Calculus

Problem 2901

Skizzieren Sie den Graphen einer Funktion $f$ mit den folgenden Eigenschaften: a) negative Steigung überall, b) Steigung 0 bei 0, positiv für $x>0$ , negativ für $x<0$ , c) nichtnegative Steigung, $f^{\prime}(1)=0$ .

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Problem 2902

Calculate the area under the curve of the function $k(t)=t \cdot(t-4)^{2}$ .

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Problem 2903

Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte: 7) $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{5 n^{12}}{8-7 n^{14}}$ B) $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3+20 n^{4}}{5 n^{2}-8 n^{4}}$ c) $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{9 x^{2}+2 x^{3}}{40 x^{3}-7 x}$ D) $\lim _{x \rightarrow 2,5} \frac{4 x^{2}-25}{2 x-5}$

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Problem 2904

A cone has a slant height of 15 cm and height $h$ cm. Show $V = \frac{1}{3} \pi(225h - h^3)$ . Find $h$ for stationary $V$ .

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Problem 2905

Berechnen Sie die Ableitungen $f^{\prime}(x)$ für die folgenden Funktionen:
G) $f(x)=10 x^{8}-9 x^{4}+12 x^{2}-5 x+e$ t) $f(x)=\frac{2}{x^{3}}$ 1) $f(x)=\sqrt[5]{x}$ 3) $f(x)=3 \ln x$ k) $f(x)=10 e^{x}+\sqrt{x}$ (1) $f(x)=3 \sqrt{2}+9 \pi$

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Problem 2906

Geben Sie die Grenzwerte an und leiten Sie die Funktionen ab. Bestimmen Sie Singularitäten und Steigungen.

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Problem 2907

Find the smallest integer $n$ such that the increasing function $\mathrm{f}$ with $\mathrm{f}^{\prime}(x)=x^{2}-6x+8$ is defined for $x>n$ .

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Problem 2908

Calculate $A=\int_{0}^{4} \sqrt{x} dx - \int_{0}^{4} \frac{x^{3}}{32} dx$ .

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Problem 2909

Find the volume when the area above the $x$ -axis and below $y = 1 - \sqrt{x}$ is rotated about the $x$ -axis.

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Problem 2910

Find constants $a$ , $b$ , and $k$ for the curve where $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=3 x^{2}+a x+b$ with stationary points $(-1,2)$ and $(3, k)$ .

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Problem 2911

Find the Maclaurin series for $f(x)=\sin \left(x^{2}\right)$ .

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Problem 2912

Find the Maclaurin series for $f(x)=\sin(x^2)$ and use it to derive the series for $f(x)=\cos(x^2)$ .

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Problem 2913

Find the curve where $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=2 x-5$ with a stationary point at (3,6). Identify the curve's equation, other stationary point's $x$ -coordinate, and the nature of each stationary point.

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Problem 2914

Analyze the function $f(x)=5\left|\frac{x}{x^{2}-16}\right|$ and find the limits as $x$ approaches 4 from both sides.

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Problem 2915

Find the stationary points of the curve $y=2x+1+\frac{1}{2x+1}$ for $x>-\frac{1}{2}$ and analyze their nature.

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Problem 2916

Find the limits of the piecewise function $f(x)$ at $x = -1$ . Does $\lim_{x \to -1^-} f(x)$ exist? Compute if yes.

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Problem 2917

Widerlege die Behauptungen mit Gegenbeispielen: a) Monotone Folgen sind konvergent. b) Beschränkte Folgen sind konvergent. c) Obere Schranken bedeuten Beschränktheit.

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Problem 2918

Zeigen Sie, dass die Folge $a_{n}=\frac{6 n-(-1)^{n}}{2 n}$ gegen 3 konvergiert.

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Problem 2919

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{x}{2|x|}$ . What is its value?

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Problem 2920

Bestimme den Grenzwert der Folge $a_{n}=\frac{4 n^{3}+2 n+1}{n(1-2 n^{2})}$ für $n \to \infty$ .

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Problem 2921

Berechne die Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$ -Achse für folgende Funktionen: a) $f(x)=0,5 x^{2}-3 x$ , b) $f(x)=(x-1)^{2}-1$ , c) $f(x)=x^{4}-4 x^{2}$ , d) $f(x)=x^{4}-8 x$ , e) $f(x)=\frac{1}{10} x(x-2)(x-3)$ .

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Problem 2922

Bestimmen Sie die Grenzwerte mit der h-Methode: a) $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{2-2 x^{2}}{1-x}$ b) $\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{2}-4 x+3}{x^{2}-9}$ c) $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{1-x}{x^{2}+x-2}$

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Problem 2923

Berechne die Fläche unter der Kurve $f(x)=x^{2}-x+1$ im Intervall $[0 ; 2]$ .

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Problem 2924

Bestimme die Fläche unter der Funktion $f(x)=\frac{1}{x^{2}}$ im Intervall $[1 ; 3]$ .

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Problem 2925

Berechnen Sie die Hoch- und Tiefpunkte der Funktionen: a) $f(x)=2x^{4}-x^{2}+5$ , b) $f(x)=x^{3}+x^{2}-x$ , c) $f(x)=x^{4}-$

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Problem 2926

Bestimme die Fläche zwischen der Kurve $f(x)=x^{3}-x$ und der $\mathrm{x}$ -Achse im 4. Quadranten.

