Calculus

Problem 2401

Differentiate the function $-2 x^{3}-x^{-1}-1$ . What is $\frac{d}{d x}\left(-2 x^{3}-x^{-1}-1\right)$ ?

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Problem 2402

Graph the tangent line of $f(x)=4 x^{1/2}-2 x^{-1}-1$ at the point where $x=1$ .

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Problem 2403

Sketch a function $f$ with these properties: $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=1$ , $\lim _{x \rightarrow 3^{-}} f(x)=-2$ , $\lim _{x \rightarrow 3^{+}} f(x)=2$ , $f(0)=-1$ , $f(3)=1$ .

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Problem 2404

Graph the tangent line of $f(x)=2 x^{1/2}-4 x^{-1/2}$ at the point where $x=1$ .

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Problem 2405

Estimate the limit as $x$ approaches 2 for $\frac{x^{2}-2x}{x^{2}-x-2}$ using values near 2.

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Problem 2406

Graph the tangent line of $f(x)=-2 x^{-1/2}+4 x^{-1}-3$ at $x=1$ .

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Problem 2407

Find the tangent line equation for $f(x)=4x+x^{-1/2}+1$ at the point $(4, \frac{35}{2})$ .

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Problem 2408

Find the tangent line equation for $f(x)=-4 x^{1/2}-5 x^{-1}-5$ at the point (4, $-\frac{57}{4}$ ).

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Problem 2409

Find $dy$ and $\Delta y$ for $f(x)=x^{3}-8x^{2}+5$ at $x=5$ with $\Delta x=0.1$ .

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Problem 2410

Find dy and $\Delta y$ for the function $y=f(x)=x^{3}-6x^{2}+8$ at $x=5$ with $\Delta x=0.1$ .

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Problem 2411

A sales function is $S(x)=3 x^{2}-7 x+8$ . Find the average rate of change from years 6 to 8 and the instantaneous rate at year 10.

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Problem 2412

Calculate the integral: $\int 2 e^{3-2 x} d x$

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Problem 2413

Bestimme die Zeit $t$ für die maximale Besucherzahl $f(t)=-t^{3}+24 t^{2}-117 t+182$ und die schnellste Zunahme $f'(t)$ .

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Problem 2414

Berechne $U_{n}$ und $O_{n}$ für die Funktionen in den Intervallen und finde die Grenzwerte für $\mathrm{n} \rightarrow \infty$ :
a) $f(x)=x+1, \quad I=[0 ; 1]$ b) $f(x)=2-x, \quad I=[0 ; 2]$ c) $f(x)=x^{2}, \quad I=[0 ; 10]$ d) $f(x)=2 x^{2}+x, \quad I=[0 ; 1]$
Summenformeln: $1+2+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}, \quad 1^{2}+2^{2}+\ldots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}$

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Problem 2415

Differenzieren Sie die Funktionen mit der Kettenregel: a. $(3x+1)^{2}$ , b. $4e^{1-0.5x}$ , c. $\sin(\pi x)$ , d. $(1-3x^{4})^{2}$ , e. $a \cos(bx)$ , f. $e^{e^{x}}$ , g. $\frac{1}{x^{2}+1}$ , h. $\sqrt{2x-1}$ , i. $(ax^{2}+bx)^{3}$ .

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Problem 2416

Gegeben ist die Funktion $f(x)=x^{3}-12 x$ . Bestimmen Sie die ersten beiden Ableitungen, Extrempunkte und den Wendepunkt.

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Problem 2417

Find the value of $c$ for which the function is continuous, given $36c + 30 = 216 - 6c$ . What is $c$ ?

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Problem 2418

Find the first and second derivatives of $f(t)=-3 e^{t}$ .

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Problem 2419

Berechne den Flächeninhalt zwischen $f(x)=2 \cdot x$ und der $x$ -Achse für $a=0$ und $b=1, 2, 3, \ldots$ und für $j(x)=\frac{1}{4} \cdot x$ analog.

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Problem 2420

Erklären Sie die h-Methode zur Bestimmung der Steigung im Punkt $N(\quad \mid \quad)$ mit der Formel $m=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{1}+h\right)-f\left(x_{1}\right)}{\left(x_{1}+h\right)-x_{1}}$ .

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Problem 2421

Bestimmen Sie die 1. und 2. Ableitung von $f(x) = 8 - e^x$ .

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Problem 2422

Berechnen Sie die folgenden Integrale: a) $\int_{-1}^{0}\left(e^{2 x}+2\right) d x$ , b) $\int_{1}^{3}\left(2 x-7 \cdot e^{3,5 x}\right) d x$ , c) $\int_{0}^{1} 0,5 \cdot e^{0,5 x+5} d x$ , d) $\int_{-1}^{1}\left(e^{-x}+1\right) d x$ , e) $\int_{-2}^{2}\left(e^{-x}+e^{x}\right) d x$ , $\int_{0}^{k}\left(e^{-3 x}+3 x^{2}\right) d x$ .

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Problem 2423

Berechnen Sie die Ableitung $f'(\boldsymbol{x})$ und den Anstieg der Funktion $f$ an den Punkten $P$ für folgende Funktionen: a) $f(x)=x^{3}$ , $P(2, 8)$ b) $f(x)=2x^{2}-5$ , $P(0, -5)$ c) $f(x)=3e^{x}$ , $P(0, 3)$ d) $f(x)=\frac{1}{x^{3}}$ , $P(2, \frac{1}{8})$ e) $f(x)=\sqrt{x}+\frac{32}{x^{2}}$ , $P(4, 4)$ f) $f(x)=e^{x}$ , $P(0, 1)$ g) $f(x)=\sin(x)$ , $P(\pi, 0)$

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Problem 2424

Berechne die mittlere Änderungsrate von $f(x)=x^2$ auf [2;a] für $a>2$ und finde $a>2$ , wenn die Änderungsrate 6 ist.

