Calculus

Problem 17801

Berechnen Sie den Flächeninhalt unter $f(x) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{5}{2}x$ von $x = 2$ bis $x = 5$ .

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Problem 17802

Find the limit: $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{12 n^{3}+n}-\sqrt{12 n^{3}-5 n}$ .

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Problem 17803

Berechnen Sie das Integral: $\int_{0}^{2} e^{-(x-3)} d x$

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Problem 17804

Find the limit as $x$ approaches 0 for the expression $\frac{\cos 5 x}{5}$ .

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Problem 17805

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow \frac{3 \pi}{2}} x \sin x$ .

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Problem 17806

Find the limit as $x$ approaches 0 for $\frac{\sin 3 x}{7 x}$ .

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Problem 17807

Find the limit as $x$ approaches 0 for $\frac{3 \tan 2 x}{6 x}$ .

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Problem 17808

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos 2 x}{3 x}$ .

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Problem 17809

Find the limit as $x$ approaches 0 for $\frac{x-\sin 3x}{3x-\sin x}$ .

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Problem 17810

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan ^{2} x}{2 x}$ .

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Problem 17811

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow \pi} 3 x \cos x$ .

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Problem 17812

Find the limit as $x$ approaches 0 for $\frac{\cos 5 x \tan 7 x}{3 x}$ .

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Problem 17813

Bestimmen Sie die Förderquote $f(t)$ für Kupfererz und beantworten Sie Fragen zu Zeitraum, Maximalquote und Durchschnitt.

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Problem 17814

Use the squeeze theorem to find $\lim_{x \to 0} x \cos \frac{1}{x} = 0$ and $\lim_{x \to 0} f(x)$ for $5 - 4x^2 \leq f(x) \leq 5 + 4x^2$ .

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Problem 17815

Find the limit as $x$ approaches $\pi$ for the expression $\frac{\sin 3x}{2x}$ .

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Problem 17816

Find the limit as $x$ approaches 0 of $\frac{\tan ^{2} x}{2 x}$ .

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Problem 17817

Bestimme den Wendepunkt und die Wendetangente der Funktion $f(x)=x^{3}+3x^{2}-4$ . Finde die Länge der Strecke $\overline{PQ}$ .

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Problem 17818

Given the equation $2 x^{2} - 1 x p + 50 p^{2} = 31200$ , find the demand's rate of change when $p = 20$ and $\frac{dp}{dt} = 2$ .

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Problem 17819

Find the rate of change of total resistance $R$ for resistors $R_{1}=80 \Omega$ and $R_{2}=100 \Omega$ with rates $.3$ and $.2 \Omega/s$ .

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Problem 17820

Bestimmen Sie die Grenzwerte für $x \rightarrow+\infty$ und $x \rightarrow-\infty$ sowie die Asymptoten für die Funktionen: a) $f(x) = 1,1^{x}$ , b) $g(x) = 3 \cdot \frac{1}{x-4}-7$ , c) $h(x) = 0,75^{x}$ , d) $i(x) = \sin(0,5 x)$ .

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Problem 17821

A 13 ft ladder leans against a wall. If the top slips down at $3 \mathrm{ft/s}$ , how fast is the foot moving when the top is 8 ft up? The foot moves at $\square \mathrm{ft/s}$ .

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Problem 17822

A point moves along $xy=1$ with $\frac{dy}{dt}=3$ . Find $\frac{dx}{dt}$ when $x=3$ . $\frac{dx}{dt} =$

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Problem 17823

Find the value of the series $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(5 k-2)(5 k+3)}$ .

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Problem 17824

Finde die Punkte, wo die Funktion $f(x) = x^2 - 2x - 3$ eine Steigung von $m=6$ hat.

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Problem 17825

Calculate the series value: $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(5 k-2)(5 k+3)}$ .

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Problem 17826

Find the Laplace operator applied to $h(x, y, z)=e^{-3 x} \sin (-7 y)$ . Calculate $\nabla^{2} h$ .

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Problem 17827

At $t=2$ min, is the sand leak rate speeding up or slowing down if $\mu=6$ ? Justify your answer.

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Problem 17828

Compute for the vector field $\mathbf{F}=(8 y z) \mathbf{i}+(5 x z) \mathbf{j}+(10 x y) \mathbf{k}$ : A. $\nabla \cdot \mathbf{F}=$ , B. $\nabla \times \mathbf{F}=\square \mathbf{i}+\square \mathbf{j}+\square \mathbf{k}$ , C. $\nabla \cdot(\nabla \times \mathbf{F})=$

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Problem 17829

Use linear approximation to estimate $\sqrt{64.1}$ with $f(x)=\sqrt{x}$ at $x=64$ . Find $m$ and $b$ for $y=m x+b$ . $m=1/16$ , $b=4$ . What is the approximation for $\sqrt{64.1}$ ?

