Calculus

Problem 17301

Find the derivative or integral of $f(x)=-0.5x \cdot e^{0.1x+2}$ , or evaluate $f(x)$ for a given $x$ .

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Problem 17302

Calculate the integral $\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^{2}} d x$ and set it equal to $\frac{\Delta x}{3}$ .

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Problem 17303

1. Felix Baumgartner sprang am 14. Oktober 2012 aus $39 \mathrm{~km}$ Höhe. a) Berechne die Geschwindigkeit und den Weg in den ersten 15 Sekunden. b) Nach welcher Zeit erreicht er $1357 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ ?

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Problem 17304

Calculate $3 \cdot \int_{1}^{2} x^{4} dx$ and $5 \cdot \int_{-2}^{0} x^{3} dx$ .

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Problem 17305

Find the derivative of the function $y=4x^{2}+5x-3$ .

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Problem 17306

Differentiate these functions: 1. $y=x^{5}$ 2. $y=e^{3 x}$ 3. $y=5 \sin 2 x$ 4. $y=\ln 5 x$ 5. $y=\sqrt{x}$ 6. $y=(3 x+10)^{5}$ 7. $y=\frac{\sin x}{x^{2}}$ 8. $y=e^{5 x}(3 x+1)$ .

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Problem 17307

Berechne die Integrale:
a) $\int_{3}^{3} x^{2} dx$
b) $\int_{-2}^{-2} x dx$
c) $\int_{1}^{3} x dx$
d) $\int_{3}^{1} x dx$ .
Erkläre die Ergebnisse und ihre graphische Bedeutung. Stelle allgemeine Regeln auf.

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Problem 17308

Simplify the rate $R$ given by $R=\frac{\left(t^{4}+100\right)^{1 / 2}-2 t^{3}(t+6)\left(t^{4}+100\right)^{-1 / 2}}{\left[\left(t^{4}+100\right)^{1 / 2}\right]^{2}}$ and find $R$ at $t=0$ and $t=4$ .

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Problem 17309

Gegeben ist $f(x)=\frac{1}{x^{2}-9}-2$ . Zeigen Sie Symmetrie, Nullstellen, Grenzwerte und identifizieren Sie den Graphen.

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Problem 17310

Bestimmen Sie die Ableitungen von $f, g, h$ und vergleichen Sie diese. $f(x)=-0,5 x^{4}+4 x^{2}-x+1, \; g(x)=-0,5 x^{4}+4 x^{2}-x+8, \; h(x)=-0,5 x^{4}+4 x^{2}-x-2$

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Problem 17311

Berechnen Sie $U^{\prime}(40)$ für die Funktion $U^{\prime}(x)=0,7x-0,024x^{2}$ .

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Problem 17312

Find the derivative of $y = x^{2}(2x^{2}-7)^{1 / 3}$ using the product and chain rules.

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Problem 17313

Une entreprise a un revenu $R(q)=9000 \ln(0,02q+1)$ et des coûts $C(q)=7000 e^{0,0012q}$ . Trouvez :
a) Le profit pour 1000 unités. b) Unités pour un revenu de 21597 \ $. c) Unités pour des coûts de 29545 \$. d) Variations des coûts et revenus pour$ q=800 $. e)$ C_{\text{marginal}}(400) $et$ R_{\text{marginal}}(400)$. f) Revenu quand l'augmentation est de 30 \$/unité. g) Variation des coûts pour 23240,82 \$. h) Unités pour maximiser le profit et le profit maximal.

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Problem 17314

Berechnen Sie die Grenzwerte: a) $\lim _{x \rightarrow 4} \frac{x^{2}-16}{x-4}$ , b) $\lim _{x \rightarrow-1} \frac{x^{3}-x}{x+1}$ , c) $\lim _{x \rightarrow 3} \frac{3-x}{2 x^{2}-6 x}$ , d) $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{4}-16}{x-2}$ . Mit h-Methode: a) $\lim _{x \rightarrow-3} \frac{2 x^{2}-18}{x+3}$ , b) $\lim _{x \rightarrow 5} \frac{x^{2}-7 x+10}{x-5}$ , c) $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-x}{x-1}$ . Testeinsetzungen: a) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{2}}$ , b) $\lim _{x \rightarrow-\infty} 2^{x}$ , c) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{\sqrt{x}}$ .

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Problem 17315

Gegeben ist die Funktion $f(x)=x^{3}-3x$ .
a) Beschreibe den Graphen der Stammfunktion $F$ und skizziere ihn. Nenne besondere Punkte und Steigungen der Wendetangenten.
b) Finde die Stammfunktion $F$ mit $F(1)=-2$ und zeichne ihren Graphen.

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Problem 17316

Evaluate the integral: $\int \frac{(3 \sin \theta+4)}{9 \cos ^{2} \theta} d \theta$

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Problem 17317

Evaluate the double integral: $\int_{-2.5}^{2.5} \int_{-25}^{25} \sqrt{1+[0.04 x]^{2}+[-0.8 y]^{2}} \, d x \, d y$ .

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Problem 17318

Find $d y / d x$ using implicit differentiation for $\sqrt{x+y}=3+x^{2} y^{2}$ .

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Problem 17319

Find the equation of $F(x)$ if its slope is $6 e^{3 x}+5 e^{-x}$ and it has a $y$ -intercept of 5.

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Problem 17320

Find $\frac{d y}{d x}$ using implicit differentiation for the equation $4 x^{7}+5 x^{6} y-7 x y^{7}=4$ .

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Problem 17321

Find the constant $K$ in the formula $\frac{d \omega}{d \theta}=K \cos (5 \theta) \sin (5 \theta) / \sin (5 \omega)$ from the equation $2 \cos (5 \omega)=6+9[\cos (5 \theta)]^{2}$ . Round $K$ to three decimal places.

