{5 x^{2}} \cdot 10 x$ .

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Problem 4429

Bestimmen Sie die Ableitung von $f(x)=(x^{2}+1)(x^{6}-2)$ mit der Produktregel.

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Problem 4430

Bestimmen Sie die Ableitung von $f(x)$ für die folgenden Funktionen: a) $f(x)=\frac{x^{4}-x^{3}}{x^{2}}$ b) $f(x)=\frac{x^{12}+x^{8}+1}{x^{10}}$ c) $f(x)=\frac{x^{4}+2 x^{2}}{x^{5}}$

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Problem 4431

Find the average rate of change of $f(x)=\frac{x-1}{x+4}$ on [3,5] and [x, x+h].

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Problem 4432

Determine the local max and min of $f(t)=0.25t^{3}-3t^{2}+9t$ using first and second derivatives.

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Problem 4433

Bestimmen Sie die Werte der folgenden Integrale und veranschaulichen Sie sie mit einer Figur: a) $\int_{1}^{5} 0,25 x d x$ b) $\int_{0,5}^{3} x d x$ c) $\int_{-1}^{4} 1,8 d x$ d) $\int_{5}^{0} 2 t d t$ e) $\int_{6}^{2}(2 x+2) d x$ f) $\int_{-5}^{-2}(-0,5 u-1) d u$

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Problem 4434

Gegeben ist die Funktion $f(x)=-0,25 x^{2}(x-2)(x+1)+1$ .
a) Skizziere den Graphen der Ableitungsfunktion $f'$ und erläutere dein Vorgehen. b) Bestimme $f'$ rechnerisch und überprüfe mit dem GTR, ob der Graph von $f'$ deiner Skizze entspricht.

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Problem 4435

Finde die Stammfunktion von $(x^{2}+2x) \cdot e^{-x}$ mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

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Problem 4436

Calculate the integral $\int_{-5}^{-2}(-0.5 u - 1) \, du$ .

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Problem 4437

Find the equation of the curve where $\frac{d y}{d x}=4 x-6$ and it passes through the point $(2,4)$ .

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Problem 4438

Ordnen Sie den Graphen $f$ den Ableitungen $f^{\prime}$ . Bestimmen Sie $f^{\prime}$ und prüfen Sie mit dem GTR.
Bestimmen Sie die Stellen, an denen $f(x)=2 x^{2}+2$ die Steigung $m=4$ hat und dieselbe Steigung wie $g(x)=x^{3}-4 x-1$ .
Bilden Sie die Ableitungen von $f(x)=2 x^{2}-6 x+6,5$ , $g(x)=x^{3}-8 x^{2}+16 x$ und $h(x)=x^{4}-5 x^{2}+4$ . Finden Sie die Extrempunkte und skizzieren Sie die Graphen. Überprüfen Sie Ihre Ergebnisse mit dem GTR.

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Problem 4439

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktionen: a) $f(x)=x \cdot(x-3)$ b) $f(x)=\frac{5}{x^{3}}-\frac{x^{3}}{5}$ c) $f(x)=(x+4)^{2}$ d) $f(x)=\sqrt[4]{x}+\frac{1}{x^{2}}$ e) $f(x)=x \cdot\left(x+\frac{1}{x}\right)$ f) $f(x)=\frac{2}{\sqrt{x}}-\frac{3}{x^{5}}$

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Problem 4440

The AROC of $f(x)=P(0.2)^{x}$ on $[3,3+h]$ is negative for any $h>0$ . True or False?

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Problem 4441

Bestimmen Sie die Ableitung von $f(x) = \frac{1}{2}-x^{2}$ .

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Problem 4442

Find the derivative of $f(x)=\frac{1}{8}\left(\frac{1}{2}-x^{2}\right)^{7}$ .

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Problem 4443

Find the tangent line to the curve with $\frac{dy}{dx} = \frac{4}{{(2y+1)}^2}$ at the point $(-1,-2)$ .

