Calculus

Problem 2801

Complete the table for $f(x) = \frac{9 \cos (x)-9}{x}$ as $x \to 0$ . Estimate the limit: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{9 \cos (x)-9}{x} \approx$ .

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Problem 2802

Berechne die folgenden unbestimmten Integrale: a) $\int x^{6} d x$ , b) $\int 6 x^{2} d x$ , c) $\int n \cdot x^{2 n-1} d x$ , d) $\int(4 x^{2}+2 x) d x$ , e) $\int(2 x^{3}-4 x+1) d x$ , f) $\int(a x^{2}+6 x) d x$ , g) $\int 3 x^{-2} d x$ , h) $\int(2 x+\frac{1}{x}) \cdot x d x$ , i) $\int(x+\frac{3}{x^{2}}) d x$ , j) $\int e^{x} \cdot e^{x+2} d x$ , k) $\int \frac{4}{e^{x}}$ , l) $\int(\sin^{-} x+2 \cos x) d x$ .

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Problem 2803

Evaluate the limit: $\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{42 x^{2}+5 x^{1 / 3}}{\sqrt{49 x^{4}+7}}=$

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Problem 2804

Calculate the limit: $\lim _{x \rightarrow \infty}(\ln (3x+1)-\ln (5x+1))=$

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Problem 2805

Find the average rate of change of $f(x)=8 x^{3}+8$ over the intervals: a) $[2,4]$ , b) $[-5,5]$ .

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Problem 2806

Find the slope and tangent line equation for the curve $y=9 x^{2}-2$ at point $P(3,79)$ .

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Problem 2807

Find $F^{\prime}(4)$ if $F(x)=f(x) \cdot g(x)$ with $f(4)=-4$ , $g(4)=13$ , $f^{\prime}(4)=0$ , $g^{\prime}(4)=8$ .

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Problem 2808

Find the slope of $y=x^{2}-3x-4$ at $P(2,-6)$ using secant lines and the tangent line equation at that point.

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Problem 2809

Find the derivative $g'(1)$ for the function $g(x)=2x^{4}-x^{3}+6x^{2}$ . Choose the correct answer: A) 17 B) 13 C) 3 D) 7

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Problem 2810

Find the derivative of the function $g(x)=\frac{\sin (x)}{\sqrt{x}}$ . What is $g^{\prime}(x)$ ?

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Problem 2811

Find the rate of change of revenue $R=250p-5p^2$ at price $p=7$ using the demand function $q=250-5p$ .

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Problem 2812

Find the position where carbon concentration is $0.246 \mathrm{wt} \%$ after $6 \mathrm{h}$ at $1030^{\circ} \mathrm{C}$ with $D = 3.8 \times 10^{-11} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}$ .

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Problem 2813

An alloy with $0.248 \mathrm{wt} \% \mathrm{C}$ loses carbon in air at $1080^{\circ} \mathrm{C}$ . Where is $0.186 \mathrm{wt} \% \mathrm{C}$ after $9 \mathrm{h}$ ? Use $D = 1.7 \times 10^{-11} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}$ .

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Problem 2814

Calculate the nitrogen concentration (wt\% N) at $0.7 \mathrm{~mm}$ after $7.5 \mathrm{~h}$ with surface $0.15 \mathrm{wt\% N}$ .

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Problem 2815

Find the slope $h^{\prime}(-2)$ of the tangent line to $h$ at $(-2,-4)$ that passes through $(1,5)$ .

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Problem 2816

Find the derivative $f^{\prime}(x)$ for the function $f(x)=(4x-9)^{2}$ .

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Problem 2817

Find the $x$ -coordinates where the tangent line to $f(x)=(4x^2-10x)^3$ is horizontal.

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Problem 2818

Find the derivative of the function $f(x)=\frac{1}{x^{7}}$ . What is $f^{\prime}(x)$ ?

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Problem 2819

Find $\frac{d y}{d x}$ at $x=0$ for $y=\frac{1}{-2+u^{2}}$ where $u=3 x+1$ . What is $\frac{d y}{d x}$ ?

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Problem 2820

Find $\frac{a y}{d x}$ at $x=0$ given $y=\frac{1}{-2+u^{2}}$ where $u=3 x+1$ .

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Problem 2821

Find the derivative of the function $f(x)=(5 x+6)^{4} \sqrt{2 x+4}$ .

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Problem 2822

Find the equation of the tangent line to $f(x)=x^{4}+2x^{2}$ at $x=1$ . Choose the correct option.

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Problem 2823

Find the derivative of $f(x)=4 \tan ^{3}(3 x^{3})$ . What is $f^{\prime}(x)$ ?

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Problem 2824

Find the derivative of $f(x)=3 x^{3} \sin(10 x^{5})$ . What is $f^{\prime}(x)$ ?

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Problem 2825

Find the horizontal asymptote(s) of the function $f(x)=\frac{9 x-4}{\sqrt{25 x^{2}+3}}$ . List them or write DNE if none exist.

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Problem 2826

Find the carrying capacity of a fish population modeled by $P(t)=\frac{7700}{1+4.13 e^{-0.2 t}}$ .

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Problem 2827

Calculate the integral: $\int \frac{v+3}{v-3} \, dv$

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Problem 2828

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x^{2}-6 x-2}{x^{3}-4 x}$ .

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Problem 2829

Find $\lim _{x \rightarrow \infty} \left( \sqrt{x^{2}+5 x}-\sqrt{x^{2}-3 x} \right)$ .

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Problem 2830

A tank has 80 liters of water. Salt water with 100 g/L is added at 2 L/min.
a) Find salt concentration $C(t)$ after $t$ minutes.
b) What is the long-term concentration $\lim _{t \rightarrow \infty} C(t)$ ?

