Calculus

Problem 14201

Finde die Ableitung von $-\frac{1}{x}$ .

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Problem 14202

Bestimme die Tangentengleichung der Funktion $x^{3}-2 x^{2}-3 x+5$ bei $x=2$ .

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Problem 14203

Differenzieren Sie mit der Produktregel und überprüfen Sie die Ergebnisse.
a) $f(x)=x(1+x^{2})$ b) $f(x)=\frac{1}{x}x^{4}$ c) $f(x)=\sqrt{x}\sqrt{x}$ d) $f(x)=(x^{2}-1)(2x^{2}+5)$ e) $f(x)=(ax+b)(ax^{2}+b)$

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Problem 14204

A 68 kg diver drops from 12 m. What is her speed upon hitting the water? a. 13 m/s b. 15 m/s c. 14 m/s d. 16 m/s e. None.

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Problem 14205

Find the derivative of $f(x)=\ln \left(\frac{7 x}{x+8}\right)$ .

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Problem 14206

Find the second derivative of the function $f(x)=\sin(9x^{2})$ .

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Problem 14207

Find the second derivative of the function $f(x)=\frac{1}{15x-8}$ .

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Problem 14208

Find the derivative of $y=\ln \left(\sqrt{x^{2}-4}\right)$ .

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Problem 14209

Find the value of $\int_{0}^{10} f(x) d x$ given $\int_{0}^{3} f(x) d x=2$ and $\int_{3}^{10} f(x) d x=5$ .

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Problem 14210

Find $\int_{0}^{4}(f(x)+g(x)) d x$ given $\int_{0}^{4} f(x) d x=9$ and $\int_{0}^{4} g(x) d x=4$ .

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Problem 14211

A coffee has $100 \mathrm{mg}$ caffeine, leaving at $17\%$ per hour. Find the formula for caffeine after $t$ hours and its half-life.
For interest, calculate the rate for \$5,500 growing to \$38,455 in 30 years with monthly compounding. Then find the value if compounded continuously.

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Problem 14212

e. Bestimme die Tangentengleichung der Funktion $x^{3}-2x^{2}-3x+5$ bei $x=2$ . f. Finde den Zeitpunkt, an dem der Heißluftballon mit $h(x)=x^{3}+7,9x^{2}-15,47x+9$ maximal aufsteigt. g. Berechne die Arbeit für die Federkraft $y=2x$ nach $60 \mathrm{~cm}$ und allgemein nach $x \mathrm{~cm}$ . h. Zeige, dass $f(x)=(x-a)^{3}$ bei $x=a$ eine Wendestelle hat.

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Problem 14213

Find the derivative of $h(x)=\ln(4x^{2}+3)$ .

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Problem 14214

Approximate $\int_0^{2.4} \sqrt{2+x^{2}} \, dx$ using Midpoint Rule with $n=3$ . Provide as many decimals as possible.

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Problem 14215

Find the derivative of the function $y=e^{-x^{4}}$ .

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Problem 14216

Find the derivative of the function $f(t)=8 \sec ^{6}(\pi t-3)$ .

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Problem 14217

A $2.2 \mathrm{~kg}$ hawk dives from $15 \mathrm{~m/s}$ to $40 \mathrm{~m/s}$ . Find its height above Earth.

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Problem 14218

Bestimme die Intervalle, in denen $f$ streng monoton wachsend oder fallend ist für: a) $f(x)=\sqrt{x}(x-9)$ , b) $f(x)=(x+1)^{2}(x-2)$ , c) $f(x)=4x^{2}(1-x)^{2}$ .

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Problem 14219

Find the derivative of the function $y=\frac{e^{8x}}{e^{8x}+1}$ .

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Problem 14220

Find the derivative $u^{\prime}$ of $u=\sec(\pi t-3)$ and apply the Chain Rule to get $u^{\prime} = \sec(v) \tan(v) v^{\prime}$ . What is $v^{\prime}$ ?

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Problem 14221

Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen: a) $f(x)=\frac{3}{20} x^{5}-2 x^{3}+x$ , b) $f(x)=\frac{1}{4} x^{4}+3 x^{3}-2$ , c) $f(x)=x^{4}-2 x^{3}$ . Bestimmen Sie die Krümmung mit der zweiten Ableitung.

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Problem 14222

Calculate the limit of the sequence $a_{n}=n\left(\sqrt[3]{n^{3}+n+2}-n\right)$ or explain why it doesn't exist.

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Problem 14223

Bestimmen Sie die Ableitungen $f^{\prime}$ und $g^{\prime}$ für $f(x)=-x^{2}+4$ und $g(x)=x^{2}-5x+6$ und zeichnen Sie die Graphen.

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Problem 14224

Find the derivative of $y=x^{2} e^{-9 x}$ . What is $\frac{d y}{d x}=\square$ ?

