Calculus

Problem 6201

A 4 m ladder leans against a wall. If the base slides away at 30 cm/s, how fast does the top slide down when 2 m away?

See Solution

Problem 6202

A plane flies at $600 \mathrm{~km/h}$ and $10 \mathrm{~km}$ high over Quinton. Find the distance rate increase when $20 \mathrm{~km}$ away.

See Solution

Problem 6203

Finde die Grenzwerte der Folgen $a_{n}$ und $b_{n}$ sowie der Summen-, Differenz-, Produkt- und Quotientenfolge.
a) $a_{n}=2-\frac{3}{n^{2}}, \quad b_{n}=1-\frac{3}{n}$
b) $a_{n}=3+\frac{1}{n}-\frac{2}{n^{2}}, \quad b_{n}=2-\frac{1}{n}$

See Solution

Problem 6204

At 1:00 p.m., ship A is 80 km south of ship B. A sails north at 30 km/h, B sails east at 40 km/h. Find the distance change rate at 3:00 p.m.

See Solution

Problem 6205

Differentiate the function using the Product Rule: $f(x)=(2x+2)(x^{3}-4)$ . Find $f^{\prime}(x)$ .

See Solution

Problem 6206

Find the derivatives of $f(x)=x^{n} \sin x$ for $n=1,2,3,4$ and derive a general rule for $f^{\prime}(x)$ .

See Solution

Problem 6207

Bestimmen Sie die Grenzwerte der Folgen $c_{n}$ und nennen Sie die verwendeten Grenzwertsätze: a) $c_{n}=2+\frac{3 n}{n^{3}}$ b) $c_{n}=\frac{3 n-2}{2+n}$ c) $c_{n}=\frac{2 n^{2}+n-5}{4 n-2 n^{2}}$ d) $c_{n}=\frac{n+\frac{1}{n}}{n}$ e) $c_{n}=\frac{3 n+1}{4 n+(-1)^{n}}$ f) $c_{n}=\frac{4 n}{2 n+1}+\left(\frac{1}{10}\right)^{n}$ g) $c_{n}=\frac{3 n+1}{n} \cdot\left(-\frac{1}{4}\right)^{n}$ h) $c_{n}=\frac{(n-1)(2 n+1)^{2}}{n^{2}-n^{3}}$

See Solution

Problem 6208

Find the integral of $f(x)=(-9 x^{2}-3 x^{3}) \cdot e^{x}$ .

See Solution

Problem 6209

Differentiate the function using the Product Rule: $f(x)=x^{5} \cos (x)$ , find $f^{\prime}(x)=\square$ .

See Solution

Problem 6210

Find the derivative of $f(t)=\frac{\cos (t)}{t^{6}}$ using the Quotient Rule.

See Solution

Problem 6211

Find the derivative of $h(s)=-2 \sqrt{5 s^{2}+2}$ . What is $h^{\prime}(s)=?$

See Solution

Problem 6212

Find the derivative of the function $y=x^{2} \sqrt{36-x^{2}}$ . What is $y^{\prime}=$ ?

See Solution

Problem 6213

Find the derivatives $f^{\prime}(x)$ and $f^{\prime}(c)$ for $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ at $c=\frac{\pi}{4}$ .

See Solution

Problem 6214

Find the derivative of $h(t)=\left(\frac{t^{4}}{t^{7}+2}\right)^{2}$ .

See Solution

Problem 6215

Finde die Fehler in den Ableitungen der Funktionen A bis F und korrigiere sie.

See Solution

Problem 6216

Find the derivative of the function $r(t)=\sqrt{\frac{30 \mathrm{~cm}^{2}+6 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{min}}{\pi} \cdot t}$ with respect to $t$ .

See Solution

Problem 6217

Ein Ölfleck hat anfangs eine Fläche von $30 \mathrm{~cm}^{2}$ und wächst um $6 \mathrm{~cm}^{2}$ /Min. Bestimmen Sie $r(t)$ und $r^{\prime}(12)$ .

See Solution

Problem 6218

Ein Ölfleck hat zu Beginn eine Fläche von $30 \mathrm{~cm}^{2}$ und wächst um $6 \mathrm{~cm}^{2}$ pro Minute.
a) Finde $A(t)$ in $\mathrm{cm}^{2}$ für $t$ Minuten. b) Finde $r(t)$ in cm; berechne $r^{\prime}(12)$ und interpretiere das Ergebnis.

See Solution

Problem 6219

Bestimmen Sie mit der zweiten Ableitung die Intervalle, in denen der Graph von $f(x)=\frac{3}{20} x^{5}-2 x^{3}+x$ links- oder rechtsgekrümmt ist.

See Solution

Problem 6220

Gegeben ist die Funktion $f(x)=\frac{1}{9}(3 x+2)^{3}$ . Bestimme: a) Steigung bei $P(2, f(2))$ , b) Punkte mit waagerechter Tangente, c) Punkte mit Tangente $m=1$ und deren Gleichungen.

