Calculus

Problem 12001

Find the slope of the curve $6 y^{9}+5 x^{9}=7 y+4 x$ at the point $(1,1)$ .

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Problem 12002

Given $y=\tan(4x+8)$ , find $d y$ for $x=1$ with $d x=0.4$ and $d x=0.8$ .

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Problem 12003

Find $d y$ for $y=\tan(4x+8)$ at $x=1$ and $d x=0.4$ . Result: $d y=\sec^2 12$ .

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Problem 12004

Find the integral of $e^{x^{e}}$ with respect to $x$ : $\int e^{x^{e}} d x$ .

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Problem 12005

Find $\frac{d f^{-1}}{d x}$ at $x=1186$ where $f(x)=8 x^{3}-15 x^{2}-2, x \geq 1.5$ .

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Problem 12006

Find the limit as $x$ approaches -4 for the expression $\frac{3x+10}{x+4}-\frac{8}{x^2+4x}$ .

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Problem 12007

Find $f^{\prime}(1)$ and $f^{\prime}(-1)$ for the function $f(x)=2 x^{-4}+7 x^{-2}$ .

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Problem 12008

Find the differential formula for the volume change of a sphere when the radius changes from $r_{0}$ to $r_{0} + \mathbf{d r}$ . $d V =$

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Problem 12009

Find the change in volume of a sphere with radius $r$ using differentials.
(A) $d V=4 \pi r_0^{2} d r$ ;
(B) $d V=4 \pi (10)^{2} d r$ ;
(C) Estimate $d V$ when radius changes from $10 \mathrm{~cm}$ to $9.5 \mathrm{~cm}$ .

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Problem 12010

Analyze the sequence $\left\{\frac{4(-1)^{n} n^{2}}{n^{2}+2}\right\}_{n=0}^{\infty}$ for monotonicity, boundedness, and convergence.

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Problem 12011

Find the integral $\int \cot^{3}(x) \csc^{3}(x) \, dx$ and express your answer in terms of $x$ .

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Problem 12012

Calculate the integral $\int \frac{x}{\sqrt{x^{2}+2 a x}} d x$ using a trigonometric substitution, with $a \neq 0$ .

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Problem 12013

Find the grams of carbon-14 left after 6515 years using the model $A=16 e^{-0.000121 t}$ . Answer: $\square$ grams.

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Problem 12014

Find the limit of the series: $1 + \sum_{n=1}^{\infty} -3 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^{n}$ .

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Problem 12015

Find the derivative of $c=\frac{5 q^{2}}{\sqrt{q^{2}+3}}+5000$ with respect to $q$ .

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Problem 12016

Find $f^{\prime \prime \prime}(0)$ for $f(x)=2 \sinh (3 x)+5 \cosh (10 x)$ . Choices: -5000, 54, 5054, None.

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Problem 12017

A stone falls from rest. Its velocity $v$ (m/s) at time $t$ satisfies $5 \frac{dv}{dt} + v = 50$ . Find $v$ .

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Problem 12018

Evaluate the integral $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \sqrt{1+\cos(2x)} \, dx$ .

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Problem 12019

Differentiate $f(x)=(\cosh(5x))^x$ using logarithmic differentiation.

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Problem 12020

Find the derivative of the function $y=\frac{2 x-1}{x^{2}+1}$ .

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Problem 12021

A stone falls from rest. Its velocity $v$ at time $t$ satisfies $5 \frac{d v}{d t}+v=50$ . Find $v$ .

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Problem 12022

Find the limit of the sequence $\frac{2 n^{2}}{n^{2}+4}$ as $n$ approaches infinity.

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Problem 12023

Calculate the integral: $\int \frac{x^{3}}{3(1+x)} dx$ .

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Problem 12024

Check if the sequence $\left\{\frac{(-1)^{n} n^{3}}{n^{2}+2}\right\}_{n=0}^{\infty}$ converges or diverges.

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Problem 12025

Find the limit of the series: $5+\sum_{n=3}^{\infty} 1 \cdot\left(\frac{3}{4}\right)^{n}$ .

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Problem 12026

Find the inflection point coordinates for the graph $y=-2 \sqrt[3]{x+12}$ . Options: A. $(-12,0)$ B. $(-12,-2)$ C. $(-2,12)$ D. $(12,0)$

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Problem 12027

Find the relative rate of change of $y$ with respect to $x$ at $x=3$ for the function $\frac{x}{x+9}$ .

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Problem 12028

Find $c$ using the C.M.V.T for $f(x)=e^{x}$ and $g(x)=e^{-x}$ on $[a, b]$ where $a, b > 0$ .

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Problem 12029

Find the limit of $f(x)=\frac{x^{2}+10}{x^{3}+16}$ as $x \rightarrow \infty$ . A. $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=\square$ , B. limit does not exist.

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Problem 12030

Erstellen Sie eine Tabelle mit Funktionen $f(x)$ , die mindestens dritten Grades sind, aus $u(x)$ und $v(x)$ bestehen und ein Minuszeichen enthalten. Berechnen Sie $f'(x)$ und $F(x)$ . Beispiel: $f(x)=2x^3 - 0.5x^2 - 7x + 9$ .