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Problem 14225

Gegeben sind $f(x)=-x^{2}+4$ und $g(x)=x^{2}-5x+6$ . Finde Ableitungen, Graphen, Steigungen, Tangente und Grenzwert.

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Problem 14226

Gegeben sind $f(x)=-x^{2}+4$ und $g(x)=x^{2}-5x+6$ . Bestimmen Sie $f'$ , $g'$ , und die Steigung von $f$ bei $x=1$ .

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Problem 14227

Bestimme die Zeit, wann ein Heißluftballon mit der Funktion $h(x)=-x^3+7.9x^2-15.47x+9$ maximal aufsteigt.
Berechne die Arbeit für eine Feder mit $y=2x$ nach $60 \text{ cm}$ und allgemein nach $x \text{ cm}$ .
Zeige, dass $f(x)=(x-a)^3$ bei $x=a$ eine Wendestelle hat.

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Problem 14228

Find the derivative of $f(x)=\sqrt{x} \cdot (x+x^{2})$ .

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Problem 14229

Bestimme den Zeitpunkt, an dem der Heißluftballon mit maximaler Geschwindigkeit aufsteigt, gegeben $h(x)=-x^{3}+7,9x^{2}-15,47x+9$ für $0 \leq x \leq 6$ .

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Problem 14230

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion $f(x)=\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x^{2}}$ .

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Problem 14231

Find the derivative of the function $\left(x^{3}-x\right)^{-2}$ .

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Problem 14232

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\cos \frac{1}{x}-\frac{6 x^{3}+8 x}{2 x^{3}}\right)$ .

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Problem 14233

Bestimmen Sie die Stetigkeit des Graphen der Funktion $f(x) = \begin{cases}-x^{3} & \text{für } x \leq 1 \\ \sin\left(\frac{\pi}{2} x\right) & \text{für } x > 1\end{cases}$ .

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Problem 14234

Find the limit as $x$ approaches 1 for the expression $4x - 2x^2$ .

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Problem 14235

Find the derivative of $f(x)=\sqrt{2x+1} \cdot \sqrt{x}$ .

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Problem 14236

Bestimme den Zeitpunkt, an dem der Heißluftballon mit maximaler Geschwindigkeit aufsteigt, für $h(x)=-x^{3}+7,9 x^{2}-15,47 x+9$ im Intervall 0-6 Minuten.

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Problem 14237

Berechne die Arbeit, die für eine Feder mit $y=2x$ nach $60 \mathrm{~cm}$ und allgemein nach $x \mathrm{~cm}$ verrichtet wird.

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Problem 14238

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow 7} \frac{\sqrt{x+9}-4}{x-7}$ .

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Problem 14239

Find $\lim _{x \rightarrow 1^{+}} g(x)$ for the piecewise function $g(x)$ defined as: $g(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{6}{x}-\frac{x}{2}, & x<-3 \\ x^{2}-\frac{12}{x}, & -3<x<1 \\ \sqrt{10-x}, & x \geq 1\end{array}\right.$

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Problem 14240

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{x+2}-\frac{1}{2}}{x}$ .

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Problem 14241

Bestimme, ob die Funktionen a) Temperatur, b) Kfz-Steuer ( $13 €$ pro 100 $\mathrm{~cm}^{3}$ ), c) Tageszinsen stetig oder unstetig sind.

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Problem 14242

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow-3} \frac{2 x^{2}+7 x+3}{x+3}$ .

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Problem 14243

f. Bestimme, wann der Heißluftballon mit maximaler Geschwindigkeit aufsteigt für die Funktion $\mathrm{h}(\mathrm{x})=-x^{3}+7,9 x^{2}-15,47 x+9$ im Intervall 0-6 Minuten.
g. Berechne die Arbeit nach $60 \mathrm{~cm}$ und nach $x \mathrm{~cm}$ für die Kraft $y=2x$ (in $\mathrm{cm}$ ).
h. Zeige, dass die Funktion $f(x)=(x-a)^{3}$ an der Stelle $a$ eine Wendestelle hat.

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Problem 14244

Gegeben sind die Funktionen $f(x)=-x^{2}+4$ und $g(x)=x^{2}-5 x+6$ . Bestimme $f', g'$ und beantworte die Fragen a) bis h).

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Problem 14245

Gegeben sind die Funktionen $f(x)=-x^{2}+4$ und $g(x)=x^{2}-5x+6$ .
a) Finde $f^{\prime}$ und $g^{\prime}$ . b) Zeichne die Graphen von $f$ , $g$ , $f^{\prime}$ und $g^{\prime}$ . c) Wo haben $f$ und $g$ dieselbe Steigung? d) Bestimme die Tangentengleichung an $f$ bei $x=-1,5$ . e) Finde $a$ und $P$ für $h(x)=3x+a$ an $g$ . f) Berechne die Steigung von $f$ bei $x_{0}=1$ mit dem Differentialquotienten. g) Zeige, dass die Tangenten in den Schnittpunkten einen bestimmten Winkel bilden. h) Berechne $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{g(x)}$ .

