Calculus

Problem 4001

Grenzwertberechnung: Erkläre die Rechnung und finde den Grenzwert für die Folgen (1) bis (6). Beispiel: $\frac{6 n^{2}+2}{2 n^{2}} \rightarrow 3$ .

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Problem 4002

Find the derivative of $h(t)=\frac{2 \sqrt{t}}{8 t-7}$ using the Product or Quotient Rule.

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Problem 4003

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow-\frac{5}{2}}(-x+2)$ .

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Problem 4004

Find the limit of $V_{1}=\frac{\cos (x) \tan (x)}{x}$ as $x$ approaches $0$ .

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Problem 4005

Find the integral $\int(2\sqrt{x}+e^{-x}-\frac{1}{3x})dx$ and evaluate $\int_{0}^{\pi}(\cos(\frac{x}{2})+9x)dx$ .

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Problem 4006

Evaluate the expression: $\int\left(\frac{d}{d x}\left(e^{-x^{2}}\right)\right) d x-\frac{d}{d x}\left(\int e^{-x^{2}} d x\right)$ . What is the result?

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Problem 4007

Find the time in hours for the body to metabolize half the caffeine, given $\frac{d C}{d t}=-0.14 C$ . Round to the nearest integer.

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Problem 4008

Evaluate the integral: $\int \sin (t) \sec ^{2}(\cos t) d t$

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Problem 4009

Find the largest $\delta$ such that $|13x + 8 - 99| < 0.006$ when $|x - 7| < \delta$ . Round to six decimal places.

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Problem 4010

Find the largest $\delta$ such that if $|x-5|<\delta$ , then $|f(x)-33|<0.003$ for $f(x)=7x-2$ . Round to six decimal places.

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Problem 4011

Un cycliste part à $4 \, \mathrm{m/s}$ et atteint $55 \, \mathrm{tr/min}$ en $20 \, \mathrm{s}$ .
1. Calculez l'accélération.
2. Calculez la distance parcourue.
3. Calculez l'accélération linéaire à $1 \, \mathrm{s}$ et $30 \, \mathrm{s}$ .

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Problem 4012

Find the largest $\delta$ so that if $|x-7|<\delta$ , then $|x^{2}-49|<0.004$ . Round to five decimal places.

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Problem 4013

Find the derivative of $h(x)=\frac{5}{x} - \frac{10}{x^{14}}$ .

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Problem 4014

Define the limit: $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=\infty$ . What does it mean?

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Problem 4015

Check if the integral $\int_{1}^{\infty} \frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^{2}} d x$ converges or diverges, and evaluate if it converges.

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Problem 4016

Determine if the integral $\int_{1}^{4} \frac{d x}{x-4}$ converges or diverges. If it converges, find its value.

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Problem 4017

Find the derivative $f^{\prime}(3)$ for the piecewise function $f(x)=\left\{\begin{array}{lc}2 x & x>3 \\ x^{2}-3 & x \leq 3\end{array}\right.$ .

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Problem 4018

Find $f^{\prime}(3)$ for the piecewise function $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}2 x & x>3 \\ x^{2}-3 & x \leq 3\end{array}\right.$ .

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Problem 4019

Find the limit as $x$ approaches infinity for $\frac{-10 x}{4+2 x}$ .

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Problem 4020

Find the rate of change of the second output of $f$ given the derivative $D f = \begin{bmatrix} 2 & -5 & 3 \\ 1 & 0 & -2 \end{bmatrix}$ and input rates $+1, -2, +3$ .

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Problem 4021

Evaluate the integral: $\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}+2 x+5}}$

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Problem 4022

Find the rate of change of the first output of $f(x,y,z)$ at $(x,y,z)=(2,-1,3)$ with respect to $y$ .

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Problem 4023

Find the tangent line equation for $f(x)=x^{3}+2x+1$ at $x=2$ .

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Problem 4024

Calculate the average rate of change of $f(x)=\frac{3}{2 x+2}$ on $[-2,3]$ . Exact answer needed.

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Problem 4025

Find the second derivative $f^{\prime \prime}(1)$ and the fourth derivative $f^{(4)}(x)$ for $f(x)=2 x^{5}+4 x^{3}+1$ .

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Problem 4026

Evaluate the integral $\int \frac{\cos \left(\frac{1}{x}\right)}{x^{3}} d x$ .

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Problem 4027

Find the derivatives of the following functions: a. $f(x)=x \cos ^{2}(3 x)$ b. $f(x)=5 x^{4} \cos (10 x)$ c. $f(x)=\frac{2 x+1}{5 x+7}$ d. $f(x)=\frac{x+2}{x^{2}+1}$ e. $f(x)=\frac{2}{5 x^{2}+1}$

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Problem 4028

Calculate the average rate of change of $f(x)=\sqrt{x}$ between $x=4$ and $x=16$ .

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Problem 4029

Find the level curve of $H(x, y)=\sqrt{x y^{2}+3}-\ln(x y^{2})$ for a constant value $c$ .

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Problem 4030

For the function $f(x)=\frac{2 x}{x-3}$ , compare tangent slopes at: i) $x=3.5$ vs $x=20$ and ii) $x=2.5$ vs $x=-20$ . What do these results imply about the graph?