See Solution

Problem 6221

Berechnen Sie die erste Ableitung der Funktionen: a) $f(x)=\frac{2}{4 x-1}$ b) $f(x)=\frac{5}{(2-x)^{3}}$ c) $f(x)=\frac{-3}{(2 x+3)^{2}}$

See Solution

Problem 6222

Berechnen Sie die Ableitungen $g^{\prime}(x)$ und $h^{\prime}(x)$ für $g(x)=x \cdot \sin(x)$ und $h(x)=\cos(x)$ . Zeigen Sie, dass $f^{\prime}(x)=\sin(x) \cdot \cos(x)+x \cdot(\cos(x))^{2}-x \cdot(\sin(x))^{2}$ gilt. Leiten Sie auch $f^{\prime}(x)$ für $f=u \cdot v \cdot w$ ab, wobei $u, v, w$ differenzierbar sind.

See Solution

Problem 6223

Untersuchen Sie die Funktion $f(x) = 6e^{-0.5x} - 6e^{-3x} - 6$ auf Extrem- und Wendepunkte mit $f^{\prime}(x)=0$ .

See Solution

Problem 6224

Calculate the percentage rate of change of $f(x)=5400-2 x^{2}$ at $x=45$ . Answer: $\square \%$ .

See Solution

Problem 6225

Bestimme die 1. und 2. Ableitung für die Funktionen: a) $f(x)=e^{x}+1$ , b) $f(x)=e^{x}+x$ , c) $f(x)=e^{x}+2 x^{2}$ , d) $f(x)=-e^{x}+1$ , e) $f(x)=2 e^{x}+3 x^{2}$ , f) $f(x)=-5 e^{x}-0,5 x^{3}$ , g) $f(x)=-\frac{1}{2}\left(e^{x}-x^{3}\right)$ .

See Solution

Problem 6226

Berechnen Sie die Summen $\mathrm{U}_{4}$ , $\mathrm{O}_{4}$ , $\mathrm{U}_{8}$ und $\mathrm{O}_{8}$ für die Funktionen: a) $f(x)=x+1$ , $I=[0 ; 1]$ b) $f(x)=2-x$ , $I=[0 ; 2]$ d) $f(x)=x^{2}$ , $I=[1 ; 2]$ e) $f(x)=2 x^{2}+1$ , $I=[0 ; 2]$

See Solution

Problem 6227

Bestimme die Ableitung von $f_{a}$ und berechne $f_{2}^{\prime}(1)$ für die gegebenen Funktionen.

See Solution

Problem 6228

Evaluate the integral $F(x) = \int_{1}^{x} \frac{t^{2}+7}{t+1} dt$ for: (a) $F(1)$ , (b) $F'(x)$ , (c) $F'(3)$ .

See Solution

Problem 6229

Untersuchen Sie die Funktion $f(x) = 6 \cdot (1 - e^{-0.5x} + e^{-3x})$ auf Extrem- und Wendepunkte.

See Solution

Problem 6230

Junge Leute feiern im Faatz-Club. Die Gästezuwachsrate ist $g(t)=4t^3-52t^2+160t$ für $t \in [0,8]$ .
a) Finde $g(4)$ .
b) Bestimme die Nullstellen von $g(t)$ und erkläre sie.
c) Finde den maximalen Gästezuwachs.
d) Bestimme, wann der Zuwachs $\geq 120$ Gäste/Stunde war.
e) Berechne die Gästezahl um 2 Uhr.
f) Finde den Zeitpunkt und die Anzahl der maximalen Gäste.
g) Berechne die Gästezahl beim Schließen.
h) Bestimme, wann 300 Gäste im Club waren.

See Solution

Problem 6231

Bestimme die Grenzwerte: a) $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1}{1-\frac{1}{x}}$ , b) $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x-3}{2-x}$ , c) $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x}{2-x} \cdot \frac{5 x^{2}}{2+x^{2}}\right)$ .

See Solution

Problem 6232

Find the upper sum $U_{n}$ and lower sum $L_{n}$ for $\int_{1}^{2}(4-8x) dx$ .

See Solution

Problem 6233

Bestimme die Tangentengleichung und den Steigungswinkel für die Funktionen an den Punkten: a) $f(x)=\sin (x)+x^{2}$ bei $P(0 \mid f(0))$ b) $f(x)=x^{2}-4x+5$ bei $P(3 \mid f(3))$ c) $f(x)=2\cdot\cos (x)-x$ bei $P\left(\frac{\pi}{2} \mid f\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)$

See Solution

Problem 6234

Select all expressions that are derivatives of $y=f(x)$ : $\frac{d}{d x}(f(x))$ , $\frac{d y}{d x}$ , $f^{\prime}(x)$ , $y^{\prime}$ , $\frac{d f}{d x}$ .