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Problem 4444

Bestimmen Sie die Ableitung von $f(x) = (2-3x+x^2)^3$ .

See Solution

Problem 4445

Bestimme die Ableitung von $f(x)=3 x^{2}+(x^{2}-1)^{3}$ .

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Problem 4446

Bestimmen Sie die Wendestellen und Sattelstellen für: a) $f(x)=2 x^{3}-2 x^{2}+1$ b) $g(x)=3 x^{4}+8 x^{3}$ c) $h(x)=-\frac{1}{4} x^{4}+\frac{10}{3} x^{3}-16 x^{2}+32 x$

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Problem 4447

Bestimmen Sie die Ableitung von $f$ mit $f(x)=-\sqrt{3-8 x}$ .

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Problem 4448

Solve the system: $\mathbf{x}^{\prime}=\begin{pmatrix}-10 & 6 \\ 6 & -10\end{pmatrix} \mathbf{x}+\begin{pmatrix}2 t \\ e^{t}\end{pmatrix}$ .

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Problem 4449

Bestimmen Sie die erste Ableitung von $f(t)=2 \cdot \cos (\pi t-2)$ .

See Solution

Problem 4450

Find the integral of the function: $\int \left(\frac{x^{2}}{3}-\frac{x}{4}\right) dx$ .

See Solution

Problem 4451

Bestimmen Sie die Ableitung von $f(t)=-\cos(st)-t$ .

See Solution

Problem 4452

Bestimmen Sie die Ableitung von $f(t)=-\cos(st)$ .

See Solution

Problem 4453

Bestimmen Sie die erste Ableitung von $f(t)=-\cos(5t)$ .

See Solution

Problem 4454

Bestimmen Sie die Extrempunkte von $f(x)$ im angegebenen Intervall: a) $f(x)=\sin (2 \pi x)$ für $x \in[0 ; 1]$ ; b) $f(x)=2 \cos \left(x+\frac{\pi}{2}\right)$ für $x \in[0 ; 2 \pi]$ ; c) $f(x)=-\sin (\pi(x-0,5))+2$ für $x \in[0 ; 2]$ .

See Solution

Problem 4455

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow \frac{15 \pi}{14}} \cos (14 x-\cos (7 x))$ . Is the function continuous at this point?

See Solution

Problem 4456

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow \infty}(\sqrt{x+4}-\sqrt{x+49})$ . Simplify your answer.

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Problem 4457

Find the limit of $f(x)=\frac{2}{x}-4$ as $x \to \infty$ and $x \to -\infty$ . What is $\lim_{x \to \infty} f(x)$ ?

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Problem 4458

Bestimmen Sie die Ableitung von $f(x) = (2-x)^{3}$ .

See Solution

Problem 4459

How much will \$ 5,000,000 grow in 30 years at a continuous 4% interest rate? A. \$ 16,405,153.94 B. \$ 16,600,584.61 C. \$ 16,567,490.07 D. \$ 16,501,934.47

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Problem 4460

Find the limit of $f(x)=\frac{-8+\frac{2}{x}}{3-\frac{8}{x^{2}}}$ as $x \to \infty$ and $x \to -\infty$ .

See Solution

Problem 4461

Bestimme die Wendepunkte und die Tangentensteigungen für die Funktionen: a) $f_{a}(x)=x^{3}-a x^{2}$ , b) $f_{a}(x)=\frac{a^{3}}{x}-x^{2}$ , c) $f_{a}(x)=x^{4}-2 a x^{2}+1$ .

See Solution

Problem 4462

Estimate the instantaneous rate of change of $y=x^{3}+2x$ at $x=2$ using the difference quotient with $h=0.1$ .