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Problem 4031

How long, in hours, to metabolize half the caffeine from $C(t)$ with $\frac{d C}{d t}=-0.14 C$ ? Round to nearest integer.

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Problem 4032

Calculate the expression: $\int\left(\frac{d}{d x}\left(e^{-x^{2}}\right)\right) d x - \frac{d}{d x}\left(\int e^{-x^{2}} d x\right)$ .

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Problem 4033

Bestimme die Tangentengleichung $t$ an $f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-2 x^{2}+\frac{16}{3}$ im Punkt $P(2 \mid 0)$ .

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Problem 4034

Find the derivative $f'(0)$ using limits for $f(x)=x|x|$ , then find $f'(x)$ away from $x=0$ and check if $f''(0)$ exists.

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Problem 4035

Wasserreservoir:
Gegeben ist die Funktion $f(t)=\frac{1}{1000} t^{3}-\frac{3}{25} t^{2}+\frac{18}{5} t$ für $0 \leq t \leq 60$ .
a) Beschreibe den Regenverlauf! b) Bestimme den Zeitpunkt der maximalen Zuflussrate und die Menge in $\mathrm{m}^{3}$ /h! c) Berechne das Wasser im Reservoir nach 60 Stunden, beginnend mit 20000 $\mathrm{m}^{3}$ .

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Problem 4036

Find the limits: 1. $\lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)$ , 2. $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)$ , 3. $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)$ for $f(x)=\frac{|6 x|}{x}$ if $x \neq 0$ , $0$ if $x=0$ .

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Problem 4037

Find the intervals where the function $f(x)=e^{2 x}-\ln (x-10)$ is continuous.

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Problem 4038

Find the $\mathrm{x}$ -coordinates where the tangent line of $f(x)=\left(x^{3}-6 x\right)^{1 / 5}$ is horizontal.

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Problem 4039

Find the left, right, and overall limits as $x$ approaches -3 for $\frac{2(x+3)}{x^{2}+6x+9}$ .

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Problem 4040

Find $\frac{d y}{d x}$ for the equation $5 x^{3}-4 x y+2 y^{3}=3$ using implicit differentiation. Show your work!

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Problem 4041

Eine Pflanze wird durch $f(x)=-0,005 x^{3}+0,25 x^{2}+0,5$ für $0 \leq x \leq 50$ modelliert. Berechnen Sie: a) Höhe nach 10 Tagen. b) Zeitraum über $80 \mathrm{~cm}$ . c) Zeitpunkt des Verblühens. d) Zeitpunkt und Höhe der maximalen Pflanzenhöhe. e) Zeitpunkte der stärksten Zunahme und Abnahme. f) Durchschnittliche Wachstumsgeschwindigkeit in 30 Tagen. g) $f^{\prime}(20)$ und dessen Bedeutung.

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Problem 4042

Given $F(x)=f(f(x))$ and $G(x)=(F(x))^{2}$ with $f(4)=5, f(5)=3, f^{\prime}(5)=13, f^{\prime}(4)=12$ , find $F^{\prime}(4)$ and $G^{\prime}(4)$ .

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Problem 4043

Find $h^{\prime}(2)$ for $h(x)=\arctan(f(x))$ given $f(2)=-9$ and $f^{\prime}(2)=10$ .

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Problem 4044

A ball is dropped from 57 m. Find when it hits the ground, its velocity, and acceleration.
1. Time to hit ground: $t=$ s
2. Velocity: $v(t)=-9.8 t$
3. Acceleration: $a(t)=-9.8$
Final velocity when it hits ground: $\mathrm{m/s}$ Speed at impact: $\mathrm{m/s}$ Acceleration at impact: $-9.8 \mathrm{m/s}^2$

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Problem 4045

Find $h^{\prime}(4)$ for $h(x)=f(x) \cdot g(x)$ , $h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$ , and $h(x)=f(g(x))$ .

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Problem 4046

Gegeben ist die Funktion $f(x)=x^{3}-x$ . Zeigen Sie, dass $x_{1}=-1$ , $x_{2}=0$ , $x_{3}=1$ die Nullstellen sind und berechnen Sie $\int_{-1}^{1} f(x) d x$ .

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Problem 4047

Gegeben ist die Funktion $f(x)=x^{3}-x$ . Zeigen Sie, dass die Nullstellen $x_{1}=-1, x_{2}=0, x_{3}=1$ sind und berechnen Sie $\int_{-1}^{1} f(x) d x$ .

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Problem 4048

Calculate the integral: $\int_{\frac{1}{2}}^{1}\left[\cos \left(\pi x+\frac{\pi}{3}\right)+\sin \pi x\right] d x$

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Problem 4049

Zeigen Sie, dass $\int_{0}^{3}(2 x-3) d x=0$ und erklären Sie dies anhand des Graphen.

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Problem 4050

Calculate the integral $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}[\sin 2 x+\cos 3 x+\sin (2 x+\pi)] d x$ .