See Solution

Problem 6235

Bestimmen Sie die Tangentengleichung an $G_{f}$ in $P$ und berechnen Sie den Steigungswinkel. $f(x)=2 \cdot \cos (x)-x; P\left(\frac{\pi}{2} \mid f\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)$

See Solution

Problem 6236

Bestimmen Sie die Grenzwerte: a) $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1}{1-\frac{1}{x}}$ b) $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x-3}{2-x}$ c) $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x}{2-x} \cdot \frac{5 x^{2}}{2+x^{2}}\right)$

See Solution

Problem 6237

Find the derivative of $y=3 x^{4}+(3 x)^{4}-\frac{4}{\sqrt[3]{x}}+\cot (3 x)-\sec (\pi)$ and simplify.

See Solution

Problem 6238

Find $f^{\prime}(2)$ for $f(x)=8 x^{2}-x^{3}$ and the tangent line at $(2,24)$ : $y=20 x-16$ .

See Solution

Problem 6239

Berechne die Ableitung von $f(x)=\sqrt{x}+\frac{1}{x}$ .

See Solution

Problem 6240

Find the derivative of the function $f(x)=x(4x-12)^{3}$ . What is $f^{\prime}(x)$ ?

See Solution

Problem 6241

Find the derivative of $y=\ln (|\csc (6 x)|)$ .

See Solution

Problem 6242

Bestimmen Sie die Tangentengleichung an $f$ bei $P(a \mid f(a))$ für: a) $f(x)=x^{3}-2x, a=-1$ b) $f(x)=\sqrt{x}+\frac{1}{x}, a=1$ c) $f(x)=\sin(x), a=\pi$ .

See Solution

Problem 6243

Bestimme die Tangentengleichung an $f$ in $P(a \mid f(a))$ für die Funktionen und finde $m$ -Steigungs-Punkte.

See Solution

Problem 6244

Find the derivative of the function $y=5(2-x^{2})^{6}$ .

See Solution

Problem 6245

Find the derivative of $y=5(2-x^{2})^{6}$ using the general power rule.

See Solution

Problem 6246

Find the derivative of $y=\ln (|\csc (5 x)|)$ .

See Solution

Problem 6247

Berechne die Steigung von $f(x)=x^{2}$ bei $x_{0}=2$ .

See Solution

Problem 6248

Erklären Sie die Bedeutung der Rechnung: $A=\int_{a}^{b} f(x) d x-\int_{a}^{b} g(x) d x$ .

See Solution

Problem 6249

Bestimme die Ableitung von $f(x)=-3 x^{2}$ an der Stelle $x_0 = 1$ mithilfe des Limes.

See Solution

Problem 6250

Bestimmen Sie die Steigung der Funktion $f(x)=-3 x^{2}$ bei $x_{0}=1$ mit dem Differenzenquotienten.

See Solution

Problem 6251

Bestimme die ersten beiden Ableitungen für die Funktionen: a) $f(x)=1,5^{x}$ , b) $f(x)=0,5 \cdot 3^{2x}$ , c) $f(x)=2^{-x}$ , d) $f(x)=x \cdot 2^{x}$ , e) $f(x)=2^{1-2x}$ , f) $f(x)=(1+2^{x})^{2}$ , g) $f(x)=x^{2} \cdot 1,2^{x}$ , h) $f(x)=2^{x^{3}}$ .

See Solution

Problem 6252

Find the derivative of $f(x)=2 x^{2}+3 x$ at $x=3$ .

See Solution

Problem 6253

Gegeben ist die Kurvenschar $f_a(x) = ax + e^{-x}, a > 0$ . Analysiere die Kurve, zeichne $f_1$ und $f_2$ für $-2 \leq x \leq 3$ , finde die Tangentengleichung an der $y$ -Achse und die Ortslinie der Extrema.

See Solution

Problem 6254

Calculate the derivative of $f(x)=x^{3}-x^{2}+x-1$ at $x_{0}=2$ .

See Solution

Problem 6255

Berechnen Sie den Flächeninhalt $A$ zwischen $f(x)=x^2+2$ und $g(x)=x+1$ im Intervall $[-1, 2]$ . Machen Sie eine Skizze.

See Solution

Problem 6256

Find $f^{\prime}(x)$ for $f(x)=\frac{2}{x}$ using the limit $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ .

See Solution

Problem 6257

Find the derivative of $e^{x} \ln x + x^{2} \cos x$ using sum and product rules.

See Solution

Problem 6258

Find the derivative of $e^{x} \ln x + x^{2} \cos x$ using sum and product rules.

See Solution

Problem 6259

Find the derivative of $\frac{x^{3} e^{x}}{\sin x}$ using the product and quotient rules.

See Solution

Problem 6260

Finde Hoch- und Tiefpunkte der Funktion $f(x)=5 x^{4}-5 x^{2}-1$ und überprüfe sie mit GeoGebra.

See Solution

Problem 6261

1. If $f$ is differentiable and $f'$ is positive on $(a, b)$ , does $f$ have an inverse? Justify with a reason or example.
2. For $f$ differentiable on $(0,3)$ , if $\frac{f(y)-f(x)}{y-x}=\frac{1}{(x+1)(y+1)}$ for $x \neq y$ , can we find $f'$ ? Justify.