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Problem 17830

Ein Ball wird nach oben geschossen. Gegeben ist die Funktion $h(t)=-5 t^{2}+64 t$ .
a) Bestimme die Definitionsmenge von $h$ und begründe es. b) Finde die mittlere Geschwindigkeit in 3s und die Momentangeschwindigkeit nach 2s. c) Bestimme den höchsten Punkt und die maximale Höhe.

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Problem 17831

Find the linearization $L(x)$ of $g(x)=x f(x^2)$ at $x=2$ given $f(2)=0$ , $f'(2)=8$ , $f(4)=4$ , $f'(4)=-3$ .

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Problem 17832

Finde die Punkte, wo die Tangente der Funktionen die Steigung 4 hat: a) $f(x)=x^{2}$ , b) $f(x)=x^{4}$ , c) $f(x)=\frac{1}{x^{4}}$ , d) $f(x)=x^{3}$ .

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Problem 17833

Find numbers satisfying the Mean Value Theorem for $f(x)=3x^{2}+2x+5$ on $[-1,1]$ .

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Problem 17834

Bestimme die Ableitungen für die Funktionen: a) $f(x)=x^{\frac{1}{3}}$ , b) $f(x)=\sqrt{x}$ , c) $f(x)=\frac{1}{x^{3}}$ , d) $f(x)=x^{\frac{3}{2}}$ , e) $f(x)=\sqrt[4]{x}$ , f) $f(x)=\sqrt[6]{x}$ , g) $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ , h) $f(x)=x^{\frac{3}{4}}$ .

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Problem 17835

Find the limits of these sequences or prove divergence: a) $a_{n}=\sin \frac{\pi}{n}$ , b) $a_{n}=\sin n$ , c) $a_{n}=\frac{1-n}{1-2 \sqrt{n}}$ , d) $a_{n}=\frac{1+\sqrt[99]{n}}{1+\sqrt[100]{n}}$ .

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Problem 17836

Berechnen Sie den Flächeninhalt zwischen dem Graphen von $f$ und der X-Achse über dem Intervall $I$ . Bestimmen Sie zuerst die Nullstellen von $f$ .
a) $f(x)=x^{3}+2 x^{2}-3 x$ , $I=[-2 ; 2,5]$ b) $f(x)=(x+2)(x-1)^{2}$ , $I=[-2 ; 2]$

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Problem 17837

Finde die Punkte, wo die Tangente von $\mathrm{f}$ parallel zu $y=3x+4$ ist. a) $f(x)=x^{3}$ b) $f(x)=x^{2}$ c) $f(x)=x^{\frac{3}{2}}$ d) $f(x)=x^{6}$

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Problem 17838

Find $\left(S^{-1}\right)^{\prime}(10)$ for $K=80$ , $\mu=8$ . Also, find $\frac{d S_{1}}{d \mu}$ for $S_{1}(\mu)=80\left(1-\frac{1}{\mu}\right)^{3}$ . Is more sand leaking for larger $\mu$ ?

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Problem 17839

Ein Körper wird mit der Geschwindigkeit $v_{0}=65 \, \mathrm{m/s}$ senkrecht nach oben geschossen.
1) Wann trifft er den Boden wieder? 2) Wie schnell ist er in $25 \, \mathrm{m}$ Höhe beim Auf- und Abstieg? 3) Wann erreicht er die größte Höhe und wie hoch ist diese?

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Problem 17840

Find the drug concentration after 10 minutes using $C(t) = 0.07(1 - e^{-0.2t})$ . Round to three decimal places.

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Problem 17841

Ein Auto hat die kinetische Energie $E(t)=5000 \cdot t^{2}$ . Berechne die Energiezunahme in den Intervallen $[0;5]$ und $[5;10]$ .

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Problem 17842

Gegeben ist die Funktion $f(x) = 30x^2 - 90x^3 + 240$ . Finde die Nullstellen, Grenzwerte für $x \rightarrow \pm \infty$ und einen möglichen Term.

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Problem 17843

Untersuchen Sie die Folgen auf Häufungspunkte und geben Sie konvergierende oder divergierende Teilfolgen an: (a) $a_n = \sqrt{25(n+7)} - \sqrt{n}$ (b) $b_n = 6 \sin\left(\frac{\pi}{2} n\right)(5n+3)$ (c) $c_n = \operatorname{Im}\left((1+\mathrm{i})^{n}\right) 2^{-n/2}$

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Problem 17844

Untersuche die Funktion $f(x)=30 x^{3}-90 x^{2}+240$ auf Symmetrien und Grenzwerte. Bestimme die Geschwindigkeit des ICE und Bedingungen für $f_{p}(x)$ .

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Problem 17845

Ein Auto mit $m=1200 \mathrm{~kg}$ fährt eine Kurve mit $r=100 \mathrm{~m}$ .
1) Bestimme $F(v) = \frac{1200 v^{2}}{100}$ . 2) Finde die Änderungsrate $\frac{dF}{dv}$ . 3) Berechne die Änderung der Fliehkraft bei $v=100 \mathrm{~km/h}$ .