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Problem 2425

Berechnen Sie die Ableitungen $f^{\prime}(x)$ für die angegebenen Funktionen und den Anstieg an den gegebenen Stellen.

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Problem 2426

Bestimmen Sie den Bestand $F(t)$ einer Bakterienkultur mit $f(t)=1000 \cdot e^{0,1 t}$ und $F(0)=10000$ .

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Problem 2427

Bestimme die Wendepunkte der Funktion $f(x)=-2 x^{4}+3 x^{2}+x+2$ .

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Problem 2428

Soit $f(x)=3 x^{4}-20 x^{3}-6 x^{2}+60 x+2$ . 1) Analyser les variations de $f$ . 2) Analyser la convexité et trouver les points d'inflexion.

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Problem 2429

Bestimmen Sie die Extremstellen von $f(x)=e^{x}-x$ und erklären Sie, warum der Graph keine Wendepunkte hat.

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Problem 2430

Berechne das Alter, in dem die Körpergröße am schnellsten zunimmt, und die maximale Wachstumsgeschwindigkeit mit $h(t)=-0,305 t^{3}+11,66 t^{2}-141 t+685$ .

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Problem 2431

Tee-Abkühlung:
1) Skizzieren Sie $f(t)=20+75 \cdot e^{-0,1t}$ . 2) Anfangstemperatur und Temperatur nach 5 Min bestimmen. 3) Wann erreicht $50^{\circ}C$ ? Minimale Temperatur? 4) Für $g(t)=20+65 \cdot e^{-0,08t}$ , wann sind beide Gläser gleich warm?

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Problem 2432

Bestimme das Verhalten der Funktionen für $x \rightarrow \pm \infty$ : $f_{1}(x)=-3 x^{2}-4 x+5$ , $f_{2}(x)=x^{6}-x^{5}+x^{2}-x$ , $f_{3}(x)=\frac{1}{x^{2}}$ , $f_{4}(x)=\frac{1}{x}+2$ , $f_{5}(x)=\frac{x^{2}}{2^{x}}$ , $f_{6}(x)=\sqrt{x+5}$ .

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Problem 2433

Bestimmen Sie, ob die Folgen $\left(a_{n}\right)=\left(\frac{n+1}{n+2}\right)$ , $\left(2^{n}-1\right)$ , $\left(\frac{n-1}{n^{2}}\right)$ und $\left((-1)^{n} n^{2}\right)$ konvergent oder divergent sind.

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Problem 2434

Geben Sie die folgenden Grenzwerte an: 7) $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{5 n^{12}}{8-7 n^{14}}$ B) $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3+20 n^{4}}{5 n^{2}-8 n^{4}}$ c) $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{9 x^{2}+2 x^{3}}{40 x^{3}-7 x}$ D) $\lim _{x \rightarrow 2,5} \frac{4 x^{2}-25}{2 x-5}$

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Problem 2435

Bestimme das Intervall $[a; b]$ für die Funktion $C(t)=-\frac{1}{8} t^{3}+\frac{3}{4} t^{2}$ und beantworte Fragen zu Virionen und Wendepunkt.

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Problem 2436

Ein Start-Up hat eine App entwickelt. Nutzerzahl $f(t)=t^{3}-24t^{2}+150t+100$ für $0 \leq t \leq 14$ .
a) Nutzer nach 3 Monaten? b) Wann minimale/maximale Nutzerzahl? c) Wann steigt die Nutzerzahl am stärksten?

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Problem 2437

Find the difference quotient of $f(x)=x^{2}-7$ : compute $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ for $h \neq 0$ and simplify.

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Problem 2438

Berechnen Sie den Anstieg und Anstiegswinkel von $f(x)=-2 x^{2}+4 x-3$ bei $P(-3, -33)$ . Bestimmen Sie den Anstieg in den Nullstellen von $f(x)=-0,5 x^{2}+0,5 x+6$ und die Punkte mit Anstieg -5.

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Problem 2439

Bestimme die Ableitung von $f(x)=x^{2}$ an den Stellen: a) 3, b) 4, c) 5, d) -1.

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Problem 2440

Find the derivative of $f(x)=x^{p}+2 x^{p-1}$ and show $f(1)=f^{\prime}(1)+5-3 p$ .

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Problem 2441

Calculate the integral from 1 to 2 of the function $4x^{3}$ .

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Problem 2442

Finde die Produktionsmenge, bei der die Stückkosten minimal sind, und den minimalen Marktpreis für langfristige Existenz. Gegeben ist die Gesamtkostengleichung $K(x)=x^{3}-9 x^{2}+30 x+20$ mit $D_{\bar{o} k}=[0 ; 8]$ .

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Problem 2443

Bestimme die Grenzwerte mit der h-Methode: a) $\lim _{x \rightarrow-3} \frac{2 x^{2}-18}{x+3}$ , b) $\lim _{x \rightarrow 5} \frac{x^{2}-7 x+10}{x-5}$ , c) $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-x}{x-1}$ .