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Problem 12031

Find the marginal cost $C'(z)$ for the total cost function $C(z)=2 z^{2}+25 z-100$ . Choose the correct option.

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Problem 12032

Find the limits: a. $\lim _{x \rightarrow 5}\left(\frac{x^{2}-3 x-10}{x-5}\right)$ , b. $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{5-x}{x^{4}-x^{3}}\right)$ , c. $\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(7 x^{2}+3 x^{3}+18000 x+6\right)$ .

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Problem 12033

Bestimmen Sie die Tangenten- und Normalengleichung bei $\mathrm{x}=2$ für $f(x)=-x^{2}+x$ und den Schnittwinkel mit der x-Achse.

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Problem 12034

Bestimmen Sie die Flächeninhaltsfunktion $A_{0}(x)$ für $f(x)=x$ mit der unteren Grenze 0.

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Problem 12035

Find the profit change for BrushPro when painting the 23rd office using the function $P(x)=-x^{3}+27x^{2}+132x+2970$ . Choose the correct option.

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Problem 12036

Bestimme die Flächeninhaltsfunktion $A_{0}(x)$ für $f(x)=x+2$ mit unterer Grenze 0.

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Problem 12037

Berechnen Sie die Flächeninhaltsfunktion $A_{0}(x)$ für die Funktion $f(x)=2$ mit unterer Grenze 0.

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Problem 12038

Gegeben ist die Funktion $f_{a}(x)=-a x^{3}+4 a x$ . Zeigen Sie die Symmetrie, Punkte und Wendetangente mit $m=8$ .

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Problem 12039

Berechne die Steigung von $f$ an $x_0$ mit der h-Methode für: a) $f(x)=x^{2}, x_{0}=1$ b) $f(x)=2x^{2}, x_{0}=-1$ c) $f(x)=x^{3}, x_{0}=2$ d) $f(x)=2x, x_{0}=1$ .

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Problem 12040

Gegeben ist die Funktion $f_{a}(x)=-a x^{3}+4 a x \quad(a \neq 0)$ .
a) Zeigen Sie die Punktsymmetrie zum Ursprung. b) Bestimmen Sie die Punkte $P(-2 \mid 0)$ und $Q(2 \mid 0)$ . c) Nachweis für einen Hoch- und einen Tiefpunkt. d) Finden Sie die Wendetangente und den Wert von $a$ für die Steigung $m=8$ .

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Problem 12041

Berechnen Sie die Steigung von $f$ an $x_{0}$ mit der $h$ -Methode für: a) $f(x)=x^{2}-x$ , $x_{0}=1$ ; b) $f(x)=2 x^{2}+1$ , $x_{0}=-2$ ; c) $f(x)=3 x+2$ , $x_{0}=2$ .

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Problem 12042

Untersuchen Sie die Stetigkeit der Funktion $f$ an der Stelle $x_{0}=2$ für $f(x)=\frac{4x^{2}-16}{2x-4}$ (für $x \neq 2$ ) und $f(2)=8$ .

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Problem 12043

Leiten Sie die Funktionen ab und nennen Sie die benötigten Regeln:
a) $f(x)=\sqrt{x} \cdot(x+1)^{2}$ b) $f(x)=(x+2)^{3} \cdot x$ c) $f(x)=\frac{1}{x} \cdot\left(x^{4}+3 x^{2}\right)$

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Problem 12044

Sketch a graph of a continuous function $f$ where $f^{\prime}(x)<0$ and $f^{\prime \prime}(x)>0$ . Choose from options A, B, C, D.

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Problem 12045

Finde die Extrempunkte der Funktion $f(x)=\frac{-x^{2}+2 x}{(1-x)^{2}}$ .

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Problem 12046

Liste die Ableitungsregeln für die Funktionen $f(x)=x^{2}+\sin (x)$ , $f(x)=(3 x+2)^{5}$ , $f(x)=\frac{1}{x} \cdot \sqrt{2 x+1}$ , $f(x)=3 \cos (x)$ , $f(x)=(x-1) \cdot(x+5)^{4}$ , $f(x)=\sin (x) \cdot \cos (2 x)$ , $f(x)=4 \cdot \sqrt{2 x+5}$ und $f(x)=x+(5 x-1)^{-3}$ .

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Problem 12047

Find the maximum of $A(\varphi) = (1 - \cos(\varphi)) \cdot \sin(\varphi)$ for $\varphi$ between $60^{\circ}$ and $180^{\circ}$ .

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Problem 12048

Untersuchen Sie die Stetigkeit der Funktion $f$ bei $x_0=2$ , gegeben durch $f(x)=\frac{4x^2-16}{2x-4}$ für $x \neq 2$ und $f(2)=8$ .