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Problem 2831

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow \infty} \sqrt[4]{\frac{2023 + 3x^{2} + 7x^{3} + 243x^{5}}{3x^{5} - 9x^{4} + 2024}}$ .

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Problem 2832

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{6 x+4}{\sqrt{4 x^{2}-x-5}}$

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Problem 2833

Find vertical and horizontal asymptotes of $f(x)=\frac{8-9 x}{8+7 x}$ . List answers separated by commas.

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Problem 2834

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}$

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Problem 2835

Sketch a function $f$ where $\lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x) \neq \lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)$ and $\lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=f(1)$ . Is $f$ continuous at $x=1$ ?

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Problem 2836

Determine if the function $h(x)=-x^{4}+x^{3}+20 x^{2}$ has a global min/max in the given intervals.

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Problem 2837

Evaluate the following limits: (a) $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)$ for $f(x)=\begin{cases} x^{2}-x & \text{if } x \leq-1 \\ \sqrt{x+2} & \text{if } x>-1 \end{cases}$ (b) $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}+1}{x^{3}+5 x+2}$ (c) $\lim _{x \rightarrow 5^{-}} \frac{5}{2 x-10}+4 x$

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Problem 2838

Given the function $f(x)$ defined as:
$f(x)=\left\{\begin{array}{cl} \frac{x^{2}-c^{2}}{x-c} & , \text { if } x \neq c \\ 1 & \text { if } x=c \end{array}\right.$
(a) Does $f(c)$ exist? (b) Does $\lim _{x \rightarrow c} f(x)$ exist? (c) Is $f(x)$ continuous at $x=c$ ?

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Problem 2839

Find the limit: $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{3 \sec \left(\frac{\pi}{4}+h\right)-3 \sec \left(\frac{\pi}{4}\right)}{h}$

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Problem 2840

Evaluate $f^{\prime}(-2)$ for the function $f(x)=-x^{4}-4 x^{3}+2 x$ .

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Problem 2841

Verstehen Sie den Beweis des Hauptsatzes der Analysis: $I_{a}^{\prime}(x)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{I_{a}(x+h)-I_{a}(x)}{h}=f(x)$ . Gehen Sie ihn Schritt für Schritt durch. Beweisen Sie auch für $f$ monoton fallend.

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Problem 2842

Beweise, dass für eine monoton fallende Funktion gilt: $I_{a}^{\prime}(x)=f(x)$ , basierend auf dem Differenzenquotienten.

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Problem 2843

Gegeben ist eine Funktion $f$ und ihre Stammfunktion $I_a(x)$ . Zeigen Sie, dass $I_{a}^{\prime}(x)=f(x)$ für $f$ monoton wachsend und dann für monoton fallend.

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Problem 2844

Ski-Cross-Parcours:
a) Bestimme den Höhenunterschied zwischen A (-10|y) und dem tiefsten Punkt B. b) Berechne das durchschnittliche Gefälle zwischen A und B. c) Finde den Winkel $\alpha$ beim Ursprung. d) Zeige, dass $f$ und $g$ ohne Knick übergehen und $g$ in C(10|0) waagerecht ist. e) Wo ist die maximale Steigung von $g$ ? f) Finde den Wendepunkt von $g$ . g) Beschreibe das Krümmungsverhalten der Bahn.

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Problem 2845

Gegeben ist die Funktion $h(t)=-0,015 t^{3}+0,45 t^{2}+2$ .
a) Bestimme die Blütenhöhe nach 3 Tagen. b) Berechne $\frac{h(3)-h(0)}{3-0}$ und $h^{\prime}(3)$ und erkläre ihre Bedeutung.

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Problem 2846

Finde die Maße eines offenen Kartons mit quadratischer Grundfläche, um bei $100 \mathrm{~cm}^{2}$ Oberfläche das Volumen zu maximieren.

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Problem 2847

Gegeben ist $f(x)=(x-3)(0,5x^2-3x+3)$ .
a) Vereinfache $f$ . b) Bestimme Schnittpunkte mit Achsen. c) Finde Extrempunkte. d) Zeige $W(3/0)$ als Wendepunkt. e) Berechne Wendetangente. f) Zeichne $f'$ . g) Nenne 2 Zusammenhänge zwischen $f$ und $f'$ . h) Beurteile A und B: A: Steigung von $A(0/-9)$ und $B(6/f(6))$ = 3? B: $f$ ist für $x>3$ monoton steigend?

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Problem 2848

Bestimmen Sie Hoch- und Tiefpunkte der Funktionen mit ersten und zweiten Ableitungen: a) $f(x)=-4x^{2}+8x$ , b) $f(x)=\frac{1}{8}x^{3}-\frac{3}{4}x^{2}+2$ , c) $f(x)=\frac{1}{10}x^{3}-\frac{3}{10}x^{2}+\frac{12}{5}$ , d) $f(x)=\frac{1}{8}x^{3}-\frac{3}{2}x^{2}+\frac{9}{2}x$ , e) $f(x)=\frac{1}{9}x^{3}-\frac{1}{3}x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{26}{9}$ , f) $f(x)=\frac{1}{4}x^{4}-2x^{2}$ .

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Problem 2849

Bestimmen Sie die Hoch- und Tiefpunkte der Funktionen $f(x)$ durch Ableitungen: a) $-4x^2 + 8x$ , b) $\frac{1}{8}x^3 - \frac{3}{4}x^2 + 2$ , c) $\frac{1}{10}x^3 - \frac{3}{10}x^2 + \frac{12}{5}$ , d) $\frac{1}{8}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + \frac{9}{2}x$ , e) $\frac{1}{9}x^3 - \frac{1}{3}x^2 - \frac{8}{3}x + \frac{26}{9}$ , f) $\frac{1}{4}x^4 - 2x^2$ .