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Problem 17322

Find $\frac{d y}{d x}$ for $y=7+\log_{10}(4/x)$ and evaluate at $x=1.9$ . Round to three decimal places.

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Problem 17323

Given that $f$ is twice differentiable with $f(5)=8$ , $f'(5)=2$ , and $f''(5)=8$ , find $h'(5)$ for $h(x)=\sqrt{1+f'(x)^{2}}$ . Round to three decimal places.

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Problem 17324

Berechne die Besucherzahlen der Internetseite: 4.1 um 8 Uhr, 4.3 bei 270 Besuchern, 4.4 max. Zuwachszeit, 4.5 max. Besucheranzahl. Funktion: $A(t)=-t^{3}+30 t^{2}-225 t+520$ für $6 \leq t \leq 20$ .

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Problem 17325

Prove that if $f(a) \leq g(a)$ and $f'(x) \leq g'(x)$ for $x \in (a, b)$ , then $f(x) \leq g(x)$ for $x \in [a, b]$ .

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Problem 17326

Find the indefinite integrals: (a) $\int \frac{8 x^{3}}{x^{4}+1} d x$ (substitution), (b) $\int \frac{x}{2} e^{2 x} d x$ (parts).

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Problem 17327

Calculate the integral $\int_{\pi / 4}^{\pi / 3} 4 \cos x \, dx$ .

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Problem 17328

Discuss the convergence of these series and if any converge absolutely: (i) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{-n}}{n^{2}}$ (ii) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n} n^{2}}{n !}$ (iii) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \ln n}{\sqrt{n}+1}$ (iv) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4^{2 n-1}}{3^{2 n+1}}$

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Problem 17329

Children tobogganing down a hill:
a) Find total mechanical energy at height 20m.
b) Find speed at height 10m.
c) Find speed at base (0m).
Mass = $90 \mathrm{~kg}$ .

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Problem 17330

Beweisen Sie die Integrationsregeln: (1) $\int_{a}^{a} f(x) d x=0$ , (2) $\int_{a}^{b} k \cdot f(x) d x=k \cdot \int_{a}^{b} f(x) d x$ , (3) $\int_{a}^{b} f(x) d x+\int_{b}^{c} f(x) d x=\int_{a}^{c} f(x) d x$ , (4) $\int_{a}^{b}(f(x)+g(x)) d x=\int_{a}^{b} f(x) d x+\int_{a}^{b} g(x) d x$ .

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Problem 17331

Find $h^{\prime}(4)$ for $h(x)=\sqrt{1+f^{\prime}(x)^{2}}$ given $f(4)=4$ , $f^{\prime}(4)=8$ , $f^{\prime \prime}(4)=4$ . Round to three decimal places.

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Problem 17332

Bestimmen Sie die Elastizität $\epsilon_{f}(x)=\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} \cdot x$ für $f(x)=x+10$ .

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Problem 17333

Find $\frac{d y}{d x}$ at $(4,2)$ for $22 \quad f(x)^{2}+y^{2}=6 y-7 f(x)$ given $f(4)=1$ and $f^{\prime}(4)=1.7$ . Round to three decimal places.

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Problem 17334

Find the derivative $\theta^{\prime}(n)$ of $\theta(n)=\tan^{-1}(0.42/n)$ and calculate $\theta^{\prime}(0.42)$ . Round to three decimal places.

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Problem 17335

Bestimme die Elastizitäten $\epsilon_{f}(x)=\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} \cdot x$ für: a) $f(x)=x+10$ , b) $f(x)=a \cdot x^{n}$ .

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Problem 17336

Find $K$ in the equation $\frac{d \omega}{d \theta} = K \frac{\cos(3 \theta) \sin(3 \theta)}{\sin(6 \omega)}$ from $6 \cos(6 \omega) = 3 + 9[\cos(3 \theta)]^2$ . Round $K$ to three decimal places.

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Problem 17337

Given the function $z=x^{2}(1+2y)$ , find the second partial derivatives $z_{xx}$ , $z_{yy}$ , and $z_{xy}$ .

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Problem 17338

Bestimmen Sie die Stammfunktionen von $f(x)=\frac{1}{x^{2}}+5 x^{3}+x^{4}$ .

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Problem 17339

Find the second partial derivatives $f_{xx}, f_{yy}$ , and $f_{xy}$ for the function $f=\ln(5x)+3x\ln(y)$ .

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Problem 17340

Berechne die Momentangeschwindigkeit eines Fahrzeugs mit $s=4 t^{2}$ für $t=1 \mathrm{~s}$ , $t=2 \mathrm{~s}$ und $t=3 \mathrm{~s}$ .

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Problem 17341

Find $\frac{d y}{d x}$ for $y=9+\log _{10}(9/x)$ and evaluate at $x=0.3$ . Round to three decimal places.

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Problem 17342

Evaluate the integral: $\int \sqrt{4^{x}} \tan ^{-1}\left(2^{x}\right) dx$ . Choose the correct answer from A, B, C, or D.

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Problem 17343

Find the integral $\int(\ln x)^{2}+3 \ln x \, dx$ . Choose the correct answer from the options provided.

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Problem 17344

Evaluate the integral $\int \sec ^{2} x \csc ^{2} x \, dx = ?$ Choose A, B, C, or D.

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Problem 17345

Evaluate the integral $\int_{1}^{e^{2 \pi}} \cos (\ln x) d x=$ with options A) $\frac{e^{2 \pi}+1}{2}$ B) $e^{2 \pi}-1$ C) $e^{2 \pi}+1$ D) $\frac{e^{2 \pi}-1}{2}$ .