See Solution

Problem 4463

Find the derivative of $h(x)=\left(\frac{x}{2-2x}\right)^{2}$ . What is $h^{\prime}(x)=?$

See Solution

Problem 4464

Gegeben ist die Funktion $f: x \mapsto \frac{-1}{x+0,5}+1$ . Bestimmen Sie die Asymptoten und prüfen Sie für $x=2$ und $x=3$ , ob $G_f$ im Streifen liegt.

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Problem 4465

Find the limit as $h$ approaches 0 of $\frac{f(3+h)-f(3)}{h}$ for $f(x)=6x-1$ . Simplify your answer.

See Solution

Problem 4466

Gegeben ist die Funktion $f(x)=x^{2}-3 x$ . a) Zeichnen Sie den Graphen für $-1 \leq x \leq 4$ . b) Bestimmen Sie die Steigung bei $x_0=2$ . c) Finden Sie den Steigungswinkel bei $x_0=2$ . d) Welchen Winkel schneidet der Graph mit der y-Achse?

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Problem 4467

Find the derivative of $h(x)=\left(\frac{2x}{3x-1}\right)^{3}$ .

See Solution

Problem 4468

Find the derivative of $h(x)=\left(\frac{2 x}{3 x-1}\right)^{3}$ . What is $N(x)=?$

See Solution

Problem 4469

Find the limit as $h$ approaches 0 for $\frac{f(7+h)-f(7)}{h}$ where $f(x)=x^{2}+2$ . What is the limit?

See Solution

Problem 4470

Find the derivative of $h(x)=\left(\frac{2 x}{3 x-1}\right)^{3}$ . What is $h^{\prime}(x)=?$

See Solution

Problem 4471

Find the critical points of the function $F(t)=\frac{1}{3} t^{3}-5 t^{2}+21 t+25$ and characterize them. Round answers to two digits.

See Solution

Problem 4472

Find the tangent line equation for $y=16\sqrt{x}$ at (16,64) and sketch both. Equation: (Type an equation.)

See Solution

Problem 4473

Verify the max rate of change of $y=\cos x$ at $x=270^{\circ}$ using slopes of points around it.

See Solution

Problem 4474

Find the critical points of the function $F(t)=\frac{1}{3} t^{3}-5 t^{2}+21 t+25$ and characterize them.

See Solution

Problem 4475

Find the tangent line equation for $y=6x^3$ at point (1,6) and sketch both the curve and tangent line.

See Solution

Problem 4476

Find the critical points of the function $F(t)=\frac{1}{3} t^{3}-5 t^{2}+21 t+25$ and characterize them.

See Solution

Problem 4477

Find the derivative of the function $h(x)=2 \cos^{14}(x)$ .

See Solution

Problem 4478

Verify the max rate of change of $y=\cos x$ at $x=270^{\circ}$ using slopes of points near $270^{\circ}$ .

See Solution

Problem 4479

Find the extremum of the function $g(z) = 28\left(e^{5 z}+3 e^{-4 z}\right)^{8}$ .

See Solution

Problem 4480

Find the derivative of $h(x)=2 \cos^{14}(x)$ . What is $h'(x)=?$

See Solution

Problem 4481

Bestimme die Ableitung von $f(x) = \sqrt{3x}$ .

See Solution

Problem 4482

Find the derivative of $h(x)=2 \cos^{14}(x)$ . What is $h'(x)$ ?

See Solution

Problem 4483

Find the limit: $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{(2+h)^{2}-4}{h}$ .

See Solution

Problem 4484

Find the derivative of $h(x)=-\sin(2x^4-3)$ . What is $h'(x)$ ?

See Solution

Problem 4485

Find the limit as $x$ approaches 5 for the expression $\frac{(x-5)(x+9)}{(x-5)(x+2)}$ .

See Solution

Problem 4486

Evaluate the limit: $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{(4+h)^{2}-16}{h}$ . What is the result?

See Solution

Problem 4487

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow-8} \frac{x^{3}-64 x}{x^{2}+8 x}$ .