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Problem 4051

Bestimmen Sie die Stammfunktion für: a) $f(x)=2 x^{3}-2 x+\frac{1}{6}$ , b) $f(x)=12 x^{7}+\frac{4}{3} x^{5}-\frac{3}{2} x^{2}+2$ .

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Problem 4052

Ein zylindrischer Wassertank ist $300 \mathrm{~cm}$ hoch und hat einen Durchmesser von $60 \mathrm{~cm}$ . Der Wasserstand sinkt mit $\mathrm{h}^{\prime}(\mathrm{t})=\frac{1}{54} \mathrm{t}-\frac{10}{3}$ . Finde die Gleichung für $\mathrm{h}$ .

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Problem 4053

Peter macht Milchkaffee aus Kaffee ( $90^{\circ} \mathrm{C}$ ) und Milch ( $8^{\circ} \mathrm{C}$ ). Wie warm ist er nach 5 Minuten in zwei Fällen?

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Problem 4054

Berechne die Hoch- und Tiefpunkte der Funktion $f(x)=9 x^{3}-139,5 x^{2}+495 x$ und interpretiere die Ergebnisse.

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Problem 4055

Find the limit as $x$ approaches 0 for the function $f(x) = \frac{-6 x^{2}}{12 x^{3}}$ .

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Problem 4056

Find the limit as $x$ approaches 0 for the function $\frac{-6 x^{2}}{12 x^{3}}$ .

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Problem 4057

Stammfunktionsnachweis und unbestimmte Integrale: Zeigen Sie, dass $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist und berechnen Sie Integrale.

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Problem 4058

Aufgabe: Bestimmen Sie die maximale Wachstumsgeschwindigkeit einer Pflanze mit $v(t)=-\frac{1}{90} t^{2}+\frac{1}{3} t$ . Berechnen Sie das Wachstum nach 30 Tagen und die Endhöhe. Finden Sie $d$ für eine gedüngte Pflanze mit $v_{d}(t)=d \cdot\left(-\frac{t^{2}}{180}+\frac{t}{6}\right)$ , die nach 30 Tagen $80 \mathrm{~cm}$ misst.

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Problem 4059

Ein Volksfest öffnet um 12 Uhr. Analysiere die Besucherzahl mit $f(x)=9 x^{3}-139,5 x^{2}+495 x$ . Beantworte a) bis f).

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Problem 4060

Berechne die Stammfunktion von $v(t)=-\frac{1}{90} t^{2}+\frac{1}{3} t$ für $t$ in den ersten 30 Tagen.

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Problem 4061

Gegeben ist $f_{a}(x)=a^{2} x-e^{a x}, a>0$ .
a) Skizzieren Sie $f_{1}(x)=x-e^{x}$ aus $g(x)=x$ und $h(x)=-e^{x}$ . Welcher Graph ist $f_{1}$ ?
b) Bestimmen Sie $f_{a}^{\prime}$ und $f_{a}^{\prime \prime}$ . Untersuchen Sie $f_{a}$ auf Extrema und Wendepunkte.
c) Welche Kurve $f_{a}$ hat einen Extremalpunkt auf der X-Achse?
d) Finden Sie die Stammfunktion $F_{a}$ von $f_{a}$ . Welche geht durch $P(0 | 1)$ ?
e) Berechnen Sie die Fläche $A_{a}$ im 4. Quadranten zwischen $f_{a}$ , $g_{a}(x)=a^{2} x$ und der $y$ -Achse für $a=1$ .

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Problem 4062

Eine Pflanze wächst mit der Funktion $v(t) = -\frac{1}{90} t^{2}+\frac{1}{3} t$ . Berechne das Wachstum in 30 Tagen.

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Problem 4063

Gegeben ist die Funktion $f_{t}(x)=-\frac{1}{3} x^{3}+t x^{2}-(t^{2}-1) x$ . Zeigen Sie, dass die Wendetangenten parallel sind und der Abstand vom Hochpunkt zum Wendepunkt gleich ist.

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Problem 4064

Bestimmen Sie die Stammfunktionen und berechnen Sie die Integrale für die gegebenen Funktionen $f(x)$ .

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Problem 4065

Find $A^{\prime}(-2)$ if $A=\sqrt{g(x)}$ and values are given for $g(x)$ and its derivative at $x=-2$ .

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Problem 4066

Calculate the volume $v=\pi \int_{1}^{3}\left(\frac{1}{x}\right)^{2} dx$ .

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Problem 4067

Beschreiben Sie einen Körper, dessen Volumen $V=\pi \left( \int_{0}^{5} 2^{2} dx - \int_{0}^{5} 1,5^{2} dx \right)$ ist.

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Problem 4068

Calculate the volume: $v=\pi \int_{1}^{3} \frac{1^{2}}{x} d x$

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Problem 4069

Calculate the first, second, and third derivatives of $h(t)=2 \cdot t^{2} \cdot e^{-\frac{1}{2} t}$ .

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Problem 4070

Bestimme die Tangentengleichung an den Graphen in $P(x_0 | f(x_0))$ für die folgenden Funktionen und Punkte: a) $f(x)=e^{x}$ , $x_0=0$ ; b) $f(x)=e^{x_1}$ , $x_0=1$ ; c) $f(x)=2e^{x}$ , $x_0=-1$ ; d) $f(x)=-0.5e^{x}$ , $x_0=2$ ; e) $f(x)=e^{x}+x$ , $x_0=1$ ; f) $f(x)=2e^{x}-x^{2}$ , $x_0=2$ .