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Problem 17346

Evaluate the integral $\int \cos x \cos 2 x \cos 5 x \, dx$ . Choose the correct answer from the options provided.

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Problem 17347

Berechne die lokale Änderungsrate von $f$ an $x_{0}$ für die Funktionen: $f(x)=0,5 x^{2}, x_{0}=2$ und $f(x)=2 x+1, x_{0}=3$ .

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Problem 17348

Find the derivative of $y=(2 \sqrt{x}+\sqrt[3]{x})(x^{2}-4 x)$ in expanded form.

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Problem 17349

Ein Tourist lässt seine Kamera von einer $400 \mathrm{~m}$ hohen Plattform fallen. Berechne:
a) Geschwindigkeit nach $3 \mathrm{~s}$ , b) zurückgelegter Weg nach $3 \mathrm{~s}$ , c) Einschlaggeschwindigkeit nach $400 \mathrm{~m}$ .
Hinweis: Erdbeschleunigung $g \approx 9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$ .

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Problem 17350

Bestimmen Sie die Stammfunktionen für a) $f(x)=\frac{1}{x^{2}}+5 x^{3}+x^{4}$ und b) $f(x)=\mathrm{e}^{2 x}$ .

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Problem 17351

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktionen: a) $f(x)=4 x^{3}-5 x^{2}+7$ , b) $f(x)=-15 x^{5}+3 x^{4}-20 x^{3}$ , c) $f(x)=\frac{1}{x}$ , d) $f(x)=\frac{1}{x^{2}}$ , e) $f_{t}(x)=t x^{2}-2 x+t$ , f) $f(x)=\sqrt{5} x^{4}-\pi x+4$ .

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Problem 17352

Evaluate the integral: $\int \sqrt{9-e^{2 x}} d x=$ Choose from options A, B, C, or D.

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Problem 17353

Find the antiderivatives of these functions:
c) $f(x)=\frac{(x-1)^{2}(x+1)^{2}}{(2 x-2)(x^{2}+2 x+1)}$
d) $f(x)=\cos (x)-\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{5}}-\mathrm{e}^{-x}$

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Problem 17354

Bestimme die Ableitungen $f^{\prime}$ für die Funktionen: a) $f(x)=\frac{1}{x}+3$ , b) $f(x)=\frac{3}{x}-2$ , c) $f(x)=2 x^{2}-3 x$ , d) $f(x)=-4 x^{2}+2 x$ .

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Problem 17355

Ist $F(x) = \sqrt{1+x^{2}}$ eine Stammfunktion von $f(x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{1+x^{2}}}$ ?

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Problem 17356

Berechne das durchschnittliche Gefälle der Funktion $f(x)=0,1 x^{3}-0,6 x^{2}+3,2$ für $0 \leq x \leq 4$ und den Neigungswinkel bei $x=2$ .

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Problem 17357

Ist $F(x) = \sqrt{1+x^{2}}$ eine Stammfunktion von $f(x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{1+x^{2}}}$ ?

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Problem 17358

Ein Stein wird senkrecht hochgeschleudert. Höhe: $h(t)=-5 t^{2}+10 t$ .
a) Bestätigen Sie $v(t)=h^{\prime}(t)=-10 t+10$ .
b) Wann ist die höchste Höhe und wie hoch?
c) Wann hat der Stein $5 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ ?
d) Wie lange fliegt der Stein und mit welcher Geschwindigkeit trifft er auf den Boden?

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Problem 17359

Berechnen Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit eines 100-m Läufers mit $f(x)=2,3 x^{2}$ in den ersten 2 Sekunden.

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Problem 17360

Bestimmen Sie den Wendepunkt und die Wendetangente der Funktion $f(x)=x^{3}+3x^{2}-4$ . Berechnen Sie die Länge von $\overline{\mathrm{PQ}}$ .

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Problem 17361

Erkläre die Formel $\frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}$ anhand eines Beispiels.

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Problem 17362

Finde die Stammfunktion von $-x^{2}$ .

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Problem 17363

La relation entre le prix de vente $p$ et la quantité vendue $q$ est donnée par $10 p^{2}+p q+\frac{q^{2}}{2}=C$ .
a) Trouvez $\frac{d p}{d q}$ .
b) Si $C=1000$ , $p=8$ \ $et$ q=20 $, calculez$ \frac{d p}{d q}$.
c) Calculez $\frac{d p}{d q}$ pour $p=10$ \ $avec$ C=1000$.

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Problem 17364

Berechnen Sie die Integrale: a) $\int_{0}^{4}-x \, dx$ b) $\int_{-1}^{1}-2x \, dx$ c) $\int_{-2}^{2}-x^{2} \, dx$ d) $\int_{-4}^{-2}-0,5x \, dx$

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Problem 17365

Bestimme die Stammfunktion von $\int_{-1}^{1} \frac{1}{2}(x+1)^{2} \, dx$ .

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Problem 17366

Curve $C$ has parametric equations $x=5+2 \tan t$ , $y=8 \sec^2 t$ , $-\frac{\pi}{3} \leq t \leq \frac{\pi}{4}$ .
(a) Find the gradient at $x=3$ .
(b) Determine $f(x)$ as $a(x+b)^2+c$ .
(c) Find the range of $f$ .

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Problem 17367

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow-6}(6 x+8)$ .

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Problem 17368

Find the limit as $x$ approaches -2 for the expression $(x^{2}+4)(3-x^{3})$ .

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Problem 17369

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow 9} \sqrt{x^{2}+4 x+27}$ .

