Calculus

Problem 3501

Finde den Fehler in diesen Integrationen: a) $\int \frac{6}{x^{2}} d x$ b) $\int(2 x+1)^{2} d x$ c) $\int\left(2 e^{2 x+1}+6 x\right) d x$ d) $\int\left(3 x^{2}+2 a\right) d x$ e) $\int\left(3 x^{2}+2 a\right) d a$

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Problem 3502

Calculate the limit of $\frac{x^{2}-x}{x^{2}-1}$ as $x$ approaches $1$ .

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Problem 3503

Was sagt die Bedingung $f^{\prime}(3)=0$ und $f^{\prime \prime}(3)>0$ über die Funktion $\mathrm{f}$ aus?

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Problem 3504

Use Newton's Method on $f(x)=x^{3}-2 x^{2}+\frac{4}{3} x-\frac{8}{27}$ . Analyze its convergence to find the root.

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Problem 3505

Evaluate the series $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^{2n-1}}{2n-1}$ .

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Problem 3506

Calculate the integrals: (i) $\int\left(5 \sec ^{2}(3 x)-\sqrt{x}+\frac{1}{2}\right) d x$ and (ii) $\int_{\pi}^{2 \pi}\left(\frac{3}{x}+\sin \left(\frac{x}{2}\right)\right) d x$ .

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Problem 3507

Priya walks half the hallway, then half the remaining distance.
a. What fraction covered after 2 stops? b. What fraction after 4 stops? c. Will she reach the end? Explain.

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Problem 3508

Berechne die Grenzwerte: b) $\lim_{x \to -1} \frac{x^3 - x}{x + 1}$ , c) $\lim_{x \to 3} \frac{3 - x}{2x^2 - 6x}$ , d) $\lim_{x \to 2} \frac{x^4 - 16}{x - 2}$ .

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Problem 3509

Berechne den Grenzwert: $\lim _{x \rightarrow 3} \frac{3 x^{2}-27}{x-3}$ mit Hilfe von $\mathrm{T}$ .

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Problem 3510

Find the derivative of $f(t) = 3x \cdot e^{-2x}$ .

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Problem 3511

Bestimmen Sie die Grenzwerte durch Umformung: a) $\lim _{x \rightarrow 4} \frac{x^{2}-16}{x-4}$ b) $\lim _{x \rightarrow-1} \frac{x^{3}-x}{x+1}$ c) $\lim _{x \rightarrow 3} \frac{3-x}{2 x^{2}-6 x}$ d) $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{4}-16}{x-2}$

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Problem 3512

Calculate the integral: $\int(3 x+9)^{4} dx$

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Problem 3513

Find the integral of $\frac{1}{(5 x+1.5)^{6}}$ with respect to $x$ .

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Problem 3514

Differentiate the function $f(x)=e^{-(x-x)^{2}}$ .

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Problem 3515

Evaluate the integral $\int e^{2 \cdot(3 x+6)} d x$ .

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Problem 3516

Differentiate the function $f(x)=e^{-(x-k)^{2}}$ .

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Problem 3517

Find the integral of $(3x + 1)^{6}$ with respect to $x$ .

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Problem 3518

A particle's position is $x(t)=3t^2-2t^2+4t-1$ . Find: a) velocity $v(t)$ , b) acceleration $a(t)$ , c) $v(2)$ , d) $a(2)$ .

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Problem 3519

Bestimme die Nullstellen und Extremstellen der Funktion $f(x)=4 x^{4}-4 x^{2}$ . Beurteile die Aussagen zu Graphen ganzrationaler Funktionen.

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Problem 3520

Calculate the integral $\int_{4}^{2} (x^{2}+x+1) \, dx$ .

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Problem 3521

Find and classify the stationary points of $f(x, y)=4xy-y^4-x^4$ .

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Problem 3522

Hochwasserprobleme: Gegeben $h(t)=-0,0025 t^{3}+0,04 t^{2}+9,17$ für $0 \leq t \leq 12$ . Beantworte Fragen a) bis f).

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Problem 3523

Berechne die Ableitung $z^{\prime}(0,5)$ für $z(t)=0,15 t^{2}$ und erläutere die Bedeutung des Wertes.

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Problem 3524

Evaluate these integrals and functions:
1. Integrals: (i) $\int(3 x^{5}-\pi x^{2}+4 x-19) dx$ (ii) $\int(3 \cos(5 x)+\frac{1}{2 x}-\sqrt{x}) dx$ (iii) $\int(\frac{e^{-3 x}}{2}+\sqrt[4]{x^{3}}) dx$ (iv) $\int_{2}^{5}(x^{2}+\frac{2}{x}) dx$ (v) $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}(\sec^{2}(x)-2 x) dx$ (vi) $\int_{-\pi}^{\frac{\pi}{2}}(\sin(\frac{x}{4})+\cos(\frac{3 x}{2})) dx$
2. For $\frac{dy}{dx}=2(x+1)^{-2}$ , with $y=4$ at $x=1$ : (i) Find $y$ 's equation. (ii) Find the tangent line at $x=1$ . (iii) Plot $y$ and the tangent line together, labeling features.