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Problem 4071

Bestimmen Sie Höhe und Radius eines offenen Zylinders mit Volumen $1000 \, \mathrm{l}$ , um den Materialverbrauch zu minimieren.

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Problem 4072

Find $z(1)$ , $z'(1)$ , $z''(1)$ , and $x'(6)$ for $x^{-3} - z^4 = 1296$ . Round answers to two digits.

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Problem 4073

Find $z$ for $x=1$ , then $z'$ and $z''$ at $x=1$ , and finally $x'$ at $z=6$ from $x^{-3} z^4 = 1296$ .

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Problem 4074

Find the derivative of $y$ from the equation $5 x^{4}+7 x y-6 y^{4}=118$ and identify coefficients $a$ to $l$ .

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Problem 4075

Find the derivative of the function defined by $5 x^{4}+7 x y-6 y^{4}=118$ and identify coefficients $a$ to $m$ .

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Problem 4076

Find the derivative of the function defined by $k^{7}+l^{7}=W$ as $\frac{d}{d k} l=A\left(\frac{k}{l}\right)^{a}+B(k \cdot l)^{b}+C$ . Determine coefficients $A$ , $a$ , $B$ , $b$ , and $C$ .

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Problem 4077

Find $z$ at $x_0=1$ , then $z'$ and $z''$ at $x_0=1$ , and $x'$ at $z_0=8$ from $x^{-5} \cdot z^3=512$ .

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Problem 4078

Find the derivative of $y$ from the equation $2 x^{5}+8 x y-5 y^{2}=188$ and identify coefficients $a$ to $m$ .

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Problem 4079

Given the equation $r^{3}+s^{3}=Q$ , find $\frac{d}{d s} r$ in the form $A\left(\frac{s}{r}\right)^{a}+B(s \cdot r)^{b}+C$ . Identify coefficients $A$ , $a$ , $B$ , $b$ , and $C$ .

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Problem 4080

Find the derivative of $f(x)=4x^{3}+0.5x^{2}-x-11$ .

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Problem 4081

Berechne die Steigung von $g(x)=x^{3}+x$ im Punkt $P(1, 2)$ mit der h-Methode.

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Problem 4082

Evaluate the function $z$ and its derivatives at $x_0=1$ and $z_0=5$ for the equation $x^{-8} \cdot z^{4}=625$ .

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Problem 4083

Bestimme die Ableitung der Funktion $f(x)=-\sin (x)-\cos (x)$ .

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Problem 4084

Find the derivative of $y$ from $3 x^{2}+7 x y-8 y^{2}=227$ and identify coefficients $a, b, c, d, e, f, g, h, j, k, l, m$ .

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Problem 4085

Given $k^{3}+l^{3}=W$ , find $\frac{d k}{d l}$ and express it as $A\left(\frac{k}{l}\right)^{a}+B(k \cdot l)^{b}+C$ . Find coefficients $A$ , $a$ , $B$ , $b$ , and $C$ .

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Problem 4086

Bestimme die Ableitung der Funktion $f(x) = \frac{1}{4}$ und erläutere den Ableitungsprozess.

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Problem 4087

How fast will a coin dropped from $9.50 \mathrm{~m}$ fall when it hits the ground?

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Problem 4088

Berechne die Ableitung von $f(x)=\frac{1}{4} x$ , also $f^{\prime}(x)=$ .

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Problem 4089

Find the derivative of $f(x)=(2x^{3}+4x)^{3}$ .

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Problem 4090

Find $z(1)$ , $z'(1)$ , $z''(1)$ , and $x'(3)$ for the equation $x^{-8} \cdot z^{3}=27$ , rounding to two digits.

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Problem 4091

Find the derivative of $y$ in $3 x^{4}+5 x y-8 y^{4}=281$ and identify coefficients $a$ to $m$ . Round answers to two digits.

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Problem 4092

Bestimme die Uhrzeit mit dem höchsten Zuschauerandrang, die Zuschauerzahl um 18 Uhr und den Durchschnitt von 16 bis 18 Uhr.

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Problem 4093

Find the derivative of $f(x)=\frac{2}{x^{6}}$ .

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Problem 4094

Find the derivative of the function defined by $5 x^{4}+8 x y-6 y^{4}=195$ and identify the coefficients in the expression.

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Problem 4095

Given the equation $x^{-8} \cdot z^{2}=9$ , find:
(a) $z(1)=$ (b) $z'(1)=$ (c) $z''(1)=$ (d) $x'(3)=$ when $z=3$ .

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Problem 4096

Find the derivative of the function $f(x)=\frac{1}{x^{5}}$ . What is $f^{\prime}(x)$ ?