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Problem 17846

Die Blutgeschwindigkeit ist $v=C \cdot (R^{2}-r^{2})$ . 1) Bestimme die Ableitung $dv/dr$ und erkläre die negative Änderungsrate. 2) Wie beeinflusst die Erweiterung der Blutgefäße die Geschwindigkeit bei $r$ ?

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Problem 17847

Researchers study arctic ecosystems. Answer the following:
1. What does $H^{\prime}(t)>0$ and $H^{\prime \prime}(t)<0$ indicate about snowshoe hares?
2. Given $L(t) \approx 35 t e^{-0.2 t}+200$ : (a) When was the lemming population largest and how many? (b) When was it smallest and how many?
3. Given $P(t) \approx \frac{-80 t^{2}}{t^{2}+192}+150$ , when did puffin population decrease most rapidly and how many?
4. For snowy owls, $S(23)=47$ and $S^{\prime}(23)=-4.5$ : (a) Find linear approximation $L$ of $S$ . (b) When will snowy owls be below 20? (c) If $S^{\prime}(t)<0$ and $S^{\prime \prime}(t)<0$ for $t>23$ , will they drop below 20 sooner or later? Explain.

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Problem 17848

Eine Kugel wird von einem $140 \mathrm{~m}$ hohen Gebäude mit $60 \mathrm{~m/s}$ nach oben geschossen.
1. Wann erreicht sie wieder die Höhe $140 \mathrm{~m}$ ?
2. Was ist die mittlere Geschwindigkeit in den ersten 5 s?
3. Wie schnell ist die Kugel nach 5 s?
4. Wann und mit welcher Geschwindigkeit trifft sie den Boden?

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Problem 17849

Untersuchen Sie die Monotonie und Beschränktheit der Folgen:
(a) $n(\cos(\frac{3}{2} \pi(2n-\frac{4}{3})))^{n}$
(d) $\frac{1}{n^{4}}(\sin(\frac{\pi}{2}(2n-1)))^{n}$

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Problem 17850

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow-2} \frac{x^{2}-4}{x+2}$ .

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Problem 17851

Calculez l'intégrale suivante : $\int_{0}^{1} \frac{e^{2 t}-3}{e^{2 t}-6 t+6} d t$ et donnez sa valeur exacte.

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Problem 17852

Evaluate the triple integral: $\int_{0}^{1} \int_{0}^{3-3 x} \int_{0}^{3-3 x-y} d z d y d x$ .

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Problem 17853

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow-5} \frac{x+5}{x^{2}-25}$ .

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Problem 17854

Find the limit as $x$ approaches 2 for the expression $\frac{3x - 6}{x^2 - 4}$ .

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Problem 17855

Find the derivative of the following functions:
a) $f(x)=3 \ln x-2 \cos x+x^{3}+4 \sqrt[7]{x^{5}}-3$
b) $f(x)=x^{2} \operatorname{ch} x$ and $f(x)=\frac{\operatorname{cth} x}{e^{x}+1}$
d) $f(x)=\ln \frac{x-1}{x+1}$
e) $f(x)=\arcsin \frac{2 x}{1+x^{2}}$
f) $f(x)=\frac{x e^{2 x}}{\cos ^{2}(4 x+\sin ^{2} 2 x)}$
g) $f(x)=\operatorname{tg}^{5}(\ln \sin^{3} x)$
h) $f(x)=\sin x \operatorname{arctg} \frac{1}{x}$

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Problem 17856

Find the derivatives of these functions:
1) $f(x)=x^{2} \operatorname{ch} x$
2) $f(x)=\frac{\operatorname{cth} x}{e^{x}+1}$

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Problem 17857

Oblicz pochodną funkcji $f(x)=\ln \left( \frac{x-1}{x+1} \right)$ .

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Problem 17858

Explain average vs. instantaneous rates of change. Define secant and tangent lines and their roles in this context.

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Problem 17859

Find the best u-substitution for $\int 3 x^{2}(4 x^{3}+8)^{4} d x$ . Choose one: $u=(4 x^{3}+8)^{4}$ , $u x^{3}+8$ , $u=x$ , or $u=3 x^{2}$ .

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Problem 17860

Berechne die mittlere Steigung von $f(x)=x^2$ auf $[2; a]$ für $a > 2$ und finde $a$ , wenn die Steigung 6 ist.

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Problem 17861

Find the best u-substitution for $\int \frac{x^{7}+1}{x^{8}+8 x} d x$ . Choose one: $u=x^{8}+8 x$ , $u=x+1$ , $u=x^{8}$ , $u=x^{7}+1$ , $u=x$ .

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Problem 17862

Berechnen Sie die mittlere Steigung von $f$ in den Intervallen: a) $f(x)=\frac{1}{2} x, I=[0 ; 1]$ b) $f(x)=\frac{1}{2} x^{3}, I=[1 ; 3]$ c) $f(x)=x^{2}-4 x, I=[0 ; 2]$

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Problem 17863

Oblicz pochodną funkcji $f(x)=\arcsin \left( \frac{2 x}{1+x^{2}} \right)$ .