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Problem 3525

Berechnen Sie den Höhenunterschied zwischen A(-10, f(-10)) und dem tiefsten Punkt B der Funktion $f(x)=-\frac{1}{100} x^{3}+\frac{3}{4} x$ . Zeigen Sie, dass $g(x)=\frac{3}{400} x^{3}-\frac{3}{20} x^{2}+\frac{3}{4} x$ an $x=0$ ohne Knick übergeht. Finden Sie die Wendepunkte von $g$ und bestimmen Sie das maximale Gefälle.

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Problem 3526

Berechne die Ableitung $f'(x)$ für die Funktion $f(x)=0,2 x^{3}-x^{2}+3$ bei $x_{0}=3$ .

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Problem 3527

Gegeben ist die Funktion $f(x)=\frac{1}{2} x^{2}$ und der Punkt $P(1, y_P)$ . Zeichne den Graphen und berechne Steigungen der Sekanten.

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Problem 3528

Plot $f(x)=-2 \sin(2x)$ and $g(x)=-1$ for $x \in [0, 2\pi]$ . Find the area below $g(x)$ and set up integrals for above.

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Problem 3529

Bestimme Hoch- und Wendepunkt der Funktion $f(t)=0,25 t^{3}-12 t^{2}+144 t$ und erkläre deren Bedeutung.

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Problem 3530

Finde die Stammfunktion von $f(x)=1-x^{2}$ , die bei $y=4$ die $y$ -Achse schneidet, und die von $f(x)=2+x$ , die bei $x=1$ null ist.

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Problem 3531

Find $\lim _{x \rightarrow-3} f(x)$ where $f(x) = -x^{2}-10x-24$ if $x \leq -3$ and $f(x) = 2x+3$ if $x > -3$ .

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Problem 3532

Find the limit as $x$ approaches infinity for the expression $3 - \frac{1}{x^{2}}$ .

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Problem 3533

Find the limit: $\lim _{z \rightarrow-1} \frac{\frac{1}{z+2}-1}{z+1}$ .

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Problem 3534

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{3}-\sqrt{x+2}}{1-x}$ .

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Problem 3535

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{7 x}{14 x+2}$ .

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Problem 3536

Leite die Funktion $V_{A}(t)=\frac{1}{192} t^{3}-\frac{11}{64} t^{2}+\frac{85}{64} t+\frac{289}{192}$ ab.

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Problem 3537

Find the derivative of $V_{A}(t)=\frac{1}{192} t^{3}-\frac{11}{64} t^{2}+\frac{85}{64} t+\frac{289}{192}$ .

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Problem 3538

Find the derivative of the function $f(x)=5 x^{-\frac{3}{7}}$ for $x>0$ .

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Problem 3539

Bestimme den Gesamtinhalt der Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$ -Achse über den Intervallen I für die Funktionen: a) $f(x)=x^{3}+2 x^{2}-3 x$ , $I=[-2 ; 2,5]$ b) $f(x)=(x+2)(x-1)^{2}$ , $I=[-2 ; 2]$ c) $f(x)=(x-1)(x+2)(x-3)$ , $I=[-1 ; 2]$ d) $f(x)=x^{4}+x^{2}-2$ , $I=[-2 ; 3]$

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Problem 3540

Finde den Punkt auf dem Graphen von $f(x)=\frac{1}{3300}x^3-\frac{1}{40}x^2+26.5$ , wo die Beschleunigung maximal ist.

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Problem 3541

Berechne die Grenzrate der Substitution $S'(x)=\frac{-8}{(x-2)^{3}}$ für $x=4$ und interpretiere das Ergebnis.

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Problem 3542

Bestimme, ob das maximale Gefälle der Funktion $f(x)=\frac{1}{3300} x^{3}-\frac{1}{40} x^{2}+26,5$ mindestens -0,6 ist.

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Problem 3543

Skizzieren Sie den Graphen von $f(x)=\frac{1}{x}$ (für $x \neq 0$ ) und leiten Sie grafisch die Ableitungsfunktion $f'$ ab.

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Problem 3544

Skizzieren Sie den Graphen von $f$ und berechnen Sie die Fläche über dem Intervall I zwischen $f$ und der $x$ -Achse.

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Problem 3545

Skizzieren Sie den Graphen von $f$ und berechnen Sie die Fläche über dem Intervall I zwischen $f$ und der $x$ -Achse für: a) $f(x)=-\frac{1}{3} x^{2}+\frac{4}{3} x+\frac{5}{3}, I=[-1 ; 6]$ b) $f(x)=0,5 x^{2}-x-1,5, I=[-2 ; 3]$ c) $f(x)=2 x^{3}-8 x, I=[-1 ; 2]$ d) $f(x)=\frac{2}{x^{2}}, I=[1 ; 5]$ e) $f(x)=x^{4}-1, I=[0,5 ; 2]$ f) $f(x)=x^{3}-4 x, I=[-1 ; 2,5]$

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Problem 3546

Berechne das Gefälle der Funktion $f(x)=\frac{1}{3300} x^{3}-\frac{1}{40} x^{2}+26.5$ bei $x=20$ .