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Problem 4097

Given the equation $x^{-8} \cdot z^{2}=9$ , find:
(a) $z(1)=3$ ; (b) $z'(1)=?$ ; (c) $z''(1)=?$ ; (d) $x'(3)=?$

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Problem 4098

Eine Stadt hat 2006 Neubaugebiete. Gegeben ist die Funktion $f(x)=1000 \cdot x^{2} \cdot e^{-x}$ .
a) Bestimme, wann die Einwohnerzahl am schnellsten wächst. b) Berechne die Veränderung der Einwohnerzahl von 2006 bis 2014. c) Finde den Durchschnitt der jährlichen Zunahme von 2006 bis 2014.

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Problem 4099

Find the derivative of $f(x)=\frac{2}{x^{6}}$ or $f(x)=2 \cdot x^{-6}$ . Use the power rule to finish the calculation.

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Problem 4100

Find the derivative of $y$ from the equation $4 x^{2}+6 x y-8 y^{3}=197$ and identify coefficients in the expression.

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337

Calculus

Problem 4001

Grenzwertberechnung: Erkläre die Rechnung und finde den Grenzwert für die Folgen (1) bis (6). Beispiel: 6n2+22n2→3\frac{6 n^{2}+2}{2 n^{2}} \rightarrow 32n26n2+2​→3.

Problem 4002

Find the derivative of h(t)=2t8t−7h(t)=\frac{2 \sqrt{t}}{8 t-7}h(t)=8t−72t​​ using the Product or Quotient Rule.

Problem 4003

Find the limit: lim⁡x→−52(−x+2)\lim _{x \rightarrow-\frac{5}{2}}(-x+2)limx→−25​​(−x+2).

Problem 4004

Find the limit of V1=cos⁡(x)tan⁡(x)xV_{1}=\frac{\cos (x) \tan (x)}{x}V1​=xcos(x)tan(x)​ as xxx approaches 000.

Problem 4005

Find the integral ∫(2x+e−x−13x)dx\int(2\sqrt{x}+e^{-x}-\frac{1}{3x})dx∫(2x​+e−x−3x1​)dx and evaluate ∫0π(cos⁡(x2)+9x)dx\int_{0}^{\pi}(\cos(\frac{x}{2})+9x)dx∫0π​(cos(2x​)+9x)dx.

Problem 4006

Evaluate the expression: ∫(ddx(e−x2))dx−ddx(∫e−x2dx)\int\left(\frac{d}{d x}\left(e^{-x^{2}}\right)\right) d x-\frac{d}{d x}\left(\int e^{-x^{2}} d x\right)∫(dxd​(e−x2))dx−dxd​(∫e−x2dx). What is the result?

Problem 4007

Find the time in hours for the body to metabolize half the caffeine, given dCdt=−0.14C\frac{d C}{d t}=-0.14 CdtdC​=−0.14C. Round to the nearest integer.

Problem 4008

Evaluate the integral: ∫sin⁡(t)sec⁡2(cos⁡t)dt\int \sin (t) \sec ^{2}(\cos t) d t∫sin(t)sec2(cost)dt

Problem 4009

Find the largest δ\deltaδ such that ∣13x+8−99∣<0.006|13x + 8 - 99| < 0.006∣13x+8−99∣<0.006 when ∣x−7∣<δ|x - 7| < \delta∣x−7∣<δ. Round to six decimal places.

Problem 4010

Find the largest δ\deltaδ such that if ∣x−5∣<δ|x-5|<\delta∣x−5∣<δ, then ∣f(x)−33∣<0.003|f(x)-33|<0.003∣f(x)−33∣<0.003 for f(x)=7x−2f(x)=7x-2f(x)=7x−2. Round to six decimal places.

Problem 4011

Un cycliste part à 4 m/s4 \, \mathrm{m/s}4m/s et atteint 55 tr/min55 \, \mathrm{tr/min}55tr/min en 20 s20 \, \mathrm{s}20s. 1. Calculez l'accélération.2. Calculez la distance parcourue.3. Calculez l'accélération linéaire à 1 s1 \, \mathrm{s}1s et 30 s30 \, \mathrm{s}30s.

Problem 4012

Find the largest δ\deltaδ so that if ∣x−7∣<δ|x-7|<\delta∣x−7∣<δ, then ∣x2−49∣<0.004|x^{2}-49|<0.004∣x2−49∣<0.004. Round to five decimal places.

Problem 4013

Find the derivative of h(x)=5x−10x14h(x)=\frac{5}{x} - \frac{10}{x^{14}}h(x)=x5​−x1410​.

Problem 4014

Define the limit: lim⁡x→af(x)=∞\lim _{x \rightarrow a} f(x)=\inftylimx→a​f(x)=∞. What does it mean?

Problem 4015

Check if the integral ∫1∞e−1xx2dx\int_{1}^{\infty} \frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^{2}} d x∫1∞​x2e−x1​​dx converges or diverges, and evaluate if it converges.

Problem 4016

Determine if the integral ∫14dxx−4\int_{1}^{4} \frac{d x}{x-4}∫14​x−4dx​ converges or diverges. If it converges, find its value.

Problem 4017

Find the derivative f′(3)f^{\prime}(3)f′(3) for the piecewise function f(x)={2xx>3x2−3x≤3f(x)=\left\{\begin{array}{lc}2 x & x>3 \\ x^{2}-3 & x \leq 3\end{array}\right.f(x)={2xx2−3​x>3x≤3​.