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Problem 2444

Bestimme die Grenzwerte: a) $\lim _{x \rightarrow-3} \frac{2 x^{2}-18}{x+3}$ b) $\lim _{x \rightarrow 5} \frac{x^{2}-7 x+10}{x-5}$

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Problem 2445

Bestimmen Sie die Grenzwerte: a) $\lim _{x \rightarrow-3} \frac{2 x^{2}-18}{x+3}$ b) $\lim _{x \rightarrow 5} \frac{x^{2}-7 x+10}{x-5}$

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Problem 2446

Grenzwert bestimmen: a) $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1}{1-\frac{1}{x}}$ b) $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x-3}{2-x}$

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Problem 2447

Bestimmen Sie die Stammfunktion für: a) $f(x)=\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{2} x^{-2}$ , b) $f(x)=\sqrt{5}^{3} x^{3}-x^{-3}$ .

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Problem 2448

Finden Sie die Stammfunktion: a) $f(x)=\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{2} x^{-2}$ b) $f(x)$

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Problem 2449

Bestimme die ersten drei Ableitungen für die Funktionen: $f(u)=4,5^{u}$ , $f(x)=0,2^{x}$ , $f(x)=3^{x}+3$ , $f(x)=12 \cdot 2^{x}+4$ , $f(x)=5 \cdot e^{x}+3$ , $f(x)=e^{x^{2}+3}$ , $f(x)=x \cdot e^{x}$ , $f(x)=e^{x} \cdot(x+1)$ , $f(x)=x^{2} \cdot e^{x}$ .

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Problem 2450

Berechnen Sie die Grenzwerte der folgenden Zahlenfolgen: a) $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1-2n}{3n+2}$ b) $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n+5}{n^{3}+1}$ c) $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n+2n^{3}}{n^{3}+n}$ d) $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2^{n}+2}{2^{n+1}+1}$

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Problem 2451

Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten der folgenden Funktionen: a) $f(x)=-x^{2}+2x+4$ b) $f(x)=x^{3}-x$ c) $f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x-5$ d) $f(x)=x^{4}+x^{2}$ e) $f(x)=x^{4}-6x^{2}$ f) $f(x)=\frac{1}{4}x^{4}+3x^{2}-2$ g) $f(x)=\frac{1}{3}x^{6}-20x^{2}$ h) $f(x)=\frac{1}{20}x^{5}+\frac{1}{2}x^{4}+\frac{3}{2}x^{3}$ i) $f(x)=(x+2)^{2}(x-1)^{2}-3$

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Problem 2452

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{9 x^{2}+2 x+1}}{7-2 x}$ .

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Problem 2453

Berechne die Fläche zwischen dem Graphen $f(x)=x^{3}-6 x^{2}+12 x$ und der $x$ -Achse für $0 \leq x \leq 3$ mit Ober- und Untersumme (Streifenbreite $n=1$ ).

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Problem 2454

Find the derivative of the function $f_a(x)=x^{2}-a^{2}$ .

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Problem 2455

Bestimmen Sie die Ableitung von $f(x) = (1 - 3x^4)^2$ .

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Problem 2456

Find the limit as $x$ approaches 6 from the left: $\lim _{x \rightarrow 6^{-}} \frac{|x-6|}{x^{2}-5 x-6}$ .

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Problem 2457

Evaluate the limit: $\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n^2 - 3n}{2n^2 + 4}\right)$ .

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Problem 2458

Find the derivative of $(x+1) \sin x$ .

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Problem 2459

Bestimme die Ableitung der Funktion $f(x)=\sqrt{3 x^{3}+5}$ .

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Problem 2460

Berechne die Integrale $\int_{0}^{a} x^n dx$ für $n=1,2,3,4,5$ und stelle Vermutungen für deren Werte auf.

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Problem 2461

Berechnen Sie die Grenzwerte für folgende Folgen: a) $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1-2 n}{3 n+2}$ , b) $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n+5}{n^{3}+1}$ , c) $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n+2 n^{3}}{n^{3}+n}$ , d) $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2^{n}+2}{2^{n+1}+1}$ .

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Problem 2462

Berechne die Ableitungen: a) $f(x)=(4 x+1)^{2}$ , c) $f(x)=\sqrt{24-x}$ , e) $f(x)=\frac{1}{x^{4}-3}$ .

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Problem 2463

Bestimme den Tiefpunkt der Änderungsrate $g(t)=\frac{1}{4} t^{3}-\frac{11}{4} t^{2}-4 t+44$ . Wann steigt die Wassermenge? Skizziere $f$ .

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Problem 2464

Find the first derivative of $f(x) = x^{2} \sin(4x)$ .

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Problem 2465

Entscheiden Sie, ob die Aussagen a) bis d) wahr oder falsch sind. a) Monoton wachsende, beschränkte Folgen haben Grenzwert. b) Vorzeichen wechselnde Folgen sind nicht konvergent. c) Monoton fallende, divergente Folgen sind nicht beschränkt. d) Bei konvergenten Folgen erfüllen nur endlich viele Glieder $\left|a_{n}-g\right|<\varepsilon$ nicht.

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Problem 2466

Find the derivatives of these functions:
a) $f(x)=(x^{2}-3x)^{5}$
b) $f(x)=\sqrt{x^{2}-3x}$
c) $f(x)=\frac{36}{3x^{2}-5}$

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Problem 2467

Find the first derivative, $f^{\prime}(x)$ , for these functions:
1. $f(x)=5 \sin (2 x)+6 \cos (3 x)$
2. $f(x)=5 \tan (x^{2})+4 \cot (9 x)+2 \sec (3 x)$
3. $f(x)=4 \sin ^{3}(5 x)$
4. $f(x)=5 x^{4} \tan (6 x)$

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Problem 2468

Find the derivative $f'(x)$ for $f(x)=\frac{2 x+1}{x^{2}+1}$ and the tangent line at $x=2$ .