See Solution

Problem 4488

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow-1} \frac{(x+1)(x+3)}{(x+1)(x+5)}$ .

See Solution

Problem 4489

Find the derivative of $f(x)=2 \tan \left(x^{2}\right)+5 \sec (3 x)+\csc (4 x)$ .

See Solution

Problem 4490

Find the derivative of $f(t) = (3x^4 - 2x) \cdot \sqrt{3x}$ .

See Solution

Problem 4491

Evaluate the limit: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{3}+2 x^{2}-x}{x}$ .

See Solution

Problem 4492

Find $\frac{d y}{d x}$ using the chain rule: $\frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d u} \frac{d u}{d x}$ for $y=5 u^{4}-5$ and $u=3 \sqrt{x}$ .

See Solution

Problem 4493

Find the limit of the difference quotient for the derivative of $f(x)=(x+5)^{2}$ .

See Solution

Problem 4494

Find $\frac{d y}{d x}$ using the chain rule for $y=5 u^{4}-5$ and $u=3 \sqrt{x}$ .

See Solution

Problem 4495

Given the function $f(x)=3x+7$ , find the limit of the difference quotient for its derivative and compute $f^{\prime}(12)$ .

See Solution

Problem 4496

A ball is dropped from a height of $230 \mathrm{~m}$ . Find average velocity for $6 \leq t \leq 7$ and others. Instantaneous velocity at $t=6 \mathrm{~s}$ ?

See Solution

Problem 4497

Find the derivative $\frac{d y}{d x}$ of the function $y=5 x^{3}-x \sin x$ .

See Solution

Problem 4498

A ball is dropped from a $200 \mathrm{~m}$ building. Find average velocity $d(t)=4.9 t^{2}$ for $4 \leq t \leq 5$ and $t=4$ . What is the instantaneous velocity at $t=4 \mathrm{~s}$ ?

See Solution

Problem 4499

Find the limit: $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{(1+h)^{2}-1}{h}$ . What is the result?

See Solution

Problem 4500

Find the limit as $x$ approaches -3 for the expression $\frac{(x+3)(x+1)}{(x+3)(x+6)}$ .

See Solution

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337

Calculus

Problem 4401

Calculate the derivative of h(t)=10⋅(6−t)⋅e−0.05t2+0.6t−1.75h(t)=10 \cdot(6-t) \cdot e^{-0.05 t^{2}+0.6 t-1.75}h(t)=10⋅(6−t)⋅e−0.05t2+0.6t−1.75 with respect to ttt.

Problem 4402

Problem 4403

Find the derivative of f(t)=e−0.05t2+0.6t−1.75f(t) = e^{-0.05t^2 + 0.6t - 1.75}f(t)=e−0.05t2+0.6t−1.75.

Problem 4404

Calculate the volume of the solid formed by rotating the parabola y=x2y=x^{2}y=x2 from x=0x=0x=0 to x=3x=3x=3 around the xxx-axis.

Problem 4405

Find the volume of the solid formed by rotating the area between y=x−x2y=x-x^{2}y=x−x2 and the xxx-axis around the xxx-axis.

Problem 4406

Calculate the volume of the solid formed by rotating the area between the xxx-axis and x=11+y2x=\frac{1}{1+y^{2}}x=1+y21​, x=12x=\frac{1}{2}x=21​ around the xxx-axis.

Problem 4407

Find the volume of the solid formed by rotating the area between the xxx-axis and x=y+5x=\sqrt{y}+5x=y​+5, x=5x=5x=5, x=7x=7x=7 around the xxx-axis.

Problem 4408

Find the volume when the area between y=3−xy=3-xy=3−x, y=0y=0y=0, x=0x=0x=0, x=2x=2x=2 is rotated around the yyy-axis.

Problem 4409

Find the volume when the region between y=14−xy=\frac{1}{4-x}y=4−x1​, y=0y=0y=0, x=1x=1x=1, and x=2x=2x=2 is rotated around x=4x=4x=4.