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Problem 17864

Profil einer Skischanze: $f(x)=\frac{1}{120} x^{2}-x+60$ für $0 \leq x \leq 30$ . Bestimme die mittlere Steigung (a) und auf den letzten Meter (b).

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Problem 17865

Find the derivative of $y = \tan^{-1} x$ .

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Problem 17866

Find the derivative of the function $y = \sin^{-1} x$ .

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Problem 17867

Find the derivative of the function $y = \sec^{-1}(x)$ .

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Problem 17868

Find the slope of the tangent line to $y=\tan^{-1}(-2x)$ at $x=-3$ .

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Problem 17869

Find $\left(f^{-1}\right)^{\prime}(6)$ given $f(1)=6$ and $f^{\prime}(1)=2$ for a one-to-one function $f$ .

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Problem 17870

Find the slope of the curve $y=\sin^{-1} x$ at the point $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\pi}{3}\right)$ without using derivatives.

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Problem 17871

Find the derivative of the function $f(x)=\sin^{-1}(8x^{3})$ .

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Problem 17872

Find the derivative of the function $f(w)=\sin \left[\cos ^{-1}(6 w)\right]$ .

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Problem 17873

Find the derivative of $y=(\cos x+4 \sin x)^{6}$ .

See Solution

Problem 17874

Oblicz pochodną funkcji $f(x)=\frac{x e^{2 x}}{\cos ^{2}(4 x+\sin ^{2} 2 x)}$ .

See Solution

Problem 17875

Find the derivative of the function $f(x)=\cos^{-1}(e^{5 \cos x})$ .

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Problem 17876

Find the derivative of the function $y=(\sin x+2 \cos x)^{7}$ .

See Solution

Problem 17877

Find the derivative of the function $f(t)=(\cos^{-1} t)^{6}$ .

See Solution

Problem 17878

Find the derivative of $f(y)=\tan^{-1}(6y^2+1)$ .

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Problem 17879

Find the derivative of $y$ where $y=\csc^{-1}(x^{6}+1)$ for $x>0$ .

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Problem 17880

1. Derive the labor supply function from the utility $U(C, L)=C-(1-L)^{2}$ where $h=1-L$ . (5 marks)
2. Show the slope of an indifference curve as $\frac{\partial w}{\partial h}=\left(1-\frac{\bar{u}}{h^{2}}\right)$ . (5 marks)
3. Prove the slope of the indifference curve is zero at optimal labor supply. (5 marks)
4. Write the profit function for $f(E)=2E-E^{2}$ and derive the labor demand function. (5 marks)
5. Find equilibrium wage, worker utility, and firm profit using labor supply and demand functions. (5 marks)
6. Derive wage, employment, utility, and profit in the monopoly union model. (10 marks)
7. Explain why the monopoly union model outcome is inefficient. (5 marks)
8. Use the Lagrangean method to find optimal labor supply and wage under profit constraint $\left(\bar{\pi}=2h-h^{2}-wh\right)$ . Show it dominates previous results. (10 marks)

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Problem 17881

Find the derivative of the function $f(y)=\cot^{-1}\left(\frac{2}{y^{2}+1}\right)$ .

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Problem 17882

Find the tangent line equation at the point $\left(5, \frac{\pi}{6}\right)$ for $y=\sin^{-1}\left(\frac{x}{10}\right)$ .

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Problem 17883

Find the derivative of the function $f(x)=4 \csc^{-1}\left(\tan e^{x}\right)$ .

See Solution

Problem 17884

Find the derivative of the function $y=\sin^{4}(\cos(5x))$ .

See Solution

Problem 17885

Find the number of points of inflection for the polynomial $k$ with rate of change $R(x)=-3.261 x^{3}+5.362 x-1.584$ .

See Solution

Problem 17886

Determine which statements about a polynomial $g$ with a point of inflection at $x=3$ must be true.

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Problem 17887

Find the Elasticity of Demand for $D(p)=\sqrt{375-3p}$ at price \$32. Is it Inelastic, Unitary, or Elastic? To increase revenue, should we keep prices unchanged, raise, or lower them?

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Problem 17888

Evaluate the derivative of the inverse of $f(x)=\ln (3 x+e)$ at the point $(1,0)$ .

See Solution

Problem 17889

Find the integral $\int \frac{\sqrt[7]{x}-6}{\sqrt[7]{x^{6}}} d x$ using substitution with $u=\sqrt[7]{x^{6}}$ .

See Solution

Problem 17890

Find the derivative of the inverse function at -5 for $f(x)=x^{3}+x-7$ .

See Solution

Problem 17891

Calculate the integral $\int \frac{(\ln (z))^{2}}{z} d z$ using substitution. Find $u$ and $du$ to transform it to $\int \square d u$ .

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Problem 17892

Find the coffee temperature after 10 minutes if it starts at $80^{\circ}C$ , room temp is $22^{\circ}C$ , and cools to $60^{\circ}C$ in 5 min. Use $T(t)=T_{0}+(T_{\text{room}}-T_{0}) e^{-kt}$ .

See Solution

Problem 17893

Find the derivative of the inverse of $f(x)=\ln(2x+e)$ at the point $(1,0)$ . Answer: $\square$ .

