Calculus

Problem 23501

Find the antiderivative $F$ of $f(x)=2 e^{x}-8 x$ with $F(0)=5$ . What is $F(x)=\square$ ?

See Solution

Problem 23502

Find the general antiderivative of $f(\theta)=7 \sin (\theta)-6 \sec (\theta) \tan (\theta)$ and check by differentiation.

See Solution

Problem 23503

Find the function $f(t)$ given that $f'''(t) = 24 + \cos(t)$ , using constants $C$ , $D$ , and $F$ .

See Solution

Problem 23504

Calculate displacement and velocity at times (a) 0.500, (b) 1.00, (c) 1.50, (d) 2.00, (e) 2.50 s for a rock thrown down with initial velocity $14.0 \mathrm{~m/s}$ from $70.0 \mathrm{~m}$ .

See Solution

Problem 23505

Finden Sie die Stammfunktion von $f$ und berechnen Sie den Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der $\mathrm{x}$ -Achse. d) $f(x)=-x^{2}+6 x+7$ e) $f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)$ f) $f(x)=x^{3}-3 x^{2}-x+3$

See Solution

Problem 23506

Finde die Stammfunktion und berechne den Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der $x$ -Achse für:
(d) $f(x)=-x^{2}+6x+7$ ,
(e) $f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)$ ,
(f) $f(x)=x^{3}-3x^{2}-x+3$ .

See Solution

Problem 23507

Evaluate the limit: $\lim _{\theta \rightarrow 0} \theta \tan (3 \theta)$ .

See Solution

Problem 23508

Finde die Stammfunktion von $f$ und berechne den Flächeninhalt unter dem Graphen von $f$ für die folgenden Funktionen: a) $f(x)=4-x^{2}$ , b) $f(x)=x(x-1)(3-x)$ , c) $f(x)=(x-2)(4-x)$ , d) $f(x)=-x^{2}+6 x+7$ , e) $f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)$ , f) $f(x)=x^{3}-3 x^{2}-x+3$ .

See Solution

Problem 23509

Evaluate the limit as $x$ approaches 0 from the right: $\lim _{x \rightarrow 0+}(2 x)^{x}$ .

See Solution

Problem 23510

Find the integral from 0 to 1 of the function $3 x^{2} e^{x^{3}}$ .

See Solution

Problem 23511

Evaluate the integral $\int_{0}^{1} \frac{4 t^{3}}{\sqrt{1+t^{8}}} \mathrm{dt}$ .

See Solution

Problem 23512

Evaluate the limit: $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{3}{x}\right)^{x}$ .

See Solution

Problem 23513

An object is dropped from $75.0 \mathrm{~m}$ . Find: (a) distance in first second, (b) final velocity, (c) distance in last second.

See Solution

Problem 23514

An object is dropped from 75.0 m. Find: (a) distance in the first second, (b) final velocity, (c) distance in the last second.

See Solution

Problem 23515

Vereinfachen Sie $\frac{6 x^{7}+7}{4 x^{4}}$ und bestimmen Sie die Stammfunktion des Integrals.

See Solution

Problem 23516

Evaluate the integral $\int_{0}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{1 / 2} d x$ .

See Solution

Problem 23517

Find the second derivative of $y=\ln(5x^{2}+4x)$ : $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ . Options: (a) $\frac{10x+4}{5x^{2}+4x}$ , (b) $\frac{-2(25x^{2}+20x+8)}{(5x^{2}+4x)^{2}}$ , (c) $\frac{-1}{(5x^{2}+4x)^{2}}$ , (d) $\frac{10}{10x+4}$ .

See Solution

Problem 23518

A coin is dropped from a balloon at $300 \mathrm{~m}$ height, rising at $10.0 \mathrm{~m/s}$ . Find (a) max height, (b) position & velocity after $4.00 \mathrm{~s}$ , (c) time to hit the ground.

See Solution

Problem 23519

Find the temperature of a cup of tea at $80^{\circ} \mathrm{C}$ in a $20^{\circ} \mathrm{C}$ room after $t=10$ using $e$ .

See Solution

Problem 23520

Find the limits using L'Hopital's rule: a. $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{x \sin (x)}{1-\cos (x)}\right)$ b. $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(x^{2} e^{-x}\right)$ c. $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{3}{x^{2}}\right)^{x}$

See Solution

Problem 23521

Calculate the integral $\int_{1}^{5} \sqrt{4-(x-3)^{2}} \, dx$ .

See Solution

Problem 23522

Find $\Delta \varphi$ for $\varphi=y^{2} x+z$ at $(1,1,1)$ with $\Delta x=\Delta y=\Delta z=0.1$ .

See Solution

Problem 23523

Calculate the integral $\int_{-2}^{3}(3-|x|) d x$ .

See Solution

Problem 23524

Berechnen Sie das Integral von $f(x) = \frac{1}{8}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + \frac{9}{2}x$ .

See Solution

Problem 23525

Find $\int_{2}^{4}(f(x)+g(x)) \, dx$ given $\int_{4}^{0} f(x) \, dx = 5$ , $\int_{2}^{0} f(x) \, dx = -3$ , $\int_{4}^{0} g(x) \, dx = -1$ , and $\int_{2}^{0} g(x) \, dx = 2$ .

See Solution

Problem 23526

Find the temperature change 3 hours after sunrise using $T(h)=4 \sin \left(\frac{\pi}{12} h\right)+5$ . What is the rate?