Problem 4410

Find the volume when the area between y=x2y=x^{2}y=x2 and y=3xy=3xy=3x is rotated around the yyy-axis.

Problem 4411

Calculate the integral: ∫12(x2+1)dx\int_{1}^{2}\left(x^{2}+1\right) dx∫12​(x2+1)dx.

Problem 4412

Finde die Extrempunkte der Funktion f(x)=−18x4−13x3+1f(x)=-\frac{1}{8} x^{4}-\frac{1}{3} x^{3}+1f(x)=−81​x4−31​x3+1.

Problem 4413

Find lim⁡x→∞f(x)\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)limx→∞​f(x) and lim⁡x→−∞f(x)\lim _{x \rightarrow -\infty} f(x)limx→−∞​f(x) for f(x)=x3−2x+113−6x5f(x)=\frac{x^{3}-2 x+11}{3-6 x^{5}}f(x)=3−6x5x3−2x+11​.

Problem 4414

Finden Sie die Extrempunkte der Funktion f(x)=x3−12xf(x)=x^{3}-12 xf(x)=x3−12x mit der ersten und zweiten Ableitung.

Problem 4415

Problem 4416

Problem 4417

Problem 4418

A tank has 180 gallons and 45 oz of salt. Water flows in with concentration 16(1+18sin⁡t)\frac{1}{6}\left(1+\frac{1}{8} \sin t\right)61​(1+81​sint) oz/gal at 8 gal/min. Find the long-term oscillation level and amplitude, rounded to two decimals. Level = oz, Amplitude = oz.

Problem 4419

A tank has 180 gallons and 45 oz of salt. Water with salt concentration 16(1+18sin⁡t)\frac{1}{6}\left(1+\frac{1}{8} \sin t\right)61​(1+81​sint) oz/gal flows in at 8 gal/min. Find the constant level O2 and amplitude of oscillation (oz), rounded to two decimal places.

Problem 4420

Calculate the average rate of change of y=5x+1y=\sqrt{5x+1}y=5x+1​ from x=3x=3x=3 to x=7x=7x=7. Simplify your answer.

Problem 4421

Find the integral of the expression: ∫(4y+cos⁡(y))dy\int(4 y+\cos (y)) d y∫(4y+cos(y))dy.

Problem 4422

Calculate the integral: ∫1y2dy\int \frac{1}{y^{2}} d y∫y21​dy

Problem 4423

Berechne den Flächeninhalt AAA unter den Funktionen f(x)=x3f(x)=x^{3}f(x)=x3, f(x)=−x2+2x+3f(x)=-x^{2}+2x+3f(x)=−x2+2x+3, und f(x)=x3−4x2+3xf(x)=x^{3}-4x^{2}+3xf(x)=x3−4x2+3x im Intervall von 0 bis 1.

Problem 4424

Problem 4425

Problem 4426

Finde die Hoch- und Tiefpunkte der Funktion f(x)=(x−2)2f(x) = (x-2)^2f(x)=(x−2)2.

Problem 4427

Geben Sie an, ob die Aussagen richtig oder falsch sind und nennen Sie Gegenbeispiele bei falschen Aussagen. a) an+bna_n + b_nan​+bn​ konvergent? b) an−bna_n - b_nan​−bn​ divergent? c) an+bna_n + b_nan​+bn​ konvergent? d) Ist bn=1anb_n = \frac{1}{a_n}bn​=an​1​ konvergent?

Problem 4428

Find the derivative of f(x)=e5x2⋅10xf(x)=e^{5 x^{2}} \cdot 10 xf(x)=e5x2⋅10x.

Problem 4429

Bestimmen Sie die Ableitung von f(x)=(x2+1)(x6−2)f(x)=(x^{2}+1)(x^{6}-2)f(x)=(x2+1)(x6−2) mit der Produktregel.