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Problem 14246

Gegeben die Funktionen $f(x)=x^{3}-3 x^{2}-x+4$ und $g(x)=-4 x+5$ .
a) Zeichne die Graphen von $f$ und $g$ .
b) Bestimme $f^{\prime}(x)$ und $g^{\prime}(x)$ .
c) Zeige die gleiche Steigung an ihrem Schnittpunkt.
d) Bestimme Punkte, wo Tangenten von $f$ senkrecht zu $g$ sind.
e) Zeige die Parallele zur $x$ -Achse durch $y=1$ in Winkeln.

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Problem 14247

Find the Elasticity of Demand for the function $D(p)=400-4 p^{2}$ at the price of \$3.

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Problem 14248

Find the limit: $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\ln (2+h)-\ln (2)}{h}$ .

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Problem 14249

Bestimme den Punkt, an dem der Graph der Funktion $f(x)=-\frac{1}{6} x^{3}+x^{2}-2$ die stärkste Steigung hat.

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Problem 14250

Find the side length $x$ for maximum area of the field given by $A(x)=320x-x^2$ . What is the maximum area?

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Problem 14251

Bestimmen Sie die Ableitung von $f(x)=\sqrt{x^{2}-5}$ .

See Solution

Problem 14252

Find the derivative of $y=\frac{4}{x^{2}}+2 \sqrt[4]{x^{5}}$ using the power rule.

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Problem 14253

Berechne die Arbeit, die bei einer Feder mit der Kraftfunktion $y=2x$ nach $60 \mathrm{~cm}$ und nach $\mathrm{xcm}$ verrichtet wird.

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Problem 14254

Find the derivative of the function $h(x)=\frac{g(x)}{x^{2}+1}$ . What is $h^{\prime}(x)$ ?

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Problem 14255

Zeige, dass die Funktion $f(x)=(x-a)^{3}$ eine Wendestelle hat. (3Pkt)

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Problem 14256

Find the derivative of the function $h(x)=g(x)(x^{2}+1)$ . What is $h^{\prime}(x)$ ?

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Problem 14257

Bestimmen Sie die Ableitung von $f_{a}(x)=a x^{4}-4 x^{3}+a^{2} x$ und die Steigung bei $x=0$ für $a>0$ .

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Problem 14258

Given $g(1)=0$ , $g'(1)=2$ , $h(1)=-1$ , $h'(1)=5$ , find $f'(1)$ for $f(x)=g(x)h(x)$ .

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Problem 14259

Given $g(1)=0$ , $g'(1)=2$ , $h(1)=-1$ , and $h'(1)=5$ , find $f'(1)$ for $f(x)=g(x)h(x)$ .

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Problem 14260

Is the function $g(x)$ differentiable at $x=3$ ? Justify using the limit definition of differentiability. $g(x)=\begin{cases} x^{2}, & x \leq 3 \\ 6x-9, & x>3 \end{cases}$

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Problem 14261

Is the function $g(x)$ differentiable at $x=3$ ? Use limits to justify your answer. $g(x)=\{x^2, x \leq 3; 6x-9, x>3\}$

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Problem 14262

Given a function $f$ with points $(-4,-6)$ , $(-2,2)$ , $(2,-4)$ , find:
(a) Where $f^{\prime}(x)=0$ and its sign intervals. What do these mean for $f$ ?
(b) Where $f^{\prime \prime}(x)=0$ and its sign intervals. What do these mean for $f$ ?
(c) The interval where $f^{\prime}$ is increasing.
(d) The $x$ value where $f^{\prime}(x)$ is minimum and its comparison to other rates of change.

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Problem 14263

Find the derivative $\frac{d y}{d x}$ using implicit differentiation for the equation $x e^{y}-16 x+8 y=0$ .

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Problem 14264

Define the limit for the differentiability of a continuous function $a$ at $x=3$ .

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Problem 14265

Find the slope $\frac{d y}{d x}$ using implicit differentiation for $x^{3}+y^{3}=12xy-8$ at point $(6,4)$ .

See Solution

Problem 14266

Find $dy/dx$ using implicit differentiation for $xy=24$ and the slope at the point $(-4,-6)$ .

See Solution

Problem 14267

Given the function $f(x)=\sqrt{x-6}$ for $x>6$ , find its domain, check continuity, compute $f^{\prime}(x)$ , and determine inverse values.

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Problem 14268

Bestimmen Sie die Extrempunkte von $f(x)=\frac{1}{4} x^{4}-x+1$ und $g(x)=-x^{2} \cdot(x+2)^{2}-2$ .

See Solution

Problem 14269

Show that $f$ has an inverse and find $\left(f^{-1}\right)^{\prime}(2)$ for $f(x)=\frac{x+6}{x+1}, x>-1$ .