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Problem 2927

Berechne die Fläche zwischen der Kurve $f(x)=x^{3}-x$ und der $x$ -Achse im Intervall $[0 ; 2]$ .

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Problem 2928

Gegeben ist der Graph von $F$ . Bestimmen Sie: a) $x_{0}$ mit $F\left(x_{0}\right)=0$ , b) $x_{0}$ mit $f\left(x_{0}\right)=0$ , c) $\int_{1}^{3} f(x) d x$ , d) Ist $f(1)<f(3)$ ?

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Problem 2929

Berechne den Flächeninhalt zwischen $f$ und der $\mathrm{x}$ -Achse in den Intervallen: a) $I=[-1 ; 2]$ , b) $I=[-3 ; 2]$ , c) $I=[-3 ; 2]$ , d) $I=[1 ; 3]$ .

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Problem 2930

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{\sqrt{x^{2}-1}+2 x}{8 x-4}$ .

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Problem 2931

Find the limit: $\lim _{u \rightarrow-3} \frac{u+3}{u^{3}+27}$ . Simplify and evaluate the limit.

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Problem 2932

Berechne die Ableitung von $f$ an $x_{0}$ mit der h-Methode: a. $f(x)=6x+1$ , $x_{0}=2$ ; b. $f(x)=x^{2}$ , $x_{0}=3$ .

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Problem 2933

Berechne die Schnittpunkte und Flächeninhalte zwischen den Graphen $f(x)=e^{\frac{x}{3}}-2$ und $g(x)=e^{\frac{8-x}{5}}-2$ .

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Problem 2934

Ein Blechstück von $40 \mathrm{~cm}$ x $80 \mathrm{~cm}$ hat Ecken mit Quadraten der Seitenlänge $x$ ausgeschnitten.
a) Bestimme Haupt- und Nebenbedingungen. b) Finde die Zielfunktion. c) Finde $x$ für maximales Volumen und berechne das maximale Volumen sowie die Maße der Schaufel. Untersuche Randwerte.

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Problem 2935

Find the slope $m$ of the tangent line at $a=7$ for $y=3x-8$ and the intersection point $(x, y)$ and $f(7)$ , $f^{\prime}(7)$ .

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Problem 2936

Wachstumsgeschwindigkeit $v(t)=0,5 e^{-0,025 t}$ eines Baumes: a) Berechne $\int_{10}^{50} v(t) dt$ und erkläre es. b) Höhe nach 20 Jahren?

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Problem 2937

Berechne die Ableitung von $f(x)=6x+1$ an der Stelle $x_{0}=2$ mit der h-Methode!

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Problem 2938

Leite die Funktion $u(D)=800 \cdot b^{-1}+2 b$ ab.

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Problem 2939

Auf einem Kreuzfahrtschiff erkranken Passagiere. a) Bestätigen Sie, dass $f(t)=2500-2498 \cdot e^{-0,008 t}$ gilt. b) An welchem Tag überschreitet die Zahl der Erkrankten 5\%? c) Zeigen Sie, dass $f^{\prime}(t)=2498 \cdot 0,008 \cdot e^{-0,008 t}$ und bestimmen Sie, wie lange Hilfspersonal benötigt wird.

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Problem 2940

Bestimme die 1. Ableitung von $u(b)=800 \cdot b^{-1}+2b$ .

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Problem 2941

Finde die 1. Ableitung von $u(D)=800 \cdot b^{-1}+2b$ .

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Problem 2942

Find the one-sided limits of the function defined as: $f(x)=\begin{cases} x+6 & \text{if } x \leq 3 \\ x^{2} & \text{if } 3<x \leq 5 \\ 3 & \text{if } x>5 \end{cases}$ a. $\lim_{x \rightarrow 3^{-}} f(x)$ , $\lim_{x \rightarrow 3^{+}} f(x)$ b. $\lim_{x \rightarrow 4^{-}} f(x)$ , $\lim_{x \rightarrow 4^{+}} f(x)$ c. $\lim_{x \rightarrow 5^{-}} f(x)$ , $\lim_{x \rightarrow 5^{+}} f(x)$

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Problem 2943

Identify the maxima, minima, and inflection points of the function $f(x)=x^{4}+x^{2}$ .

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Problem 2944

Kreuzfahrt: Ein Ehepaar erkrankt auf einem Schiff mit 2500 Passagieren. a) Bestätigen Sie $f(t)=2500-2498 \cdot e^{-0,008 t}$ für $t=0,1$ . b) Wann überschreiten Erkrankte 5\% der Passagiere? c) Warum kann $f^{\prime}$ für neue Erkrankte genutzt werden? Bestätigen Sie $f^{\prime}(t)=2498 \cdot 0,008 \cdot e^{-0,008 t}$ . Bis wann ist Hilfspersonal nötig?

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Problem 2945

Find horizontal asymptotes for $f(x)=\frac{x^{2}+5 x+5}{12 x^{2}-\sqrt{x}}$ . Enter as $y=a$ .

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Problem 2946

Leiten Sie die Funktion $f$ einmal ab: a) $f(x)=\sin(3x+3)$ , b) $f(t)=2\cos(\pi t-2)$ , c) $f(t)=-\cos(5t)$ , d) $f(x)=-4\sin(\pi-x)$ , e) $f(t)=\sin(t-6)$ , f) $f(x)=\cos(3x+\pi)$ .