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Problem 12049

Gegeben ist die Funktion $f(x)=\frac{1}{4} x^{2}+\frac{1}{4}$ . Zeichne den Graphen für $-3 \leq x \leq 3$ , finde die mittlere Steigung in [1, 3] und $x_{0}$ für Steigung -1.

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Problem 12050

Find local maxima and inflection points for $f(x)=\frac{x^{2}-7}{x-4}$ . Use $f^{\prime}(x)$ and $f^{\prime \prime}(x)$ .

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Problem 12051

Finde die Funktion $f(x)$ für die Ableitungen: a) $f^{\prime}(x)=\sin (x)+(x+2) \cos (x)$ , b) $f^{\prime}(x)=2 \sin (0,5 x)+x \cdot \cos (0,5 x)$ . Leite $g(x)=c \cdot f(x)$ ab.

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Problem 12052

What is the instantaneous speed of an object moving at $20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ to the East?

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Problem 12053

Bestimmen Sie die Ableitung von $f(x)=\frac{1}{5}(x-3)^{3}-\frac{1}{2} x^{2}+2 x-2$ .

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Problem 12054

Find the derivative of $f(x)=\frac{1}{5}(x-3)^{3}-\frac{1}{2} x^{2}+2 x-2$ .

See Solution

Problem 12055

Find the Jacobian $\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(s, t, u)}$ for $x=5t-4s+3u, y=5s-4t-4u, z=2s-5t-4u$ .

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Problem 12056

Gegeben ist $A(t)=0.15t^3-2.4t^2+9.6$ . Beurteilen Sie die Aussagen zu $A$ , $A'$ , und $A''$ .

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Problem 12057

Bestimmen Sie die Stammfunktion von $f(x) = \frac{2}{5 x^{2}}$ .

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Problem 12058

Find the derivatives of these functions: a) $f(x)=3x^2-2\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ ; c) $f(x)=5\sin(x)+3\cos(x)$ .

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Problem 12059

Bestimmen Sie die Ableitung von $f(x)=\left(3 x^{2}-2 x+1\right) \cdot\left(3 x^{2}+2 x-1\right)$ .

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Problem 12060

Bestimmen Sie die Stammfunktion von $f(x)=(2x+2)^3$ .

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Problem 12061

Hva bør radiusen til en sylinder være for å minimere overflatearealet, gitt at volumet er 2 liter?

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Problem 12062

Gegeben sind die Funktionen $h(x)=x(x-1)(x-3)$ und $i(x)=x^{3}-8x^{2}+15x$ .
a) Finde die Nullstellen und Schnittpunkte mit den Achsen. Bestimme das Verhalten für $x \rightarrow+\infty$ und zeichne die Graphen. b) Untersuche die Symmetrie von $h$ und begründe. c) Analysiere das Monotonieverhalten von $i$ . d) Bestimme den Grad von $h$ und $i$ und erkläre, warum sie maximal zwei Extremstellen haben. e) Überprüfe, ob die mittlere Steigung von $h$ im Intervall $[-0,5, 0,5]$ mehr als $10\%$ von der Änderungsrate bei $x_{0}=0$ abweicht.

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Problem 12063

Differentiate the function $f(x)=-4 e^{-2 x}$ . Find $\frac{d}{d x}\left(-4 e^{-2 x}\right)=\square$ .

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Problem 12064

Find the derivative of $y=x^{2^{x}}$ . What is $\frac{dy}{dx}$ ?

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Problem 12065

Find the derivative of $y=\ln \sqrt{x+5}$ . What is $\frac{d y}{d x}=\square$ ?

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Problem 12066

Find the limit as $x$ approaches -6 for the constant function 6: $\lim _{x \rightarrow-6}(6)$ .

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Problem 12067

Find the derivative of $y=\frac{-16 t}{\sqrt[3]{t^{2}}}$ . What is $y^{\prime}$ ?

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Problem 12068

Use the model $P(x)=75 e^{0.16 x}$ to find: (a) $P(16)$ , (b) $P^{\prime}(x)$ and $P^{\prime}(16)$ . Interpret results.

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Problem 12069

Finde die Ableitung von $f(x)=\frac{x^{4}-3 x}{5}$ .

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Problem 12070

Find the derivative of $y=\ln(-13x^{2}+8x)$ . What is $y'=?$ (Type an exact answer.)

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Problem 12071

Find the derivative of the function $y=x^{7} e^{-4 x}$ . What is $y^{\prime}=\square$ ?

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Problem 12072

Find the slope of the tangent line to $4 \sin (x)+6 \cos (y)-2 \sin (x) \cos (y)+x=4 \pi$ at $(4 \pi, 3 \pi / 2)$ .

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Problem 12073

Find the derivative $f^{\prime}(t)$ of $f(t)=1035 e^{0.162 t}$ and the GNI change rates for 2000 and 2016.

See Solution

Problem 12074

Find the derivative of $f(x) = 8x^{12} - \sqrt[3]{17}x^{2} + 5x$ .

See Solution

Problem 12075

Find the derivative of $f(x) = \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{2}$ .