See Solution

Problem 14270

Find the derivative of $f(t) = t^{2} \cos(2t)$ .

See Solution

Problem 14271

Find $f^{\prime}(0)$ for $f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$ given $g(0)=7$ , $g^{\prime}(0)=3$ , $h(0)=-2$ , and $h^{\prime}(0)=-8$ .

See Solution

Problem 14272

Find the derivative of the inverse function at $a=-8$ for $f(x)=\frac{1}{8}(x^{5}+4x^{3})$ .

See Solution

Problem 14273

Find the limit of the sequence $\frac{n \sqrt{n-1}}{3+(-1)^{n}}$ .

See Solution

Problem 14274

Which statement is never true for a function $f(x)$ at $x=a$ ? a. neither continuous nor differentiable b. continuous but not differentiable c. differentiable but not continuous d. both continuous and differentiable

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Problem 14275

Show that $f(x)=x^{3}-4$ has an inverse, then find $\left(f^{-1}\right)^{\prime}(121)$ . Enter DNE if it doesn't exist.

See Solution

Problem 14276

Gegeben sind $f(x)=-x^{2}+4$ und $g(x)=x^{2}-5 x+6$ . Finde Ableitungen, Graphen, Steigungen, Tangenten und Grenzwert.

See Solution

Problem 14277

Find the limit as x approaches -1 for the expression $\frac{x+1}{x^{2}-5x-6}$ .

See Solution

Problem 14278

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\ln x}{x^{2}}$ .

See Solution

Problem 14279

Calculate the integral of the function: $\int(3 x^{2}-6 x+3) \, dx$ .

See Solution

Problem 14280

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow-1} \frac{9 x^{4}+9 x^{3}+3 x+3}{x+1}$ using l'Hôpital's Rule if needed.

See Solution

Problem 14281

Find the tangent line equation for $g(x)=2f(x)+4$ at $x=8$ given $f^{\prime}(8)=5$ and $f(8)=3$ .

See Solution

Problem 14282

Water is wetting a circular area expanding at $10 \mathrm{~mm}^{2}/\mathrm{s}$ . Find the radius expansion rate when radius is $112 \mathrm{~mm}$ .

See Solution

Problem 14283

Find the limit using l'Hôpital's Rule: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{5 x^{2}}{2 \ln (\sec x)}$ .

See Solution

Problem 14284

Given $f(x)=-\ln (x+2)-6$ , find its asymptote, domain, range, $y$ -intercept, and both limits as $x \to -2^+$ and $x \to \infty$ .

See Solution

Problem 14285

Find the limit using l'Hôpital's Rule: $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln \left(x^{2}+5 x\right)}{\ln x}$

See Solution

Problem 14286

Gallium citrate-67's half-life is 3.25 days.
a. Find the equation $f(t)$ for the remaining percentage at $t$ days. b. Calculate $f(2)$ for 2 days post-injection. c. When is $f(t) = 0.39\%$ for resuming breast-feeding?

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Problem 14287

Find the asymptote, domain, range, $y$ -intercept, and limits of $f(x)=-\ln (x+2)-6$ .

See Solution

Problem 14288

Gegeben sind $f(x)=x^{3}-3 x^{2}-x+4$ und $g(x)=-4 x+5$ . Untersuchen Sie ihre Graphen, Ableitungen und Steigungen.

See Solution

Problem 14289

Given functions $f$ and $g$ with values $f(1)=3$ , $f'(1)=2$ , $g(1)=3$ , $g'(1)=-3$ , find $b'(1)$ for $b(x)=f(x)g(x)$ . Options: a. $\frac{15}{9}$ b. -6 c. 3 d. 15

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Problem 14290

Find the limit using l'Hôpital's Rule: $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\ln x}{5 x-x^{2}-4}$

See Solution

Problem 14291

Bestimmen Sie die Ableitung von $f(x)=(\sqrt{x}-1)^{2}$ .

See Solution

Problem 14292

Evaluate the limit using l'Hôpital's Rule: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{4 x}-1}{x^{2}+2 x}$

See Solution

Problem 14293

Find the limit using I'Hôpital's rule: $\lim _{x \rightarrow \infty} 7 x^{-2} e^{x}$ .

See Solution

Problem 14294

Evaluate the limit: $\lim _{x \rightarrow 0}(\csc 4 x \sin 7 x)$ using l'Hôpital's Rule when applicable.

See Solution

Problem 14295

Let $h(x)=|x|$ . Which statements about $h$ are true: I. $\lim _{x \rightarrow 0} h(x)$ exists, II. $h$ is continuous at $x=0$ , III. $h$ is differentiable at $x=0$ ? Choices: a. I only, b. II only, c. I and II only, d. I, II, and III.

See Solution

Problem 14296

Find the derivative $d y$ of the function $y=2 x^{5}-9 \sqrt{7 x}$ .