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Problem 2850

Bestimme die Ableitungen von den Funktionen: a) $f(x)=-4 x^{2}+8 x$ b) $f(x)=\frac{1}{8} x^{3}-\frac{3}{4} x^{2}+2$ c) $f(x)=\frac{1}{10} x^{3}-\frac{3}{10} x^{2}+\frac{12}{5}$ d) $f(x)=\frac{1}{8} x^{3}-\frac{3}{2} x^{2}+\frac{9}{2} x$ e) $f(x)=\frac{1}{9} x^{3}-\frac{1}{3} x^{2}-\frac{8}{3} x+\frac{26}{9}$ f) $f(x)=\frac{1}{4} x^{4}-2 x^{2}$

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Problem 2851

Bestimmen Sie die Ableitung von $f$ für die Funktionen: a) $f(x)=-4 x^{2}+8 x$ , b) $f(x)=\frac{1}{8} x^{3}-\frac{3}{4} x^{2}+2$ , c) $f(x)=\frac{1}{10} x^{3}-\frac{3}{10} x^{2}+\frac{12}{5}$ , d) $f(x)=\frac{1}{8} x^{3}-\frac{3}{2} x^{2}+\frac{9}{2} x$ , e) $f(x)=\frac{1}{9} x^{3}-\frac{1}{3} x^{2}-\frac{8}{3} x+\frac{26}{9}$ , f) $f(x)=\frac{1}{4} x^{4}-2 x^{2}$ .

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Problem 2852

Find the limit as $x$ approaches $-\infty$ for the expression $-2 b x^{4}+5 x^{2}+2$ .

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Problem 2853

Gegeben ist die Funktion $f(t)= 2500-2498 \cdot e^{-0,008 \cdot t}$ .
1. Erkläre, warum $f^{\prime}$ die neu erkrankten Passagiere pro Tag schätzt.
2. Zeige, dass $f^{\prime}(t)=2498 \cdot 0,008 \cdot e^{-0,008 \cdot t}$ gilt.
3. Bestimme, bis wann medizinisches Personal benötigt wird.

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Problem 2854

Finde zwei Zahlen, deren Summe 14 ist, sodass ihr Produkt $P$ maximal wird. Bestimme $P(u)$ und die Extremstellen.

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Problem 2855

Bestimmen Sie den Zusammenhang zwischen dem Grad von $f(x)$ und der Anzahl der Nullstellen von $f'(x)$ .

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Problem 2856

Berechne die ersten und zweiten Ableitungen für: a) $f(x)=4 x^{2}+2 x+1$ , b) $f(t)=t^{100}-t^{99}$ , d) $f(x)=-\sqrt{2} x^{3}+\frac{8}{7} x^{7}-x$ , e) $f(x)=5$ .

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Problem 2857

19 Integralfunktionen und Stammfunktionen a) Zeigen Sie, dass jede Integralfunktion eine Nullstelle hat. b) Beweisen Sie, dass $F(x)=x^{2}+1$ eine Stammfunktion von $f(x)=2 x$ ist, aber keine Integralfunktion. c) Erklären Sie, dass es Funktionen mit einer Integralfunktion, aber ohne Stammfunktion gibt.

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Problem 2858

Zeigen Sie, dass $F(x)=x^{2}+1$ eine Stammfunktion von $f(x)=2 x$ ist, aber keine Integralfunktion sein kann.

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Problem 2859

Find the derivative of the function $y=\frac{2 x+9}{3 x-1}$ . What is $\frac{d y}{d x}$ ?

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Problem 2860

Find the derivative $\frac{d y}{d x}$ for the function $y=\frac{3 x-10}{2 x+9}$ .

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Problem 2861

Find the derivative $\frac{d y}{d x}$ for the function $y=\frac{5}{4 x-9}$ .

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Problem 2862

Erstelle eine Kehrschaufel aus einem $40 \mathrm{~cm}$ x $80 \mathrm{~cm}$ Blech, indem du an den Ecken Quadrate der Seitenlänge $x$ ausschneidest.
a) Nenne Haupt- und Nebenbedingungen. b) Bestimme die Zielfunktion $V(x)=+2 x^{3}-200 x^{2}+3200 x$ . c) Finde $x$ für maximales Volumen und nenne die Maße der Schaufel. Untersuche die Randwerte.

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Problem 2863

Gegeben sind die Funktionen $H(t)=100 \cdot e^{-0,05 t^{2}+0,6 t-1,75}$ und $h(t)=10 \cdot (6-t) \cdot e^{-0,05 t^{2}+0,6 t-1,75}$ .
a) Zeigen Sie, dass $H(t)$ die Stammfunktion von $h(t)$ ist.
b) Berechnen Sie $\int_{6}^{10} h(t) \mathrm{dt}$ und deuten Sie das Ergebnis.

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Problem 2864

Skizzieren Sie den Graphen einer Funktion $f$ mit folgenden Eigenschaften: a) negative Steigung überall, b) $f'(0)=0$ , $f'>0$ für $x>0$ , $f'<0$ für $x<0$ , c) $f'$ nicht negativ, $f'(1)=0$ .

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Problem 2865

Bestimme die Ableitungen $f'$ und $f''$ von $f(x)=\frac{1}{6} x^{3}-2 x$ , finde Extremal- und Wendepunkte und zeichne die Graphen.