See Solution

Problem 12076

Find the derivative of $h(t)=\sqrt{2} \cdot t^{4}$ .

See Solution

Problem 12077

Differentiate the function $y=\sqrt{\ln(9x)}$ . Find $\frac{d y}{d x}=\square$ .

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Problem 12078

Find the population of breeding adults in 2024 using $P(x)=75 e^{0.16 x}$ , where $x=12$ for 2012. Calculate:
(a) $P(16)$ (b) $P'(x)$ and $P'(16)$ (c) Interpret results from (a) and (b). (a) $P(16)=\square$ (Round to the nearest integer.)

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Problem 12079

Find $\frac{d f^{-1}}{d x}$ at $x=0$ for $f(x)=x^{2}-18x+80$ where $x>9$ . What is the answer?

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Problem 12080

Given the GNI function $f(t)=1035 e^{0.162 t}$ , find $f^{\prime}(t)$ and the GNI change rates for 2000 and 2016.

See Solution

Problem 12081

Use the model $P(x)=75 e^{0.16 x}$ to find $P(16)$ , $P'(x)$ , and $P'(16)$ , then interpret the results.

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Problem 12082

Find the function $f(x)$ if its derivative is $f^{\prime}(x)=\frac{3}{8} x^{4}-\frac{2}{5} x^{7}$ .

See Solution

Problem 12083

Find the limit as $x$ approaches 9 for the expression $5x^3 - 6x^2 + 8x - 2$ . What is the result?

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Problem 12084

Given $C(t)=\frac{1}{2}(6 t+2)^{-\frac{1}{2}}$ , find the rate of change $C$ for $t=1, 5, 7$ (round to four decimals).

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Problem 12085

Calculate the limit: $\lim _{x \rightarrow 8} \sqrt{9 x+7}=\square$ (Provide the exact answer with radicals.)

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Problem 12086

Find the derivative of $y=\arctan \left( \frac{x^{3}-x}{1+x^{4}} \right) + \arctan x$ .

See Solution

Problem 12087

Use the model $P(x)=75 e^{0.16 x}$ to find: (a) $P(16)$ , (b) $P^{\prime}(x)$ and $P^{\prime}(16)$ , (c) Interpret results.

See Solution

Problem 12088

Conjecture the value of $\lim _{x \rightarrow -3} \frac{x^{2}-9}{x+3}$ . What is the limit? $\lim = \square$ (integer or decimal).

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Problem 12089

Find the rate of change of $C(t)=\frac{1}{2}(6 t+2)^{-\frac{1}{2}}$ for $t=1, 5, 7$ . Round to four decimal places.

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Problem 12090

Given $C(t)=\frac{1}{2}(6 t+2)^{-\frac{1}{2}}$ , find $C'$ for $t=1$ , $t=5$ , $t=7$ , and $t=7.5$ .

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Problem 12091

A researcher measures a mineral's level in the bloodstream over days. Given $C(t)=\frac{1}{2}(6 t+2)^{-\frac{1}{2}}$ , find $C'(1)$ .

See Solution

Problem 12092

Find the derivative of $y$ with respect to $x$ for $y=\frac{\ln x}{2+3 \ln x}$ .

See Solution

Problem 12093

Find $\frac{d y}{d x}$ for the curve $e^{x^{2}-y}=y^{2 x+4}$ using logarithmic differentiation.

See Solution

Problem 12094

Find the derivative $y^{\prime}$ for $y=\left(\frac{x+6}{x+8}\right)^{3}$ .

See Solution

Problem 12095

Find the first, second, and third derivatives of $f(x) = 3(\ln(x))^2$ .

See Solution

Problem 12096

A researcher measures the mineral $C(t)=\frac{1}{2}(6t+2)^{-\frac{1}{2}}$ in blood. Find the rate of change at $t=1$ and $t=5$ .

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Problem 12097

Lena nimmt um 8 Uhr ein Vitamin-D-Präparat. Bestimme c, max. Wirkung, wann der Spiegel sinkt und definiere Annas Funktion g.

See Solution

Problem 12098

Find the derivative of $f(x)=\frac{0.5 x}{2-x}$ .

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Problem 12099

Berechnen Sie die durchschnittliche Änderungsrate von $f(x)=1,5^{x}$ im Intervall $[0, 4]$ .

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Problem 12100

Lena nimmt um 8 Uhr ein Vitamin-D-Präparat. Bestimmen Sie $c$ , die maximale Wirkung, und wann der Spiegel sinkt. Anna nimmt um 10 Uhr ein Präparat mit 25 % höherem Spiegel. Bestimmen Sie die Funktion $g$ und wiederholen Sie die Berechnungen. Skizzieren Sie die Graphen von $f$ und $g$ .

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337

Calculus

Problem 12001

Find the slope of the curve 6y9+5x9=7y+4x6 y^{9}+5 x^{9}=7 y+4 x6y9+5x9=7y+4x at the point (1,1)(1,1)(1,1).