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Problem 3547

Zeichne den Graphen von $f$ und finde den Funktionsterm $I_{0}(x) = \int_{0}^{x} f(t) dt$ für a) bis d).

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Problem 3548

Ein Pkw beschleunigt: a) Skizziere den Geschwindigkeitsgraphen v. b) Untersuche das Vorzeichen von v'. c) Erkläre $v(2)=3$ und $v^{\prime}(12)=1$ .

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Problem 3549

Ein Pkw beschleunigt gleichmäßig für 10 Sekunden. Skizzieren Sie den Geschwindigkeitsgraphen und analysieren Sie $v'$ sowie die Aussagen $v(2)=3$ und $v^{\prime}(12)=1$ .

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Problem 3550

Finde die Tangentengleichung der Funktion $f(x)=\frac{1}{3300} x^{3}-\frac{1}{40} x^{2}+26,5$ bei $x=2$ , parallel zu einer Linie in 1 m Höhe.

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Problem 3551

Berechnen Sie die 1. und 2. Ableitung für die Funktionen: a) $f(x)=4 x^{2}+2 x+1$ , b) $f(t)=t^{100}-t^{99}$ , d) $f(x)=-\sqrt{2} x^{3}+\frac{8}{7} x^{7}-x$ , e) $f(x)=5$ .

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Problem 3552

Find the limit of $(1+2x+O(x^3))(\sqrt{x}-x+O(x^2))$ as $x \to 0$ . Choose the best answer.

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Problem 3553

Finde die Stellen, an denen die Ableitungen der Funktionen 0 oder 12 sind: a) $3x^2 - 4x + 1$ , b) $2x^3 + \frac{1}{2}x^2 + x - 5$ , c) $2x^3 - 3x^2$ , d) $\frac{1}{3}x^3 + x$ .

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Problem 3554

A train's position is $s(t)=\frac{60}{t}$ for $2 \leq t \leq 5$ . Find its average velocity on $2 < t < 5$ .

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Problem 3555

A train's position is $s(t)=\frac{60}{t}$ for $2 \leq t \leq 5$ . Find the instantaneous velocity at $t=3$ .

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Problem 3556

Find values of $x$ where the tangent line to $f(x)=x^{3}-4x^{2}-4x+2$ is horizontal. Solve $f'(x)=0$ .

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Problem 3557

Berechne das Integral von $x^{2}-2 x+4$ im Intervall von 0 bis 3: $\int_{0}^{3}\left(x^{2}-2 x+4\right) d x$

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Problem 3558

Find values of $x$ where the tangent line of $f(x)=x^{3}-4 x^{2}-8 x+8$ is horizontal.

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Problem 3559

Evaluate the function $f(x)$ and determine if these statements are true: 1. $\lim_{x \to a} f(x)$ exists; 2. $f(a)$ exists; 3. $f(x)$ is continuous at $x=a$ .

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Problem 3560

Determine the truth of these statements for the function $f(x)$ defined as:
$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{x^{2}-a^{2}}{x-a} & , x \neq 0 \\ 0, & , x=0 \end{array}\right.$
1. $\lim _{x \rightarrow a} f(x)$ exists.
2. $f(a)$ exists.
3. $f(x)$ is continuous at $x=a$ .

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Problem 3561

Find the point on the graph of $f(x)=6 x^{2}+2 x-9$ where the tangent slope is $-3$ .

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Problem 3562

Find the point on the graph of $f(x)=6 x^{2}+2 x-9$ where the tangent slope is -3.

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Problem 3563

Find where the slope of the tangent line to $f(x)=x^{3}+6 x^{2}+20 x+12$ equals 8.

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Problem 3564

Find $f^{\prime}(3)$ if $f(x)=\frac{1}{3} g(x)+\frac{1}{5} h(x)$ , given $g^{\prime}(3)=6$ and $h^{\prime}(3)=18$ .

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Problem 3565

Estimate the brain mass $m(30)$ using $m(c)=\frac{c^{3}}{100}-\frac{1500}{c}$ . Find the rate of change at $c=30$ .

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Problem 3566

Berechne die Ableitung von $f(x)=-3 x^{2}$ bei $x_{0}=1$ .

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Problem 3567

Find the velocity function $v(t)$ from $s(t)=15 t^{2}-12 t+5$ and calculate $v(0)$ , $v(4)$ , and $v(8)$ .

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Problem 3568

Bestimmen Sie die Steigung der Funktion $f(x)=x^{3}-3 x^{2}+4$ bei $x=-1$ .

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Problem 3569

Bestimme den Wendepunkt $W$ und die Tangentengleichung der Funktion $f(x)=(1-x) \cdot e^{x}$ . Schneidet die Tangente die Strohbarriere zwischen $A(2|1)$ und $B(2|2)$ ?

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Problem 3570

Find the derivative of the function using the product rule: $y=(7x+1)^{2}$ .

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Problem 3571

Find the derivative of $y=(x+5)(7 \sqrt{x}+6)$ using the product rule.