Problem 4018

Find f′(3)f^{\prime}(3)f′(3) for the piecewise function f(x)={2xx>3x2−3x≤3f(x)=\left\{\begin{array}{cc}2 x & x>3 \\ x^{2}-3 & x \leq 3\end{array}\right.f(x)={2xx2−3​x>3x≤3​.

Problem 4019

Find the limit as xxx approaches infinity for −10x4+2x\frac{-10 x}{4+2 x}4+2x−10x​.

Problem 4020

Find the rate of change of the second output of fff given the derivative Df=[2−5310−2]D f = \begin{bmatrix} 2 & -5 & 3 \\ 1 & 0 & -2 \end{bmatrix}Df=[21​−50​3−2​] and input rates +1,−2,+3+1, -2, +3+1,−2,+3.

Problem 4021

Evaluate the integral: ∫dxx2+2x+5\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}+2 x+5}}∫x2+2x+5​dx​

Problem 4022

Find the rate of change of the first output of f(x,y,z)f(x,y,z)f(x,y,z) at (x,y,z)=(2,−1,3)(x,y,z)=(2,-1,3)(x,y,z)=(2,−1,3) with respect to yyy.

Problem 4023

Find the tangent line equation for f(x)=x3+2x+1f(x)=x^{3}+2x+1f(x)=x3+2x+1 at x=2x=2x=2.

Problem 4024

Calculate the average rate of change of f(x)=32x+2f(x)=\frac{3}{2 x+2}f(x)=2x+23​ on [−2,3][-2,3][−2,3]. Exact answer needed.

Problem 4025

Find the second derivative f′′(1)f^{\prime \prime}(1)f′′(1) and the fourth derivative f(4)(x)f^{(4)}(x)f(4)(x) for f(x)=2x5+4x3+1f(x)=2 x^{5}+4 x^{3}+1f(x)=2x5+4x3+1.

Problem 4026

Evaluate the integral ∫cos⁡(1x)x3dx\int \frac{\cos \left(\frac{1}{x}\right)}{x^{3}} d x∫x3cos(x1​)​dx.

Problem 4027

Problem 4028

Calculate the average rate of change of f(x)=xf(x)=\sqrt{x}f(x)=x​ between x=4x=4x=4 and x=16x=16x=16.

Problem 4029

Find the level curve of H(x,y)=xy2+3−ln⁡(xy2)H(x, y)=\sqrt{x y^{2}+3}-\ln(x y^{2})H(x,y)=xy2+3​−ln(xy2) for a constant value ccc.

Problem 4030

For the function f(x)=2xx−3f(x)=\frac{2 x}{x-3}f(x)=x−32x​, compare tangent slopes at: i) x=3.5x=3.5x=3.5 vs x=20x=20x=20 and ii) x=2.5x=2.5x=2.5 vs x=−20x=-20x=−20. What do these results imply about the graph?

Problem 4031

How long, in hours, to metabolize half the caffeine from C(t)C(t)C(t) with dCdt=−0.14C\frac{d C}{d t}=-0.14 CdtdC​=−0.14C? Round to nearest integer.

Problem 4032

Calculate the expression: ∫(ddx(e−x2))dx−ddx(∫e−x2dx)\int\left(\frac{d}{d x}\left(e^{-x^{2}}\right)\right) d x - \frac{d}{d x}\left(\int e^{-x^{2}} d x\right)∫(dxd​(e−x2))dx−dxd​(∫e−x2dx).

Problem 4033

Bestimme die Tangentengleichung ttt an f(x)=13x3−2x2+163f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-2 x^{2}+\frac{16}{3}f(x)=31​x3−2x2+316​ im Punkt P(2∣0)P(2 \mid 0)P(2∣0).

Problem 4034

Find the derivative f′(0)f'(0)f′(0) using limits for f(x)=x∣x∣f(x)=x|x|f(x)=x∣x∣, then find f′(x)f'(x)f′(x) away from x=0x=0x=0 and check if f′′(0)f''(0)f′′(0) exists.

Problem 4035

Problem 4036

Problem 4037

Find the intervals where the function f(x)=e2x−ln⁡(x−10)f(x)=e^{2 x}-\ln (x-10)f(x)=e2x−ln(x−10) is continuous.

Problem 4038

Find the x\mathrm{x}x-coordinates where the tangent line of f(x)=(x3−6x)1/5f(x)=\left(x^{3}-6 x\right)^{1 / 5}f(x)=(x3−6x)1/5 is horizontal.

Problem 4039

Find the left, right, and overall limits as xxx approaches -3 for 2(x+3)x2+6x+9\frac{2(x+3)}{x^{2}+6x+9}x2+6x+92(x+3)​.

Problem 4040

Find dydx\frac{d y}{d x}dxdy​ for the equation 5x3−4xy+2y3=35 x^{3}-4 x y+2 y^{3}=35x3−4xy+2y3=3 using implicit differentiation. Show your work!

Problem 4041

Problem 4042

Grenzwertberechnung: Erkläre die Rechnung und finde den Grenzwert für die Folgen (1) bis (6). Beispiel: $\frac{6 n^{2}+2}{2 n^{2}} \rightarrow 3$ .