See Solution

Problem 17894

Estimez la solution négative de $e^{3 x}-5 x-7=0$ avec la méthode de Newton en partant de $x_{0}=0$ . Trouvez $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ à 5 décimales.

See Solution

Problem 17895

Find the derivative of the inverse function for $f(x)=x^{5}+8$ where $x>0$ .

See Solution

Problem 17896

A particle moves on a circle of diameter $R$ . Let $\theta$ be the angle between diameter $\overline{PQ}$ and the line to the particle.
(a) Find $\frac{d\theta}{dc}$ .
(b) Answer related questions for parts (a) and (b).

See Solution

Problem 17897

Find the derivative of the inverse of the function $f(x)=\frac{x}{x+7}$ .

See Solution

Problem 17898

Find the derivative of the function $y=(\sin x+5 \cos x)^{7}$ .

See Solution

Problem 17899

Check if the sequence $a_{n}=\frac{n^{4}}{n^{3}-2 n}$ converges or diverges.

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Problem 17900

Calculez la limite suivante : $\lim _{y \rightarrow \infty}\left(1+\frac{2}{y}\right)^{2 y}$ a) Quelle est la forme indéterminée ? b) Évaluez la limite avec la règle de l'Hôpital.

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337

Calculus

Problem 17801

Berechnen Sie den Flächeninhalt unter f(x)=12x2−52xf(x) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{5}{2}xf(x)=21​x2−25​x von x=2x = 2x=2 bis x=5x = 5x=5.

Problem 17802

Find the limit: lim⁡n→∞12n3+n−12n3−5n\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{12 n^{3}+n}-\sqrt{12 n^{3}-5 n}limn→∞​12n3+n​−12n3−5n​.

Problem 17803

Berechnen Sie das Integral: ∫02e−(x−3)dx\int_{0}^{2} e^{-(x-3)} d x∫02​e−(x−3)dx

Problem 17804

Find the limit as xxx approaches 0 for the expression cos⁡5x5\frac{\cos 5 x}{5}5cos5x​.

Problem 17805

Find the limit: lim⁡x→3π2xsin⁡x\lim _{x \rightarrow \frac{3 \pi}{2}} x \sin xlimx→23π​​xsinx.

Problem 17806

Find the limit as xxx approaches 0 for sin⁡3x7x\frac{\sin 3 x}{7 x}7xsin3x​.

Problem 17807

Find the limit as xxx approaches 0 for 3tan⁡2x6x\frac{3 \tan 2 x}{6 x}6x3tan2x​.

Problem 17808

Find the limit: lim⁡x→01−cos⁡2x3x\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos 2 x}{3 x}limx→0​3x1−cos2x​.

Problem 17809

Find the limit as xxx approaches 0 for x−sin⁡3x3x−sin⁡x\frac{x-\sin 3x}{3x-\sin x}3x−sinxx−sin3x​.

Problem 17810

Find the limit: lim⁡x→0tan⁡2x2x\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan ^{2} x}{2 x}limx→0​2xtan2x​.

Problem 17811

Find the limit: lim⁡x→π3xcos⁡x\lim _{x \rightarrow \pi} 3 x \cos xlimx→π​3xcosx.

Problem 17812

Find the limit as xxx approaches 0 for cos⁡5xtan⁡7x3x\frac{\cos 5 x \tan 7 x}{3 x}3xcos5xtan7x​.

Problem 17813

Bestimmen Sie die Förderquote f(t)f(t)f(t) für Kupfererz und beantworten Sie Fragen zu Zeitraum, Maximalquote und Durchschnitt.

Problem 17814

Use the squeeze theorem to find lim⁡x→0xcos⁡1x=0\lim_{x \to 0} x \cos \frac{1}{x} = 0limx→0​xcosx1​=0 and lim⁡x→0f(x)\lim_{x \to 0} f(x)limx→0​f(x) for 5−4x2≤f(x)≤5+4x25 - 4x^2 \leq f(x) \leq 5 + 4x^25−4x2≤f(x)≤5+4x2.

Problem 17815

Find the limit as xxx approaches π\piπ for the expression sin⁡3x2x\frac{\sin 3x}{2x}2xsin3x​.

Problem 17816

Find the limit as xxx approaches 0 of tan⁡2x2x\frac{\tan ^{2} x}{2 x}2xtan2x​.

Problem 17817

Bestimme den Wendepunkt und die Wendetangente der Funktion f(x)=x3+3x2−4f(x)=x^{3}+3x^{2}-4f(x)=x3+3x2−4. Finde die Länge der Strecke PQ‾\overline{PQ}PQ​.

Problem 17818

Given the equation 2x2−1xp+50p2=312002 x^{2} - 1 x p + 50 p^{2} = 312002x2−1xp+50p2=31200, find the demand's rate of change when p=20p = 20p=20 and dpdt=2\frac{dp}{dt} = 2dtdp​=2.