See Solution

Problem 6262

Find the derivative and root of $f(x)=\frac{1}{5}(3x-x^{3})$ .

See Solution

Problem 6263

Calculate the first derivative of the function $g(x) = -4x - 14$ .

See Solution

Problem 6264

Finde die 1. Ableitung von $g(x)=-4x-14$ .

See Solution

Problem 6265

Find the limit as $x$ approaches 1 for $(x-1)^{4} \sin \left(\frac{1}{x-1}\right)$ .

See Solution

Problem 6266

Bestimme die Stammfunktion von $f(x)=(3x+4)^{3}$ .

See Solution

Problem 6267

Find the price that maximizes revenue given the demand function $p(x)=2000-\left(\frac{1}{2000}\right) x^{3}$ .

See Solution

Problem 6268

Bestimme die Stammfunktion von $f(x)=(2 x+4)^{3}$ .

See Solution

Problem 6269

Bestimme die Stammfunktion von $f(x)=\sqrt{3 x^{3}}-8$ .

See Solution

Problem 6270

Finde die Stellen, wo die Funktion $f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{5}{2} x^{2}+4 x$ die Steigung 0 hat, und berechne die Nullstellen von $k(x)=\frac{1}{4} x^{4}+2 x^{3}+\frac{9}{2} x^{2}$ .

See Solution

Problem 6271

Ein Fallschirmspringer springt aus 4000 m. Berechne nach 10 s die Höhe und Strecke, die Höhe $h(t)$ und die Zeit bis 1000 m.

See Solution

Problem 6272

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{3(\sqrt[3]{x}-1)}{x^{3}-1}$ .

See Solution

Problem 6273

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{3(\sqrt[3]{x}-1)}{x^{3}-1}$ .

See Solution

Problem 6274

Estimate the limit: $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{2 x-x^{4}}-\sqrt[3]{x}}{1-x^{\frac{1}{4}}}$

See Solution

Problem 6275

Calculate $\lim _{x \rightarrow 1}[4 f(x)]$ given that $f(x) = 8$ .

See Solution

Problem 6276

Find the limit $\lim _{x \rightarrow 1}[4 f(x)]$ given $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=8$ and state the limit law used.

See Solution

Problem 6277

Find the difference quotient $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ for $f(x)=x^{2}-2x+6$ and simplify your answer.

See Solution

Problem 6278

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow-6} \frac{x^{2}-36}{x+6}$ .

See Solution

Problem 6279

Calculate the sum of the series $\sum_{n=2}^{\infty} \ln \left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)$ .

See Solution

Problem 6280

Evaluate the limit: $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(7+\frac{179}{x}+\frac{\sin ^{4} x^{6}}{x^{5}}\right)$ .

See Solution

Problem 6281

Find $\lim _{x \rightarrow 6} \sqrt[3]{f(x) g(x)+16}$ given $\lim _{x \rightarrow 6} f(x)=8$ and $\lim _{x \rightarrow 6} g(x)=6$ .

See Solution

Problem 6282

Find the limit as $z$ approaches infinity: $\lim _{z \rightarrow \infty}\left(e^{-9 z}+\frac{10}{z}\right)$ .

See Solution

Problem 6283

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{\sqrt{256 x^{2}+x}}{x}$ .

See Solution

Problem 6284

Find the limit as $x$ approaches -4 for the expression $\frac{(x+6)}{x(x+4)}$ .

See Solution

Problem 6285

Find the limit as $x$ approaches -4 from the right: $\lim _{x \rightarrow-4^{+}} \frac{(x+6)}{x(x+4)}$ .

See Solution

Problem 6286

Find the limit as $x$ approaches -4 from the left for the expression $\frac{(x+6)}{x(x+4)}$ .

See Solution

Problem 6287

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow-4} \frac{(x+6)}{x(x+4)}$ .

See Solution

Problem 6288

Find the limit: $\lim _{\theta \rightarrow \frac{3 \pi}{2}} \frac{1}{5} \tan \theta$ .

See Solution

Problem 6289

Find the limit as $\theta$ approaches $\frac{3 \pi^{+}}{2}$ of $\frac{1}{5} \tan \theta$ .

See Solution

Problem 6290

Find the limit as $x$ approaches negative infinity for $2x^{3} - 5x^{2} + 1$ .

See Solution

Problem 6291

Find the limit: $\lim _{w \rightarrow \infty} \frac{42 w^{2}+4 w+1}{\sqrt{36 w^{4}+2 w^{3}}}$

See Solution

Problem 6292

Find the limit: $\lim _{w \rightarrow \infty} \frac{16 w^{2}+5 w+1}{\sqrt{4 w^{4}+2 w^{3}}}$

See Solution

Problem 6293

Bestimme das Integral $\int\left(\frac{\sqrt{2}}{x^{2}}-\frac{2}{5} x^{5}\right) d x$ .