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Problem 3572

Find $x$ such that $f^{\prime \prime}(x) = 6a^{2}x - 12a$ .

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Problem 3573

Berechnen Sie das Integral $\int 2 e^{3-2 x} d x$ .

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Problem 3574

Find the limits of the piecewise function $f(x)$ at $x = -3$ : a. $\lim _{x \rightarrow-3^{-}} f(x)$ , b. $\lim _{x \rightarrow-3^{+}} f(x)$ , c. $\lim _{x \rightarrow-3} f(x)$ .

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Problem 3575

Find the limits: a. $\lim _{x \rightarrow-3^{-}} f(x)$ , b. $\lim _{x \rightarrow-3^{+}} f(x)$ , d. $\lim _{x \rightarrow-1} f(x)$ , e. $\lim _{x \rightarrow 5} f(x)$ for the piecewise function $f(x)$ .

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Problem 3576

Bestimmen Sie die Ableitungen von $f(x)=-x^3+2$ und $g(x)=x^2-2$ .

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Problem 3577

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x \ln \frac{3 x+1}{3 x}\right)$ .

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Problem 3578

Find the limit: $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{2 \cdot\left(x_{0}^{2}+2 \cdot x_{0} \cdot \Delta x+\Delta x^{2}\right)-2 \cdot x_{0}^{2}}{\Delta x}$ .

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Problem 3579

Find the derivative of $f(x)=9 \sqrt[4]{x^{6}}+\frac{1}{x^{2}}$ .

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Problem 3580

Find the limit: $L = \lim _{x \rightarrow 4} \frac{\ln (x-3)}{x-4}$ .

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Problem 3581

Find the value of $t$ where the function $y=\frac{\sqrt{3 t-2}}{t}$ has a horizontal tangent.

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Problem 3582

Berechnen Sie das Integral $\int 2 e^{3-2 x} d x$ .

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Problem 3583

Bestimmen Sie die Krümmungsbereiche des Graphen für die Funktionen: a) $f(x)=-x^{2}+2 x+1$ b) $f(x)=x^{3}-7 x^{2}+15 x-9$

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Problem 3584

Berechne die Steigung von $G_{f}$ für die Funktionen an den angegebenen Stellen: a) $f(x)=x^{3}+7x-5$ , $x_{0}=3$ ; b) $f(x)=-\frac{1}{2}x^{4}-x^{3}+8x$ , $x_{0}=-1$ ; c) $f(x)=2x^{3}-4x^{2}+2x-3$ , $x_{0}=1$ ; d) $f(x)=-\frac{1}{5}x^{5}+x$ , $x_{0}=-2$ .

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Problem 3585

Berechnen Sie die Steigung von $G_{f}$ an $x_{0}$ für die folgenden Funktionen: a) $f(x)=x^{3}+7 x-5 ; x_{0}=3$ b) $f(x)=-\frac{1}{2} x^{4}-x^{3}+8 x ; x_{0}=-1$ c) $f(x)=2 x^{3}-4 x^{2}+2 x-3 ; x_{0}=1$ d) $f(x)=-\frac{1}{5} x^{5}+x ; x_{0}=-2$

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Problem 3586

Find the derivative of $f(x)=3 \arccos (4 x)$ .

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Problem 3587

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos ^{2} x}{e^{x^{2}}-1}$ .

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Problem 3588

Leiten Sie die folgenden Funktionen ab: a) $f(x)=2 x^{4}-3 x+1$ b) $f(x)=-\frac{1}{2} x^{4}+\frac{1}{3} x^{2}-2$ c) $f(x)=-0, \overline{3} x^{3}+0, \overline{6} x^{2}+x$ d) $f(x)=-3,6 x+1$ e) $f(x)=2,6 x^{2}+1,4$ f) $f(x)=-1,2 x^{3}+0,4 x^{2}+0,3 x$

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Problem 3589

Finde die Stellen, an denen die Ableitungen der Funktionen $f(x)$ gleich 0, 2, 12 und 0 sind.

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Problem 3590

Gegeben ist die Funktion $f(x) = x^2 - x$ .
a) Finde die Stammfunktion $F$ , die bei $x = -2$ den Wert 10 hat, und bestimme den Anstieg von $F$ an dieser Stelle. b) Bestimme die Stammfunktion $G$ von $f$ , deren Wendepunkt die y-Koordinate 2 hat.

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Problem 3591

Find the integral of $(\ln x)^{2}$ with respect to $x$ : $\int(\ln x)^{2} d x$ .

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Problem 3592

Leiten Sie die folgenden Funktionen ab: a) $f(x)=0,5 \cdot(6-x)$ b) $f(x)=x \cdot(2-x)$ c) $f(x)=(1-x)^{2}$ d) $f(x)=(x-1)^{2}$ e) $f(x)=(x+1) \cdot(x-3)$ f) $f(x)=x \cdot(x+2) \cdot(x-2)$

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Problem 3593

Leiten Sie die folgenden Funktionen ab: a) $f(x)=0,5 \cdot(6-x)$ b) $f(x)=x \cdot(2-x)$ c) $f(x)=(1-x)^{2}$ d) $f(x)=(x-1)^{2}$ e) $f(x)=(x+1) \cdot(x-3)$ f) $f(x)=x \cdot(x+2) \cdot(x-2)$

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Problem 3594

Bestimme die erste Ableitung der Funktionen: a) $f(x)=(3 x+5)^{2}$ , b) $f_{t}(x)=t^{2} x^{3}+\frac{1}{4} x^{2}+t x$ , c) $f(x)=4 x-\frac{2}{x^{3}}$ , d) $f(x)=4 \sqrt{x}$ .