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Problem 2947

Find the first derivative of $U(b)=800 \cdot b^{-1}+2b$ .

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Problem 2948

Berechne die Schnittpunkte und Flächeninhalte zwischen $f(x)=e^{\frac{x}{3}}-2$ und $g(x)=e^{\frac{8-x}{5}}-2$ .

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Problem 2949

Berechne die Fläche A, die vom Graphen $f(x)=2 \sin x - 2$ und den Koordinatenachsen im 4. Quadranten eingeschlossen wird.

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Problem 2950

Gegeben ist die Funktion $f(x)=2 \cdot e^{\frac{1}{8}x-\frac{9}{5}} +2 \cdot e^{-\frac{1}{8}x+\frac{9}{5}} -3$ .
1. Bestätigen Sie, dass $f^{\prime}(x)=\frac{1}{4} \cdot e^{\frac{1}{8} x-\frac{9}{5}}-\frac{1}{4} \cdot e^{-\frac{1}{8} x+\frac{9}{5}}$ die Ableitung ist.
2. Bestimmen Sie die durchschnittliche Steigung bis zum tiefsten Punkt.
3. Finden Sie den Punkt mit dem größten Gefälle.
4. Überprüfen Sie den maximalen Steigungswinkel.
5. Berechnen Sie den Winkel am Ende $(x=20)$ .

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Problem 2951

Bestimmen Sie die Ableitungen der Funktionen: a) $f(x)=2 x \cdot e^{x}$ , b) $f(x)=\sin (7 x)+5$ , c) $f(x)=7\left(x^{2}+3\right)^{5}$ , d) $f(x)=\sqrt{5 x}$ .

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Problem 2952

Find the first and second derivatives of $u(b)=800 \cdot b^{-1}+2b$ .

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Problem 2953

Find $\lim _{x \rightarrow 4^{+}} f(x)$ for the piecewise function $f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 7-x, & x<4 \\ 4, & x=4 \\ \frac{3 x}{4}, & x>4 \end{array}\right.$ . Is it A. $\square$ or B. DNE?

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Problem 2954

Gegeben ist die Funktion $f(x)=3 x^{2} \cdot e^{x-1}$ . Finde Nullstellen, Extrempunkte und zeige $F(x)=\left(3 x^{2}-6 x+6\right) e^{x-1}$ ist eine Stammfunktion. Überprüfe das Flächenverhältnis 3:1.

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Problem 2955

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow 5} \frac{x^{2}-7 x+10}{x-5}$ .

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Problem 2956

Find the derivative of the function $y=\frac{3 x^{2}-9 x+13}{3 x+4}$ . What is $\frac{d y}{d x}$ ?

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Problem 2957

Bestimmen Sie die Grenzwerte und Asymptoten für die Funktionen a) bis d) und skizzieren Sie die Graphen.

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Problem 2958

Find the limits for the piecewise function $f(x)$ at $x = -1$ and $x = 1$ :
a. $\lim _{x \rightarrow-1^{+}} f(x)$ b. $\lim _{x \rightarrow-1^{-}} f(x)$ c. $\lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)$ d. $\lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)$

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Problem 2959

Zwei Fahrzeuge fahren mit $80 \, \text{km/h}$ und $70 \, \text{km/h}$ . Überholung dauert $47 \, \text{Sekunden}$ . Ist das ein "Elefantenrennen"?

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Problem 2960

Find the horizontal asymptotes of $f(x)=\frac{5 x^{2}+5 x+3}{2 x^{2}-\sqrt{x}}$ .

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Problem 2961

Corinna misst Maries Wachstum mit $g(t)=-0,02 t^{3}+0,09 t^{2}+3,285 t+50,625$ für $t \in [0; 9]$ . a) Zeichne den Graphen. b) Finde Extrem- und Wendepunkte. c) Erkläre den Wendepunkt. d) Warum ist $g$ ungeeignet für das gesamte erste Jahr?

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Problem 2962

Berechne die Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$ -Achse für die Intervalle: a) $f(x)=3 x^{2}-6 x ;[-1 ; 3]$ , b) $f(x)=e^{x}-1 ;[-1 ; 1]$ , c) $f(x)=\cos (x) ;[0 ; \pi]$ .

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Problem 2963

Find the roots of $f(x)=e^{x}-x$ .

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Problem 2964

Calculate the derivative of $f(x)=\frac{5}{x^{2}}$ for $x \neq 0$ .

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Problem 2965

Find the one-sided limits for the piecewise function $f(x)$ defined as:
1. $\lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)$ and $\lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)$
2. $\lim _{x \rightarrow 2^{-}} f(x)$ and $\lim _{x \rightarrow 2^{+}} f(x)$
3. $\lim _{x \rightarrow 6^{-}} f(x)$ and $\lim _{x \rightarrow 6^{+}} f(x)$

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Problem 2966

Bestimmen Sie die Bestandsfunktion $F$ für die Änderungsrate $f$ und den Anfangswert $F(a)$ : a) $f(x)=2x+4 ; F(2)=10$ b) $f(x)=x^{2} ; F(3)=15$ c) $f(x)=0,4x^{3}-2x ; F(100)=0$ d) $f(x)=3\cos(x) ; F\left(\frac{\pi}{2}\right)=2$

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Problem 2967

Bestimmen Sie die Bestandsfunktion $F$ aus der Änderungsrate $f$ und dem Anfangswert $F(a)$ für die folgenden Fälle: a) $f(x)=2 x+4 ; F(2)=10$ b) $f(x)=x^{2} ; F(3)=15$ c) $f(x)=0,4 x^{3}-2 x ; F(100)=0$ d) $f(x)=3 \cos (x) ; F\left(\frac{\pi}{2}\right)=2$ e) $f(x)=\frac{1}{x^{2}} ; F(1)=0$

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Problem 2968

Calculate the limit of $f(x)=x^{3}-3 x^{2}+2 x-7$ as $x$ approaches $2$ .