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Problem 17370

Solve $\frac{d y}{d x}=-\left(\frac{y}{x}\right)^{\frac{1}{3}}$ with the point $(8,1)$ .

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Problem 17371

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{\frac{1}{x+5}-\frac{1}{7}}{x-2}$ .

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Problem 17372

Insect population $\mathrm{P}$ grows at $3.5\%$ daily. Starting with 600, find population size after 32 days.

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Problem 17373

Bestimme $f^{\prime}(x)$ für die Funktionen: a) $f(x)=e^{-4 x}-e^{4 x}$ , b) $f(x)=-\frac{1}{2} e^{-0,5 x-1+2}$ , c) $f(x)=\frac{1}{5} t(e^{2-x}+e)$ , d) $f(x)=4 \sin (5 x-3)$ .

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Problem 17374

Verify if tangent lines at $(0,4)$ and $(0,4/3)$ of the bicorn $\left(x^{2}+8 y-16\right)^{2}=y^{2}\left(16-x^{2}\right)$ are horizontal. Do this by expanding and not expanding the equation.

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Problem 17375

Zeigen Sie, dass die Wendepunkte der Funktion $s_{c}(x)=-x^{4}+c \cdot x^{2}$ auf dem Graphen von $w(x)=5 \cdot x^{4}$ liegen.

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Problem 17376

Berechnen Sie das Integral: $\int_{2}^{3}\left(1+\frac{1}{x^{2}}\right) d x$ mit dem Hauptsatz.

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Problem 17377

Eine Funktion $f$ hat bestimmte Eigenschaften. Erklären Sie deren Bedeutung für den Graphen und skizzieren Sie einen möglichen Verlauf.

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Problem 17378

Find the dimensions of a soup can with volume $500 \mathrm{~cm}^{3}$ that minimize the cost of materials.

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Problem 17379

Leiten Sie die folgenden Funktionen ab: a) $f(x)=\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ b) $f(x)=x^{2} \cdot \sqrt{x}$ c) $f(x)=(x-2)^{2}$

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Problem 17380

Leiten Sie die folgenden Funktionen ab: a) $f(x)=x \cdot \sqrt{x}$ b) $f(x)=x^{\frac{5}{2}}$ c) $f(x)=\sqrt{x}+x^{2} \cdot \sqrt{x}$

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Problem 17381

Finde den Fehler in den Ableitungen der Funktionen a) bis e) und korrigiere sie.

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Problem 17382

Evaluate these antiderivatives: A. $\int \frac{e^{x}-5 x^{2}}{3} d x=\square+C$ . B. $\int \frac{8-4 x e^{x}}{x} d x=\square+C$ .

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Problem 17383

Find the antiderivatives: 1. $\int (3+\sec ^{2}(x)) dx=\square+C$ . 2. $\int \frac{5x^{2}-2}{x^{2}} dx=\square+C$ .

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Problem 17384

1. Trouvez la dérivée $\frac{d p}{d q}$ de l'équation $10 p^{2}+p q+\frac{q^{2}}{2}=C$ . Puis calculez-la pour $C=1000$ , $p=8$ \ $,$ q=20 $et pour$ p=10\ $avec$ C=1000$.

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Problem 17385

Find the function $f(x)$ if $f^{\prime \prime}(x)=8 x+3 \sin (x)$ , $f(0)=2$ , and $f^{\prime}(0)=3$ .

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Problem 17386

Evaluate the limit as $x$ approaches infinity: $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\ln (9+x^{4})}{\ln (3+x^{9})}$

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Problem 17387

Evaluate the integral: $\int \frac{x^{2}}{\sqrt{9-x^{2}}} d x$

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Problem 17388

Determine the slant asymptote for the function $f(x)=\frac{x \sqrt{x+4}}{\sqrt{x+2}}$ .

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Problem 17389

A farmer needs to fence an area of $13.5$ million m² in a rectangle and divide it in half. Find the dimensions to minimize cost.

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Problem 17390

Find the intervals where the graph of $f(x)=x^{2}-2x+3$ is concave up or down.

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Problem 17391

Une entreprise a un revenu $R(q)=9000 \ln (0,02 q+1)$ et des coûts $C(q)=7000 e^{0,0012 q}$ .
a) Trouvez le profit pour 1000 unités. b) Quel $q$ pour un revenu de 21597 \ $? c) Quel$ q $pour des coûts de 29545 \$ ? d) Pour$ q=800 $, calculez la variation des coûts et du revenu. e) Évaluez$ C_{\text{marginal}}(400) $et$ R_{\text{marginal}}(400) $. f) Quel revenu quand l'augmentation est de 30 \$/unité ? g) Quel rythme pour des coûts de 23240,82 \$ ? h) Quel$ q$ maximise le profit et quel est ce profit maximal ?

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Problem 17392

Find equilibria for the system $N_{\iota \mid 1}=\left(\frac{2.5}{1+0.1 N_{\iota}}\right) N_{\iota}-h N_{\iota}$ . Then derive the yield $Y(h)$ and maximize it using the 1st derivative test. Round answers to two decimals. Check stability of equilibrium and zero population.

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Problem 17393

Calculate the integral $\int 2 x\left(x^{2}+2\right)^{7} d x$ and verify by differentiation. Result: $\square$

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Problem 17394

Calculate the indefinite integral of $(2 x-1)^{-8}$ with respect to $x$ .

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Problem 17395

Maximize profit $\pi=527-2 x^{2}-3 y^{2}-2 x y+20 x+20 y$ . Minimize cost $C=3 K+5 L$ with $250=10 K^{0.5} L^{0.5}$ .

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Problem 17396

Find the amount $A$ in an account after $t$ years if $\frac{dA}{dt}=0.07A$ and $A(0)=1,000$ . What is $A(t)=\square$ ?