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Problem 3595

Finde den Fehler in den Ableitungen der Funktionen: a) $f(x)=\frac{1}{4} x^{4}-x^{3}+1$ , b) $f(x)=\frac{1}{3} x^{3}+x-1$ , c) $f(x)=x\left(\frac{1}{2} x^{2}-x\right)$ .

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Problem 3596

Find the indefinite integral of $\ln(\sqrt{x})$ .

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Problem 3597

Check if the series $\sum \frac{(n+1)(n+2)}{n^{2} \sqrt{n}}$ converges.

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Problem 3598

Firma Stilus-Stifte hat die Kostenfunktion $K(x)=2 x^{3}-18 x^{2}+62 x+32$ . a) Erklären Sie den Graphen und den Wendepunkt. b) Bei \$50 pro 1000 Bleistifte, wo wird Gewinn erzielt und wo ist er am höchsten?

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Problem 3599

Find the work done in compressing a spring from 25 to 35 feet if a force of 175 pounds compresses it 25 feet.

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Problem 3600

Evaluate the integral: $\int \cos x \sin (2 \sin x) d x$

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337

Calculus

Problem 3501

Problem 3502

Calculate the limit of x2−xx2−1\frac{x^{2}-x}{x^{2}-1}x2−1x2−x​ as xxx approaches 111.

Problem 3503

Was sagt die Bedingung f′(3)=0f^{\prime}(3)=0f′(3)=0 und f′′(3)>0f^{\prime \prime}(3)>0f′′(3)>0 über die Funktion f\mathrm{f}f aus?

Problem 3504

Use Newton's Method on f(x)=x3−2x2+43x−827f(x)=x^{3}-2 x^{2}+\frac{4}{3} x-\frac{8}{27}f(x)=x3−2x2+34​x−278​. Analyze its convergence to find the root.

Problem 3505

Evaluate the series ∑n=1∞(−1)n+1x2n−12n−1\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^{2n-1}}{2n-1}∑n=1∞​2n−1(−1)n+1x2n−1​.

Problem 3506

Calculate the integrals: (i) ∫(5sec⁡2(3x)−x+12)dx\int\left(5 \sec ^{2}(3 x)-\sqrt{x}+\frac{1}{2}\right) d x∫(5sec2(3x)−x​+21​)dx and (ii) ∫π2π(3x+sin⁡(x2))dx\int_{\pi}^{2 \pi}\left(\frac{3}{x}+\sin \left(\frac{x}{2}\right)\right) d x∫π2π​(x3​+sin(2x​))dx.

Problem 3507

Priya walks half the hallway, then half the remaining distance. a. What fraction covered after 2 stops? b. What fraction after 4 stops? c. Will she reach the end? Explain.

Problem 3508

Problem 3509

Berechne den Grenzwert: lim⁡x→33x2−27x−3\lim _{x \rightarrow 3} \frac{3 x^{2}-27}{x-3}limx→3​x−33x2−27​ mit Hilfe von T\mathrm{T}T.

Problem 3510

Find the derivative of f(t)=3x⋅e−2xf(t) = 3x \cdot e^{-2x}f(t)=3x⋅e−2x.

Problem 3511

Problem 3512

Calculate the integral: ∫(3x+9)4dx\int(3 x+9)^{4} dx∫(3x+9)4dx

Problem 3513

Find the integral of 1(5x+1.5)6\frac{1}{(5 x+1.5)^{6}}(5x+1.5)61​ with respect to xxx.

Problem 3514

Differentiate the function f(x)=e−(x−x)2f(x)=e^{-(x-x)^{2}}f(x)=e−(x−x)2.

Problem 3515

Evaluate the integral ∫e2⋅(3x+6)dx\int e^{2 \cdot(3 x+6)} d x∫e2⋅(3x+6)dx.

Problem 3516

Differentiate the function f(x)=e−(x−k)2f(x)=e^{-(x-k)^{2}}f(x)=e−(x−k)2.

Problem 3517

Find the integral of (3x+1)6(3x + 1)^{6}(3x+1)6 with respect to xxx.

Problem 3518

A particle's position is x(t)=3t2−2t2+4t−1x(t)=3t^2-2t^2+4t-1x(t)=3t2−2t2+4t−1. Find: a) velocity v(t)v(t)v(t), b) acceleration a(t)a(t)a(t), c) v(2)v(2)v(2), d) a(2)a(2)a(2).