Problem 12002

Given y=tan⁡(4x+8)y=\tan(4x+8)y=tan(4x+8), find dyd ydy for x=1x=1x=1 with dx=0.4d x=0.4dx=0.4 and dx=0.8d x=0.8dx=0.8.

Problem 12003

Find dyd ydy for y=tan⁡(4x+8)y=\tan(4x+8)y=tan(4x+8) at x=1x=1x=1 and dx=0.4d x=0.4dx=0.4. Result: dy=sec⁡212d y=\sec^2 12dy=sec212.

Problem 12004

Find the integral of exee^{x^{e}}exe with respect to xxx: ∫exedx\int e^{x^{e}} d x∫exedx.

Problem 12005

Find df−1dx\frac{d f^{-1}}{d x}dxdf−1​ at x=1186x=1186x=1186 where f(x)=8x3−15x2−2,x≥1.5f(x)=8 x^{3}-15 x^{2}-2, x \geq 1.5f(x)=8x3−15x2−2,x≥1.5.

Problem 12006

Find the limit as xxx approaches -4 for the expression 3x+10x+4−8x2+4x\frac{3x+10}{x+4}-\frac{8}{x^2+4x}x+43x+10​−x2+4x8​.

Problem 12007

Find f′(1)f^{\prime}(1)f′(1) and f′(−1)f^{\prime}(-1)f′(−1) for the function f(x)=2x−4+7x−2f(x)=2 x^{-4}+7 x^{-2}f(x)=2x−4+7x−2.

Problem 12008

Find the differential formula for the volume change of a sphere when the radius changes from r0r_{0}r0​ to r0+drr_{0} + \mathbf{d r}r0​+dr. dV=d V =dV=

Problem 12009

Find the change in volume of a sphere with radius rrr using differentials. (A) dV=4πr02drd V=4 \pi r_0^{2} d rdV=4πr02​dr; (B) dV=4π(10)2drd V=4 \pi (10)^{2} d rdV=4π(10)2dr; (C) Estimate dVd VdV when radius changes from 10 cm10 \mathrm{~cm}10 cm to 9.5 cm9.5 \mathrm{~cm}9.5 cm.

Problem 12010

Analyze the sequence {4(−1)nn2n2+2}n=0∞\left\{\frac{4(-1)^{n} n^{2}}{n^{2}+2}\right\}_{n=0}^{\infty}{n2+24(−1)nn2​}n=0∞​ for monotonicity, boundedness, and convergence.

Problem 12011

Find the integral ∫cot⁡3(x)csc⁡3(x) dx\int \cot^{3}(x) \csc^{3}(x) \, dx∫cot3(x)csc3(x)dx and express your answer in terms of xxx.

Problem 12012

Calculate the integral ∫xx2+2axdx\int \frac{x}{\sqrt{x^{2}+2 a x}} d x∫x2+2ax​x​dx using a trigonometric substitution, with a≠0a \neq 0a=0.

Problem 12013

Find the grams of carbon-14 left after 6515 years using the model A=16e−0.000121tA=16 e^{-0.000121 t}A=16e−0.000121t. Answer: □\square□ grams.

Problem 12014

Find the limit of the series: 1+∑n=1∞−3⋅(−23)n1 + \sum_{n=1}^{\infty} -3 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^{n}1+∑n=1∞​−3⋅(−32​)n.

Problem 12015

Find the derivative of c=5q2q2+3+5000c=\frac{5 q^{2}}{\sqrt{q^{2}+3}}+5000c=q2+3​5q2​+5000 with respect to qqq.

Problem 12016

Find f′′′(0)f^{\prime \prime \prime}(0)f′′′(0) for f(x)=2sinh⁡(3x)+5cosh⁡(10x)f(x)=2 \sinh (3 x)+5 \cosh (10 x)f(x)=2sinh(3x)+5cosh(10x). Choices: -5000, 54, 5054, None.

Problem 12017

A stone falls from rest. Its velocity vvv (m/s) at time ttt satisfies 5dvdt+v=505 \frac{dv}{dt} + v = 505dtdv​+v=50. Find vvv.

Problem 12018

Evaluate the integral ∫0π61+cos⁡(2x) dx\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \sqrt{1+\cos(2x)} \, dx∫06π​​1+cos(2x)​dx.

Problem 12019

Differentiate f(x)=(cosh⁡(5x))xf(x)=(\cosh(5x))^xf(x)=(cosh(5x))x using logarithmic differentiation.

Problem 12020

Find the derivative of the function y=2x−1x2+1y=\frac{2 x-1}{x^{2}+1}y=x2+12x−1​.

Problem 12021

A stone falls from rest. Its velocity vvv at time ttt satisfies 5dvdt+v=505 \frac{d v}{d t}+v=505dtdv​+v=50. Find vvv.

Problem 12022

Find the limit of the sequence 2n2n2+4\frac{2 n^{2}}{n^{2}+4}n2+42n2​ as nnn approaches infinity.

Problem 12023

Calculate the integral: ∫x33(1+x)dx\int \frac{x^{3}}{3(1+x)} dx∫3(1+x)x3​dx.