See Solution

Problem 6294

Find $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)$ and $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)$ for $f(x)=\frac{2 x}{8 x+5}$ .

See Solution

Problem 6295

Berechne das Integral $\int(2 a x^{3}+6 x^{2}) \, da$

See Solution

Problem 6296

Find $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)$ and $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)$ for $f(x)=\frac{12 x^{8}-2}{4 x^{8}-7 x^{7}}$ .

See Solution

Problem 6297

Find $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)$ and $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)$ for $f(x)=\frac{43 x^{5}+3 x^{2}}{16 x^{4}-3 x}$ .

See Solution

Problem 6298

Find $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)$ and $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)$ for $f(x)=\frac{x^{3}+6}{3 x^{3}+\sqrt{36 x^{6}+4}}$ .

See Solution

Problem 6299

Find the limits: $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)$ and $\lim _{x \rightarrow -\infty} f(x)$ for $f(x)=\frac{3 x^{5}-7}{x^{6}+6 x^{4}}$ .

See Solution

Problem 6300

Find $y^{\prime}$ and $y^{\prime \prime}$ for $y=\cos(x^{2})$ .

See Solution

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337

Calculus

Problem 6201

A 4 m ladder leans against a wall. If the base slides away at 30 cm/s, how fast does the top slide down when 2 m away?

Problem 6202

A plane flies at 600 km/h600 \mathrm{~km/h}600 km/h and 10 km10 \mathrm{~km}10 km high over Quinton. Find the distance rate increase when 20 km20 \mathrm{~km}20 km away.

Problem 6203

Problem 6204

At 1:00 p.m., ship A is 80 km south of ship B. A sails north at 30 km/h, B sails east at 40 km/h. Find the distance change rate at 3:00 p.m.

Problem 6205

Differentiate the function using the Product Rule: f(x)=(2x+2)(x3−4)f(x)=(2x+2)(x^{3}-4)f(x)=(2x+2)(x3−4). Find f′(x)f^{\prime}(x)f′(x).

Problem 6206

Find the derivatives of f(x)=xnsin⁡xf(x)=x^{n} \sin xf(x)=xnsinx for n=1,2,3,4n=1,2,3,4n=1,2,3,4 and derive a general rule for f′(x)f^{\prime}(x)f′(x).

Problem 6207

Problem 6208

Find the integral of f(x)=(−9x2−3x3)⋅exf(x)=(-9 x^{2}-3 x^{3}) \cdot e^{x}f(x)=(−9x2−3x3)⋅ex.

Problem 6209

Differentiate the function using the Product Rule: f(x)=x5cos⁡(x)f(x)=x^{5} \cos (x)f(x)=x5cos(x), find f′(x)=□f^{\prime}(x)=\squaref′(x)=□.

Problem 6210

Find the derivative of f(t)=cos⁡(t)t6f(t)=\frac{\cos (t)}{t^{6}}f(t)=t6cos(t)​ using the Quotient Rule.

Problem 6211

Find the derivative of h(s)=−25s2+2h(s)=-2 \sqrt{5 s^{2}+2}h(s)=−25s2+2​. What is h′(s)=?h^{\prime}(s)=?h′(s)=?

Problem 6212

Find the derivative of the function y=x236−x2y=x^{2} \sqrt{36-x^{2}}y=x236−x2​. What is y′=y^{\prime}=y′=?

Problem 6213

Find the derivatives f′(x)f^{\prime}(x)f′(x) and f′(c)f^{\prime}(c)f′(c) for f(x)=sin⁡xxf(x)=\frac{\sin x}{x}f(x)=xsinx​ at c=π4c=\frac{\pi}{4}c=4π​.

Problem 6214

Find the derivative of h(t)=(t4t7+2)2h(t)=\left(\frac{t^{4}}{t^{7}+2}\right)^{2}h(t)=(t7+2t4​)2.

Problem 6215

Finde die Fehler in den Ableitungen der Funktionen A bis F und korrigiere sie.

Problem 6216

Find the derivative of the function r(t)=30 cm2+6 cm2/minπ⋅tr(t)=\sqrt{\frac{30 \mathrm{~cm}^{2}+6 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{min}}{\pi} \cdot t}r(t)=π30 cm2+6 cm2/min​⋅t​ with respect to ttt.

Problem 6217

Ein Ölfleck hat anfangs eine Fläche von 30 cm230 \mathrm{~cm}^{2}30 cm2 und wächst um 6 cm26 \mathrm{~cm}^{2}6 cm2/Min. Bestimmen Sie r(t)r(t)r(t) und r′(12)r^{\prime}(12)r′(12).

Problem 6218

Ein Ölfleck hat zu Beginn eine Fläche von 30 cm230 \mathrm{~cm}^{2}30 cm2 und wächst um 6 cm26 \mathrm{~cm}^{2}6 cm2 pro Minute. a) Finde A(t)A(t)A(t) in cm2\mathrm{cm}^{2}cm2 für ttt Minuten. b) Finde r(t)r(t)r(t) in cm; berechne r′(12)r^{\prime}(12)r′(12) und interpretiere das Ergebnis.