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Problem 2469

Bestimme die Ableitung für folgende Funktionen: a) $f(x)=x^{3}+x^{4}$ , b) $f(x)=x^{3}+x^{-5}$ , c) $f(x)=x+\sqrt{x}$ , d) $f(x)=\frac{1}{x}+x^{-4}$ , e) $f(x)=2 x^{3}$ , f) $f(x)=7 x^{-4}$ , g) $f(x)=\frac{-5}{-3}$ , h) $f(x)=\sqrt{5 x}$ .

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Problem 2470

Ein polypolistischer Betrieb hat die Gesamtkostengleichung $K(x)=0,5 x^{3}-3 x^{2}+10 x+30$ .
a) Finde Betriebsoptimum, -minimum und Preisuntergrenzen. b) Bestimme die Angebotskurve und ihren Definitionsbereich. c) Bei Marktpreis von 20 GE/ME, berechne Stück- und Gesamtgewinn. d) Finde $b$ in $K(x)=0,5 x^{3}+b x^{2}+10 x+30$ , damit das Betriebsoptimum bei 5 ME liegt.

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Problem 2471

Bestimmen Sie die Ableitungen für die Funktionen: 1) $f(x)=x^{3}+x^{4}$ , 2) $f(x)=x^{3}+x^{-5}$ , 3) $f(x)=x+\sqrt{x}$ , 4) $f(x)=\frac{1}{x}+x^{-4}$ , 5) $f(x)=7 x^{-4}$ , 6) $f(x)=2 x^{3}$ , 7) $f(x)=\frac{-5}{x^{3}}$ , 8) $f(x)=\sqrt{5 x}$ , 9) $f(x)=4 x^{5}+6 x^{3}$ , 10) $f(x)=-\frac{12}{x^{2}}+3 \sqrt{5 x}$ , 11) $f(x)=2,5 x^{4}-1,2 x^{5}$ , 12) $f(x)=5 x^{4}+4 \cdot \sqrt{x}$ , 13) $f(x)=\sqrt{2} x+\sqrt{2 x}$ , 14) $f(x)=\frac{-2}{x^{2}}+\frac{3}{x^{3}}$ , 15) $f(x)=x^{4}+2 x^{3}-4 x^{2}$ , 16) $f(x)=-2 x^{7}+3 x^{4}-x^{3}$ , 17) $f(x)=x^{4}+0,8 x^{2}-7 x$ , 18) $f(x)=\frac{1}{3} x^{6}+\frac{6}{7} x^{4}+\frac{2}{5} x^{3}$ , 19) $f(x)=\frac{1}{10} x^{5}+\frac{4}{9} x^{3}-12$ , 20) $f(x)=\frac{5}{7} x^{9}+5 x^{6}-\frac{7}{3} x^{5}$ , 21) $f(x)=(2 x-3)(x+2)$ , 22) $f(x)=(3 x^{2}-3)(x-1)$ , 23) $f(x)=(4 x^{2}-x)(x^{2}-1)$ .

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Problem 2472

Bestimmen Sie die Wendepunkte für die Funktionen: a) $f(x)=x^{3}+2$ , b) $f(x)=4+2 x-x^{2}$ , d) $f(x)=x^{3}+6 x^{2}$ , e) $f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-x^{2}+2 x$ , g) $f(x)=x^{4}-12 x$ , h) $f(x)=3 x^{4}-4 x^{3}$ .

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Problem 2473

Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate von $f$ in den Intervallen: a) $f(x)=2 x$ , $I=[0 ; 1]$ b) $f(x)=0,5 x^{2}$ , $I=[1 ; 4]$ c) $f(x)=1-x^{2}$ , $I=[1 ; 3]$

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Problem 2474

Bestimmen Sie die Grenzwerte der Folgen a) bis d) mit den gegebenen Formeln: a) $a_n = \frac{12 n}{3 n-12}$ , b) $a_n = \frac{1+2 n}{n-2}$ , c) $a_n = \frac{\sqrt{n}+1}{\sqrt{n}-4}$ , d) $a_n = \frac{2 n-n^{3}}{3 n^{3}-2}$ .

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Problem 2475

Bestimmen Sie die erste und zweite Ableitung von $f(x)=x^{3}-3 x^{2}$ .

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Problem 2476

Find the derivative of $f(x)=\frac{1}{x^{4}-3}$ .

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Problem 2477

Ein Auto beschleunigt. Berechne die Durchschnittsgeschwindigkeit in den ersten 10 Sekunden und die momentane Geschwindigkeit nach 10 s. $f(t)=2t^2$

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Problem 2478

Find $\frac{d y}{d x}$ for $2 x^{3}-4 x y-10 y^{2}=-10$ and the tangent line at $(3,2)$ .

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Problem 2479

Find the derivative of $f(x)=\frac{36}{3x^{2}-5}$ .

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Problem 2480

Bestimme die Ableitung von: a) $f(x)=\sqrt{x} \cdot(2 x-5)$ und c) $f(x)=\sqrt{2 x-5} \cdot(2 x-5)$ .