Problem 12024

Check if the sequence {(−1)nn3n2+2}n=0∞\left\{\frac{(-1)^{n} n^{3}}{n^{2}+2}\right\}_{n=0}^{\infty}{n2+2(−1)nn3​}n=0∞​ converges or diverges.

Problem 12025

Find the limit of the series: 5+∑n=3∞1⋅(34)n5+\sum_{n=3}^{\infty} 1 \cdot\left(\frac{3}{4}\right)^{n}5+∑n=3∞​1⋅(43​)n.

Problem 12026

Find the inflection point coordinates for the graph y=−2x+123y=-2 \sqrt[3]{x+12}y=−23x+12​. Options: A. (−12,0)(-12,0)(−12,0) B. (−12,−2)(-12,-2)(−12,−2) C. (−2,12)(-2,12)(−2,12) D. (12,0)(12,0)(12,0)

Problem 12027

Find the relative rate of change of yyy with respect to xxx at x=3x=3x=3 for the function xx+9\frac{x}{x+9}x+9x​.

Problem 12028

Find ccc using the C.M.V.T for f(x)=exf(x)=e^{x}f(x)=ex and g(x)=e−xg(x)=e^{-x}g(x)=e−x on [a,b][a, b][a,b] where a,b>0a, b > 0a,b>0.

Problem 12029

Find the limit of f(x)=x2+10x3+16f(x)=\frac{x^{2}+10}{x^{3}+16}f(x)=x3+16x2+10​ as x→∞x \rightarrow \inftyx→∞. A. lim⁡x→∞f(x)=□\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=\squarelimx→∞​f(x)=□, B. limit does not exist.

Problem 12030

Problem 12031

Find the marginal cost C′(z)C'(z)C′(z) for the total cost function C(z)=2z2+25z−100C(z)=2 z^{2}+25 z-100C(z)=2z2+25z−100. Choose the correct option.

Problem 12032

Problem 12033

Bestimmen Sie die Tangenten- und Normalengleichung bei x=2\mathrm{x}=2x=2 für f(x)=−x2+xf(x)=-x^{2}+xf(x)=−x2+x und den Schnittwinkel mit der x-Achse.

Problem 12034

Bestimmen Sie die Flächeninhaltsfunktion A0(x)A_{0}(x)A0​(x) für f(x)=xf(x)=xf(x)=x mit der unteren Grenze 0.

Problem 12035

Find the profit change for BrushPro when painting the 23rd office using the function P(x)=−x3+27x2+132x+2970P(x)=-x^{3}+27x^{2}+132x+2970P(x)=−x3+27x2+132x+2970. Choose the correct option.

Problem 12036

Bestimme die Flächeninhaltsfunktion A0(x)A_{0}(x)A0​(x) für f(x)=x+2f(x)=x+2f(x)=x+2 mit unterer Grenze 0.

Problem 12037

Berechnen Sie die Flächeninhaltsfunktion A0(x)A_{0}(x)A0​(x) für die Funktion f(x)=2f(x)=2f(x)=2 mit unterer Grenze 0.

Problem 12038

Gegeben ist die Funktion fa(x)=−ax3+4axf_{a}(x)=-a x^{3}+4 a xfa​(x)=−ax3+4ax. Zeigen Sie die Symmetrie, Punkte und Wendetangente mit m=8m=8m=8.

Problem 12039

Berechne die Steigung von fff an x0x_0x0​ mit der h-Methode für: a) f(x)=x2,x0=1f(x)=x^{2}, x_{0}=1f(x)=x2,x0​=1 b) f(x)=2x2,x0=−1f(x)=2x^{2}, x_{0}=-1f(x)=2x2,x0​=−1 c) f(x)=x3,x0=2f(x)=x^{3}, x_{0}=2f(x)=x3,x0​=2 d) f(x)=2x,x0=1f(x)=2x, x_{0}=1f(x)=2x,x0​=1.

Problem 12040

Problem 12041

Berechnen Sie die Steigung von fff an x0x_{0}x0​ mit der hhh-Methode für: a) f(x)=x2−xf(x)=x^{2}-xf(x)=x2−x, x0=1x_{0}=1x0​=1; b) f(x)=2x2+1f(x)=2 x^{2}+1f(x)=2x2+1, x0=−2x_{0}=-2x0​=−2; c) f(x)=3x+2f(x)=3 x+2f(x)=3x+2, x0=2x_{0}=2x0​=2.

Find the slope of the curve $6 y^{9}+5 x^{9}=7 y+4 x$ at the point $(1,1)$ .

Given $y=\tan(4x+8)$ , find $d y$ for $x=1$ with $d x=0.4$ and $d x=0.8$ .

Find $d y$ for $y=\tan(4x+8)$ at $x=1$ and $d x=0.4$ . Result: $d y=\sec^2 12$ .

Find the integral of $e^{x^{e}}$ with respect to $x$ : $\int e^{x^{e}} d x$ .