Problem 6219

Bestimmen Sie mit der zweiten Ableitung die Intervalle, in denen der Graph von f(x)=320x5−2x3+xf(x)=\frac{3}{20} x^{5}-2 x^{3}+xf(x)=203​x5−2x3+x links- oder rechtsgekrümmt ist.

Problem 6220

Gegeben ist die Funktion f(x)=19(3x+2)3f(x)=\frac{1}{9}(3 x+2)^{3}f(x)=91​(3x+2)3. Bestimme: a) Steigung bei P(2,f(2))P(2, f(2))P(2,f(2)), b) Punkte mit waagerechter Tangente, c) Punkte mit Tangente m=1m=1m=1 und deren Gleichungen.

Problem 6221

Berechnen Sie die erste Ableitung der Funktionen: a) f(x)=24x−1f(x)=\frac{2}{4 x-1}f(x)=4x−12​ b) f(x)=5(2−x)3f(x)=\frac{5}{(2-x)^{3}}f(x)=(2−x)35​ c) f(x)=−3(2x+3)2f(x)=\frac{-3}{(2 x+3)^{2}}f(x)=(2x+3)2−3​

Problem 6222

Problem 6223

Untersuchen Sie die Funktion f(x)=6e−0.5x−6e−3x−6f(x) = 6e^{-0.5x} - 6e^{-3x} - 6f(x)=6e−0.5x−6e−3x−6 auf Extrem- und Wendepunkte mit f′(x)=0f^{\prime}(x)=0f′(x)=0.

Problem 6224

Calculate the percentage rate of change of f(x)=5400−2x2f(x)=5400-2 x^{2}f(x)=5400−2x2 at x=45x=45x=45. Answer: □%\square \%□%.

Problem 6225

Problem 6226

Problem 6227

Bestimme die Ableitung von faf_{a}fa​ und berechne f2′(1)f_{2}^{\prime}(1)f2′​(1) für die gegebenen Funktionen.

Problem 6228

Evaluate the integral F(x)=∫1xt2+7t+1dtF(x) = \int_{1}^{x} \frac{t^{2}+7}{t+1} dtF(x)=∫1x​t+1t2+7​dt for: (a) F(1)F(1)F(1), (b) F′(x)F'(x)F′(x), (c) F′(3)F'(3)F′(3).

Problem 6229

Untersuchen Sie die Funktion f(x)=6⋅(1−e−0.5x+e−3x)f(x) = 6 \cdot (1 - e^{-0.5x} + e^{-3x})f(x)=6⋅(1−e−0.5x+e−3x) auf Extrem- und Wendepunkte.

Problem 6230

Problem 6231

Problem 6232

Find the upper sum UnU_{n}Un​ and lower sum LnL_{n}Ln​ for ∫12(4−8x)dx\int_{1}^{2}(4-8x) dx∫12​(4−8x)dx.

Problem 6233

Problem 6234

Select all expressions that are derivatives of y=f(x)y=f(x)y=f(x): ddx(f(x))\frac{d}{d x}(f(x))dxd​(f(x)), dydx\frac{d y}{d x}dxdy​, f′(x)f^{\prime}(x)f′(x), y′y^{\prime}y′, dfdx\frac{d f}{d x}dxdf​.

Problem 6235

Bestimmen Sie die Tangentengleichung an GfG_{f}Gf​ in PPP und berechnen Sie den Steigungswinkel. f(x)=2⋅cos⁡(x)−x;P(π2∣f(π2)) f(x)=2 \cdot \cos (x)-x; P\left(\frac{\pi}{2} \mid f\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) f(x)=2⋅cos(x)−x;P(2π​∣f(2π​))

Problem 6236

Problem 6237

Find the derivative of y=3x4+(3x)4−4x3+cot⁡(3x)−sec⁡(π)y=3 x^{4}+(3 x)^{4}-\frac{4}{\sqrt[3]{x}}+\cot (3 x)-\sec (\pi)y=3x4+(3x)4−3x​4​+cot(3x)−sec(π) and simplify.

Problem 6238

Find f′(2)f^{\prime}(2)f′(2) for f(x)=8x2−x3f(x)=8 x^{2}-x^{3}f(x)=8x2−x3 and the tangent line at (2,24)(2,24)(2,24): y=20x−16y=20 x-16y=20x−16.

Problem 6239

Berechne die Ableitung von f(x)=x+1xf(x)=\sqrt{x}+\frac{1}{x}f(x)=x​+x1​.

Problem 6240

Find the derivative of the function f(x)=x(4x−12)3f(x)=x(4x-12)^{3}f(x)=x(4x−12)3. What is f′(x)f^{\prime}(x)f′(x)?

Problem 6241

Find the derivative of y=ln⁡(∣csc⁡(6x)∣)y=\ln (|\csc (6 x)|)y=ln(∣csc(6x)∣).