Find the derivative of $h(t)=\frac{2 \sqrt{t}}{8 t-7}$ using the Product or Quotient Rule.

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow-\frac{5}{2}}(-x+2)$ .

Find the limit of $V_{1}=\frac{\cos (x) \tan (x)}{x}$ as $x$ approaches $0$ .

Find the integral $\int(2\sqrt{x}+e^{-x}-\frac{1}{3x})dx$ and evaluate $\int_{0}^{\pi}(\cos(\frac{x}{2})+9x)dx$ .

Evaluate the expression: $\int\left(\frac{d}{d x}\left(e^{-x^{2}}\right)\right) d x-\frac{d}{d x}\left(\int e^{-x^{2}} d x\right)$ . What is the result?

Find the time in hours for the body to metabolize half the caffeine, given $\frac{d C}{d t}=-0.14 C$ . Round to the nearest integer.

Evaluate the integral: $\int \sin (t) \sec ^{2}(\cos t) d t$

Find the largest $\delta$ such that $|13x + 8 - 99| < 0.006$ when $|x - 7| < \delta$ . Round to six decimal places.

Find the largest $\delta$ such that if $|x-5|<\delta$ , then $|f(x)-33|<0.003$ for $f(x)=7x-2$ . Round to six decimal places.

Un cycliste part à $4 \, \mathrm{m/s}$ et atteint $55 \, \mathrm{tr/min}$ en $20 \, \mathrm{s}$ .
1. Calculez l'accélération.
2. Calculez la distance parcourue.
3. Calculez l'accélération linéaire à $1 \, \mathrm{s}$ et $30 \, \mathrm{s}$ .

Find the largest $\delta$ so that if $|x-7|<\delta$ , then $|x^{2}-49|<0.004$ . Round to five decimal places.

Find the derivative of $h(x)=\frac{5}{x} - \frac{10}{x^{14}}$ .

Define the limit: $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=\infty$ . What does it mean?

Check if the integral $\int_{1}^{\infty} \frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^{2}} d x$ converges or diverges, and evaluate if it converges.

Determine if the integral $\int_{1}^{4} \frac{d x}{x-4}$ converges or diverges. If it converges, find its value.

Find the derivative $f^{\prime}(3)$ for the piecewise function $f(x)=\left\{\begin{array}{lc}2 x & x>3 \\ x^{2}-3 & x \leq 3\end{array}\right.$ .

Find $f^{\prime}(3)$ for the piecewise function $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}2 x & x>3 \\ x^{2}-3 & x \leq 3\end{array}\right.$ .

Find the limit as $x$ approaches infinity for $\frac{-10 x}{4+2 x}$ .

Find the rate of change of the second output of $f$ given the derivative $D f = \begin{bmatrix} 2 & -5 & 3 \\ 1 & 0 & -2 \end{bmatrix}$ and input rates $+1, -2, +3$ .

Evaluate the integral: $\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}+2 x+5}}$

Find the rate of change of the first output of $f(x,y,z)$ at $(x,y,z)=(2,-1,3)$ with respect to $y$ .

Find the tangent line equation for $f(x)=x^{3}+2x+1$ at $x=2$ .

Calculate the average rate of change of $f(x)=\frac{3}{2 x+2}$ on $[-2,3]$ . Exact answer needed.

Find the second derivative $f^{\prime \prime}(1)$ and the fourth derivative $f^{(4)}(x)$ for $f(x)=2 x^{5}+4 x^{3}+1$ .

Evaluate the integral $\int \frac{\cos \left(\frac{1}{x}\right)}{x^{3}} d x$ .

Calculate the average rate of change of $f(x)=\sqrt{x}$ between $x=4$ and $x=16$ .

Find the level curve of $H(x, y)=\sqrt{x y^{2}+3}-\ln(x y^{2})$ for a constant value $c$ .

For the function $f(x)=\frac{2 x}{x-3}$ , compare tangent slopes at: i) $x=3.5$ vs $x=20$ and ii) $x=2.5$ vs $x=-20$ . What do these results imply about the graph?

How long, in hours, to metabolize half the caffeine from $C(t)$ with $\frac{d C}{d t}=-0.14 C$ ? Round to nearest integer.

Calculate the expression: $\int\left(\frac{d}{d x}\left(e^{-x^{2}}\right)\right) d x - \frac{d}{d x}\left(\int e^{-x^{2}} d x\right)$ .

Bestimme die Tangentengleichung $t$ an $f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-2 x^{2}+\frac{16}{3}$ im Punkt $P(2 \mid 0)$ .

Find the derivative $f'(0)$ using limits for $f(x)=x|x|$ , then find $f'(x)$ away from $x=0$ and check if $f''(0)$ exists.

Find the intervals where the function $f(x)=e^{2 x}-\ln (x-10)$ is continuous.

Find the $\mathrm{x}$ -coordinates where the tangent line of $f(x)=\left(x^{3}-6 x\right)^{1 / 5}$ is horizontal.