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Problem 17397

Calculate the integral $\int_{1}^{6}(7x+x^{2}) dx$ using given values for related integrals. Result: $\square$

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Problem 17398

Une entreprise a pour revenu $R(q)=9000 \ln (0,02 q+1)$ et coût $C(q)=7000 e^{0,0012 q}$ .
a) Profit pour 1000 unités. b) Unités pour $R=21597 \$. c) Unités pour$ C=29545 \ $. d) Variation des coûts et revenus pour$ q=800 $. e) Évaluer$ \mathrm{C}_{\text {marginal }}(400) $et$ \mathrm{R}_{\text {marginal }}(400) $. f) Revenu quand l'augmentation est de 30 \$/unité. g) Variation des coûts pour$ C=23240,82 \$. h) Unités pour maximiser le profit et déterminer ce profit maximal.

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Problem 17399

Calculate $\int_{1}^{6}(7x+x^{2}) \, dx$ using given integrals: $\int_{1}^{6} x^{2} \, dx=\frac{215}{3}$ , $\int_{6}^{7} x^{2} \, dx=\frac{127}{3}$ , $\int_{1}^{6} x \, dx=\frac{35}{2}$ . Result: $\square$

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Problem 17400

Find limits for $f(x)=\frac{x^{2}-3 x-10}{x-5}$ : a) $\lim _{x \rightarrow 5} f(x)$ , b) $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)$ , c) $\lim _{x \rightarrow -2} f(x)$ .

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337

Calculus

Problem 17301

Find the derivative or integral of f(x)=−0.5x⋅e0.1x+2f(x)=-0.5x \cdot e^{0.1x+2}f(x)=−0.5x⋅e0.1x+2, or evaluate f(x)f(x)f(x) for a given xxx.

Problem 17302

Calculate the integral ∫0111+x2dx\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^{2}} d x∫01​1+x21​dx and set it equal to Δx3\frac{\Delta x}{3}3Δx​.

Problem 17303

1. Felix Baumgartner sprang am 14. Oktober 2012 aus 39 km39 \mathrm{~km}39 km Höhe. a) Berechne die Geschwindigkeit und den Weg in den ersten 15 Sekunden. b) Nach welcher Zeit erreicht er 1357kmh1357 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}1357hkm​?

Problem 17304

Calculate 3⋅∫12x4dx3 \cdot \int_{1}^{2} x^{4} dx3⋅∫12​x4dx and 5⋅∫−20x3dx5 \cdot \int_{-2}^{0} x^{3} dx5⋅∫−20​x3dx.

Problem 17305

Find the derivative of the function y=4x2+5x−3y=4x^{2}+5x-3y=4x2+5x−3.

Problem 17306

Differentiate these functions: 1. y=x5y=x^{5}y=x5 2. y=e3xy=e^{3 x}y=e3x 3. y=5sin⁡2xy=5 \sin 2 xy=5sin2x 4. y=ln⁡5xy=\ln 5 xy=ln5x 5. y=xy=\sqrt{x}y=x​ 6. y=(3x+10)5y=(3 x+10)^{5}y=(3x+10)5 7. y=sin⁡xx2y=\frac{\sin x}{x^{2}}y=x2sinx​ 8. y=e5x(3x+1)y=e^{5 x}(3 x+1)y=e5x(3x+1).

Problem 17307

Berechne die Integrale: a) ∫33x2dx\int_{3}^{3} x^{2} dx∫33​x2dx b) ∫−2−2xdx\int_{-2}^{-2} x dx∫−2−2​xdx c) ∫13xdx\int_{1}^{3} x dx∫13​xdx d) ∫31xdx\int_{3}^{1} x dx∫31​xdx. Erkläre die Ergebnisse und ihre graphische Bedeutung. Stelle allgemeine Regeln auf.

Problem 17308

Problem 17309

Gegeben ist f(x)=1x2−9−2f(x)=\frac{1}{x^{2}-9}-2f(x)=x2−91​−2. Zeigen Sie Symmetrie, Nullstellen, Grenzwerte und identifizieren Sie den Graphen.

Problem 17310

Problem 17311

Berechnen Sie U′(40)U^{\prime}(40)U′(40) für die Funktion U′(x)=0,7x−0,024x2U^{\prime}(x)=0,7x-0,024x^{2}U′(x)=0,7x−0,024x2.

Problem 17312

Find the derivative of y=x2(2x2−7)1/3y = x^{2}(2x^{2}-7)^{1 / 3}y=x2(2x2−7)1/3 using the product and chain rules.

Problem 17313

Problem 17314

Problem 17315

Gegeben ist die Funktion f(x)=x3−3xf(x)=x^{3}-3xf(x)=x3−3x. a) Beschreibe den Graphen der Stammfunktion FFF und skizziere ihn. Nenne besondere Punkte und Steigungen der Wendetangenten. b) Finde die Stammfunktion FFF mit F(1)=−2F(1)=-2F(1)=−2 und zeichne ihren Graphen.

Problem 17316

Evaluate the integral: ∫(3sin⁡θ+4)9cos⁡2θdθ\int \frac{(3 \sin \theta+4)}{9 \cos ^{2} \theta} d \theta∫9cos2θ(3sinθ+4)​dθ

Problem 17317

Evaluate the double integral: ∫−2.52.5∫−25251+[0.04x]2+[−0.8y]2 dx dy\int_{-2.5}^{2.5} \int_{-25}^{25} \sqrt{1+[0.04 x]^{2}+[-0.8 y]^{2}} \, d x \, d y∫−2.52.5​∫−2525​1+[0.04x]2+[−0.8y]2​dxdy.