Problem 4430

Bestimmen Sie die Ableitung von f(x)f(x)f(x) für die folgenden Funktionen: a) f(x)=x4−x3x2f(x)=\frac{x^{4}-x^{3}}{x^{2}}f(x)=x2x4−x3​ b) f(x)=x12+x8+1x10f(x)=\frac{x^{12}+x^{8}+1}{x^{10}}f(x)=x10x12+x8+1​ c) f(x)=x4+2x2x5f(x)=\frac{x^{4}+2 x^{2}}{x^{5}}f(x)=x5x4+2x2​

Problem 4431

Find the average rate of change of f(x)=x−1x+4f(x)=\frac{x-1}{x+4}f(x)=x+4x−1​ on [3,5] and [x, x+h].

Problem 4432

Determine the local max and min of f(t)=0.25t3−3t2+9tf(t)=0.25t^{3}-3t^{2}+9tf(t)=0.25t3−3t2+9t using first and second derivatives.

Problem 4433

Problem 4434

Problem 4435

Finde die Stammfunktion von (x2+2x)⋅e−x(x^{2}+2x) \cdot e^{-x}(x2+2x)⋅e−x mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

Problem 4436

Calculate the integral ∫−5−2(−0.5u−1) du\int_{-5}^{-2}(-0.5 u - 1) \, du∫−5−2​(−0.5u−1)du.

Problem 4437

Find the equation of the curve where dydx=4x−6\frac{d y}{d x}=4 x-6dxdy​=4x−6 and it passes through the point (2,4)(2,4)(2,4).

Problem 4438

Problem 4439

Problem 4440

The AROC of f(x)=P(0.2)xf(x)=P(0.2)^{x}f(x)=P(0.2)x on [3,3+h][3,3+h][3,3+h] is negative for any h>0h>0h>0. True or False?

Problem 4441

Bestimmen Sie die Ableitung von f(x)=12−x2f(x) = \frac{1}{2}-x^{2}f(x)=21​−x2.

Problem 4442

Find the derivative of f(x)=18(12−x2)7f(x)=\frac{1}{8}\left(\frac{1}{2}-x^{2}\right)^{7}f(x)=81​(21​−x2)7.

Problem 4443

Find the tangent line to the curve with dydx=4(2y+1)2\frac{dy}{dx} = \frac{4}{{(2y+1)}^2}dxdy​=(2y+1)24​ at the point (−1,−2)(-1,-2)(−1,−2).

Problem 4444

Bestimmen Sie die Ableitung von f(x)=(2−3x+x2)3f(x) = (2-3x+x^2)^3f(x)=(2−3x+x2)3.

Problem 4445

Calculate the derivative of $h(t)=10 \cdot(6-t) \cdot e^{-0.05 t^{2}+0.6 t-1.75}$ with respect to $t$ .

Find the derivative of $f(t) = e^{-0.05t^2 + 0.6t - 1.75}$ .

Calculate the volume of the solid formed by rotating the parabola $y=x^{2}$ from $x=0$ to $x=3$ around the $x$ -axis.

Find the volume of the solid formed by rotating the area between $y=x-x^{2}$ and the $x$ -axis around the $x$ -axis.

Calculate the volume of the solid formed by rotating the area between the $x$ -axis and $x=\frac{1}{1+y^{2}}$ , $x=\frac{1}{2}$ around the $x$ -axis.

Find the volume of the solid formed by rotating the area between the $x$ -axis and $x=\sqrt{y}+5$ , $x=5$ , $x=7$ around the $x$ -axis.

Find the volume when the area between $y=3-x$ , $y=0$ , $x=0$ , $x=2$ is rotated around the $y$ -axis.

Find the volume when the region between $y=\frac{1}{4-x}$ , $y=0$ , $x=1$ , and $x=2$ is rotated around $x=4$ .

Find the volume when the area between $y=x^{2}$ and $y=3x$ is rotated around the $y$ -axis.