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Problem 2969

Überprüfen Sie, ob die Ableitung von $g(a) = \sqrt{a} \times (1 - a)$ als $g'(a) = \frac{1-3a}{2\sqrt{a}}$ stimmt.

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Problem 2970

Which function is continuous at the specified point: (A) $f(x)=\frac{1}{x^{2}}$ at $c=1$ , (B) $f(x)=\frac{1}{x-2}$ at $c=2$ , (C) $f(x)=\frac{1}{x}$ at $c=0$ , (D) $f(x)=\sqrt{x}$ at $c=0$ ?

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Problem 2971

Die Schiffsbesatzung kann 15 neue Patienten täglich betreuen. Bestätigen Sie $f^{\prime}(t)=2498 \cdot 0,008 \cdot e^{-0,008 t}$ und bestimmen Sie, wie lange das Hilfspersonal benötigt wird.

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Problem 2972

A soccer player kicks a ball at $27 \mathrm{~m/s}$ and $20^{\circ}$ . Find: (a) time in air, (b) speed on impact, (c) range.

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Problem 2973

Evaluate the integral from 1 to 2 of the function $\frac{2}{t^{4}}$ .

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Problem 2974

Am fünften Tag nach Krankheitsausbruch beschreibt die Funktion $h(t)=10 \cdot(6-t) \cdot e^{-0,05 t^{2}+0,6 t-1,75}$ die Neuinfektionen. Analysieren Sie den Graphen und zeigen Sie, dass $H(t)=100 \cdot e^{-0,05 t^{2}+0,6 t-1,75}$ eine Stammfunktion ist. Berechnen Sie $\int_{6}^{10} h(t) d t$ und interpretieren Sie das Ergebnis.

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Problem 2975

Find the derivative of $h(z)=\sqrt{z}(z^{2}-1)$ . Check if $h^{\prime}(z)=\frac{5 z^{2}-1}{2 \sqrt{z}}$ is correct.

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Problem 2976

Erkläre, wie die Ableitung der Funktion $h(z)=\sqrt{z} \cdot\left(z^{2}-1\right)$ zu $h^{\prime}(z)=\frac{5 z^{2}-1}{2 \sqrt{z}}$ kommt.

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Problem 2977

Calculate the integral from 1 to 4 of $\frac{2}{t^{4}}$ with respect to $t$ .

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Problem 2978

Ein Freibad plant eine Rutsche mit der Funktion $f(x)=2 \cdot e^{\frac{1}{8} x-\frac{2}{3}}+2 \cdot e^{-\frac{1}{8} x+\frac{2}{\xi}}-3$ für $x \in[0 ; 20]$ .
a) Zeigen Sie, dass die Höhe am Startpunkt 9,4 m ist.
b) - Bestätigen Sie die Ableitung $f^{\prime}(x)=\frac{1}{4} \cdot e^{\frac{1}{8} x-\frac{9}{3}}-\frac{1}{4} \cdot e^{-\frac{1}{8} x+\frac{9}{3}}$ . - Bestimmen Sie die durchschnittliche Steigung bis zum tiefsten Punkt. - Finden Sie das größte Gefälle und prüfen Sie den Steigungswinkel. - Berechnen Sie den Winkel am Ende $(x=20)$ .
c) Berechnen Sie die verfügbare Werbefläche über die Rutschenlänge von 20 m.

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Problem 2979

Entwerfen Sie eine zweite Rutsche, die für $x<13$ wie $f(x) = 2e^{\frac{1}{8}x-\frac{9}{5}} + 2e^{-\frac{1}{8}x+\frac{9}{5}} -3$ aussieht und für $x \geq 13$ als Tangente an $f$ endet. Bestimmen Sie die Tangentengleichung.

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Problem 2980

Gegeben ist die Funktion $f(x)=2 \cdot e^{\frac{1}{8} x-\frac{9}{3}}+2 \cdot e^{-\frac{1}{8} x+\frac{9}{3}}-3$ für $x \in[0 ; 20]$ .
a) Bestätigen Sie, dass die Höhe am Startpunkt 9,4 m ist.
b) Zeigen Sie die Ableitung $f^{\prime}(x)$ und bestimmen Sie die durchschnittliche Steigung bis zum tiefsten Punkt.
c) Berechnen Sie die verfügbare Werbefläche über 20 m Rutschenlänge.

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Problem 2981

Erklären Sie Schritt für Schritt, wie man die Funktion $f(x) = (2x + 1) \cdot \frac{1}{x}$ ableitet, um $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$ zu erhalten.

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Problem 2982

Berechne die absolute, relative Änderung und die mittlere Änderungsrate von $f(x)=x^{2}+1$ in den Intervallen $[1; 2]$ und $[1; 1,1]$ .

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Problem 2983

Find the derivative of $f(x)=\frac{5}{x^{2}}$ for $x \neq 0$ and calculate $f'(x)$ .