Problem 17318

Find dy/dxd y / d xdy/dx using implicit differentiation for x+y=3+x2y2\sqrt{x+y}=3+x^{2} y^{2}x+y​=3+x2y2.

Problem 17319

Find the equation of F(x)F(x)F(x) if its slope is 6e3x+5e−x6 e^{3 x}+5 e^{-x}6e3x+5e−x and it has a yyy-intercept of 5.

Problem 17320

Find dydx\frac{d y}{d x}dxdy​ using implicit differentiation for the equation 4x7+5x6y−7xy7=44 x^{7}+5 x^{6} y-7 x y^{7}=44x7+5x6y−7xy7=4.

Problem 17321

Problem 17322

Find dydx\frac{d y}{d x}dxdy​ for y=7+log⁡10(4/x)y=7+\log_{10}(4/x)y=7+log10​(4/x) and evaluate at x=1.9x=1.9x=1.9. Round to three decimal places.

Problem 17323

Given that fff is twice differentiable with f(5)=8f(5)=8f(5)=8, f′(5)=2f'(5)=2f′(5)=2, and f′′(5)=8f''(5)=8f′′(5)=8, find h′(5)h'(5)h′(5) for h(x)=1+f′(x)2h(x)=\sqrt{1+f'(x)^{2}}h(x)=1+f′(x)2​. Round to three decimal places.

Problem 17324

Berechne die Besucherzahlen der Internetseite: 4.1 um 8 Uhr, 4.3 bei 270 Besuchern, 4.4 max. Zuwachszeit, 4.5 max. Besucheranzahl. Funktion: A(t)=−t3+30t2−225t+520A(t)=-t^{3}+30 t^{2}-225 t+520A(t)=−t3+30t2−225t+520 für 6≤t≤206 \leq t \leq 206≤t≤20.

Problem 17325

Prove that if f(a)≤g(a)f(a) \leq g(a)f(a)≤g(a) and f′(x)≤g′(x)f'(x) \leq g'(x)f′(x)≤g′(x) for x∈(a,b)x \in (a, b)x∈(a,b), then f(x)≤g(x)f(x) \leq g(x)f(x)≤g(x) for x∈[a,b]x \in [a, b]x∈[a,b].

Problem 17326

Find the indefinite integrals: (a) ∫8x3x4+1dx\int \frac{8 x^{3}}{x^{4}+1} d x∫x4+18x3​dx (substitution), (b) ∫x2e2xdx\int \frac{x}{2} e^{2 x} d x∫2x​e2xdx (parts).

Problem 17327

Calculate the integral ∫π/4π/34cos⁡x dx\int_{\pi / 4}^{\pi / 3} 4 \cos x \, dx∫π/4π/3​4cosxdx.

Problem 17328

Problem 17329

Children tobogganing down a hill: a) Find total mechanical energy at height 20m. b) Find speed at height 10m. c) Find speed at base (0m). Mass = 90 kg90 \mathrm{~kg}90 kg.

Problem 17330

Problem 17331

Find h′(4)h^{\prime}(4)h′(4) for h(x)=1+f′(x)2h(x)=\sqrt{1+f^{\prime}(x)^{2}}h(x)=1+f′(x)2​ given f(4)=4f(4)=4f(4)=4, f′(4)=8f^{\prime}(4)=8f′(4)=8, f′′(4)=4f^{\prime \prime}(4)=4f′′(4)=4. Round to three decimal places.

Problem 17332

Bestimmen Sie die Elastizität ϵf(x)=f′(x)f(x)⋅x\epsilon_{f}(x)=\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} \cdot xϵf​(x)=f(x)f′(x)​⋅x für f(x)=x+10f(x)=x+10f(x)=x+10.

Problem 17333

Find dydx\frac{d y}{d x}dxdy​ at (4,2)(4,2)(4,2) for 22f(x)2+y2=6y−7f(x)22 \quad f(x)^{2}+y^{2}=6 y-7 f(x)22f(x)2+y2=6y−7f(x) given f(4)=1f(4)=1f(4)=1 and f′(4)=1.7f^{\prime}(4)=1.7f′(4)=1.7. Round to three decimal places.

Problem 17334

Find the derivative θ′(n)\theta^{\prime}(n)θ′(n) of θ(n)=tan⁡−1(0.42/n)\theta(n)=\tan^{-1}(0.42/n)θ(n)=tan−1(0.42/n) and calculate θ′(0.42)\theta^{\prime}(0.42)θ′(0.42). Round to three decimal places.

Problem 17335

Bestimme die Elastizitäten ϵf(x)=f′(x)f(x)⋅x\epsilon_{f}(x)=\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} \cdot xϵf​(x)=f(x)f′(x)​⋅x für: a) f(x)=x+10f(x)=x+10f(x)=x+10, b) f(x)=a⋅xnf(x)=a \cdot x^{n}f(x)=a⋅xn.

Problem 17336

Problem 17337

Given the function z=x2(1+2y)z=x^{2}(1+2y)z=x2(1+2y), find the second partial derivatives zxxz_{xx}zxx​, zyyz_{yy}zyy​, and zxyz_{xy}zxy​.

Problem 17338

Bestimmen Sie die Stammfunktionen von f(x)=1x2+5x3+x4f(x)=\frac{1}{x^{2}}+5 x^{3}+x^{4}f(x)=x21​+5x3+x4.

Problem 17339

Find the second partial derivatives fxx,fyyf_{xx}, f_{yy}fxx​,fyy​, and fxyf_{xy}fxy​ for the function f=ln⁡(5x)+3xln⁡(y)f=\ln(5x)+3x\ln(y)f=ln(5x)+3xln(y).