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Problem 2481

Bestimme die Ableitungen der folgenden Funktionen: a) $f(x)=\sqrt{x} \cdot(2 x-5)$ b) $f(x)=(x-5,2) \cdot \sqrt{3 x}$ c) $f(x)=\sqrt{2 x-5} \cdot(2 x-5)$ d) $f(x)=\sqrt{3 x-4} \cdot(5 x+3)$

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Problem 2482

Find the first derivative, $g^{\prime}(x)$ , for the following functions:
1. $g(x)=5 \sqrt{x^{4}+2 x+1}$
2. $g(x)=(x^{3}+x)^{5}$
3. $g(x)=\frac{1}{(x^{2}+x)^{4}}$
4. $g(x)=x^{3} \sqrt{x^{2}+1}$
5. $g(x)=\sqrt[3]{6 x+2}+\sqrt{5+2 \cos (3 x)}$

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Problem 2483

Ein Pharmaunternehmen untersucht die Medikamentenwirkung. Gegeben ist die Funktion $k(t)=7 \cdot t \cdot e^{-\frac{1}{4} t}$ .
a) Zeige, dass $k$ für $t>0$ keine Nullstellen hat. b) Beweise, dass $k^{\prime}(t)=\left(7-\frac{7}{4} t\right) e^{-\frac{1}{4} t}$ . c) Finde den Zeitpunkt und die maximale Konzentration. d) Bestimme den Zeitpunkt der stärksten Abnahme der Konzentration. e) Finde die Stellen mit dem kleinsten Gefälle im Intervall [6;10]. f) Berechne $\bar{k}(12)$ und interpretiere den Wert.

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Problem 2484

Gegeben ist die Funktion $f_{a}(x)=a x+e^{-x}$ mit $a>0$ . Berechne Ableitungen, untersuche Extrema, skizziere Graphen und finde Flächeninhalt.

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Problem 2485

Calculate the integral $\int_{-1}^{2} x^{2} d x$ .

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Problem 2486

Zeigen Sie, dass das Integral einer symmetrischen Funktion über $[-\mathrm{a}; \mathrm{a}]$ gleich null ist.

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Problem 2487

Calculate the integral from 1 to 2 of $(1-2x)^{2}$ with respect to $x$ .

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Problem 2488

Find the derivative of $y=\frac{\pi}{2} \sin \theta-\cos \theta$ .

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Problem 2489

Calculate the integral $\int_{0}^{1}(3 x^{2}+2 a) dx$ .

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Problem 2490

Find the inflection point of $f(x)=x^{3}+2$ and the equation of the tangent line at that point.

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Problem 2491

Calculate the integral $\int_{0}^{1}\left(2 x^{3}+x^{2}\right) d x$ .

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Problem 2492

Find the derivative of $y=\frac{6}{(5x)^{3}}$ .

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Problem 2493

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{2-x}{\sqrt{x+2}-2}$ .

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Problem 2494

Gegeben ist die Funktion $f(x)=-x^{2}+9$ . Bestimme für $u$ den maximalen Flächeninhalt und Umfang des Rechtecks mit Ecken A, B, C, D.

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Problem 2495

Evaluate the integral from 0.5 to 2 of $\frac{1}{x^{2}}$ with respect to $x$ .

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Problem 2496

Find the derivative of the function $f(x)=\frac{2 x+1}{x^{2}+1}$ .

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Problem 2497

Berechne den Steigungswinkel am oberen Ende der Piste für $f(x)=-\frac{1}{100000} x^{3}+0,004 x^{2}+0,05 x+10$ . Prüfe die Behauptung der Betreiber über $58 \%$ Steigung und finde den Punkt mit dem niedrigsten Gefälle.

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Problem 2498

Stellen Sie eine Vermutung über den Grenzwert der Folge $a_{n}=\frac{2 n-1}{n+1}$ auf und prüfen Sie, ab wann $|a_{n}-2|<0,01$ .

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Problem 2499

Find the derivatives of $f_{a}(x)=\frac{1}{a^{3}} x^{4}+5 a x+4 a-a^{2}$ and $f_{t}(x)=\frac{4}{t x^{3}}+\frac{2 t}{3 x^{2}}$ .

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Problem 2500

Bestimmen Sie den Zeitpunkt, an dem der Schuldenanstieg maximal ist, gegeben durch $f(t)=\frac{1}{100}(-t^{3}+12 t^{2}+60 t+200)$ .

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337

Calculus

Problem 2401

Differentiate the function −2x3−x−1−1-2 x^{3}-x^{-1}-1−2x3−x−1−1. What is ddx(−2x3−x−1−1)\frac{d}{d x}\left(-2 x^{3}-x^{-1}-1\right)dxd​(−2x3−x−1−1)?

Problem 2402

Graph the tangent line of f(x)=4x1/2−2x−1−1f(x)=4 x^{1/2}-2 x^{-1}-1f(x)=4x1/2−2x−1−1 at the point where x=1x=1x=1.

Problem 2403

Problem 2404

Graph the tangent line of f(x)=2x1/2−4x−1/2f(x)=2 x^{1/2}-4 x^{-1/2}f(x)=2x1/2−4x−1/2 at the point where x=1x=1x=1.

Problem 2405

Estimate the limit as xxx approaches 2 for x2−2xx2−x−2\frac{x^{2}-2x}{x^{2}-x-2}x2−x−2x2−2x​ using values near 2.

Problem 2406

Graph the tangent line of f(x)=−2x−1/2+4x−1−3f(x)=-2 x^{-1/2}+4 x^{-1}-3f(x)=−2x−1/2+4x−1−3 at x=1x=1x=1.

Problem 2407

Find the tangent line equation for f(x)=4x+x−1/2+1f(x)=4x+x^{-1/2}+1f(x)=4x+x−1/2+1 at the point (4,352)(4, \frac{35}{2})(4,235​).