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Problem 2866

Skizzieren Sie den Graphen einer Funktion $f$ mit folgenden Eigenschaften: a) negative Steigung überall; b) $f'(0)=0$ , $f'>0$ für $x>0$ , $f'<0$ für $x<0$ ; c) $f'(x) \geq 0$ und $f'(1)=0$ .

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Problem 2867

Bestimmen Sie, welches Integral $\left[0,4 \mathrm{x}^{2}\right]_{1}^{2}$ ergibt und berechnen Sie die angegebenen Integrale.

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Problem 2868

Berechnen Sie die Integrale: a) $\int_{0}^{4}-x d x$ b) $\int_{0}^{2}-e^{x} d x$ c) $\int_{-2}^{2}-x^{2} d x$ d) $\int_{0}^{2 \pi} \cos (x) d x$ e) $\int_{-20}^{-10}-1 d x$

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Problem 2869

Bestimmen Sie die Grenzwerte von $f(x)=\frac{2 x^{2}+3}{x^{2}+1}$ für $x \to +\infty$ und $x \to -\infty$ .

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Problem 2870

Bestimme die Ableitungsfunktion $f^{\prime}$ für $f(x)=x^{8}+x^{2}$ . Welche ist korrekt? $f^{\prime}(x)=8 x^{7}+2 x$ ?

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Problem 2871

Bestimmen Sie, welches Integral das Ergebnis $\left[0,4 x^{2}\right]_{1}^{2}$ ergibt. Optionen: I, II, III, IV.

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Problem 2872

Gegeben ist $f(x)=2 x^{3}-6 x^{2}+4,5 x$ . Bestimme: a) Schnittpunkte mit der X-Achse, b) Extrempunkte, c) Wendepunkt, d) Tangente bei $P(1 \mid f(1))$ .

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Problem 2873

Find the derivative of $f(x) = x^{3} + x$ . Which is the correct derivative?
1. $f^{\prime}(x)=3 x+x$
2. $f^{\prime}(x)=3 x^{2}+1$
3. $f^{\prime}(x)=3 x^{2}$
4. $f^{\prime}(x)=x^{4}$

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Problem 2874

Gegeben ist die Funktion $f(x)=2 x^{3}-6 x^{2}+4,5 x$ . Bestimmen Sie X-Achsen-Schnittpunkte, Extrempunkte, Wendepunkt und Tangente im Punkt $P(1 \mid f(1))$ .

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Problem 2875

Aufgabe: Gegeben ist die Kostenfunktion $K(x)=x^{3}-10 x^{2}+35 x+18$ für $D=[0; 8]$ . a) Skizzieren Sie $K$ und interpretieren Sie. b) Bestimmen Sie den Wendepunkt und dessen Bedeutung. c) Finden Sie die Grenzkostenfunktion und die minimalen Grenzkosten.

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Problem 2876

Bakterienwachstum in $\mathrm{cm}^{2}$ : $A(t)=-0,005 t^{3}+0,2 t^{2}+0,9 t+1$ . Bestimme $A(3)$ und $A(6)$ , wann sinkt die Fläche und finde Wendepunkte.

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Problem 2877

Differentiate the function $y=\frac{4 x^{2}+6 x+2}{\sqrt{x}}$ . Find $y' = \square$ .

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Problem 2878

Gesamtkostenfunktion: $K(x)=0.1 x^{3}-1 \cdot x^{2}+20 \cdot x+100$ . Zeigen Sie die ertragsgesetzliche Eigenschaft und berechnen Sie die Grenzkosten bei 2 ME. Bestätigen Sie die Preisuntergrenze von 17.5 GE/ME.

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Problem 2879

Find the 114th derivative of $\sin x$ .

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Problem 2880

Find the derivative of $f(x)=4x^3+3x^2+3x+4$ .

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Problem 2881

Gegeben ist f_{a}(x)=2 x^{2}-4 a x+\overparen{6 a-4,5}. Bestimmen Sie $f'_{0}$ , $f''_{0}$ und die Steigung bei $x=0$ .

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Problem 2882

Gegeben ist ein Abwasserkanal mit Umfang $U=10 \, \mathrm{m}$ . Bestimmen Sie die Maße des Rechtecks für maximale Querschnittsfläche.

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Problem 2883

A construction worker drops a brick. Find its velocity after 4.0 s and the distance it falls in that time.

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Problem 2884

Ein Unternehmen hat Erlöse $E(x)=402 x-3 x^{2}$ und fixe Kosten von $8.400 \mathrm{GE}$ sowie variable Kosten von $57 \mathrm{GE}/$ st. Bestimmen Sie die Gewinnfunktion und die Gewinnzone. Finden Sie die Absatzmenge mit maximalem Gewinn und berechnen Sie den maximalen Gewinn, den Stückgewinn und den Preis im Gewinnmaximum.

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Problem 2885

Ein Unternehmen hat die Erlösfunktion $E(x)=402 x-3 x^{2}$ und fixe Kosten von \$8.400 sowie variable Kosten von \$57. Bestimmen Sie die Gewinnfunktion und die Gewinnzone. Wo ist der Gewinn maximal und wie hoch ist dieser? Was ist der Stückgewinn und der Preis im Gewinnmaximum?

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Problem 2886

Berechne das Integral $\int x^{6} d x$ .

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Problem 2887

Calculate the integral: $\int 6 x^{2} dx$

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Problem 2888

Vereinfachen Sie $f(x)=\left(e^{x-1}\right)^{2}$ und bestimmen Sie dann die Ableitung von $f$ .

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Problem 2889

Bestimme die Wurzeln der Funktion $k(t)=t \cdot(t-4)^{2}$ mit der pq-Formel und berechne die Stammfunktion.

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Problem 2890

Berechnen Sie den Flächeninhalt zwischen dem Graphen $A(x)=6+x-x^2$ und der Abszisse.