Problem 3519

Bestimme die Nullstellen und Extremstellen der Funktion f(x)=4x4−4x2f(x)=4 x^{4}-4 x^{2}f(x)=4x4−4x2. Beurteile die Aussagen zu Graphen ganzrationaler Funktionen.

Problem 3520

Calculate the integral ∫42(x2+x+1) dx\int_{4}^{2} (x^{2}+x+1) \, dx∫42​(x2+x+1)dx.

Problem 3521

Find and classify the stationary points of f(x,y)=4xy−y4−x4f(x, y)=4xy-y^4-x^4f(x,y)=4xy−y4−x4.

Problem 3522

Hochwasserprobleme: Gegeben h(t)=−0,0025t3+0,04t2+9,17h(t)=-0,0025 t^{3}+0,04 t^{2}+9,17h(t)=−0,0025t3+0,04t2+9,17 für 0≤t≤120 \leq t \leq 120≤t≤12. Beantworte Fragen a) bis f).

Problem 3523

Berechne die Ableitung z′(0,5)z^{\prime}(0,5)z′(0,5) für z(t)=0,15t2z(t)=0,15 t^{2}z(t)=0,15t2 und erläutere die Bedeutung des Wertes.

Problem 3524

Problem 3525

Problem 3526

Berechne die Ableitung f′(x)f'(x)f′(x) für die Funktion f(x)=0,2x3−x2+3f(x)=0,2 x^{3}-x^{2}+3f(x)=0,2x3−x2+3 bei x0=3x_{0}=3x0​=3.

Problem 3527

Gegeben ist die Funktion f(x)=12x2f(x)=\frac{1}{2} x^{2}f(x)=21​x2 und der Punkt P(1,yP)P(1, y_P)P(1,yP​). Zeichne den Graphen und berechne Steigungen der Sekanten.

Problem 3528

Plot f(x)=−2sin⁡(2x)f(x)=-2 \sin(2x)f(x)=−2sin(2x) and g(x)=−1g(x)=-1g(x)=−1 for x∈[0,2π]x \in [0, 2\pi]x∈[0,2π]. Find the area below g(x)g(x)g(x) and set up integrals for above.

Problem 3529

Bestimme Hoch- und Wendepunkt der Funktion f(t)=0,25t3−12t2+144tf(t)=0,25 t^{3}-12 t^{2}+144 tf(t)=0,25t3−12t2+144t und erkläre deren Bedeutung.

Problem 3530

Finde die Stammfunktion von f(x)=1−x2f(x)=1-x^{2}f(x)=1−x2, die bei y=4y=4y=4 die yyy-Achse schneidet, und die von f(x)=2+xf(x)=2+xf(x)=2+x, die bei x=1x=1x=1 null ist.

Problem 3531

Find lim⁡x→−3f(x)\lim _{x \rightarrow-3} f(x)limx→−3​f(x) where f(x)=−x2−10x−24f(x) = -x^{2}-10x-24f(x)=−x2−10x−24 if x≤−3x \leq -3x≤−3 and f(x)=2x+3f(x) = 2x+3f(x)=2x+3 if x>−3x > -3x>−3.

Problem 3532

Find the limit as xxx approaches infinity for the expression 3−1x23 - \frac{1}{x^{2}}3−x21​.

Problem 3533

Find the limit: lim⁡z→−11z+2−1z+1\lim _{z \rightarrow-1} \frac{\frac{1}{z+2}-1}{z+1}limz→−1​z+1z+21​−1​.

Problem 3534

Find the limit: lim⁡x→13−x+21−x\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{3}-\sqrt{x+2}}{1-x}limx→1​1−x3​−x+2​​.

Problem 3535

Find the limit: lim⁡x→∞7x14x+2\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{7 x}{14 x+2}limx→∞​14x+27x​.

Problem 3536

Leite die Funktion VA(t)=1192t3−1164t2+8564t+289192V_{A}(t)=\frac{1}{192} t^{3}-\frac{11}{64} t^{2}+\frac{85}{64} t+\frac{289}{192}VA​(t)=1921​t3−6411​t2+6485​t+192289​ ab.

Problem 3537

Find the derivative of VA(t)=1192t3−1164t2+8564t+289192V_{A}(t)=\frac{1}{192} t^{3}-\frac{11}{64} t^{2}+\frac{85}{64} t+\frac{289}{192}VA​(t)=1921​t3−6411​t2+6485​t+192289​.

Problem 3538

Find the derivative of the function f(x)=5x−37f(x)=5 x^{-\frac{3}{7}}f(x)=5x−73​ for x>0x>0x>0.

Problem 3539

Problem 3540

Finde den Punkt auf dem Graphen von f(x)=13300x3−140x2+26.5f(x)=\frac{1}{3300}x^3-\frac{1}{40}x^2+26.5f(x)=33001​x3−401​x2+26.5, wo die Beschleunigung maximal ist.

Problem 3541

Berechne die Grenzrate der Substitution S′(x)=−8(x−2)3S'(x)=\frac{-8}{(x-2)^{3}}S′(x)=(x−2)3−8​ für x=4x=4x=4 und interpretiere das Ergebnis.