See Solution

Problem 14297

Find the minimum number of bacteria in $N(t)=20\left(\frac{t}{12}-\ln \left(\frac{t}{12}\right)\right)+30$ for $t$ in [0, 14].

See Solution

Problem 14298

Bestimme die Ableitung von $k(x)=(1+x^{2})^{2}$ .

See Solution

Problem 14299

Bestimme die Ableitung der Funktion $K(x)=\sqrt{4-2x}$ .

See Solution

Problem 14300

Find the derivative of $f(x)=(2x-1)^{4} \cdot 3x^{2}$ .

See Solution

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337

Calculus

Problem 14201

Finde die Ableitung von −1x-\frac{1}{x}−x1​.

Problem 14202

Bestimme die Tangentengleichung der Funktion x3−2x2−3x+5x^{3}-2 x^{2}-3 x+5x3−2x2−3x+5 bei x=2x=2x=2.

Problem 14203

Problem 14204

A 68 kg diver drops from 12 m. What is her speed upon hitting the water? a. 13 m/s b. 15 m/s c. 14 m/s d. 16 m/s e. None.

Problem 14205

Find the derivative of f(x)=ln⁡(7xx+8)f(x)=\ln \left(\frac{7 x}{x+8}\right)f(x)=ln(x+87x​).

Problem 14206

Find the second derivative of the function f(x)=sin⁡(9x2)f(x)=\sin(9x^{2})f(x)=sin(9x2).

Problem 14207

Find the second derivative of the function f(x)=115x−8f(x)=\frac{1}{15x-8}f(x)=15x−81​.

Problem 14208

Find the derivative of y=ln⁡(x2−4)y=\ln \left(\sqrt{x^{2}-4}\right)y=ln(x2−4​).

Problem 14209

Find the value of ∫010f(x)dx\int_{0}^{10} f(x) d x∫010​f(x)dx given ∫03f(x)dx=2\int_{0}^{3} f(x) d x=2∫03​f(x)dx=2 and ∫310f(x)dx=5\int_{3}^{10} f(x) d x=5∫310​f(x)dx=5.

Problem 14210

Find ∫04(f(x)+g(x))dx\int_{0}^{4}(f(x)+g(x)) d x∫04​(f(x)+g(x))dx given ∫04f(x)dx=9\int_{0}^{4} f(x) d x=9∫04​f(x)dx=9 and ∫04g(x)dx=4\int_{0}^{4} g(x) d x=4∫04​g(x)dx=4.

Problem 14211

A coffee has 100mg100 \mathrm{mg}100mg caffeine, leaving at 17%17\%17% per hour. Find the formula for caffeine after ttt hours and its half-life. For interest, calculate the rate for \$5,500 growing to \$38,455 in 30 years with monthly compounding. Then find the value if compounded continuously.

Problem 14212

Problem 14213

Find the derivative of h(x)=ln⁡(4x2+3)h(x)=\ln(4x^{2}+3)h(x)=ln(4x2+3).

Problem 14214

Approximate ∫02.42+x2 dx\int_0^{2.4} \sqrt{2+x^{2}} \, dx∫02.4​2+x2​dx using Midpoint Rule with n=3n=3n=3. Provide as many decimals as possible.

Problem 14215

Find the derivative of the function y=e−x4y=e^{-x^{4}}y=e−x4.

Problem 14216

Find the derivative of the function f(t)=8sec⁡6(πt−3)f(t)=8 \sec ^{6}(\pi t-3)f(t)=8sec6(πt−3).

Problem 14217

A 2.2 kg2.2 \mathrm{~kg}2.2 kg hawk dives from 15 m/s15 \mathrm{~m/s}15 m/s to 40 m/s40 \mathrm{~m/s}40 m/s. Find its height above Earth.

Problem 14218

Bestimme die Intervalle, in denen fff streng monoton wachsend oder fallend ist für: a) f(x)=x(x−9)f(x)=\sqrt{x}(x-9)f(x)=x​(x−9), b) f(x)=(x+1)2(x−2)f(x)=(x+1)^{2}(x-2)f(x)=(x+1)2(x−2), c) f(x)=4x2(1−x)2f(x)=4x^{2}(1-x)^{2}f(x)=4x2(1−x)2.

Problem 14219

Find the derivative of the function y=e8xe8x+1y=\frac{e^{8x}}{e^{8x}+1}y=e8x+1e8x​.

Problem 14220

Find the derivative u′u^{\prime}u′ of u=sec⁡(πt−3)u=\sec(\pi t-3)u=sec(πt−3) and apply the Chain Rule to get u′=sec⁡(v)tan⁡(v)v′u^{\prime} = \sec(v) \tan(v) v^{\prime}u′=sec(v)tan(v)v′. What is v′v^{\prime}v′?