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Problem 2891

Leiten Sie die Funktion $f$ einmal ab für: a) $f(x)=\sin(3x+3)$ , b) $f(t)=2\cos(\pi t-2)$ , c) $f(t)=-\cos(5t)$ , d) $f(x)=-4\sin(\pi-x)$ , e) $f(t)=\sin(t-6)$ , f) $f(x)=\cos(3x+\pi)$ .

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Problem 2892

Find the connection $S=7 V^{2}$ for a cuboid with dimensions $x$ , $2x$ , $4x$ . If $V=1000$ , find rate of volume increase.

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Problem 2893

Bestimmen Sie die Grenzwerte: 7) $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{5 n^{12}}{8-7 n^{14}}$ B) $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3+20 n^{4}}{5 n^{2}-8 n^{4}}$ C) $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{9 x^{2}+2 x^{3}}{40 x^{3}-7 x}$ D) $\lim _{x \rightarrow 2,5} \frac{4 x^{2}-25}{2 x-5}$

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Problem 2894

Geben Sie die Grenzwerte an und untersuchen Sie die Funktionen auf Polstellen und Singularitäten.

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Problem 2895

Ein Pkw beschleunigt: a) Skizziere den Graphen von v. b) Untersuche das Vorzeichen von v'. c) Erkläre $v(2)=3$ , $\frac{v(15)-v(12)}{15-12}=1,2$ , $v^{\prime}(15)=1$ .

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Problem 2896

Grenzwerte und Ableitungen angeben:
7) $\lim_{n \to \infty} \frac{5 n^{12}}{8 - 7 n^{14}}$ ; B) $\lim_{n \to \infty} \frac{3 + 20 n^{4}}{5 n^{2} - 8 n^{4}}$ ; C) $\lim_{x \to \infty} \frac{9 x^{2} + 2 x^{3}}{40 x^{3} - 7 x}$ ; D) $\lim_{x \to 2.5} \frac{4 x^{2} - 25}{2 x - 5}$ ; E) Polstellen von $f(x) = \frac{7}{3 x^{2} + 6 x - 189}$ ; F) Behebbare Singularität von $f(x) = \frac{x^{2} - 6 x}{x - 6}$ ? G) $f'(x)$ für $f(x) = 10 x^{8} - 9 x^{4} + 12 x^{2} - 5 x + e$ ; H) $f'(x)$ für $f(x) = \frac{2}{x^{3}}$ ; I) $f'(x)$ für $f(x) = \sqrt[5]{x}$ ; J) $f'(x)$ für $f(x) = 3 \ln x$ ; K) $f'(x)$ für $f(x) = 10 e^{x} + \sqrt{x}$ ; L) $f'(x)$ für $f(x) = 3 \sqrt{2} + 9 \pi$ ; M) Steigung bei $f(x) = 0.01 x^{7}$ für $x=3$ ; N) Steigung der Tangente an $f(x) = 20 \ln x + 6 x$ bei $x=4$ ; O) Werte für $f(x) = 0.1 e^{x}$ und $g(x) = \sqrt{2 x + 3}$ berechnen und zeichnen.

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Problem 2897

Finde den Hochpunkt der Funktion $f(x)=x^{3}+2 x^{2}-11 x-12$ .

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Problem 2898

Bestimmen Sie Art und Lage der Extrema der Funktion $f(x)=x^{3}-3 x^{2}+0,5$ .

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Problem 2899

Find the antiderivative of $f(x) = x^3 - 4x$ .

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Problem 2900

Geben Sie die Grenzwerte an und bestimmen Sie Ableitungen für die Funktionen. Wo hat $f(x)=\frac{7}{3 x^{2}+6 x-189}$ Polstellem?

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Calculus

Problem 2801

Complete the table for f(x)=9cos⁡(x)−9xf(x) = \frac{9 \cos (x)-9}{x}f(x)=x9cos(x)−9​ as x→0x \to 0x→0. Estimate the limit: lim⁡x→09cos⁡(x)−9x≈\lim _{x \rightarrow 0} \frac{9 \cos (x)-9}{x} \approxx→0lim​x9cos(x)−9​≈.

Problem 2802

Problem 2803

Evaluate the limit: lim⁡x→−∞42x2+5x1/349x4+7=\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{42 x^{2}+5 x^{1 / 3}}{\sqrt{49 x^{4}+7}}=limx→−∞​49x4+7​42x2+5x1/3​=

Problem 2804

Calculate the limit: lim⁡x→∞(ln⁡(3x+1)−ln⁡(5x+1))=\lim _{x \rightarrow \infty}(\ln (3x+1)-\ln (5x+1))=limx→∞​(ln(3x+1)−ln(5x+1))=

Problem 2805

Find the average rate of change of f(x)=8x3+8f(x)=8 x^{3}+8f(x)=8x3+8 over the intervals: a) [2,4][2,4][2,4], b) [−5,5][-5,5][−5,5].

Problem 2806

Find the slope and tangent line equation for the curve y=9x2−2y=9 x^{2}-2y=9x2−2 at point P(3,79)P(3,79)P(3,79).

Problem 2807

Find F′(4)F^{\prime}(4)F′(4) if F(x)=f(x)⋅g(x)F(x)=f(x) \cdot g(x)F(x)=f(x)⋅g(x) with f(4)=−4f(4)=-4f(4)=−4, g(4)=13g(4)=13g(4)=13, f′(4)=0f^{\prime}(4)=0f′(4)=0, g′(4)=8g^{\prime}(4)=8g′(4)=8.

Problem 2808

Find the slope of y=x2−3x−4y=x^{2}-3x-4y=x2−3x−4 at P(2,−6)P(2,-6)P(2,−6) using secant lines and the tangent line equation at that point.