Problem 17340

Berechne die Momentangeschwindigkeit eines Fahrzeugs mit s=4t2s=4 t^{2}s=4t2 für t=1 st=1 \mathrm{~s}t=1 s, t=2 st=2 \mathrm{~s}t=2 s und t=3 st=3 \mathrm{~s}t=3 s.

Problem 17341

Find dydx\frac{d y}{d x}dxdy​ for y=9+log⁡10(9/x)y=9+\log _{10}(9/x)y=9+log10​(9/x) and evaluate at x=0.3x=0.3x=0.3. Round to three decimal places.

Problem 17342

Evaluate the integral: ∫4xtan⁡−1(2x)dx\int \sqrt{4^{x}} \tan ^{-1}\left(2^{x}\right) dx∫4x​tan−1(2x)dx. Choose the correct answer from A, B, C, or D.

Problem 17343

Find the integral ∫(ln⁡x)2+3ln⁡x dx\int(\ln x)^{2}+3 \ln x \, dx∫(lnx)2+3lnxdx. Choose the correct answer from the options provided.

Problem 17344

Find the derivative or integral of $f(x)=-0.5x \cdot e^{0.1x+2}$ , or evaluate $f(x)$ for a given $x$ .

Calculate the integral $\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^{2}} d x$ and set it equal to $\frac{\Delta x}{3}$ .

1. Felix Baumgartner sprang am 14. Oktober 2012 aus $39 \mathrm{~km}$ Höhe. a) Berechne die Geschwindigkeit und den Weg in den ersten 15 Sekunden. b) Nach welcher Zeit erreicht er $1357 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ ?

Calculate $3 \cdot \int_{1}^{2} x^{4} dx$ and $5 \cdot \int_{-2}^{0} x^{3} dx$ .

Find the derivative of the function $y=4x^{2}+5x-3$ .

Differentiate these functions: 1. $y=x^{5}$ 2. $y=e^{3 x}$ 3. $y=5 \sin 2 x$ 4. $y=\ln 5 x$ 5. $y=\sqrt{x}$ 6. $y=(3 x+10)^{5}$ 7. $y=\frac{\sin x}{x^{2}}$ 8. $y=e^{5 x}(3 x+1)$ .

Berechne die Integrale:
a) $\int_{3}^{3} x^{2} dx$
b) $\int_{-2}^{-2} x dx$
c) $\int_{1}^{3} x dx$
d) $\int_{3}^{1} x dx$ .
Erkläre die Ergebnisse und ihre graphische Bedeutung. Stelle allgemeine Regeln auf.

Gegeben ist $f(x)=\frac{1}{x^{2}-9}-2$ . Zeigen Sie Symmetrie, Nullstellen, Grenzwerte und identifizieren Sie den Graphen.

Berechnen Sie $U^{\prime}(40)$ für die Funktion $U^{\prime}(x)=0,7x-0,024x^{2}$ .

Find the derivative of $y = x^{2}(2x^{2}-7)^{1 / 3}$ using the product and chain rules.

Gegeben ist die Funktion $f(x)=x^{3}-3x$ .
a) Beschreibe den Graphen der Stammfunktion $F$ und skizziere ihn. Nenne besondere Punkte und Steigungen der Wendetangenten.
b) Finde die Stammfunktion $F$ mit $F(1)=-2$ und zeichne ihren Graphen.

Evaluate the integral: $\int \frac{(3 \sin \theta+4)}{9 \cos ^{2} \theta} d \theta$

Evaluate the double integral: $\int_{-2.5}^{2.5} \int_{-25}^{25} \sqrt{1+[0.04 x]^{2}+[-0.8 y]^{2}} \, d x \, d y$ .

Find $d y / d x$ using implicit differentiation for $\sqrt{x+y}=3+x^{2} y^{2}$ .

Find the equation of $F(x)$ if its slope is $6 e^{3 x}+5 e^{-x}$ and it has a $y$ -intercept of 5.

Find $\frac{d y}{d x}$ using implicit differentiation for the equation $4 x^{7}+5 x^{6} y-7 x y^{7}=4$ .

Find $\frac{d y}{d x}$ for $y=7+\log_{10}(4/x)$ and evaluate at $x=1.9$ . Round to three decimal places.

Given that $f$ is twice differentiable with $f(5)=8$ , $f'(5)=2$ , and $f''(5)=8$ , find $h'(5)$ for $h(x)=\sqrt{1+f'(x)^{2}}$ . Round to three decimal places.

Berechne die Besucherzahlen der Internetseite: 4.1 um 8 Uhr, 4.3 bei 270 Besuchern, 4.4 max. Zuwachszeit, 4.5 max. Besucheranzahl. Funktion: $A(t)=-t^{3}+30 t^{2}-225 t+520$ für $6 \leq t \leq 20$ .

Prove that if $f(a) \leq g(a)$ and $f'(x) \leq g'(x)$ for $x \in (a, b)$ , then $f(x) \leq g(x)$ for $x \in [a, b]$ .

Find the indefinite integrals: (a) $\int \frac{8 x^{3}}{x^{4}+1} d x$ (substitution), (b) $\int \frac{x}{2} e^{2 x} d x$ (parts).

Calculate the integral $\int_{\pi / 4}^{\pi / 3} 4 \cos x \, dx$ .

Children tobogganing down a hill:
a) Find total mechanical energy at height 20m.
b) Find speed at height 10m.
c) Find speed at base (0m).
Mass = $90 \mathrm{~kg}$ .

Find $h^{\prime}(4)$ for $h(x)=\sqrt{1+f^{\prime}(x)^{2}}$ given $f(4)=4$ , $f^{\prime}(4)=8$ , $f^{\prime \prime}(4)=4$ . Round to three decimal places.