Problem 6242

Bestimmen Sie die Tangentengleichung an fff bei P(a∣f(a))P(a \mid f(a))P(a∣f(a)) für: a) f(x)=x3−2x,a=−1f(x)=x^{3}-2x, a=-1f(x)=x3−2x,a=−1 b) f(x)=x+1x,a=1f(x)=\sqrt{x}+\frac{1}{x}, a=1f(x)=x​+x1​,a=1 c) f(x)=sin⁡(x),a=πf(x)=\sin(x), a=\pif(x)=sin(x),a=π.

Problem 6243

Bestimme die Tangentengleichung an fff in P(a∣f(a))P(a \mid f(a))P(a∣f(a)) für die Funktionen und finde mmm-Steigungs-Punkte.

Problem 6244

Find the derivative of the function y=5(2−x2)6y=5(2-x^{2})^{6}y=5(2−x2)6.

A plane flies at $600 \mathrm{~km/h}$ and $10 \mathrm{~km}$ high over Quinton. Find the distance rate increase when $20 \mathrm{~km}$ away.

Differentiate the function using the Product Rule: $f(x)=(2x+2)(x^{3}-4)$ . Find $f^{\prime}(x)$ .

Find the derivatives of $f(x)=x^{n} \sin x$ for $n=1,2,3,4$ and derive a general rule for $f^{\prime}(x)$ .

Find the integral of $f(x)=(-9 x^{2}-3 x^{3}) \cdot e^{x}$ .

Differentiate the function using the Product Rule: $f(x)=x^{5} \cos (x)$ , find $f^{\prime}(x)=\square$ .

Find the derivative of $f(t)=\frac{\cos (t)}{t^{6}}$ using the Quotient Rule.

Find the derivative of $h(s)=-2 \sqrt{5 s^{2}+2}$ . What is $h^{\prime}(s)=?$

Find the derivative of the function $y=x^{2} \sqrt{36-x^{2}}$ . What is $y^{\prime}=$ ?

Find the derivatives $f^{\prime}(x)$ and $f^{\prime}(c)$ for $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ at $c=\frac{\pi}{4}$ .

Find the derivative of $h(t)=\left(\frac{t^{4}}{t^{7}+2}\right)^{2}$ .

Find the derivative of the function $r(t)=\sqrt{\frac{30 \mathrm{~cm}^{2}+6 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{min}}{\pi} \cdot t}$ with respect to $t$ .

Ein Ölfleck hat anfangs eine Fläche von $30 \mathrm{~cm}^{2}$ und wächst um $6 \mathrm{~cm}^{2}$ /Min. Bestimmen Sie $r(t)$ und $r^{\prime}(12)$ .

Ein Ölfleck hat zu Beginn eine Fläche von $30 \mathrm{~cm}^{2}$ und wächst um $6 \mathrm{~cm}^{2}$ pro Minute.
a) Finde $A(t)$ in $\mathrm{cm}^{2}$ für $t$ Minuten. b) Finde $r(t)$ in cm; berechne $r^{\prime}(12)$ und interpretiere das Ergebnis.

Bestimmen Sie mit der zweiten Ableitung die Intervalle, in denen der Graph von $f(x)=\frac{3}{20} x^{5}-2 x^{3}+x$ links- oder rechtsgekrümmt ist.

Gegeben ist die Funktion $f(x)=\frac{1}{9}(3 x+2)^{3}$ . Bestimme: a) Steigung bei $P(2, f(2))$ , b) Punkte mit waagerechter Tangente, c) Punkte mit Tangente $m=1$ und deren Gleichungen.

Berechnen Sie die erste Ableitung der Funktionen: a) $f(x)=\frac{2}{4 x-1}$ b) $f(x)=\frac{5}{(2-x)^{3}}$ c) $f(x)=\frac{-3}{(2 x+3)^{2}}$

Untersuchen Sie die Funktion $f(x) = 6e^{-0.5x} - 6e^{-3x} - 6$ auf Extrem- und Wendepunkte mit $f^{\prime}(x)=0$ .

Calculate the percentage rate of change of $f(x)=5400-2 x^{2}$ at $x=45$ . Answer: $\square \%$ .

Bestimme die Ableitung von $f_{a}$ und berechne $f_{2}^{\prime}(1)$ für die gegebenen Funktionen.

Evaluate the integral $F(x) = \int_{1}^{x} \frac{t^{2}+7}{t+1} dt$ for: (a) $F(1)$ , (b) $F'(x)$ , (c) $F'(3)$ .

Untersuchen Sie die Funktion $f(x) = 6 \cdot (1 - e^{-0.5x} + e^{-3x})$ auf Extrem- und Wendepunkte.

Find the upper sum $U_{n}$ and lower sum $L_{n}$ for $\int_{1}^{2}(4-8x) dx$ .

Select all expressions that are derivatives of $y=f(x)$ : $\frac{d}{d x}(f(x))$ , $\frac{d y}{d x}$ , $f^{\prime}(x)$ , $y^{\prime}$ , $\frac{d f}{d x}$ .