Calculate the integral: $\int_{1}^{2}\left(x^{2}+1\right) dx$ .

Finde die Extrempunkte der Funktion $f(x)=-\frac{1}{8} x^{4}-\frac{1}{3} x^{3}+1$ .

Find $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)$ and $\lim _{x \rightarrow -\infty} f(x)$ for $f(x)=\frac{x^{3}-2 x+11}{3-6 x^{5}}$ .

Finden Sie die Extrempunkte der Funktion $f(x)=x^{3}-12 x$ mit der ersten und zweiten Ableitung.

A tank has 180 gallons and 45 oz of salt. Water flows in with concentration $\frac{1}{6}\left(1+\frac{1}{8} \sin t\right)$ oz/gal at 8 gal/min. Find the long-term oscillation level and amplitude, rounded to two decimals. Level = oz, Amplitude = oz.

A tank has 180 gallons and 45 oz of salt. Water with salt concentration $\frac{1}{6}\left(1+\frac{1}{8} \sin t\right)$ oz/gal flows in at 8 gal/min. Find the constant level O2 and amplitude of oscillation (oz), rounded to two decimal places.

Calculate the average rate of change of $y=\sqrt{5x+1}$ from $x=3$ to $x=7$ . Simplify your answer.

Find the integral of the expression: $\int(4 y+\cos (y)) d y$ .

Calculate the integral: $\int \frac{1}{y^{2}} d y$

Berechne den Flächeninhalt $A$ unter den Funktionen $f(x)=x^{3}$ , $f(x)=-x^{2}+2x+3$ , und $f(x)=x^{3}-4x^{2}+3x$ im Intervall von 0 bis 1.

Finde die Hoch- und Tiefpunkte der Funktion $f(x) = (x-2)^2$ .

Geben Sie an, ob die Aussagen richtig oder falsch sind und nennen Sie Gegenbeispiele bei falschen Aussagen. a) $a_n + b_n$ konvergent? b) $a_n - b_n$ divergent? c) $a_n + b_n$ konvergent? d) Ist $b_n = \frac{1}{a_n}$ konvergent?

Find the derivative of $f(x)=e^{5 x^{2}} \cdot 10 x$ .

Bestimmen Sie die Ableitung von $f(x)=(x^{2}+1)(x^{6}-2)$ mit der Produktregel.

Bestimmen Sie die Ableitung von $f(x)$ für die folgenden Funktionen: a) $f(x)=\frac{x^{4}-x^{3}}{x^{2}}$ b) $f(x)=\frac{x^{12}+x^{8}+1}{x^{10}}$ c) $f(x)=\frac{x^{4}+2 x^{2}}{x^{5}}$

Find the average rate of change of $f(x)=\frac{x-1}{x+4}$ on [3,5] and [x, x+h].

Determine the local max and min of $f(t)=0.25t^{3}-3t^{2}+9t$ using first and second derivatives.

Finde die Stammfunktion von $(x^{2}+2x) \cdot e^{-x}$ mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

Calculate the integral $\int_{-5}^{-2}(-0.5 u - 1) \, du$ .

Find the equation of the curve where $\frac{d y}{d x}=4 x-6$ and it passes through the point $(2,4)$ .

The AROC of $f(x)=P(0.2)^{x}$ on $[3,3+h]$ is negative for any $h>0$ . True or False?

Bestimmen Sie die Ableitung von $f(x) = \frac{1}{2}-x^{2}$ .

Find the derivative of $f(x)=\frac{1}{8}\left(\frac{1}{2}-x^{2}\right)^{7}$ .

Find the tangent line to the curve with $\frac{dy}{dx} = \frac{4}{{(2y+1)}^2}$ at the point $(-1,-2)$ .

Bestimmen Sie die Ableitung von $f(x) = (2-3x+x^2)^3$ .

Bestimme die Ableitung von $f(x)=3 x^{2}+(x^{2}-1)^{3}$ .