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Problem 2984

Find the average rate of change of $y=5 x^{2}+8 x$ from $x=2$ to $x=5$ . What is the result?

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Problem 2985

Erkläre die Schritte zur Berechnung der Ableitung der Funktion $f(x)=\frac{1}{x}(1-x^{3})$ mit der Produktregel.

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Problem 2986

Find the difference quotient for $m(x) = x^{4}$ using $\frac{m(x+h) - m(x)}{h}$ .

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Problem 2987

Berechne die absolute Änderung, relative Änderung und mittlere Änderungsrate von $f(t)=0,1 \cdot t^{3}$ in den Intervallen $[2 ; 5]$ und $[5 ; 6]$ .

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Problem 2988

Find the x-values where the function $f(x) = x - \frac{1}{x}$ has a slope of $m = 3$ .

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Problem 2989

Verify if $f'(x) = -\frac{1+2x^{3}}{x^2}$ is correct for $f(x)=\frac{1}{x}(1-x^{3})$ using the product rule.

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Problem 2990

Finde die Tangentengleichung an den Graphen von $f$ im Punkt $A$ . a) $f(x)=1,5^{x}$ ; A(1 | 1,5) b) $f(x)=\left(\frac{1}{4}\right)^{x}$ ; A(-1 | 4) c) $f(x)=\left(\frac{4}{3}\right)^{x}$ ; A(2 | f(2)) d) $f(x)=e^{4 x}+x$ ; A(0 | f(0)) e) $f(x)=e^{-2 x}+0,25^{x}$ ; A(-1 | f(-1)) f) $f(x)=x^{2}-15^{x}$ ; A(2 | f(2))

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Problem 2991

Bestimmen Sie die Tangentengleichung an den Graphen von $f$ im Punkt $A$ für die folgenden Funktionen: a) $f(x)=1,5^{x}$ , $A(1, 1,5)$ b) $f(x)=\left(\frac{1}{4}\right)^{x}$ , $A(-1, 4)$ c) $f(x)=\left(\frac{4}{3}\right)^{x}$ , $A(2, f(2))$ d) $f(x)=e^{4x}+x$ , $A(0, f(0))$ e) $f(x)=e^{-2x}+0,25x$ , $A(-1, f(-1))$ f) $f(x)=x^{2}-15^{x}$ , $A(2, f(2))$

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Problem 2992

Find the derivative of $f(x)=\sqrt{x^{3}}$ for $x>0$ .

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Problem 2993

Find the derivative of the function: $\frac{3}{x^{6}} - \frac{1}{x^{4}} + 5$ .

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Problem 2994

Is the function $f(x)$ continuous/differentiable at $x=2$ where $f(x) = -x^{2}+3$ for $x \leq 2$ and $(x-4)^{2}-5$ for $x>2$ ?

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Problem 2995

Find the derivative of $f(x)=3 x^{-2}$ for $x \neq 0$ .

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Problem 2996

Bestimmen Sie die Ableitung von $f(x)=2 \cdot \sqrt[4]{x}$ für $x>0$ .

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Problem 2997

Find the derivative represented by the limit: $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-4}{x-2}$ .

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Problem 2998

Calculate the Riemann sum $R_{n}$ for $f(x)=\frac{x^{2}}{4}+1$ on [0,2] using right endpoints. Express as a function of $n$ .

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Problem 2999

Find the derivative of $f(x)=\frac{2}{x^{2}}+\sqrt{x}$ for $x>0$ .

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Problem 3000

Find the derivative of $\sec(x)$ at $x=\frac{11\pi}{6}$ .

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Calculus

Problem 2901

Skizzieren Sie den Graphen einer Funktion fff mit den folgenden Eigenschaften: a) negative Steigung überall, b) Steigung 0 bei 0, positiv für x>0x>0x>0, negativ für x<0x<0x<0, c) nichtnegative Steigung, f′(1)=0f^{\prime}(1)=0f′(1)=0.

Problem 2902

Calculate the area under the curve of the function k(t)=t⋅(t−4)2k(t)=t \cdot(t-4)^{2}k(t)=t⋅(t−4)2.

Problem 2903

Problem 2904

A cone has a slant height of 15 cm and height hhh cm. Show V=13π(225h−h3)V = \frac{1}{3} \pi(225h - h^3)V=31​π(225h−h3). Find hhh for stationary VVV.

Problem 2905

Problem 2906

Geben Sie die Grenzwerte an und leiten Sie die Funktionen ab. Bestimmen Sie Singularitäten und Steigungen.

Problem 2907

Find the smallest integer nnn such that the increasing function f\mathrm{f}f with f′(x)=x2−6x+8\mathrm{f}^{\prime}(x)=x^{2}-6x+8f′(x)=x2−6x+8 is defined for x>nx>nx>n.

Problem 2908

Calculate A=∫04xdx−∫04x332dxA=\int_{0}^{4} \sqrt{x} dx - \int_{0}^{4} \frac{x^{3}}{32} dxA=∫04​x​dx−∫04​32x3​dx.

Problem 2909

Find the volume when the area above the xxx-axis and below y=1−xy = 1 - \sqrt{x}y=1−x​ is rotated about the xxx-axis.

Problem 2910

Find constants aaa, bbb, and kkk for the curve where dy dx=3x2+ax+b\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=3 x^{2}+a x+b dxdy​=3x2+ax+b with stationary points (−1,2)(-1,2)(−1,2) and (3,k)(3, k)(3,k).