Problem 2408

Find the tangent line equation for f(x)=−4x1/2−5x−1−5f(x)=-4 x^{1/2}-5 x^{-1}-5f(x)=−4x1/2−5x−1−5 at the point (4, −574-\frac{57}{4}−457​).

Problem 2409

Find dydydy and Δy\Delta yΔy for f(x)=x3−8x2+5f(x)=x^{3}-8x^{2}+5f(x)=x3−8x2+5 at x=5x=5x=5 with Δx=0.1\Delta x=0.1Δx=0.1.

Problem 2410

Find dy and Δy\Delta yΔy for the function y=f(x)=x3−6x2+8y=f(x)=x^{3}-6x^{2}+8y=f(x)=x3−6x2+8 at x=5x=5x=5 with Δx=0.1\Delta x=0.1Δx=0.1.

Problem 2411

A sales function is S(x)=3x2−7x+8S(x)=3 x^{2}-7 x+8S(x)=3x2−7x+8. Find the average rate of change from years 6 to 8 and the instantaneous rate at year 10.

Problem 2412

Calculate the integral: ∫2e3−2xdx\int 2 e^{3-2 x} d x∫2e3−2xdx

Problem 2413

Bestimme die Zeit ttt für die maximale Besucherzahl f(t)=−t3+24t2−117t+182f(t)=-t^{3}+24 t^{2}-117 t+182f(t)=−t3+24t2−117t+182 und die schnellste Zunahme f′(t)f'(t)f′(t).

Problem 2414

Problem 2415

Problem 2416

Gegeben ist die Funktion f(x)=x3−12xf(x)=x^{3}-12 xf(x)=x3−12x. Bestimmen Sie die ersten beiden Ableitungen, Extrempunkte und den Wendepunkt.

Problem 2417

Find the value of ccc for which the function is continuous, given 36c+30=216−6c36c + 30 = 216 - 6c36c+30=216−6c. What is ccc?

Problem 2418

Find the first and second derivatives of f(t)=−3etf(t)=-3 e^{t}f(t)=−3et.

Problem 2419

Berechne den Flächeninhalt zwischen f(x)=2⋅xf(x)=2 \cdot xf(x)=2⋅x und der xxx-Achse für a=0a=0a=0 und b=1,2,3,…b=1, 2, 3, \ldotsb=1,2,3,… und für j(x)=14⋅xj(x)=\frac{1}{4} \cdot xj(x)=41​⋅x analog.

Problem 2420

Problem 2421

Bestimmen Sie die 1. und 2. Ableitung von f(x)=8−exf(x) = 8 - e^xf(x)=8−ex.

Problem 2422

Problem 2423

Problem 2424

Berechne die mittlere Änderungsrate von f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2 auf [2;a] für a>2a>2a>2 und finde a>2a>2a>2, wenn die Änderungsrate 6 ist.

Problem 2425

Berechnen Sie die Ableitungen f′(x)f^{\prime}(x)f′(x) für die angegebenen Funktionen und den Anstieg an den gegebenen Stellen.

Problem 2426

Bestimmen Sie den Bestand F(t)F(t)F(t) einer Bakterienkultur mit f(t)=1000⋅e0,1tf(t)=1000 \cdot e^{0,1 t}f(t)=1000⋅e0,1t und F(0)=10000F(0)=10000F(0)=10000.

Problem 2427

Bestimme die Wendepunkte der Funktion f(x)=−2x4+3x2+x+2f(x)=-2 x^{4}+3 x^{2}+x+2f(x)=−2x4+3x2+x+2.

Problem 2428

Soit f(x)=3x4−20x3−6x2+60x+2f(x)=3 x^{4}-20 x^{3}-6 x^{2}+60 x+2f(x)=3x4−20x3−6x2+60x+2. 1) Analyser les variations de fff. 2) Analyser la convexité et trouver les points d'inflexion.

Problem 2429

Bestimmen Sie die Extremstellen von f(x)=ex−xf(x)=e^{x}-xf(x)=ex−x und erklären Sie, warum der Graph keine Wendepunkte hat.

Problem 2430

Berechne das Alter, in dem die Körpergröße am schnellsten zunimmt, und die maximale Wachstumsgeschwindigkeit mit h(t)=−0,305t3+11,66t2−141t+685h(t)=-0,305 t^{3}+11,66 t^{2}-141 t+685h(t)=−0,305t3+11,66t2−141t+685.

Problem 2431

Problem 2432

Problem 2433

Bestimmen Sie, ob die Folgen (an)=(n+1n+2)\left(a_{n}\right)=\left(\frac{n+1}{n+2}\right)(an​)=(n+2n+1​), (2n−1)\left(2^{n}-1\right)(2n−1), (n−1n2)\left(\frac{n-1}{n^{2}}\right)(n2n−1​) und ((−1)nn2)\left((-1)^{n} n^{2}\right)((−1)nn2) konvergent oder divergent sind.

Problem 2434

Problem 2435

Bestimme das Intervall [a;b][a; b][a;b] für die Funktion C(t)=−18t3+34t2C(t)=-\frac{1}{8} t^{3}+\frac{3}{4} t^{2}C(t)=−81​t3+43​t2 und beantworte Fragen zu Virionen und Wendepunkt.

Problem 2436

Ein Start-Up hat eine App entwickelt. Nutzerzahl f(t)=t3−24t2+150t+100f(t)=t^{3}-24t^{2}+150t+100f(t)=t3−24t2+150t+100 für 0≤t≤140 \leq t \leq 140≤t≤14. a) Nutzer nach 3 Monaten? b) Wann minimale/maximale Nutzerzahl? c) Wann steigt die Nutzerzahl am stärksten?