Bestimmen Sie die Wendestellen und Sattelstellen für: a) $f(x)=2 x^{3}-2 x^{2}+1$ b) $g(x)=3 x^{4}+8 x^{3}$ c) $h(x)=-\frac{1}{4} x^{4}+\frac{10}{3} x^{3}-16 x^{2}+32 x$

Bestimmen Sie die Ableitung von $f$ mit $f(x)=-\sqrt{3-8 x}$ .

Solve the system: $\mathbf{x}^{\prime}=\begin{pmatrix}-10 & 6 \\ 6 & -10\end{pmatrix} \mathbf{x}+\begin{pmatrix}2 t \\ e^{t}\end{pmatrix}$ .

Bestimmen Sie die erste Ableitung von $f(t)=2 \cdot \cos (\pi t-2)$ .

Find the integral of the function: $\int \left(\frac{x^{2}}{3}-\frac{x}{4}\right) dx$ .

Bestimmen Sie die Ableitung von $f(t)=-\cos(st)-t$ .

Bestimmen Sie die Ableitung von $f(t)=-\cos(st)$ .

Bestimmen Sie die erste Ableitung von $f(t)=-\cos(5t)$ .

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow \frac{15 \pi}{14}} \cos (14 x-\cos (7 x))$ . Is the function continuous at this point?

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow \infty}(\sqrt{x+4}-\sqrt{x+49})$ . Simplify your answer.

Find the limit of $f(x)=\frac{2}{x}-4$ as $x \to \infty$ and $x \to -\infty$ . What is $\lim_{x \to \infty} f(x)$ ?

Bestimmen Sie die Ableitung von $f(x) = (2-x)^{3}$ .

Find the limit of $f(x)=\frac{-8+\frac{2}{x}}{3-\frac{8}{x^{2}}}$ as $x \to \infty$ and $x \to -\infty$ .

Bestimme die Wendepunkte und die Tangentensteigungen für die Funktionen: a) $f_{a}(x)=x^{3}-a x^{2}$ , b) $f_{a}(x)=\frac{a^{3}}{x}-x^{2}$ , c) $f_{a}(x)=x^{4}-2 a x^{2}+1$ .

Estimate the instantaneous rate of change of $y=x^{3}+2x$ at $x=2$ using the difference quotient with $h=0.1$ .

Find the derivative of $h(x)=\left(\frac{x}{2-2x}\right)^{2}$ . What is $h^{\prime}(x)=?$

Gegeben ist die Funktion $f: x \mapsto \frac{-1}{x+0,5}+1$ . Bestimmen Sie die Asymptoten und prüfen Sie für $x=2$ und $x=3$ , ob $G_f$ im Streifen liegt.

Find the limit as $h$ approaches 0 of $\frac{f(3+h)-f(3)}{h}$ for $f(x)=6x-1$ . Simplify your answer.

Find the derivative of $h(x)=\left(\frac{2x}{3x-1}\right)^{3}$ .

Find the derivative of $h(x)=\left(\frac{2 x}{3 x-1}\right)^{3}$ . What is $N(x)=?$

Find the limit as $h$ approaches 0 for $\frac{f(7+h)-f(7)}{h}$ where $f(x)=x^{2}+2$ . What is the limit?

Find the derivative of $h(x)=\left(\frac{2 x}{3 x-1}\right)^{3}$ . What is $h^{\prime}(x)=?$

Find the critical points of the function $F(t)=\frac{1}{3} t^{3}-5 t^{2}+21 t+25$ and characterize them. Round answers to two digits.

Find the tangent line equation for $y=16\sqrt{x}$ at (16,64) and sketch both. Equation: (Type an equation.)

Verify the max rate of change of $y=\cos x$ at $x=270^{\circ}$ using slopes of points around it.

Find the critical points of the function $F(t)=\frac{1}{3} t^{3}-5 t^{2}+21 t+25$ and characterize them.