Problem 2911

Find the Maclaurin series for f(x)=sin⁡(x2)f(x)=\sin \left(x^{2}\right)f(x)=sin(x2).

Problem 2912

Find the Maclaurin series for f(x)=sin⁡(x2)f(x)=\sin(x^2)f(x)=sin(x2) and use it to derive the series for f(x)=cos⁡(x2)f(x)=\cos(x^2)f(x)=cos(x2).

Problem 2913

Find the curve where d2ydx2=2x−5\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=2 x-5dx2d2y​=2x−5 with a stationary point at (3,6). Identify the curve's equation, other stationary point's xxx-coordinate, and the nature of each stationary point.

Problem 2914

Analyze the function f(x)=5∣xx2−16∣f(x)=5\left|\frac{x}{x^{2}-16}\right|f(x)=5∣∣​x2−16x​∣∣​ and find the limits as xxx approaches 4 from both sides.

Problem 2915

Find the stationary points of the curve y=2x+1+12x+1y=2x+1+\frac{1}{2x+1}y=2x+1+2x+11​ for x>−12x>-\frac{1}{2}x>−21​ and analyze their nature.

Problem 2916

Find the limits of the piecewise function f(x)f(x)f(x) at x=−1x = -1x=−1. Does lim⁡x→−1−f(x)\lim_{x \to -1^-} f(x)limx→−1−​f(x) exist? Compute if yes.

Problem 2917

Widerlege die Behauptungen mit Gegenbeispielen: a) Monotone Folgen sind konvergent. b) Beschränkte Folgen sind konvergent. c) Obere Schranken bedeuten Beschränktheit.

Problem 2918

Zeigen Sie, dass die Folge an=6n−(−1)n2na_{n}=\frac{6 n-(-1)^{n}}{2 n}an​=2n6n−(−1)n​ gegen 3 konvergiert.

Problem 2919

Find the limit: lim⁡x→0−x2∣x∣\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{x}{2|x|}limx→0−​2∣x∣x​. What is its value?

Problem 2920

Bestimme den Grenzwert der Folge an=4n3+2n+1n(1−2n2)a_{n}=\frac{4 n^{3}+2 n+1}{n(1-2 n^{2})}an​=n(1−2n2)4n3+2n+1​ für n→∞n \to \inftyn→∞.

Problem 2921

Problem 2922

Problem 2923

Berechne die Fläche unter der Kurve f(x)=x2−x+1f(x)=x^{2}-x+1f(x)=x2−x+1 im Intervall [0;2][0 ; 2][0;2].

Problem 2924

Bestimme die Fläche unter der Funktion f(x)=1x2f(x)=\frac{1}{x^{2}}f(x)=x21​ im Intervall [1;3][1 ; 3][1;3].

Problem 2925

Berechnen Sie die Hoch- und Tiefpunkte der Funktionen: a) f(x)=2x4−x2+5f(x)=2x^{4}-x^{2}+5f(x)=2x4−x2+5, b) f(x)=x3+x2−xf(x)=x^{3}+x^{2}-xf(x)=x3+x2−x, c) f(x)=x4−f(x)=x^{4}-f(x)=x4−

Problem 2926

Bestimme die Fläche zwischen der Kurve f(x)=x3−xf(x)=x^{3}-xf(x)=x3−x und der x\mathrm{x}x-Achse im 4. Quadranten.

Problem 2927

Berechne die Fläche zwischen der Kurve f(x)=x3−xf(x)=x^{3}-xf(x)=x3−x und der xxx-Achse im Intervall [0;2][0 ; 2][0;2].

Problem 2928

Gegeben ist der Graph von FFF. Bestimmen Sie: a) x0x_{0}x0​ mit F(x0)=0F\left(x_{0}\right)=0F(x0​)=0, b) x0x_{0}x0​ mit f(x0)=0f\left(x_{0}\right)=0f(x0​)=0, c) ∫13f(x)dx\int_{1}^{3} f(x) d x∫13​f(x)dx, d) Ist f(1)<f(3)f(1)<f(3)f(1)<f(3)?

Problem 2929

Berechne den Flächeninhalt zwischen fff und der x\mathrm{x}x-Achse in den Intervallen: a) I=[−1;2]I=[-1 ; 2]I=[−1;2], b) I=[−3;2]I=[-3 ; 2]I=[−3;2], c) I=[−3;2]I=[-3 ; 2]I=[−3;2], d) I=[1;3]I=[1 ; 3]I=[1;3].

Problem 2930

Find the limit: lim⁡x→−∞x2−1+2x8x−4\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{\sqrt{x^{2}-1}+2 x}{8 x-4}limx→−∞​8x−4x2−1​+2x​.

Problem 2931

Find the limit: lim⁡u→−3u+3u3+27\lim _{u \rightarrow-3} \frac{u+3}{u^{3}+27}u→−3lim​u3+27u+3​. Simplify and evaluate the limit.

Problem 2932

Berechne die Ableitung von fff an x0x_{0}x0​ mit der h-Methode: a. f(x)=6x+1f(x)=6x+1f(x)=6x+1, x0=2x_{0}=2x0​=2; b. f(x)=x2f(x)=x^{2}f(x)=x2, x0=3x_{0}=3x0​=3.