Problem 3542

Bestimme, ob das maximale Gefälle der Funktion f(x)=13300x3−140x2+26,5f(x)=\frac{1}{3300} x^{3}-\frac{1}{40} x^{2}+26,5f(x)=33001​x3−401​x2+26,5 mindestens -0,6 ist.

Problem 3543

Calculate the limit of $\frac{x^{2}-x}{x^{2}-1}$ as $x$ approaches $1$ .

Was sagt die Bedingung $f^{\prime}(3)=0$ und $f^{\prime \prime}(3)>0$ über die Funktion $\mathrm{f}$ aus?

Use Newton's Method on $f(x)=x^{3}-2 x^{2}+\frac{4}{3} x-\frac{8}{27}$ . Analyze its convergence to find the root.

Evaluate the series $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^{2n-1}}{2n-1}$ .

Calculate the integrals: (i) $\int\left(5 \sec ^{2}(3 x)-\sqrt{x}+\frac{1}{2}\right) d x$ and (ii) $\int_{\pi}^{2 \pi}\left(\frac{3}{x}+\sin \left(\frac{x}{2}\right)\right) d x$ .

Priya walks half the hallway, then half the remaining distance.
a. What fraction covered after 2 stops? b. What fraction after 4 stops? c. Will she reach the end? Explain.

Berechne den Grenzwert: $\lim _{x \rightarrow 3} \frac{3 x^{2}-27}{x-3}$ mit Hilfe von $\mathrm{T}$ .

Find the derivative of $f(t) = 3x \cdot e^{-2x}$ .

Calculate the integral: $\int(3 x+9)^{4} dx$

Find the integral of $\frac{1}{(5 x+1.5)^{6}}$ with respect to $x$ .

Differentiate the function $f(x)=e^{-(x-x)^{2}}$ .

Evaluate the integral $\int e^{2 \cdot(3 x+6)} d x$ .

Differentiate the function $f(x)=e^{-(x-k)^{2}}$ .

Find the integral of $(3x + 1)^{6}$ with respect to $x$ .

A particle's position is $x(t)=3t^2-2t^2+4t-1$ . Find: a) velocity $v(t)$ , b) acceleration $a(t)$ , c) $v(2)$ , d) $a(2)$ .

Bestimme die Nullstellen und Extremstellen der Funktion $f(x)=4 x^{4}-4 x^{2}$ . Beurteile die Aussagen zu Graphen ganzrationaler Funktionen.

Calculate the integral $\int_{4}^{2} (x^{2}+x+1) \, dx$ .

Find and classify the stationary points of $f(x, y)=4xy-y^4-x^4$ .

Hochwasserprobleme: Gegeben $h(t)=-0,0025 t^{3}+0,04 t^{2}+9,17$ für $0 \leq t \leq 12$ . Beantworte Fragen a) bis f).

Berechne die Ableitung $z^{\prime}(0,5)$ für $z(t)=0,15 t^{2}$ und erläutere die Bedeutung des Wertes.

Berechne die Ableitung $f'(x)$ für die Funktion $f(x)=0,2 x^{3}-x^{2}+3$ bei $x_{0}=3$ .

Gegeben ist die Funktion $f(x)=\frac{1}{2} x^{2}$ und der Punkt $P(1, y_P)$ . Zeichne den Graphen und berechne Steigungen der Sekanten.

Plot $f(x)=-2 \sin(2x)$ and $g(x)=-1$ for $x \in [0, 2\pi]$ . Find the area below $g(x)$ and set up integrals for above.

Bestimme Hoch- und Wendepunkt der Funktion $f(t)=0,25 t^{3}-12 t^{2}+144 t$ und erkläre deren Bedeutung.

Finde die Stammfunktion von $f(x)=1-x^{2}$ , die bei $y=4$ die $y$ -Achse schneidet, und die von $f(x)=2+x$ , die bei $x=1$ null ist.

Find $\lim _{x \rightarrow-3} f(x)$ where $f(x) = -x^{2}-10x-24$ if $x \leq -3$ and $f(x) = 2x+3$ if $x > -3$ .

Find the limit as $x$ approaches infinity for the expression $3 - \frac{1}{x^{2}}$ .

Find the limit: $\lim _{z \rightarrow-1} \frac{\frac{1}{z+2}-1}{z+1}$ .

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{3}-\sqrt{x+2}}{1-x}$ .

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{7 x}{14 x+2}$ .

Leite die Funktion $V_{A}(t)=\frac{1}{192} t^{3}-\frac{11}{64} t^{2}+\frac{85}{64} t+\frac{289}{192}$ ab.

Find the derivative of $V_{A}(t)=\frac{1}{192} t^{3}-\frac{11}{64} t^{2}+\frac{85}{64} t+\frac{289}{192}$ .

Find the derivative of the function $f(x)=5 x^{-\frac{3}{7}}$ for $x>0$ .

Finde den Punkt auf dem Graphen von $f(x)=\frac{1}{3300}x^3-\frac{1}{40}x^2+26.5$ , wo die Beschleunigung maximal ist.

Berechne die Grenzrate der Substitution $S'(x)=\frac{-8}{(x-2)^{3}}$ für $x=4$ und interpretiere das Ergebnis.