Problem 17819

Find the rate of change of total resistance RRR for resistors R1=80ΩR_{1}=80 \OmegaR1​=80Ω and R2=100ΩR_{2}=100 \OmegaR2​=100Ω with rates .3.3.3 and .2Ω/s.2 \Omega/s.2Ω/s.

Problem 17820

Problem 17821

A 13 ft ladder leans against a wall. If the top slips down at 3ft/s3 \mathrm{ft/s}3ft/s, how fast is the foot moving when the top is 8 ft up? The foot moves at □ft/s\square \mathrm{ft/s}□ft/s.

Problem 17822

A point moves along xy=1xy=1xy=1 with dydt=3\frac{dy}{dt}=3dtdy​=3. Find dxdt\frac{dx}{dt}dtdx​ when x=3x=3x=3. dxdt=\frac{dx}{dt} = dtdx​=

Problem 17823

Find the value of the series ∑k=1∞1(5k−2)(5k+3)\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(5 k-2)(5 k+3)}k=1∑∞​(5k−2)(5k+3)1​.

Problem 17824

Finde die Punkte, wo die Funktion f(x)=x2−2x−3f(x) = x^2 - 2x - 3f(x)=x2−2x−3 eine Steigung von m=6m=6m=6 hat.

Problem 17825

Calculate the series value: ∑k=1∞1(5k−2)(5k+3)\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(5 k-2)(5 k+3)}k=1∑∞​(5k−2)(5k+3)1​.

Problem 17826

Find the Laplace operator applied to h(x,y,z)=e−3xsin⁡(−7y)h(x, y, z)=e^{-3 x} \sin (-7 y)h(x,y,z)=e−3xsin(−7y). Calculate ∇2h\nabla^{2} h∇2h.

Problem 17827

At t=2t=2t=2 min, is the sand leak rate speeding up or slowing down if μ=6\mu=6μ=6? Justify your answer.

Problem 17828

Problem 17829

Use linear approximation to estimate 64.1\sqrt{64.1}64.1​ with f(x)=xf(x)=\sqrt{x}f(x)=x​ at x=64x=64x=64. Find mmm and bbb for y=mx+by=m x+by=mx+b. m=1/16m=1/16m=1/16, b=4b=4b=4. What is the approximation for 64.1\sqrt{64.1}64.1​?

Problem 17830

Problem 17831

Find the linearization L(x)L(x)L(x) of g(x)=xf(x2)g(x)=x f(x^2)g(x)=xf(x2) at x=2x=2x=2 given f(2)=0f(2)=0f(2)=0, f′(2)=8f'(2)=8f′(2)=8, f(4)=4f(4)=4f(4)=4, f′(4)=−3f'(4)=-3f′(4)=−3.

Problem 17832

Finde die Punkte, wo die Tangente der Funktionen die Steigung 4 hat: a) f(x)=x2f(x)=x^{2}f(x)=x2, b) f(x)=x4f(x)=x^{4}f(x)=x4, c) f(x)=1x4f(x)=\frac{1}{x^{4}}f(x)=x41​, d) f(x)=x3f(x)=x^{3}f(x)=x3.

Problem 17833

Find numbers satisfying the Mean Value Theorem for f(x)=3x2+2x+5f(x)=3x^{2}+2x+5f(x)=3x2+2x+5 on [−1,1][-1,1][−1,1].

Problem 17834

Problem 17835

Problem 17836

Problem 17837

Finde die Punkte, wo die Tangente von f\mathrm{f}f parallel zu y=3x+4y=3x+4y=3x+4 ist. a) f(x)=x3f(x)=x^{3}f(x)=x3 b) f(x)=x2f(x)=x^{2}f(x)=x2 c) f(x)=x32f(x)=x^{\frac{3}{2}}f(x)=x23​ d) f(x)=x6f(x)=x^{6}f(x)=x6

Problem 17838

Find (S−1)′(10)\left(S^{-1}\right)^{\prime}(10)(S−1)′(10) for K=80K=80K=80, μ=8\mu=8μ=8. Also, find dS1dμ\frac{d S_{1}}{d \mu}dμdS1​​ for S1(μ)=80(1−1μ)3S_{1}(\mu)=80\left(1-\frac{1}{\mu}\right)^{3}S1​(μ)=80(1−μ1​)3. Is more sand leaking for larger μ\muμ?

Problem 17839

Ein Körper wird mit der Geschwindigkeit v0=65 m/sv_{0}=65 \, \mathrm{m/s}v0​=65m/s senkrecht nach oben geschossen. 1) Wann trifft er den Boden wieder? 2) Wie schnell ist er in 25 m25 \, \mathrm{m}25m Höhe beim Auf- und Abstieg? 3) Wann erreicht er die größte Höhe und wie hoch ist diese?

Problem 17840

Find the drug concentration after 10 minutes using C(t)=0.07(1−e−0.2t)C(t) = 0.07(1 - e^{-0.2t})C(t)=0.07(1−e−0.2t). Round to three decimal places.