Bestimmen Sie die Elastizität $\epsilon_{f}(x)=\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} \cdot x$ für $f(x)=x+10$ .

Find $\frac{d y}{d x}$ at $(4,2)$ for $22 \quad f(x)^{2}+y^{2}=6 y-7 f(x)$ given $f(4)=1$ and $f^{\prime}(4)=1.7$ . Round to three decimal places.

Find the derivative $\theta^{\prime}(n)$ of $\theta(n)=\tan^{-1}(0.42/n)$ and calculate $\theta^{\prime}(0.42)$ . Round to three decimal places.

Bestimme die Elastizitäten $\epsilon_{f}(x)=\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} \cdot x$ für: a) $f(x)=x+10$ , b) $f(x)=a \cdot x^{n}$ .

Given the function $z=x^{2}(1+2y)$ , find the second partial derivatives $z_{xx}$ , $z_{yy}$ , and $z_{xy}$ .

Bestimmen Sie die Stammfunktionen von $f(x)=\frac{1}{x^{2}}+5 x^{3}+x^{4}$ .

Find the second partial derivatives $f_{xx}, f_{yy}$ , and $f_{xy}$ for the function $f=\ln(5x)+3x\ln(y)$ .

Berechne die Momentangeschwindigkeit eines Fahrzeugs mit $s=4 t^{2}$ für $t=1 \mathrm{~s}$ , $t=2 \mathrm{~s}$ und $t=3 \mathrm{~s}$ .

Find $\frac{d y}{d x}$ for $y=9+\log _{10}(9/x)$ and evaluate at $x=0.3$ . Round to three decimal places.

Evaluate the integral: $\int \sqrt{4^{x}} \tan ^{-1}\left(2^{x}\right) dx$ . Choose the correct answer from A, B, C, or D.

Find the integral $\int(\ln x)^{2}+3 \ln x \, dx$ . Choose the correct answer from the options provided.

Evaluate the integral $\int \sec ^{2} x \csc ^{2} x \, dx = ?$ Choose A, B, C, or D.

Evaluate the integral $\int_{1}^{e^{2 \pi}} \cos (\ln x) d x=$ with options A) $\frac{e^{2 \pi}+1}{2}$ B) $e^{2 \pi}-1$ C) $e^{2 \pi}+1$ D) $\frac{e^{2 \pi}-1}{2}$ .

Evaluate the integral $\int \cos x \cos 2 x \cos 5 x \, dx$ . Choose the correct answer from the options provided.

Berechne die lokale Änderungsrate von $f$ an $x_{0}$ für die Funktionen: $f(x)=0,5 x^{2}, x_{0}=2$ und $f(x)=2 x+1, x_{0}=3$ .

Find the derivative of $y=(2 \sqrt{x}+\sqrt[3]{x})(x^{2}-4 x)$ in expanded form.

Bestimmen Sie die Stammfunktionen für a) $f(x)=\frac{1}{x^{2}}+5 x^{3}+x^{4}$ und b) $f(x)=\mathrm{e}^{2 x}$ .

Evaluate the integral: $\int \sqrt{9-e^{2 x}} d x=$ Choose from options A, B, C, or D.

Bestimme die Ableitungen $f^{\prime}$ für die Funktionen: a) $f(x)=\frac{1}{x}+3$ , b) $f(x)=\frac{3}{x}-2$ , c) $f(x)=2 x^{2}-3 x$ , d) $f(x)=-4 x^{2}+2 x$ .

Ist $F(x) = \sqrt{1+x^{2}}$ eine Stammfunktion von $f(x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{1+x^{2}}}$ ?

Berechne das durchschnittliche Gefälle der Funktion $f(x)=0,1 x^{3}-0,6 x^{2}+3,2$ für $0 \leq x \leq 4$ und den Neigungswinkel bei $x=2$ .

Ist $F(x) = \sqrt{1+x^{2}}$ eine Stammfunktion von $f(x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{1+x^{2}}}$ ?

Berechnen Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit eines 100-m Läufers mit $f(x)=2,3 x^{2}$ in den ersten 2 Sekunden.

Bestimmen Sie den Wendepunkt und die Wendetangente der Funktion $f(x)=x^{3}+3x^{2}-4$ . Berechnen Sie die Länge von $\overline{\mathrm{PQ}}$ .

Erkläre die Formel $\frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}$ anhand eines Beispiels.

Finde die Stammfunktion von $-x^{2}$ .

Berechnen Sie die Integrale: a) $\int_{0}^{4}-x \, dx$ b) $\int_{-1}^{1}-2x \, dx$ c) $\int_{-2}^{2}-x^{2} \, dx$ d) $\int_{-4}^{-2}-0,5x \, dx$

Bestimme die Stammfunktion von $\int_{-1}^{1} \frac{1}{2}(x+1)^{2} \, dx$ .

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow-6}(6 x+8)$ .

Find the limit as $x$ approaches -2 for the expression $(x^{2}+4)(3-x^{3})$ .

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow 9} \sqrt{x^{2}+4 x+27}$ .

Solve $\frac{d y}{d x}=-\left(\frac{y}{x}\right)^{\frac{1}{3}}$ with the point $(8,1)$ .

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{\frac{1}{x+5}-\frac{1}{7}}{x-2}$ .

Insect population $\mathrm{P}$ grows at $3.5\%$ daily. Starting with 600, find population size after 32 days.

Verify if tangent lines at $(0,4)$ and $(0,4/3)$ of the bicorn $\left(x^{2}+8 y-16\right)^{2}=y^{2}\left(16-x^{2}\right)$ are horizontal. Do this by expanding and not expanding the equation.