Problem 2809

Find the derivative g′(1)g'(1)g′(1) for the function g(x)=2x4−x3+6x2g(x)=2x^{4}-x^{3}+6x^{2}g(x)=2x4−x3+6x2. Choose the correct answer: A) 17 B) 13 C) 3 D) 7

Problem 2810

Find the derivative of the function g(x)=sin⁡(x)xg(x)=\frac{\sin (x)}{\sqrt{x}}g(x)=x​sin(x)​. What is g′(x)g^{\prime}(x)g′(x)?

Problem 2811

Find the rate of change of revenue R=250p−5p2R=250p-5p^2R=250p−5p2 at price p=7p=7p=7 using the demand function q=250−5pq=250-5pq=250−5p.

Problem 2812

Find the position where carbon concentration is 0.246wt%0.246 \mathrm{wt} \%0.246wt% after 6h6 \mathrm{h}6h at 1030∘C1030^{\circ} \mathrm{C}1030∘C with D=3.8×10−11 m2/sD = 3.8 \times 10^{-11} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}D=3.8×10−11 m2/s.

Problem 2813

Problem 2814

Calculate the nitrogen concentration (wt\% N) at 0.7 mm0.7 \mathrm{~mm}0.7 mm after 7.5 h7.5 \mathrm{~h}7.5 h with surface 0.15wt%N0.15 \mathrm{wt\% N}0.15wt%N.

Problem 2815

Find the slope h′(−2)h^{\prime}(-2)h′(−2) of the tangent line to hhh at (−2,−4)(-2,-4)(−2,−4) that passes through (1,5)(1,5)(1,5).

Problem 2816

Find the derivative f′(x)f^{\prime}(x)f′(x) for the function f(x)=(4x−9)2f(x)=(4x-9)^{2}f(x)=(4x−9)2.

Problem 2817

Find the xxx-coordinates where the tangent line to f(x)=(4x2−10x)3f(x)=(4x^2-10x)^3f(x)=(4x2−10x)3 is horizontal.

Problem 2818

Find the derivative of the function f(x)=1x7f(x)=\frac{1}{x^{7}}f(x)=x71​. What is f′(x)f^{\prime}(x)f′(x)?

Problem 2819

Find dydx\frac{d y}{d x}dxdy​ at x=0x=0x=0 for y=1−2+u2y=\frac{1}{-2+u^{2}}y=−2+u21​ where u=3x+1u=3 x+1u=3x+1. What is dydx\frac{d y}{d x}dxdy​?

Problem 2820

Find aydx\frac{a y}{d x}dxay​ at x=0x=0x=0 given y=1−2+u2y=\frac{1}{-2+u^{2}}y=−2+u21​ where u=3x+1u=3 x+1u=3x+1.

Problem 2821

Find the derivative of the function f(x)=(5x+6)42x+4f(x)=(5 x+6)^{4} \sqrt{2 x+4}f(x)=(5x+6)42x+4​.

Problem 2822

Find the equation of the tangent line to f(x)=x4+2x2f(x)=x^{4}+2x^{2}f(x)=x4+2x2 at x=1x=1x=1. Choose the correct option.

Problem 2823

Find the derivative of f(x)=4tan⁡3(3x3)f(x)=4 \tan ^{3}(3 x^{3})f(x)=4tan3(3x3). What is f′(x)f^{\prime}(x)f′(x)?

Problem 2824

Find the derivative of f(x)=3x3sin⁡(10x5)f(x)=3 x^{3} \sin(10 x^{5})f(x)=3x3sin(10x5). What is f′(x)f^{\prime}(x)f′(x)?

Problem 2825

Find the horizontal asymptote(s) of the function f(x)=9x−425x2+3f(x)=\frac{9 x-4}{\sqrt{25 x^{2}+3}}f(x)=25x2+3​9x−4​. List them or write DNE if none exist.

Problem 2826

Find the carrying capacity of a fish population modeled by P(t)=77001+4.13e−0.2tP(t)=\frac{7700}{1+4.13 e^{-0.2 t}}P(t)=1+4.13e−0.2t7700​.

Problem 2827

Calculate the integral: ∫v+3v−3 dv\int \frac{v+3}{v-3} \, dv∫v−3v+3​dv

Problem 2828

Find the limit: lim⁡x→−∞x2−6x−2x3−4x\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x^{2}-6 x-2}{x^{3}-4 x}limx→−∞​x3−4xx2−6x−2​.

Problem 2829

Find lim⁡x→∞(x2+5x−x2−3x)\lim _{x \rightarrow \infty} \left( \sqrt{x^{2}+5 x}-\sqrt{x^{2}-3 x} \right)limx→∞​(x2+5x​−x2−3x​).

Problem 2830

A tank has 80 liters of water. Salt water with 100 g/L is added at 2 L/min. a) Find salt concentration C(t)C(t)C(t) after ttt minutes. b) What is the long-term concentration lim⁡t→∞C(t)\lim _{t \rightarrow \infty} C(t)limt→∞​C(t)?

Problem 2831

Find the limit: lim⁡x→∞2023+3x2+7x3+243x53x5−9x4+20244\lim _{x \rightarrow \infty} \sqrt[4]{\frac{2023 + 3x^{2} + 7x^{3} + 243x^{5}}{3x^{5} - 9x^{4} + 2024}}limx→∞​43x5−9x4+20242023+3x2+7x3+243x5​​.