Problem 17841

Ein Auto hat die kinetische Energie E(t)=5000⋅t2E(t)=5000 \cdot t^{2}E(t)=5000⋅t2. Berechne die Energiezunahme in den Intervallen [0;5][0;5][0;5] und [5;10][5;10][5;10].

Problem 17842

Gegeben ist die Funktion f(x)=30x2−90x3+240f(x) = 30x^2 - 90x^3 + 240f(x)=30x2−90x3+240. Finde die Nullstellen, Grenzwerte für x→±∞x \rightarrow \pm \inftyx→±∞ und einen möglichen Term.

Problem 17843

Berechnen Sie den Flächeninhalt unter $f(x) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{5}{2}x$ von $x = 2$ bis $x = 5$ .

Find the limit: $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{12 n^{3}+n}-\sqrt{12 n^{3}-5 n}$ .

Berechnen Sie das Integral: $\int_{0}^{2} e^{-(x-3)} d x$

Find the limit as $x$ approaches 0 for the expression $\frac{\cos 5 x}{5}$ .

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow \frac{3 \pi}{2}} x \sin x$ .

Find the limit as $x$ approaches 0 for $\frac{\sin 3 x}{7 x}$ .

Find the limit as $x$ approaches 0 for $\frac{3 \tan 2 x}{6 x}$ .

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos 2 x}{3 x}$ .

Find the limit as $x$ approaches 0 for $\frac{x-\sin 3x}{3x-\sin x}$ .

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan ^{2} x}{2 x}$ .

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow \pi} 3 x \cos x$ .

Find the limit as $x$ approaches 0 for $\frac{\cos 5 x \tan 7 x}{3 x}$ .

Bestimmen Sie die Förderquote $f(t)$ für Kupfererz und beantworten Sie Fragen zu Zeitraum, Maximalquote und Durchschnitt.

Use the squeeze theorem to find $\lim_{x \to 0} x \cos \frac{1}{x} = 0$ and $\lim_{x \to 0} f(x)$ for $5 - 4x^2 \leq f(x) \leq 5 + 4x^2$ .

Find the limit as $x$ approaches $\pi$ for the expression $\frac{\sin 3x}{2x}$ .

Find the limit as $x$ approaches 0 of $\frac{\tan ^{2} x}{2 x}$ .

Bestimme den Wendepunkt und die Wendetangente der Funktion $f(x)=x^{3}+3x^{2}-4$ . Finde die Länge der Strecke $\overline{PQ}$ .

Given the equation $2 x^{2} - 1 x p + 50 p^{2} = 31200$ , find the demand's rate of change when $p = 20$ and $\frac{dp}{dt} = 2$ .

Find the rate of change of total resistance $R$ for resistors $R_{1}=80 \Omega$ and $R_{2}=100 \Omega$ with rates $.3$ and $.2 \Omega/s$ .

A 13 ft ladder leans against a wall. If the top slips down at $3 \mathrm{ft/s}$ , how fast is the foot moving when the top is 8 ft up? The foot moves at $\square \mathrm{ft/s}$ .

A point moves along $xy=1$ with $\frac{dy}{dt}=3$ . Find $\frac{dx}{dt}$ when $x=3$ . $\frac{dx}{dt} =$

Find the value of the series $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(5 k-2)(5 k+3)}$ .

Finde die Punkte, wo die Funktion $f(x) = x^2 - 2x - 3$ eine Steigung von $m=6$ hat.

Calculate the series value: $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(5 k-2)(5 k+3)}$ .

Find the Laplace operator applied to $h(x, y, z)=e^{-3 x} \sin (-7 y)$ . Calculate $\nabla^{2} h$ .

At $t=2$ min, is the sand leak rate speeding up or slowing down if $\mu=6$ ? Justify your answer.

Use linear approximation to estimate $\sqrt{64.1}$ with $f(x)=\sqrt{x}$ at $x=64$ . Find $m$ and $b$ for $y=m x+b$ . $m=1/16$ , $b=4$ . What is the approximation for $\sqrt{64.1}$ ?

Find the linearization $L(x)$ of $g(x)=x f(x^2)$ at $x=2$ given $f(2)=0$ , $f'(2)=8$ , $f(4)=4$ , $f'(4)=-3$ .

Finde die Punkte, wo die Tangente der Funktionen die Steigung 4 hat: a) $f(x)=x^{2}$ , b) $f(x)=x^{4}$ , c) $f(x)=\frac{1}{x^{4}}$ , d) $f(x)=x^{3}$ .

Find numbers satisfying the Mean Value Theorem for $f(x)=3x^{2}+2x+5$ on $[-1,1]$ .

Finde die Punkte, wo die Tangente von $\mathrm{f}$ parallel zu $y=3x+4$ ist. a) $f(x)=x^{3}$ b) $f(x)=x^{2}$ c) $f(x)=x^{\frac{3}{2}}$ d) $f(x)=x^{6}$

Find $\left(S^{-1}\right)^{\prime}(10)$ for $K=80$ , $\mu=8$ . Also, find $\frac{d S_{1}}{d \mu}$ for $S_{1}(\mu)=80\left(1-\frac{1}{\mu}\right)^{3}$ . Is more sand leaking for larger $\mu$ ?