Find the left, right, and overall limits as $x$ approaches -3 for $\frac{2(x+3)}{x^{2}+6x+9}$ .

Find $\frac{d y}{d x}$ for the equation $5 x^{3}-4 x y+2 y^{3}=3$ using implicit differentiation. Show your work!

Given $F(x)=f(f(x))$ and $G(x)=(F(x))^{2}$ with $f(4)=5, f(5)=3, f^{\prime}(5)=13, f^{\prime}(4)=12$ , find $F^{\prime}(4)$ and $G^{\prime}(4)$ .

Find $h^{\prime}(2)$ for $h(x)=\arctan(f(x))$ given $f(2)=-9$ and $f^{\prime}(2)=10$ .

Find $h^{\prime}(4)$ for $h(x)=f(x) \cdot g(x)$ , $h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$ , and $h(x)=f(g(x))$ .

Gegeben ist die Funktion $f(x)=x^{3}-x$ . Zeigen Sie, dass $x_{1}=-1$ , $x_{2}=0$ , $x_{3}=1$ die Nullstellen sind und berechnen Sie $\int_{-1}^{1} f(x) d x$ .

Gegeben ist die Funktion $f(x)=x^{3}-x$ . Zeigen Sie, dass die Nullstellen $x_{1}=-1, x_{2}=0, x_{3}=1$ sind und berechnen Sie $\int_{-1}^{1} f(x) d x$ .

Calculate the integral: $\int_{\frac{1}{2}}^{1}\left[\cos \left(\pi x+\frac{\pi}{3}\right)+\sin \pi x\right] d x$

Zeigen Sie, dass $\int_{0}^{3}(2 x-3) d x=0$ und erklären Sie dies anhand des Graphen.

Calculate the integral $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}[\sin 2 x+\cos 3 x+\sin (2 x+\pi)] d x$ .

Bestimmen Sie die Stammfunktion für: a) $f(x)=2 x^{3}-2 x+\frac{1}{6}$ , b) $f(x)=12 x^{7}+\frac{4}{3} x^{5}-\frac{3}{2} x^{2}+2$ .

Peter macht Milchkaffee aus Kaffee ( $90^{\circ} \mathrm{C}$ ) und Milch ( $8^{\circ} \mathrm{C}$ ). Wie warm ist er nach 5 Minuten in zwei Fällen?

Berechne die Hoch- und Tiefpunkte der Funktion $f(x)=9 x^{3}-139,5 x^{2}+495 x$ und interpretiere die Ergebnisse.

Find the limit as $x$ approaches 0 for the function $f(x) = \frac{-6 x^{2}}{12 x^{3}}$ .

Find the limit as $x$ approaches 0 for the function $\frac{-6 x^{2}}{12 x^{3}}$ .

Stammfunktionsnachweis und unbestimmte Integrale: Zeigen Sie, dass $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist und berechnen Sie Integrale.

Ein Volksfest öffnet um 12 Uhr. Analysiere die Besucherzahl mit $f(x)=9 x^{3}-139,5 x^{2}+495 x$ . Beantworte a) bis f).

Berechne die Stammfunktion von $v(t)=-\frac{1}{90} t^{2}+\frac{1}{3} t$ für $t$ in den ersten 30 Tagen.

Eine Pflanze wächst mit der Funktion $v(t) = -\frac{1}{90} t^{2}+\frac{1}{3} t$ . Berechne das Wachstum in 30 Tagen.

Gegeben ist die Funktion $f_{t}(x)=-\frac{1}{3} x^{3}+t x^{2}-(t^{2}-1) x$ . Zeigen Sie, dass die Wendetangenten parallel sind und der Abstand vom Hochpunkt zum Wendepunkt gleich ist.

Bestimmen Sie die Stammfunktionen und berechnen Sie die Integrale für die gegebenen Funktionen $f(x)$ .

Find $A^{\prime}(-2)$ if $A=\sqrt{g(x)}$ and values are given for $g(x)$ and its derivative at $x=-2$ .

Calculate the volume $v=\pi \int_{1}^{3}\left(\frac{1}{x}\right)^{2} dx$ .

Beschreiben Sie einen Körper, dessen Volumen $V=\pi \left( \int_{0}^{5} 2^{2} dx - \int_{0}^{5} 1,5^{2} dx \right)$ ist.

Calculate the volume: $v=\pi \int_{1}^{3} \frac{1^{2}}{x} d x$

Calculate the first, second, and third derivatives of $h(t)=2 \cdot t^{2} \cdot e^{-\frac{1}{2} t}$ .

Bestimmen Sie Höhe und Radius eines offenen Zylinders mit Volumen $1000 \, \mathrm{l}$ , um den Materialverbrauch zu minimieren.

Find $z(1)$ , $z'(1)$ , $z''(1)$ , and $x'(6)$ for $x^{-3} - z^4 = 1296$ . Round answers to two digits.

Find $z$ for $x=1$ , then $z'$ and $z''$ at $x=1$ , and finally $x'$ at $z=6$ from $x^{-3} z^4 = 1296$ .

Find the derivative of $y$ from the equation $5 x^{4}+7 x y-6 y^{4}=118$ and identify coefficients $a$ to $l$ .