Problem 2437

Find the difference quotient of f(x)=x2−7f(x)=x^{2}-7f(x)=x2−7: compute f(x+h)−f(x)h\frac{f(x+h)-f(x)}{h}hf(x+h)−f(x)​ for h≠0h \neq 0h=0 and simplify.

Problem 2438

Berechnen Sie den Anstieg und Anstiegswinkel von f(x)=−2x2+4x−3f(x)=-2 x^{2}+4 x-3f(x)=−2x2+4x−3 bei P(−3,−33)P(-3, -33)P(−3,−33). Bestimmen Sie den Anstieg in den Nullstellen von f(x)=−0,5x2+0,5x+6f(x)=-0,5 x^{2}+0,5 x+6f(x)=−0,5x2+0,5x+6 und die Punkte mit Anstieg -5.

Problem 2439

Bestimme die Ableitung von f(x)=x2f(x)=x^{2}f(x)=x2 an den Stellen: a) 3, b) 4, c) 5, d) -1.

Problem 2440

Find the derivative of f(x)=xp+2xp−1f(x)=x^{p}+2 x^{p-1}f(x)=xp+2xp−1 and show f(1)=f′(1)+5−3pf(1)=f^{\prime}(1)+5-3 pf(1)=f′(1)+5−3p.

Problem 2441

Calculate the integral from 1 to 2 of the function 4x34x^{3}4x3.

Problem 2442

Finde die Produktionsmenge, bei der die Stückkosten minimal sind, und den minimalen Marktpreis für langfristige Existenz. Gegeben ist die Gesamtkostengleichung K(x)=x3−9x2+30x+20K(x)=x^{3}-9 x^{2}+30 x+20K(x)=x3−9x2+30x+20 mit Doˉk=[0;8]D_{\bar{o} k}=[0 ; 8]Doˉk​=[0;8].

Problem 2443

Problem 2444

Bestimme die Grenzwerte: a) lim⁡x→−32x2−18x+3\lim _{x \rightarrow-3} \frac{2 x^{2}-18}{x+3}limx→−3​x+32x2−18​ b) lim⁡x→5x2−7x+10x−5\lim _{x \rightarrow 5} \frac{x^{2}-7 x+10}{x-5}limx→5​x−5x2−7x+10​

Problem 2445

Differentiate the function $-2 x^{3}-x^{-1}-1$ . What is $\frac{d}{d x}\left(-2 x^{3}-x^{-1}-1\right)$ ?

Graph the tangent line of $f(x)=4 x^{1/2}-2 x^{-1}-1$ at the point where $x=1$ .

Graph the tangent line of $f(x)=2 x^{1/2}-4 x^{-1/2}$ at the point where $x=1$ .

Estimate the limit as $x$ approaches 2 for $\frac{x^{2}-2x}{x^{2}-x-2}$ using values near 2.

Graph the tangent line of $f(x)=-2 x^{-1/2}+4 x^{-1}-3$ at $x=1$ .

Find the tangent line equation for $f(x)=4x+x^{-1/2}+1$ at the point $(4, \frac{35}{2})$ .

Find the tangent line equation for $f(x)=-4 x^{1/2}-5 x^{-1}-5$ at the point (4, $-\frac{57}{4}$ ).

Find $dy$ and $\Delta y$ for $f(x)=x^{3}-8x^{2}+5$ at $x=5$ with $\Delta x=0.1$ .

Find dy and $\Delta y$ for the function $y=f(x)=x^{3}-6x^{2}+8$ at $x=5$ with $\Delta x=0.1$ .

A sales function is $S(x)=3 x^{2}-7 x+8$ . Find the average rate of change from years 6 to 8 and the instantaneous rate at year 10.

Calculate the integral: $\int 2 e^{3-2 x} d x$

Bestimme die Zeit $t$ für die maximale Besucherzahl $f(t)=-t^{3}+24 t^{2}-117 t+182$ und die schnellste Zunahme $f'(t)$ .

Gegeben ist die Funktion $f(x)=x^{3}-12 x$ . Bestimmen Sie die ersten beiden Ableitungen, Extrempunkte und den Wendepunkt.

Find the value of $c$ for which the function is continuous, given $36c + 30 = 216 - 6c$ . What is $c$ ?

Find the first and second derivatives of $f(t)=-3 e^{t}$ .

Berechne den Flächeninhalt zwischen $f(x)=2 \cdot x$ und der $x$ -Achse für $a=0$ und $b=1, 2, 3, \ldots$ und für $j(x)=\frac{1}{4} \cdot x$ analog.

Bestimmen Sie die 1. und 2. Ableitung von $f(x) = 8 - e^x$ .

Berechne die mittlere Änderungsrate von $f(x)=x^2$ auf [2;a] für $a>2$ und finde $a>2$ , wenn die Änderungsrate 6 ist.

Berechnen Sie die Ableitungen $f^{\prime}(x)$ für die angegebenen Funktionen und den Anstieg an den gegebenen Stellen.

Bestimmen Sie den Bestand $F(t)$ einer Bakterienkultur mit $f(t)=1000 \cdot e^{0,1 t}$ und $F(0)=10000$ .

Bestimme die Wendepunkte der Funktion $f(x)=-2 x^{4}+3 x^{2}+x+2$ .

Soit $f(x)=3 x^{4}-20 x^{3}-6 x^{2}+60 x+2$ . 1) Analyser les variations de $f$ . 2) Analyser la convexité et trouver les points d'inflexion.