Find $\frac{d f^{-1}}{d x}$ at $x=1186$ where $f(x)=8 x^{3}-15 x^{2}-2, x \geq 1.5$ .

Find the limit as $x$ approaches -4 for the expression $\frac{3x+10}{x+4}-\frac{8}{x^2+4x}$ .

Find $f^{\prime}(1)$ and $f^{\prime}(-1)$ for the function $f(x)=2 x^{-4}+7 x^{-2}$ .

Find the differential formula for the volume change of a sphere when the radius changes from $r_{0}$ to $r_{0} + \mathbf{d r}$ . $d V =$

Find the change in volume of a sphere with radius $r$ using differentials.
(A) $d V=4 \pi r_0^{2} d r$ ;
(B) $d V=4 \pi (10)^{2} d r$ ;
(C) Estimate $d V$ when radius changes from $10 \mathrm{~cm}$ to $9.5 \mathrm{~cm}$ .

Analyze the sequence $\left\{\frac{4(-1)^{n} n^{2}}{n^{2}+2}\right\}_{n=0}^{\infty}$ for monotonicity, boundedness, and convergence.

Find the integral $\int \cot^{3}(x) \csc^{3}(x) \, dx$ and express your answer in terms of $x$ .

Calculate the integral $\int \frac{x}{\sqrt{x^{2}+2 a x}} d x$ using a trigonometric substitution, with $a \neq 0$ .

Find the grams of carbon-14 left after 6515 years using the model $A=16 e^{-0.000121 t}$ . Answer: $\square$ grams.

Find the limit of the series: $1 + \sum_{n=1}^{\infty} -3 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^{n}$ .

Find the derivative of $c=\frac{5 q^{2}}{\sqrt{q^{2}+3}}+5000$ with respect to $q$ .

Find $f^{\prime \prime \prime}(0)$ for $f(x)=2 \sinh (3 x)+5 \cosh (10 x)$ . Choices: -5000, 54, 5054, None.

A stone falls from rest. Its velocity $v$ (m/s) at time $t$ satisfies $5 \frac{dv}{dt} + v = 50$ . Find $v$ .

Evaluate the integral $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \sqrt{1+\cos(2x)} \, dx$ .

Differentiate $f(x)=(\cosh(5x))^x$ using logarithmic differentiation.

Find the derivative of the function $y=\frac{2 x-1}{x^{2}+1}$ .

A stone falls from rest. Its velocity $v$ at time $t$ satisfies $5 \frac{d v}{d t}+v=50$ . Find $v$ .

Find the limit of the sequence $\frac{2 n^{2}}{n^{2}+4}$ as $n$ approaches infinity.

Calculate the integral: $\int \frac{x^{3}}{3(1+x)} dx$ .

Check if the sequence $\left\{\frac{(-1)^{n} n^{3}}{n^{2}+2}\right\}_{n=0}^{\infty}$ converges or diverges.

Find the limit of the series: $5+\sum_{n=3}^{\infty} 1 \cdot\left(\frac{3}{4}\right)^{n}$ .

Find the inflection point coordinates for the graph $y=-2 \sqrt[3]{x+12}$ . Options: A. $(-12,0)$ B. $(-12,-2)$ C. $(-2,12)$ D. $(12,0)$

Find the relative rate of change of $y$ with respect to $x$ at $x=3$ for the function $\frac{x}{x+9}$ .

Find $c$ using the C.M.V.T for $f(x)=e^{x}$ and $g(x)=e^{-x}$ on $[a, b]$ where $a, b > 0$ .

Find the limit of $f(x)=\frac{x^{2}+10}{x^{3}+16}$ as $x \rightarrow \infty$ . A. $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=\square$ , B. limit does not exist.

Find the marginal cost $C'(z)$ for the total cost function $C(z)=2 z^{2}+25 z-100$ . Choose the correct option.

Bestimmen Sie die Tangenten- und Normalengleichung bei $\mathrm{x}=2$ für $f(x)=-x^{2}+x$ und den Schnittwinkel mit der x-Achse.

Bestimmen Sie die Flächeninhaltsfunktion $A_{0}(x)$ für $f(x)=x$ mit der unteren Grenze 0.

Find the profit change for BrushPro when painting the 23rd office using the function $P(x)=-x^{3}+27x^{2}+132x+2970$ . Choose the correct option.

Bestimme die Flächeninhaltsfunktion $A_{0}(x)$ für $f(x)=x+2$ mit unterer Grenze 0.

Berechnen Sie die Flächeninhaltsfunktion $A_{0}(x)$ für die Funktion $f(x)=2$ mit unterer Grenze 0.

Gegeben ist die Funktion $f_{a}(x)=-a x^{3}+4 a x$ . Zeigen Sie die Symmetrie, Punkte und Wendetangente mit $m=8$ .

Berechne die Steigung von $f$ an $x_0$ mit der h-Methode für: a) $f(x)=x^{2}, x_{0}=1$ b) $f(x)=2x^{2}, x_{0}=-1$ c) $f(x)=x^{3}, x_{0}=2$ d) $f(x)=2x, x_{0}=1$ .