Problem 2832

Find the limit: lim⁡x→−∞6x+44x2−x−5\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{6 x+4}{\sqrt{4 x^{2}-x-5}}limx→−∞​4x2−x−5​6x+4​

Problem 2833

Find vertical and horizontal asymptotes of f(x)=8−9x8+7xf(x)=\frac{8-9 x}{8+7 x}f(x)=8+7x8−9x​. List answers separated by commas.

Problem 2834

Find the limit: lim⁡x→∞ex+e−xex−e−x\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}limx→∞​ex−e−xex+e−x​

Problem 2835

Sketch a function fff where lim⁡x→1+f(x)≠lim⁡x→1−f(x)\lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x) \neq \lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)limx→1+​f(x)=limx→1−​f(x) and lim⁡x→1+f(x)=f(1)\lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=f(1)limx→1+​f(x)=f(1). Is fff continuous at x=1x=1x=1?

Problem 2836

Determine if the function h(x)=−x4+x3+20x2h(x)=-x^{4}+x^{3}+20 x^{2}h(x)=−x4+x3+20x2 has a global min/max in the given intervals.

Problem 2837

Problem 2838

Problem 2839

Find the limit: lim⁡h→03sec⁡(π4+h)−3sec⁡(π4)h\lim _{h \rightarrow 0} \frac{3 \sec \left(\frac{\pi}{4}+h\right)-3 \sec \left(\frac{\pi}{4}\right)}{h}limh→0​h3sec(4π​+h)−3sec(4π​)​

Problem 2840

Evaluate f′(−2)f^{\prime}(-2)f′(−2) for the function f(x)=−x4−4x3+2xf(x)=-x^{4}-4 x^{3}+2 xf(x)=−x4−4x3+2x.

Problem 2841

Problem 2842

Beweise, dass für eine monoton fallende Funktion gilt: Ia′(x)=f(x)I_{a}^{\prime}(x)=f(x)Ia′​(x)=f(x), basierend auf dem Differenzenquotienten.

Complete the table for $f(x) = \frac{9 \cos (x)-9}{x}$ as $x \to 0$ . Estimate the limit: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{9 \cos (x)-9}{x} \approx$ .

Evaluate the limit: $\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{42 x^{2}+5 x^{1 / 3}}{\sqrt{49 x^{4}+7}}=$

Calculate the limit: $\lim _{x \rightarrow \infty}(\ln (3x+1)-\ln (5x+1))=$

Find the average rate of change of $f(x)=8 x^{3}+8$ over the intervals: a) $[2,4]$ , b) $[-5,5]$ .

Find the slope and tangent line equation for the curve $y=9 x^{2}-2$ at point $P(3,79)$ .

Find $F^{\prime}(4)$ if $F(x)=f(x) \cdot g(x)$ with $f(4)=-4$ , $g(4)=13$ , $f^{\prime}(4)=0$ , $g^{\prime}(4)=8$ .

Find the slope of $y=x^{2}-3x-4$ at $P(2,-6)$ using secant lines and the tangent line equation at that point.

Find the derivative $g'(1)$ for the function $g(x)=2x^{4}-x^{3}+6x^{2}$ . Choose the correct answer: A) 17 B) 13 C) 3 D) 7

Find the derivative of the function $g(x)=\frac{\sin (x)}{\sqrt{x}}$ . What is $g^{\prime}(x)$ ?

Find the rate of change of revenue $R=250p-5p^2$ at price $p=7$ using the demand function $q=250-5p$ .

Find the position where carbon concentration is $0.246 \mathrm{wt} \%$ after $6 \mathrm{h}$ at $1030^{\circ} \mathrm{C}$ with $D = 3.8 \times 10^{-11} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}$ .

Calculate the nitrogen concentration (wt\% N) at $0.7 \mathrm{~mm}$ after $7.5 \mathrm{~h}$ with surface $0.15 \mathrm{wt\% N}$ .

Find the slope $h^{\prime}(-2)$ of the tangent line to $h$ at $(-2,-4)$ that passes through $(1,5)$ .

Find the derivative $f^{\prime}(x)$ for the function $f(x)=(4x-9)^{2}$ .

Find the $x$ -coordinates where the tangent line to $f(x)=(4x^2-10x)^3$ is horizontal.

Find the derivative of the function $f(x)=\frac{1}{x^{7}}$ . What is $f^{\prime}(x)$ ?

Find $\frac{d y}{d x}$ at $x=0$ for $y=\frac{1}{-2+u^{2}}$ where $u=3 x+1$ . What is $\frac{d y}{d x}$ ?

Find $\frac{a y}{d x}$ at $x=0$ given $y=\frac{1}{-2+u^{2}}$ where $u=3 x+1$ .

Find the derivative of the function $f(x)=(5 x+6)^{4} \sqrt{2 x+4}$ .

Find the equation of the tangent line to $f(x)=x^{4}+2x^{2}$ at $x=1$ . Choose the correct option.

Find the derivative of $f(x)=4 \tan ^{3}(3 x^{3})$ . What is $f^{\prime}(x)$ ?

Find the derivative of $f(x)=3 x^{3} \sin(10 x^{5})$ . What is $f^{\prime}(x)$ ?

Find the horizontal asymptote(s) of the function $f(x)=\frac{9 x-4}{\sqrt{25 x^{2}+3}}$ . List them or write DNE if none exist.

Find the carrying capacity of a fish population modeled by $P(t)=\frac{7700}{1+4.13 e^{-0.2 t}}$ .

Calculate the integral: $\int \frac{v+3}{v-3} \, dv$

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x^{2}-6 x-2}{x^{3}-4 x}$ .

Find $\lim _{x \rightarrow \infty} \left( \sqrt{x^{2}+5 x}-\sqrt{x^{2}-3 x} \right)$ .