Problem 14221

Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen: a) f(x)=320x5−2x3+xf(x)=\frac{3}{20} x^{5}-2 x^{3}+xf(x)=203​x5−2x3+x, b) f(x)=14x4+3x3−2f(x)=\frac{1}{4} x^{4}+3 x^{3}-2f(x)=41​x4+3x3−2, c) f(x)=x4−2x3f(x)=x^{4}-2 x^{3}f(x)=x4−2x3. Bestimmen Sie die Krümmung mit der zweiten Ableitung.

Problem 14222

Calculate the limit of the sequence an=n(n3+n+23−n)a_{n}=n\left(\sqrt[3]{n^{3}+n+2}-n\right)an​=n(3n3+n+2​−n) or explain why it doesn't exist.

Problem 14223

Bestimmen Sie die Ableitungen f′f^{\prime}f′ und g′g^{\prime}g′ für f(x)=−x2+4f(x)=-x^{2}+4f(x)=−x2+4 und g(x)=x2−5x+6g(x)=x^{2}-5x+6g(x)=x2−5x+6 und zeichnen Sie die Graphen.

Problem 14224

Find the derivative of y=x2e−9xy=x^{2} e^{-9 x}y=x2e−9x. What is dydx=□\frac{d y}{d x}=\squaredxdy​=□?

Problem 14225

Gegeben sind f(x)=−x2+4f(x)=-x^{2}+4f(x)=−x2+4 und g(x)=x2−5x+6g(x)=x^{2}-5x+6g(x)=x2−5x+6. Finde Ableitungen, Graphen, Steigungen, Tangente und Grenzwert.

Problem 14226

Gegeben sind f(x)=−x2+4f(x)=-x^{2}+4f(x)=−x2+4 und g(x)=x2−5x+6g(x)=x^{2}-5x+6g(x)=x2−5x+6. Bestimmen Sie f′f'f′, g′g'g′, und die Steigung von fff bei x=1x=1x=1.

Problem 14227

Problem 14228

Find the derivative of f(x)=x⋅(x+x2)f(x)=\sqrt{x} \cdot (x+x^{2})f(x)=x​⋅(x+x2).

Problem 14229

Bestimme den Zeitpunkt, an dem der Heißluftballon mit maximaler Geschwindigkeit aufsteigt, gegeben h(x)=−x3+7,9x2−15,47x+9h(x)=-x^{3}+7,9x^{2}-15,47x+9h(x)=−x3+7,9x2−15,47x+9 für 0≤x≤60 \leq x \leq 60≤x≤6.

Problem 14230

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f(x)=1x⋅1x2f(x)=\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x^{2}}f(x)=x1​⋅x21​.

Problem 14231

Find the derivative of the function (x3−x)−2\left(x^{3}-x\right)^{-2}(x3−x)−2.

Problem 14232

Find the limit: lim⁡x→∞(cos⁡1x−6x3+8x2x3)\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\cos \frac{1}{x}-\frac{6 x^{3}+8 x}{2 x^{3}}\right)limx→∞​(cosx1​−2x36x3+8x​).

Problem 14233

Bestimmen Sie die Stetigkeit des Graphen der Funktion f(x)={−x3fu¨r x≤1sin⁡(π2x)fu¨r x>1f(x) = \begin{cases}-x^{3} & \text{für } x \leq 1 \\ \sin\left(\frac{\pi}{2} x\right) & \text{für } x > 1\end{cases}f(x)={−x3sin(2π​x)​fu¨r x≤1fu¨r x>1​.

Problem 14234

Find the limit as xxx approaches 1 for the expression 4x−2x24x - 2x^24x−2x2.

Problem 14235

Find the derivative of f(x)=2x+1⋅xf(x)=\sqrt{2x+1} \cdot \sqrt{x}f(x)=2x+1​⋅x​.

Problem 14236

Bestimme den Zeitpunkt, an dem der Heißluftballon mit maximaler Geschwindigkeit aufsteigt, für h(x)=−x3+7,9x2−15,47x+9h(x)=-x^{3}+7,9 x^{2}-15,47 x+9h(x)=−x3+7,9x2−15,47x+9 im Intervall 0-6 Minuten.

Problem 14237

Berechne die Arbeit, die für eine Feder mit y=2xy=2xy=2x nach 60 cm60 \mathrm{~cm}60 cm und allgemein nach x cmx \mathrm{~cm}x cm verrichtet wird.

Problem 14238

Find the limit: lim⁡x→7x+9−4x−7\lim _{x \rightarrow 7} \frac{\sqrt{x+9}-4}{x-7}limx→7​x−7x+9​−4​.

Problem 14239

Problem 14240

Find the limit: lim⁡x→01x+2−12x\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{x+2}-\frac{1}{2}}{x}limx→0​xx+21​−21​​.

Problem 14241

Bestimme, ob die Funktionen a) Temperatur, b) Kfz-Steuer (13€13 €13€ pro 100 cm3\mathrm{~cm}^{3} cm3), c) Tageszinsen stetig oder unstetig sind.