Problem 2933

Berechne die Schnittpunkte und Flächeninhalte zwischen den Graphen f(x)=ex3−2f(x)=e^{\frac{x}{3}}-2f(x)=e3x​−2 und g(x)=e8−x5−2g(x)=e^{\frac{8-x}{5}}-2g(x)=e58−x​−2.

Problem 2934

Problem 2935

Find the slope mmm of the tangent line at a=7a=7a=7 for y=3x−8y=3x-8y=3x−8 and the intersection point (x,y)(x, y)(x,y) and f(7)f(7)f(7), f′(7)f^{\prime}(7)f′(7).

Problem 2936

Wachstumsgeschwindigkeit v(t)=0,5e−0,025tv(t)=0,5 e^{-0,025 t}v(t)=0,5e−0,025t eines Baumes: a) Berechne ∫1050v(t)dt\int_{10}^{50} v(t) dt∫1050​v(t)dt und erkläre es. b) Höhe nach 20 Jahren?

Problem 2937

Berechne die Ableitung von f(x)=6x+1f(x)=6x+1f(x)=6x+1 an der Stelle x0=2x_{0}=2x0​=2 mit der h-Methode!

Problem 2938

Leite die Funktion u(D)=800⋅b−1+2bu(D)=800 \cdot b^{-1}+2 bu(D)=800⋅b−1+2b ab.

Problem 2939

Problem 2940

Bestimme die 1. Ableitung von u(b)=800⋅b−1+2bu(b)=800 \cdot b^{-1}+2bu(b)=800⋅b−1+2b.

Problem 2941

Finde die 1. Ableitung von u(D)=800⋅b−1+2bu(D)=800 \cdot b^{-1}+2bu(D)=800⋅b−1+2b.

Problem 2942

Problem 2943

Identify the maxima, minima, and inflection points of the function f(x)=x4+x2f(x)=x^{4}+x^{2}f(x)=x4+x2.

Skizzieren Sie den Graphen einer Funktion $f$ mit den folgenden Eigenschaften: a) negative Steigung überall, b) Steigung 0 bei 0, positiv für $x>0$ , negativ für $x<0$ , c) nichtnegative Steigung, $f^{\prime}(1)=0$ .

Calculate the area under the curve of the function $k(t)=t \cdot(t-4)^{2}$ .

A cone has a slant height of 15 cm and height $h$ cm. Show $V = \frac{1}{3} \pi(225h - h^3)$ . Find $h$ for stationary $V$ .

Find the smallest integer $n$ such that the increasing function $\mathrm{f}$ with $\mathrm{f}^{\prime}(x)=x^{2}-6x+8$ is defined for $x>n$ .

Calculate $A=\int_{0}^{4} \sqrt{x} dx - \int_{0}^{4} \frac{x^{3}}{32} dx$ .

Find the volume when the area above the $x$ -axis and below $y = 1 - \sqrt{x}$ is rotated about the $x$ -axis.

Find constants $a$ , $b$ , and $k$ for the curve where $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=3 x^{2}+a x+b$ with stationary points $(-1,2)$ and $(3, k)$ .

Find the Maclaurin series for $f(x)=\sin \left(x^{2}\right)$ .

Find the Maclaurin series for $f(x)=\sin(x^2)$ and use it to derive the series for $f(x)=\cos(x^2)$ .

Find the curve where $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=2 x-5$ with a stationary point at (3,6). Identify the curve's equation, other stationary point's $x$ -coordinate, and the nature of each stationary point.

Analyze the function $f(x)=5\left|\frac{x}{x^{2}-16}\right|$ and find the limits as $x$ approaches 4 from both sides.

Find the stationary points of the curve $y=2x+1+\frac{1}{2x+1}$ for $x>-\frac{1}{2}$ and analyze their nature.

Find the limits of the piecewise function $f(x)$ at $x = -1$ . Does $\lim_{x \to -1^-} f(x)$ exist? Compute if yes.

Zeigen Sie, dass die Folge $a_{n}=\frac{6 n-(-1)^{n}}{2 n}$ gegen 3 konvergiert.

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{x}{2|x|}$ . What is its value?

Bestimme den Grenzwert der Folge $a_{n}=\frac{4 n^{3}+2 n+1}{n(1-2 n^{2})}$ für $n \to \infty$ .

Berechne die Fläche unter der Kurve $f(x)=x^{2}-x+1$ im Intervall $[0 ; 2]$ .

Bestimme die Fläche unter der Funktion $f(x)=\frac{1}{x^{2}}$ im Intervall $[1 ; 3]$ .

Berechnen Sie die Hoch- und Tiefpunkte der Funktionen: a) $f(x)=2x^{4}-x^{2}+5$ , b) $f(x)=x^{3}+x^{2}-x$ , c) $f(x)=x^{4}-$

Bestimme die Fläche zwischen der Kurve $f(x)=x^{3}-x$ und der $\mathrm{x}$ -Achse im 4. Quadranten.

Berechne die Fläche zwischen der Kurve $f(x)=x^{3}-x$ und der $x$ -Achse im Intervall $[0 ; 2]$ .

Gegeben ist der Graph von $F$ . Bestimmen Sie: a) $x_{0}$ mit $F\left(x_{0}\right)=0$ , b) $x_{0}$ mit $f\left(x_{0}\right)=0$ , c) $\int_{1}^{3} f(x) d x$ , d) Ist $f(1)<f(3)$ ?