Bestimme, ob das maximale Gefälle der Funktion $f(x)=\frac{1}{3300} x^{3}-\frac{1}{40} x^{2}+26,5$ mindestens -0,6 ist.

Skizzieren Sie den Graphen von $f(x)=\frac{1}{x}$ (für $x \neq 0$ ) und leiten Sie grafisch die Ableitungsfunktion $f'$ ab.

Skizzieren Sie den Graphen von $f$ und berechnen Sie die Fläche über dem Intervall I zwischen $f$ und der $x$ -Achse.

Berechne das Gefälle der Funktion $f(x)=\frac{1}{3300} x^{3}-\frac{1}{40} x^{2}+26.5$ bei $x=20$ .

Zeichne den Graphen von $f$ und finde den Funktionsterm $I_{0}(x) = \int_{0}^{x} f(t) dt$ für a) bis d).

Ein Pkw beschleunigt: a) Skizziere den Geschwindigkeitsgraphen v. b) Untersuche das Vorzeichen von v'. c) Erkläre $v(2)=3$ und $v^{\prime}(12)=1$ .

Ein Pkw beschleunigt gleichmäßig für 10 Sekunden. Skizzieren Sie den Geschwindigkeitsgraphen und analysieren Sie $v'$ sowie die Aussagen $v(2)=3$ und $v^{\prime}(12)=1$ .

Finde die Tangentengleichung der Funktion $f(x)=\frac{1}{3300} x^{3}-\frac{1}{40} x^{2}+26,5$ bei $x=2$ , parallel zu einer Linie in 1 m Höhe.

Berechnen Sie die 1. und 2. Ableitung für die Funktionen: a) $f(x)=4 x^{2}+2 x+1$ , b) $f(t)=t^{100}-t^{99}$ , d) $f(x)=-\sqrt{2} x^{3}+\frac{8}{7} x^{7}-x$ , e) $f(x)=5$ .

Find the limit of $(1+2x+O(x^3))(\sqrt{x}-x+O(x^2))$ as $x \to 0$ . Choose the best answer.

Finde die Stellen, an denen die Ableitungen der Funktionen 0 oder 12 sind: a) $3x^2 - 4x + 1$ , b) $2x^3 + \frac{1}{2}x^2 + x - 5$ , c) $2x^3 - 3x^2$ , d) $\frac{1}{3}x^3 + x$ .

A train's position is $s(t)=\frac{60}{t}$ for $2 \leq t \leq 5$ . Find its average velocity on $2 < t < 5$ .

A train's position is $s(t)=\frac{60}{t}$ for $2 \leq t \leq 5$ . Find the instantaneous velocity at $t=3$ .

Find values of $x$ where the tangent line to $f(x)=x^{3}-4x^{2}-4x+2$ is horizontal. Solve $f'(x)=0$ .

Berechne das Integral von $x^{2}-2 x+4$ im Intervall von 0 bis 3: $\int_{0}^{3}\left(x^{2}-2 x+4\right) d x$

Find values of $x$ where the tangent line of $f(x)=x^{3}-4 x^{2}-8 x+8$ is horizontal.

Evaluate the function $f(x)$ and determine if these statements are true: 1. $\lim_{x \to a} f(x)$ exists; 2. $f(a)$ exists; 3. $f(x)$ is continuous at $x=a$ .

Find the point on the graph of $f(x)=6 x^{2}+2 x-9$ where the tangent slope is $-3$ .

Find the point on the graph of $f(x)=6 x^{2}+2 x-9$ where the tangent slope is -3.

Find where the slope of the tangent line to $f(x)=x^{3}+6 x^{2}+20 x+12$ equals 8.

Find $f^{\prime}(3)$ if $f(x)=\frac{1}{3} g(x)+\frac{1}{5} h(x)$ , given $g^{\prime}(3)=6$ and $h^{\prime}(3)=18$ .

Estimate the brain mass $m(30)$ using $m(c)=\frac{c^{3}}{100}-\frac{1500}{c}$ . Find the rate of change at $c=30$ .

Berechne die Ableitung von $f(x)=-3 x^{2}$ bei $x_{0}=1$ .

Find the velocity function $v(t)$ from $s(t)=15 t^{2}-12 t+5$ and calculate $v(0)$ , $v(4)$ , and $v(8)$ .

Bestimmen Sie die Steigung der Funktion $f(x)=x^{3}-3 x^{2}+4$ bei $x=-1$ .

Bestimme den Wendepunkt $W$ und die Tangentengleichung der Funktion $f(x)=(1-x) \cdot e^{x}$ . Schneidet die Tangente die Strohbarriere zwischen $A(2|1)$ und $B(2|2)$ ?

Find the derivative of the function using the product rule: $y=(7x+1)^{2}$ .

Find the derivative of $y=(x+5)(7 \sqrt{x}+6)$ using the product rule.

Find $x$ such that $f^{\prime \prime}(x) = 6a^{2}x - 12a$ .

Berechnen Sie das Integral $\int 2 e^{3-2 x} d x$ .