Ein Körper wird mit der Geschwindigkeit $v_{0}=65 \, \mathrm{m/s}$ senkrecht nach oben geschossen.
1) Wann trifft er den Boden wieder? 2) Wie schnell ist er in $25 \, \mathrm{m}$ Höhe beim Auf- und Abstieg? 3) Wann erreicht er die größte Höhe und wie hoch ist diese?

Find the drug concentration after 10 minutes using $C(t) = 0.07(1 - e^{-0.2t})$ . Round to three decimal places.

Ein Auto hat die kinetische Energie $E(t)=5000 \cdot t^{2}$ . Berechne die Energiezunahme in den Intervallen $[0;5]$ und $[5;10]$ .

Gegeben ist die Funktion $f(x) = 30x^2 - 90x^3 + 240$ . Finde die Nullstellen, Grenzwerte für $x \rightarrow \pm \infty$ und einen möglichen Term.

Untersuche die Funktion $f(x)=30 x^{3}-90 x^{2}+240$ auf Symmetrien und Grenzwerte. Bestimme die Geschwindigkeit des ICE und Bedingungen für $f_{p}(x)$ .

Die Blutgeschwindigkeit ist $v=C \cdot (R^{2}-r^{2})$ . 1) Bestimme die Ableitung $dv/dr$ und erkläre die negative Änderungsrate. 2) Wie beeinflusst die Erweiterung der Blutgefäße die Geschwindigkeit bei $r$ ?

Untersuchen Sie die Monotonie und Beschränktheit der Folgen:
(a) $n(\cos(\frac{3}{2} \pi(2n-\frac{4}{3})))^{n}$
(d) $\frac{1}{n^{4}}(\sin(\frac{\pi}{2}(2n-1)))^{n}$

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow-2} \frac{x^{2}-4}{x+2}$ .

Calculez l'intégrale suivante : $\int_{0}^{1} \frac{e^{2 t}-3}{e^{2 t}-6 t+6} d t$ et donnez sa valeur exacte.

Evaluate the triple integral: $\int_{0}^{1} \int_{0}^{3-3 x} \int_{0}^{3-3 x-y} d z d y d x$ .

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow-5} \frac{x+5}{x^{2}-25}$ .

Find the limit as $x$ approaches 2 for the expression $\frac{3x - 6}{x^2 - 4}$ .

Find the derivatives of these functions:
1) $f(x)=x^{2} \operatorname{ch} x$
2) $f(x)=\frac{\operatorname{cth} x}{e^{x}+1}$

Oblicz pochodną funkcji $f(x)=\ln \left( \frac{x-1}{x+1} \right)$ .

Find the best u-substitution for $\int 3 x^{2}(4 x^{3}+8)^{4} d x$ . Choose one: $u=(4 x^{3}+8)^{4}$ , $u x^{3}+8$ , $u=x$ , or $u=3 x^{2}$ .

Berechne die mittlere Steigung von $f(x)=x^2$ auf $[2; a]$ für $a > 2$ und finde $a$ , wenn die Steigung 6 ist.

Find the best u-substitution for $\int \frac{x^{7}+1}{x^{8}+8 x} d x$ . Choose one: $u=x^{8}+8 x$ , $u=x+1$ , $u=x^{8}$ , $u=x^{7}+1$ , $u=x$ .

Berechnen Sie die mittlere Steigung von $f$ in den Intervallen: a) $f(x)=\frac{1}{2} x, I=[0 ; 1]$ b) $f(x)=\frac{1}{2} x^{3}, I=[1 ; 3]$ c) $f(x)=x^{2}-4 x, I=[0 ; 2]$

Oblicz pochodną funkcji $f(x)=\arcsin \left( \frac{2 x}{1+x^{2}} \right)$ .

Profil einer Skischanze: $f(x)=\frac{1}{120} x^{2}-x+60$ für $0 \leq x \leq 30$ . Bestimme die mittlere Steigung (a) und auf den letzten Meter (b).

Find the derivative of $y = \tan^{-1} x$ .

Find the derivative of the function $y = \sin^{-1} x$ .

Find the derivative of the function $y = \sec^{-1}(x)$ .

Find the slope of the tangent line to $y=\tan^{-1}(-2x)$ at $x=-3$ .

Find $\left(f^{-1}\right)^{\prime}(6)$ given $f(1)=6$ and $f^{\prime}(1)=2$ for a one-to-one function $f$ .

Find the slope of the curve $y=\sin^{-1} x$ at the point $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\pi}{3}\right)$ without using derivatives.

Find the derivative of the function $f(x)=\sin^{-1}(8x^{3})$ .

Find the derivative of the function $f(w)=\sin \left[\cos ^{-1}(6 w)\right]$ .

Find the derivative of $y=(\cos x+4 \sin x)^{6}$ .

Oblicz pochodną funkcji $f(x)=\frac{x e^{2 x}}{\cos ^{2}(4 x+\sin ^{2} 2 x)}$ .