Problem 14242

Finde die Ableitung von $-\frac{1}{x}$ .

Bestimme die Tangentengleichung der Funktion $x^{3}-2 x^{2}-3 x+5$ bei $x=2$ .

Find the derivative of $f(x)=\ln \left(\frac{7 x}{x+8}\right)$ .

Find the second derivative of the function $f(x)=\sin(9x^{2})$ .

Find the second derivative of the function $f(x)=\frac{1}{15x-8}$ .

Find the derivative of $y=\ln \left(\sqrt{x^{2}-4}\right)$ .

Find the value of $\int_{0}^{10} f(x) d x$ given $\int_{0}^{3} f(x) d x=2$ and $\int_{3}^{10} f(x) d x=5$ .

Find $\int_{0}^{4}(f(x)+g(x)) d x$ given $\int_{0}^{4} f(x) d x=9$ and $\int_{0}^{4} g(x) d x=4$ .

A coffee has $100 \mathrm{mg}$ caffeine, leaving at $17\%$ per hour. Find the formula for caffeine after $t$ hours and its half-life.
For interest, calculate the rate for \$5,500 growing to \$38,455 in 30 years with monthly compounding. Then find the value if compounded continuously.

Find the derivative of $h(x)=\ln(4x^{2}+3)$ .

Approximate $\int_0^{2.4} \sqrt{2+x^{2}} \, dx$ using Midpoint Rule with $n=3$ . Provide as many decimals as possible.

Find the derivative of the function $y=e^{-x^{4}}$ .

Find the derivative of the function $f(t)=8 \sec ^{6}(\pi t-3)$ .

A $2.2 \mathrm{~kg}$ hawk dives from $15 \mathrm{~m/s}$ to $40 \mathrm{~m/s}$ . Find its height above Earth.

Bestimme die Intervalle, in denen $f$ streng monoton wachsend oder fallend ist für: a) $f(x)=\sqrt{x}(x-9)$ , b) $f(x)=(x+1)^{2}(x-2)$ , c) $f(x)=4x^{2}(1-x)^{2}$ .

Find the derivative of the function $y=\frac{e^{8x}}{e^{8x}+1}$ .

Find the derivative $u^{\prime}$ of $u=\sec(\pi t-3)$ and apply the Chain Rule to get $u^{\prime} = \sec(v) \tan(v) v^{\prime}$ . What is $v^{\prime}$ ?

Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen: a) $f(x)=\frac{3}{20} x^{5}-2 x^{3}+x$ , b) $f(x)=\frac{1}{4} x^{4}+3 x^{3}-2$ , c) $f(x)=x^{4}-2 x^{3}$ . Bestimmen Sie die Krümmung mit der zweiten Ableitung.

Calculate the limit of the sequence $a_{n}=n\left(\sqrt[3]{n^{3}+n+2}-n\right)$ or explain why it doesn't exist.

Bestimmen Sie die Ableitungen $f^{\prime}$ und $g^{\prime}$ für $f(x)=-x^{2}+4$ und $g(x)=x^{2}-5x+6$ und zeichnen Sie die Graphen.

Find the derivative of $y=x^{2} e^{-9 x}$ . What is $\frac{d y}{d x}=\square$ ?

Gegeben sind $f(x)=-x^{2}+4$ und $g(x)=x^{2}-5x+6$ . Finde Ableitungen, Graphen, Steigungen, Tangente und Grenzwert.

Gegeben sind $f(x)=-x^{2}+4$ und $g(x)=x^{2}-5x+6$ . Bestimmen Sie $f'$ , $g'$ , und die Steigung von $f$ bei $x=1$ .

Find the derivative of $f(x)=\sqrt{x} \cdot (x+x^{2})$ .

Bestimme den Zeitpunkt, an dem der Heißluftballon mit maximaler Geschwindigkeit aufsteigt, gegeben $h(x)=-x^{3}+7,9x^{2}-15,47x+9$ für $0 \leq x \leq 6$ .

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion $f(x)=\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x^{2}}$ .

Find the derivative of the function $\left(x^{3}-x\right)^{-2}$ .

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\cos \frac{1}{x}-\frac{6 x^{3}+8 x}{2 x^{3}}\right)$ .

Bestimmen Sie die Stetigkeit des Graphen der Funktion $f(x) = \begin{cases}-x^{3} & \text{für } x \leq 1 \\ \sin\left(\frac{\pi}{2} x\right) & \text{für } x > 1\end{cases}$ .

Find the limit as $x$ approaches 1 for the expression $4x - 2x^2$ .

Find the derivative of $f(x)=\sqrt{2x+1} \cdot \sqrt{x}$ .