Berechne den Flächeninhalt zwischen $f$ und der $\mathrm{x}$ -Achse in den Intervallen: a) $I=[-1 ; 2]$ , b) $I=[-3 ; 2]$ , c) $I=[-3 ; 2]$ , d) $I=[1 ; 3]$ .

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{\sqrt{x^{2}-1}+2 x}{8 x-4}$ .

Find the limit: $\lim _{u \rightarrow-3} \frac{u+3}{u^{3}+27}$ . Simplify and evaluate the limit.

Berechne die Ableitung von $f$ an $x_{0}$ mit der h-Methode: a. $f(x)=6x+1$ , $x_{0}=2$ ; b. $f(x)=x^{2}$ , $x_{0}=3$ .

Berechne die Schnittpunkte und Flächeninhalte zwischen den Graphen $f(x)=e^{\frac{x}{3}}-2$ und $g(x)=e^{\frac{8-x}{5}}-2$ .

Find the slope $m$ of the tangent line at $a=7$ for $y=3x-8$ and the intersection point $(x, y)$ and $f(7)$ , $f^{\prime}(7)$ .

Wachstumsgeschwindigkeit $v(t)=0,5 e^{-0,025 t}$ eines Baumes: a) Berechne $\int_{10}^{50} v(t) dt$ und erkläre es. b) Höhe nach 20 Jahren?

Berechne die Ableitung von $f(x)=6x+1$ an der Stelle $x_{0}=2$ mit der h-Methode!

Leite die Funktion $u(D)=800 \cdot b^{-1}+2 b$ ab.

Bestimme die 1. Ableitung von $u(b)=800 \cdot b^{-1}+2b$ .

Finde die 1. Ableitung von $u(D)=800 \cdot b^{-1}+2b$ .

Identify the maxima, minima, and inflection points of the function $f(x)=x^{4}+x^{2}$ .

Find horizontal asymptotes for $f(x)=\frac{x^{2}+5 x+5}{12 x^{2}-\sqrt{x}}$ . Enter as $y=a$ .

Find the first derivative of $U(b)=800 \cdot b^{-1}+2b$ .

Berechne die Schnittpunkte und Flächeninhalte zwischen $f(x)=e^{\frac{x}{3}}-2$ und $g(x)=e^{\frac{8-x}{5}}-2$ .

Berechne die Fläche A, die vom Graphen $f(x)=2 \sin x - 2$ und den Koordinatenachsen im 4. Quadranten eingeschlossen wird.

Bestimmen Sie die Ableitungen der Funktionen: a) $f(x)=2 x \cdot e^{x}$ , b) $f(x)=\sin (7 x)+5$ , c) $f(x)=7\left(x^{2}+3\right)^{5}$ , d) $f(x)=\sqrt{5 x}$ .

Find the first and second derivatives of $u(b)=800 \cdot b^{-1}+2b$ .

Gegeben ist die Funktion $f(x)=3 x^{2} \cdot e^{x-1}$ . Finde Nullstellen, Extrempunkte und zeige $F(x)=\left(3 x^{2}-6 x+6\right) e^{x-1}$ ist eine Stammfunktion. Überprüfe das Flächenverhältnis 3:1.

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow 5} \frac{x^{2}-7 x+10}{x-5}$ .

Find the derivative of the function $y=\frac{3 x^{2}-9 x+13}{3 x+4}$ . What is $\frac{d y}{d x}$ ?

Zwei Fahrzeuge fahren mit $80 \, \text{km/h}$ und $70 \, \text{km/h}$ . Überholung dauert $47 \, \text{Sekunden}$ . Ist das ein "Elefantenrennen"?

Find the horizontal asymptotes of $f(x)=\frac{5 x^{2}+5 x+3}{2 x^{2}-\sqrt{x}}$ .

Berechne die Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$ -Achse für die Intervalle: a) $f(x)=3 x^{2}-6 x ;[-1 ; 3]$ , b) $f(x)=e^{x}-1 ;[-1 ; 1]$ , c) $f(x)=\cos (x) ;[0 ; \pi]$ .

Find the roots of $f(x)=e^{x}-x$ .

Calculate the derivative of $f(x)=\frac{5}{x^{2}}$ for $x \neq 0$ .

Calculate the limit of $f(x)=x^{3}-3 x^{2}+2 x-7$ as $x$ approaches $2$ .

Überprüfen Sie, ob die Ableitung von $g(a) = \sqrt{a} \times (1 - a)$ als $g'(a) = \frac{1-3a}{2\sqrt{a}}$ stimmt.

Which function is continuous at the specified point: (A) $f(x)=\frac{1}{x^{2}}$ at $c=1$ , (B) $f(x)=\frac{1}{x-2}$ at $c=2$ , (C) $f(x)=\frac{1}{x}$ at $c=0$ , (D) $f(x)=\sqrt{x}$ at $c=0$ ?

Die Schiffsbesatzung kann 15 neue Patienten täglich betreuen. Bestätigen Sie $f^{\prime}(t)=2498 \cdot 0,008 \cdot e^{-0,008 t}$ und bestimmen Sie, wie lange das Hilfspersonal benötigt wird.

A soccer player kicks a ball at $27 \mathrm{~m/s}$ and $20^{\circ}$ . Find: (a) time in air, (b) speed on impact, (c) range.

Evaluate the integral from 1 to 2 of the function $\frac{2}{t^{4}}$ .