Bestimmen Sie die Extremstellen von $f(x)=e^{x}-x$ und erklären Sie, warum der Graph keine Wendepunkte hat.

Berechne das Alter, in dem die Körpergröße am schnellsten zunimmt, und die maximale Wachstumsgeschwindigkeit mit $h(t)=-0,305 t^{3}+11,66 t^{2}-141 t+685$ .

Bestimmen Sie, ob die Folgen $\left(a_{n}\right)=\left(\frac{n+1}{n+2}\right)$ , $\left(2^{n}-1\right)$ , $\left(\frac{n-1}{n^{2}}\right)$ und $\left((-1)^{n} n^{2}\right)$ konvergent oder divergent sind.

Bestimme das Intervall $[a; b]$ für die Funktion $C(t)=-\frac{1}{8} t^{3}+\frac{3}{4} t^{2}$ und beantworte Fragen zu Virionen und Wendepunkt.

Ein Start-Up hat eine App entwickelt. Nutzerzahl $f(t)=t^{3}-24t^{2}+150t+100$ für $0 \leq t \leq 14$ .
a) Nutzer nach 3 Monaten? b) Wann minimale/maximale Nutzerzahl? c) Wann steigt die Nutzerzahl am stärksten?

Find the difference quotient of $f(x)=x^{2}-7$ : compute $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ for $h \neq 0$ and simplify.

Berechnen Sie den Anstieg und Anstiegswinkel von $f(x)=-2 x^{2}+4 x-3$ bei $P(-3, -33)$ . Bestimmen Sie den Anstieg in den Nullstellen von $f(x)=-0,5 x^{2}+0,5 x+6$ und die Punkte mit Anstieg -5.

Bestimme die Ableitung von $f(x)=x^{2}$ an den Stellen: a) 3, b) 4, c) 5, d) -1.

Find the derivative of $f(x)=x^{p}+2 x^{p-1}$ and show $f(1)=f^{\prime}(1)+5-3 p$ .

Calculate the integral from 1 to 2 of the function $4x^{3}$ .

Finde die Produktionsmenge, bei der die Stückkosten minimal sind, und den minimalen Marktpreis für langfristige Existenz. Gegeben ist die Gesamtkostengleichung $K(x)=x^{3}-9 x^{2}+30 x+20$ mit $D_{\bar{o} k}=[0 ; 8]$ .

Bestimme die Grenzwerte: a) $\lim _{x \rightarrow-3} \frac{2 x^{2}-18}{x+3}$ b) $\lim _{x \rightarrow 5} \frac{x^{2}-7 x+10}{x-5}$

Bestimmen Sie die Grenzwerte: a) $\lim _{x \rightarrow-3} \frac{2 x^{2}-18}{x+3}$ b) $\lim _{x \rightarrow 5} \frac{x^{2}-7 x+10}{x-5}$

Grenzwert bestimmen: a) $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1}{1-\frac{1}{x}}$ b) $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x-3}{2-x}$

Bestimmen Sie die Stammfunktion für: a) $f(x)=\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{2} x^{-2}$ , b) $f(x)=\sqrt{5}^{3} x^{3}-x^{-3}$ .

Finden Sie die Stammfunktion: a) $f(x)=\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{2} x^{-2}$ b) $f(x)$

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{9 x^{2}+2 x+1}}{7-2 x}$ .

Berechne die Fläche zwischen dem Graphen $f(x)=x^{3}-6 x^{2}+12 x$ und der $x$ -Achse für $0 \leq x \leq 3$ mit Ober- und Untersumme (Streifenbreite $n=1$ ).

Find the derivative of the function $f_a(x)=x^{2}-a^{2}$ .

Bestimmen Sie die Ableitung von $f(x) = (1 - 3x^4)^2$ .

Find the limit as $x$ approaches 6 from the left: $\lim _{x \rightarrow 6^{-}} \frac{|x-6|}{x^{2}-5 x-6}$ .

Evaluate the limit: $\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n^2 - 3n}{2n^2 + 4}\right)$ .

Find the derivative of $(x+1) \sin x$ .

Bestimme die Ableitung der Funktion $f(x)=\sqrt{3 x^{3}+5}$ .

Berechne die Integrale $\int_{0}^{a} x^n dx$ für $n=1,2,3,4,5$ und stelle Vermutungen für deren Werte auf.

Berechne die Ableitungen: a) $f(x)=(4 x+1)^{2}$ , c) $f(x)=\sqrt{24-x}$ , e) $f(x)=\frac{1}{x^{4}-3}$ .

Bestimme den Tiefpunkt der Änderungsrate $g(t)=\frac{1}{4} t^{3}-\frac{11}{4} t^{2}-4 t+44$ . Wann steigt die Wassermenge? Skizziere $f$ .

Find the first derivative of $f(x) = x^{2} \sin(4x)$ .

Find the derivatives of these functions:
a) $f(x)=(x^{2}-3x)^{5}$
b) $f(x)=\sqrt{x^{2}-3x}$
c) $f(x)=\frac{36}{3x^{2}-5}$

Find the derivative $f'(x)$ for $f(x)=\frac{2 x+1}{x^{2}+1}$ and the tangent line at $x=2$ .

Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate von $f$ in den Intervallen: a) $f(x)=2 x$ , $I=[0 ; 1]$ b) $f(x)=0,5 x^{2}$ , $I=[1 ; 4]$ c) $f(x)=1-x^{2}$ , $I=[1 ; 3]$