A tank has 80 liters of water. Salt water with 100 g/L is added at 2 L/min.
a) Find salt concentration $C(t)$ after $t$ minutes.
b) What is the long-term concentration $\lim _{t \rightarrow \infty} C(t)$ ?

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow \infty} \sqrt[4]{\frac{2023 + 3x^{2} + 7x^{3} + 243x^{5}}{3x^{5} - 9x^{4} + 2024}}$ .

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{6 x+4}{\sqrt{4 x^{2}-x-5}}$

Find vertical and horizontal asymptotes of $f(x)=\frac{8-9 x}{8+7 x}$ . List answers separated by commas.

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}$

Sketch a function $f$ where $\lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x) \neq \lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)$ and $\lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=f(1)$ . Is $f$ continuous at $x=1$ ?

Determine if the function $h(x)=-x^{4}+x^{3}+20 x^{2}$ has a global min/max in the given intervals.

Find the limit: $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{3 \sec \left(\frac{\pi}{4}+h\right)-3 \sec \left(\frac{\pi}{4}\right)}{h}$

Evaluate $f^{\prime}(-2)$ for the function $f(x)=-x^{4}-4 x^{3}+2 x$ .

Beweise, dass für eine monoton fallende Funktion gilt: $I_{a}^{\prime}(x)=f(x)$ , basierend auf dem Differenzenquotienten.

Gegeben ist eine Funktion $f$ und ihre Stammfunktion $I_a(x)$ . Zeigen Sie, dass $I_{a}^{\prime}(x)=f(x)$ für $f$ monoton wachsend und dann für monoton fallend.

Gegeben ist die Funktion $h(t)=-0,015 t^{3}+0,45 t^{2}+2$ .
a) Bestimme die Blütenhöhe nach 3 Tagen. b) Berechne $\frac{h(3)-h(0)}{3-0}$ und $h^{\prime}(3)$ und erkläre ihre Bedeutung.

Finde die Maße eines offenen Kartons mit quadratischer Grundfläche, um bei $100 \mathrm{~cm}^{2}$ Oberfläche das Volumen zu maximieren.

Find the limit as $x$ approaches $-\infty$ for the expression $-2 b x^{4}+5 x^{2}+2$ .

Finde zwei Zahlen, deren Summe 14 ist, sodass ihr Produkt $P$ maximal wird. Bestimme $P(u)$ und die Extremstellen.

Bestimmen Sie den Zusammenhang zwischen dem Grad von $f(x)$ und der Anzahl der Nullstellen von $f'(x)$ .

Berechne die ersten und zweiten Ableitungen für: a) $f(x)=4 x^{2}+2 x+1$ , b) $f(t)=t^{100}-t^{99}$ , d) $f(x)=-\sqrt{2} x^{3}+\frac{8}{7} x^{7}-x$ , e) $f(x)=5$ .

Zeigen Sie, dass $F(x)=x^{2}+1$ eine Stammfunktion von $f(x)=2 x$ ist, aber keine Integralfunktion sein kann.

Find the derivative of the function $y=\frac{2 x+9}{3 x-1}$ . What is $\frac{d y}{d x}$ ?

Find the derivative $\frac{d y}{d x}$ for the function $y=\frac{3 x-10}{2 x+9}$ .

Find the derivative $\frac{d y}{d x}$ for the function $y=\frac{5}{4 x-9}$ .

Skizzieren Sie den Graphen einer Funktion $f$ mit folgenden Eigenschaften: a) negative Steigung überall, b) $f'(0)=0$ , $f'>0$ für $x>0$ , $f'<0$ für $x<0$ , c) $f'$ nicht negativ, $f'(1)=0$ .

Bestimme die Ableitungen $f'$ und $f''$ von $f(x)=\frac{1}{6} x^{3}-2 x$ , finde Extremal- und Wendepunkte und zeichne die Graphen.

Skizzieren Sie den Graphen einer Funktion $f$ mit folgenden Eigenschaften: a) negative Steigung überall; b) $f'(0)=0$ , $f'>0$ für $x>0$ , $f'<0$ für $x<0$ ; c) $f'(x) \geq 0$ und $f'(1)=0$ .

Bestimmen Sie, welches Integral $\left[0,4 \mathrm{x}^{2}\right]_{1}^{2}$ ergibt und berechnen Sie die angegebenen Integrale.

Bestimmen Sie die Grenzwerte von $f(x)=\frac{2 x^{2}+3}{x^{2}+1}$ für $x \to +\infty$ und $x \to -\infty$ .

Bestimme die Ableitungsfunktion $f^{\prime}$ für $f(x)=x^{8}+x^{2}$ . Welche ist korrekt? $f^{\prime}(x)=8 x^{7}+2 x$ ?

Bestimmen Sie, welches Integral das Ergebnis $\left[0,4 x^{2}\right]_{1}^{2}$ ergibt. Optionen: I, II, III, IV.

Gegeben ist $f(x)=2 x^{3}-6 x^{2}+4,5 x$ . Bestimme: a) Schnittpunkte mit der X-Achse, b) Extrempunkte, c) Wendepunkt, d) Tangente bei $P(1 \mid f(1))$ .

Find the derivative of $f(x) = x^{3} + x$ . Which is the correct derivative?
1. $f^{\prime}(x)=3 x+x$
2. $f^{\prime}(x)=3 x^{2}+1$
3. $f^{\prime}(x)=3 x^{2}$
4. $f^{\prime}(x)=x^{4}$

Gegeben ist die Funktion $f(x)=2 x^{3}-6 x^{2}+4,5 x$ . Bestimmen Sie X-Achsen-Schnittpunkte, Extrempunkte, Wendepunkt und Tangente im Punkt $P(1 \mid f(1))$ .