Bestimme den Zeitpunkt, an dem der Heißluftballon mit maximaler Geschwindigkeit aufsteigt, für $h(x)=-x^{3}+7,9 x^{2}-15,47 x+9$ im Intervall 0-6 Minuten.

Berechne die Arbeit, die für eine Feder mit $y=2x$ nach $60 \mathrm{~cm}$ und allgemein nach $x \mathrm{~cm}$ verrichtet wird.

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow 7} \frac{\sqrt{x+9}-4}{x-7}$ .

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{x+2}-\frac{1}{2}}{x}$ .

Bestimme, ob die Funktionen a) Temperatur, b) Kfz-Steuer ( $13 €$ pro 100 $\mathrm{~cm}^{3}$ ), c) Tageszinsen stetig oder unstetig sind.

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow-3} \frac{2 x^{2}+7 x+3}{x+3}$ .

Gegeben sind die Funktionen $f(x)=-x^{2}+4$ und $g(x)=x^{2}-5 x+6$ . Bestimme $f', g'$ und beantworte die Fragen a) bis h).

Find the Elasticity of Demand for the function $D(p)=400-4 p^{2}$ at the price of \$3.

Find the limit: $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\ln (2+h)-\ln (2)}{h}$ .

Bestimme den Punkt, an dem der Graph der Funktion $f(x)=-\frac{1}{6} x^{3}+x^{2}-2$ die stärkste Steigung hat.

Find the side length $x$ for maximum area of the field given by $A(x)=320x-x^2$ . What is the maximum area?

Bestimmen Sie die Ableitung von $f(x)=\sqrt{x^{2}-5}$ .

Find the derivative of $y=\frac{4}{x^{2}}+2 \sqrt[4]{x^{5}}$ using the power rule.

Berechne die Arbeit, die bei einer Feder mit der Kraftfunktion $y=2x$ nach $60 \mathrm{~cm}$ und nach $\mathrm{xcm}$ verrichtet wird.

Find the derivative of the function $h(x)=\frac{g(x)}{x^{2}+1}$ . What is $h^{\prime}(x)$ ?

Zeige, dass die Funktion $f(x)=(x-a)^{3}$ eine Wendestelle hat. (3Pkt)

Find the derivative of the function $h(x)=g(x)(x^{2}+1)$ . What is $h^{\prime}(x)$ ?

Bestimmen Sie die Ableitung von $f_{a}(x)=a x^{4}-4 x^{3}+a^{2} x$ und die Steigung bei $x=0$ für $a>0$ .

Given $g(1)=0$ , $g'(1)=2$ , $h(1)=-1$ , $h'(1)=5$ , find $f'(1)$ for $f(x)=g(x)h(x)$ .

Given $g(1)=0$ , $g'(1)=2$ , $h(1)=-1$ , and $h'(1)=5$ , find $f'(1)$ for $f(x)=g(x)h(x)$ .

Is the function $g(x)$ differentiable at $x=3$ ? Justify using the limit definition of differentiability. $g(x)=\begin{cases} x^{2}, & x \leq 3 \\ 6x-9, & x>3 \end{cases}$

Is the function $g(x)$ differentiable at $x=3$ ? Use limits to justify your answer. $g(x)=\{x^2, x \leq 3; 6x-9, x>3\}$

Find the derivative $\frac{d y}{d x}$ using implicit differentiation for the equation $x e^{y}-16 x+8 y=0$ .

Define the limit for the differentiability of a continuous function $a$ at $x=3$ .

Find the slope $\frac{d y}{d x}$ using implicit differentiation for $x^{3}+y^{3}=12xy-8$ at point $(6,4)$ .

Find $dy/dx$ using implicit differentiation for $xy=24$ and the slope at the point $(-4,-6)$ .

Given the function $f(x)=\sqrt{x-6}$ for $x>6$ , find its domain, check continuity, compute $f^{\prime}(x)$ , and determine inverse values.

Bestimmen Sie die Extrempunkte von $f(x)=\frac{1}{4} x^{4}-x+1$ und $g(x)=-x^{2} \cdot(x+2)^{2}-2$ .

Show that $f$ has an inverse and find $\left(f^{-1}\right)^{\prime}(2)$ for $f(x)=\frac{x+6}{x+1}, x>-1$ .

Find the derivative of $f(t) = t^{2} \cos(2t)$ .

Find $f^{\prime}(0)$ for $f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$ given $g(0)=7$ , $g^{\prime}(0)=3$ , $h(0)=-2$ , and $h^{\prime}(0)=-8$ .

Find the derivative of the inverse function at $a=-8$ for $f(x)=\frac{1}{8}(x^{5}+4x^{3})$ .

Find the limit of the sequence $\frac{n \sqrt{n-1}}{3+(-1)^{n}}$ .

Which statement is never true for a function $f(x)$ at $x=a$ ? a. neither continuous nor differentiable b. continuous but not differentiable c. differentiable but not continuous d. both continuous and differentiable