Berechnen Sie die Steigung von $f$ an $x_{0}$ mit der $h$ -Methode für: a) $f(x)=x^{2}-x$ , $x_{0}=1$ ; b) $f(x)=2 x^{2}+1$ , $x_{0}=-2$ ; c) $f(x)=3 x+2$ , $x_{0}=2$ .

Untersuchen Sie die Stetigkeit der Funktion $f$ an der Stelle $x_{0}=2$ für $f(x)=\frac{4x^{2}-16}{2x-4}$ (für $x \neq 2$ ) und $f(2)=8$ .

Leiten Sie die Funktionen ab und nennen Sie die benötigten Regeln:
a) $f(x)=\sqrt{x} \cdot(x+1)^{2}$ b) $f(x)=(x+2)^{3} \cdot x$ c) $f(x)=\frac{1}{x} \cdot\left(x^{4}+3 x^{2}\right)$

Sketch a graph of a continuous function $f$ where $f^{\prime}(x)<0$ and $f^{\prime \prime}(x)>0$ . Choose from options A, B, C, D.

Finde die Extrempunkte der Funktion $f(x)=\frac{-x^{2}+2 x}{(1-x)^{2}}$ .

Find the maximum of $A(\varphi) = (1 - \cos(\varphi)) \cdot \sin(\varphi)$ for $\varphi$ between $60^{\circ}$ and $180^{\circ}$ .

Untersuchen Sie die Stetigkeit der Funktion $f$ bei $x_0=2$ , gegeben durch $f(x)=\frac{4x^2-16}{2x-4}$ für $x \neq 2$ und $f(2)=8$ .

Gegeben ist die Funktion $f(x)=\frac{1}{4} x^{2}+\frac{1}{4}$ . Zeichne den Graphen für $-3 \leq x \leq 3$ , finde die mittlere Steigung in [1, 3] und $x_{0}$ für Steigung -1.

Find local maxima and inflection points for $f(x)=\frac{x^{2}-7}{x-4}$ . Use $f^{\prime}(x)$ and $f^{\prime \prime}(x)$ .

What is the instantaneous speed of an object moving at $20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ to the East?

Bestimmen Sie die Ableitung von $f(x)=\frac{1}{5}(x-3)^{3}-\frac{1}{2} x^{2}+2 x-2$ .

Find the derivative of $f(x)=\frac{1}{5}(x-3)^{3}-\frac{1}{2} x^{2}+2 x-2$ .

Find the Jacobian $\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(s, t, u)}$ for $x=5t-4s+3u, y=5s-4t-4u, z=2s-5t-4u$ .

Gegeben ist $A(t)=0.15t^3-2.4t^2+9.6$ . Beurteilen Sie die Aussagen zu $A$ , $A'$ , und $A''$ .

Bestimmen Sie die Stammfunktion von $f(x) = \frac{2}{5 x^{2}}$ .

Find the derivatives of these functions: a) $f(x)=3x^2-2\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ ; c) $f(x)=5\sin(x)+3\cos(x)$ .

Bestimmen Sie die Ableitung von $f(x)=\left(3 x^{2}-2 x+1\right) \cdot\left(3 x^{2}+2 x-1\right)$ .

Bestimmen Sie die Stammfunktion von $f(x)=(2x+2)^3$ .

Differentiate the function $f(x)=-4 e^{-2 x}$ . Find $\frac{d}{d x}\left(-4 e^{-2 x}\right)=\square$ .

Find the derivative of $y=x^{2^{x}}$ . What is $\frac{dy}{dx}$ ?

Find the derivative of $y=\ln \sqrt{x+5}$ . What is $\frac{d y}{d x}=\square$ ?

Find the limit as $x$ approaches -6 for the constant function 6: $\lim _{x \rightarrow-6}(6)$ .

Find the derivative of $y=\frac{-16 t}{\sqrt[3]{t^{2}}}$ . What is $y^{\prime}$ ?

Use the model $P(x)=75 e^{0.16 x}$ to find: (a) $P(16)$ , (b) $P^{\prime}(x)$ and $P^{\prime}(16)$ . Interpret results.

Finde die Ableitung von $f(x)=\frac{x^{4}-3 x}{5}$ .

Find the derivative of $y=\ln(-13x^{2}+8x)$ . What is $y'=?$ (Type an exact answer.)

Find the derivative of the function $y=x^{7} e^{-4 x}$ . What is $y^{\prime}=\square$ ?

Find the slope of the tangent line to $4 \sin (x)+6 \cos (y)-2 \sin (x) \cos (y)+x=4 \pi$ at $(4 \pi, 3 \pi / 2)$ .

Find the derivative $f^{\prime}(t)$ of $f(t)=1035 e^{0.162 t}$ and the GNI change rates for 2000 and 2016.

Find the derivative of $f(x) = 8x^{12} - \sqrt[3]{17}x^{2} + 5x$ .