Bestimmen Sie die Tangentengleichung an $G_{f}$ in $P$ und berechnen Sie den Steigungswinkel. $f(x)=2 \cdot \cos (x)-x; P\left(\frac{\pi}{2} \mid f\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)$

Find the derivative of $y=3 x^{4}+(3 x)^{4}-\frac{4}{\sqrt[3]{x}}+\cot (3 x)-\sec (\pi)$ and simplify.

Find $f^{\prime}(2)$ for $f(x)=8 x^{2}-x^{3}$ and the tangent line at $(2,24)$ : $y=20 x-16$ .

Berechne die Ableitung von $f(x)=\sqrt{x}+\frac{1}{x}$ .

Find the derivative of the function $f(x)=x(4x-12)^{3}$ . What is $f^{\prime}(x)$ ?

Find the derivative of $y=\ln (|\csc (6 x)|)$ .

Bestimmen Sie die Tangentengleichung an $f$ bei $P(a \mid f(a))$ für: a) $f(x)=x^{3}-2x, a=-1$ b) $f(x)=\sqrt{x}+\frac{1}{x}, a=1$ c) $f(x)=\sin(x), a=\pi$ .

Bestimme die Tangentengleichung an $f$ in $P(a \mid f(a))$ für die Funktionen und finde $m$ -Steigungs-Punkte.

Find the derivative of the function $y=5(2-x^{2})^{6}$ .

Find the derivative of $y=5(2-x^{2})^{6}$ using the general power rule.

Find the derivative of $y=\ln (|\csc (5 x)|)$ .

Berechne die Steigung von $f(x)=x^{2}$ bei $x_{0}=2$ .

Erklären Sie die Bedeutung der Rechnung: $A=\int_{a}^{b} f(x) d x-\int_{a}^{b} g(x) d x$ .

Bestimme die Ableitung von $f(x)=-3 x^{2}$ an der Stelle $x_0 = 1$ mithilfe des Limes.

Bestimmen Sie die Steigung der Funktion $f(x)=-3 x^{2}$ bei $x_{0}=1$ mit dem Differenzenquotienten.

Find the derivative of $f(x)=2 x^{2}+3 x$ at $x=3$ .

Gegeben ist die Kurvenschar $f_a(x) = ax + e^{-x}, a > 0$ . Analysiere die Kurve, zeichne $f_1$ und $f_2$ für $-2 \leq x \leq 3$ , finde die Tangentengleichung an der $y$ -Achse und die Ortslinie der Extrema.

Calculate the derivative of $f(x)=x^{3}-x^{2}+x-1$ at $x_{0}=2$ .

Berechnen Sie den Flächeninhalt $A$ zwischen $f(x)=x^2+2$ und $g(x)=x+1$ im Intervall $[-1, 2]$ . Machen Sie eine Skizze.

Find $f^{\prime}(x)$ for $f(x)=\frac{2}{x}$ using the limit $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ .

Find the derivative of $e^{x} \ln x + x^{2} \cos x$ using sum and product rules.

Find the derivative of $e^{x} \ln x + x^{2} \cos x$ using sum and product rules.

Find the derivative of $\frac{x^{3} e^{x}}{\sin x}$ using the product and quotient rules.

Finde Hoch- und Tiefpunkte der Funktion $f(x)=5 x^{4}-5 x^{2}-1$ und überprüfe sie mit GeoGebra.

Find the derivative and root of $f(x)=\frac{1}{5}(3x-x^{3})$ .

Calculate the first derivative of the function $g(x) = -4x - 14$ .

Finde die 1. Ableitung von $g(x)=-4x-14$ .

Find the limit as $x$ approaches 1 for $(x-1)^{4} \sin \left(\frac{1}{x-1}\right)$ .

Bestimme die Stammfunktion von $f(x)=(3x+4)^{3}$ .

Find the price that maximizes revenue given the demand function $p(x)=2000-\left(\frac{1}{2000}\right) x^{3}$ .

Bestimme die Stammfunktion von $f(x)=(2 x+4)^{3}$ .

Bestimme die Stammfunktion von $f(x)=\sqrt{3 x^{3}}-8$ .

Finde die Stellen, wo die Funktion $f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{5}{2} x^{2}+4 x$ die Steigung 0 hat, und berechne die Nullstellen von $k(x)=\frac{1}{4} x^{4}+2 x^{3}+\frac{9}{2} x^{2}$ .

Ein Fallschirmspringer springt aus 4000 m. Berechne nach 10 s die Höhe und Strecke, die Höhe $h(t)$ und die Zeit bis 1000 m.

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{3(\sqrt[3]{x}-1)}{x^{3}-1}$ .

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{3(\sqrt[3]{x}-1)}{x^{3}-1}$ .

Estimate the limit: $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{2 x-x^{4}}-\sqrt[3]{x}}{1-x^{\frac{1}{4}}}$