See Solution

Problem 23527

Bestimme die Fläche zwischen $f(x) = \frac{1}{4}x^2$ und der $x$ -Achse im Intervall $[0, 4]$ .

See Solution

Problem 23528

Find $\frac{d y}{d x}$ for the curve $y^{2}-2 x y-4 x=8$ . Choose the correct option from the given choices.

See Solution

Problem 23529

Find the derivative of the integral $\int_{0}^{\sqrt{x}} t \, dt$ with respect to $x$ .

See Solution

Problem 23530

Find the age $x$ (16 ≤ $x$ ≤ 88) that minimizes the fatal-accident rate given by $f(x)=0.0311 x^{2}-3.18 x+116$ .

See Solution

Problem 23531

Bestimme den Differenzenquotienten für die Punkte $G(-1)$ und $G(1)$ der Funktion $G(x) = 3x^3 + 1$ .

See Solution

Problem 23532

Find $T'(3)$ for $T(h) = 4 \sin \left(\frac{\pi}{12} h\right) + 5$ .

See Solution

Problem 23533

Find the derivative of the integral: $\frac{d}{d x} \int_{3}^{x} \frac{d s}{\sqrt{16-s^{2}}}$ .

See Solution

Problem 23534

Find the area between the curve $y=25-x^{2}$ and the x-axis from $x=-5$ to $x=5$ . Options: a. $\frac{250}{3}$ , b. $\frac{500}{3}$ , c. $\frac{700}{3}$ , d. $\frac{1,490}{3}$ , e. $\frac{1,400}{3}$ .

See Solution

Problem 23535

Johanna lässt ihren Kaffee 2,43 Minuten stehen. a) Berechne die mittlere Abkühlgeschwindigkeit bis 8,5 Minuten. b) Welche Temperatur hat der Kaffee nach langer Zeit?

See Solution

Problem 23536

Bestimme die Ableitungen für die Funktionen: $f(x)=\frac{1}{x^{2}}$ , $f(x)=\sqrt{x}$ , $f(x)=-2(3x+1)^{10}$ , $f(x)=(x^{2}+1) \cdot \ln(x)$ . Analysiere den Graphen $G_{f'}$ der Ableitung.

See Solution

Problem 23537

Approximate the area under $\cos(6x)$ from $0$ to $\frac{\pi}{6}$ using 12 rectangles and left endpoints. Round to 4 decimals.

See Solution

Problem 23538

Gegeben ist die Kurvenschar $f_{a}(x)=x^{2}-a x$ . Bestimme Nullstellen, Extrema und die Kurve mit Steigung 1 bei $x=3$ .

See Solution

Problem 23539

Berechne die mittlere Abkühlgeschwindigkeit des Kaffees von $T(2,43)$ bis $T(8,5)$ mit der Funktion $T(t)=\frac{60 t^{2}+24750}{3 t^{2}+17,1 t+219,6}$ .

See Solution

Problem 23540

Gegeben ist die Funktion $f(x)=x^{4}-\frac{1}{2} x^{2}$ .
1.1 Bestimme die Tangentengleichung an $x_{0}=1$ . 1.2 Berechne den Flächeninhalt der im 4. Quadranten eingeschlossenen Fläche.
Für $f(x)=4 e^{x}$ , zeige, dass es keine Extrempunkte gibt.

See Solution

Problem 23541

Bestimme die waagrechten und schrägen Asymptoten der Funktionen für $x \rightarrow \pm \infty$ und überprüfe sie grafisch. Funktionen:
$f(x)=\frac{2 x+1}{x^{2}+1}, \quad h(x)=\frac{x^{2}+4}{4 x+4}, \quad g(x)=\frac{x^{2}+4}{2 x^{2}+1}, \quad l(x)=\frac{x-1}{x+1}$

See Solution

Problem 23542

Berechnen Sie die Uhrzeit, bei der die Temperatur $6^{\circ} \mathrm{C}$ ist, den Tageshöchstwert und die Nullstellen von $f^{\prime}(t)=-0,03 t^{2}+0,48 t$ .

See Solution

Problem 23543

For projectile motion on level ground, answer: (a) Is velocity ever zero? (b) When is it minimum? Maximum? (c) Can velocity equal initial velocity at times other than $t=0$ ? (d) Can speed equal initial speed at times other than $t=0$ ?

See Solution

Problem 23544

Differentiate the integral $\int_{\cos x}^{1} \sqrt{1-t^{2}} dt$ with respect to $x$ .

See Solution

Problem 23545

Find the derivative of the integral $\frac{d}{d x} \int_{1}^{e^{x}} \ln u^{2} d u$ .

See Solution

Problem 23546

Analyze projectile motion on level ground: (a) Is velocity ever zero? (b) When is it minimum/maximum? (c) Can velocity equal initial at $t \neq 0$ ? (d) Can speed equal initial at $t \neq 0$ ?

See Solution

Problem 23547

Berechnen Sie den Inhalt des Intervalls für $f(x)=6 x-x^{2}$ im Bereich $[2 ; 5]$ . Skizzieren Sie die Funktion.

See Solution

Problem 23548

Evaluate the limit: $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{x}}{x^{2}}$ . Choose from: a) $-\infty$ , b) $+\infty$ , c) 1, d) 0.

See Solution

Problem 23549

A triangle has legs of $3 \mathrm{~cm}$ and $4 \mathrm{~cm}$ . One leg decreases at $4 \mathrm{~cm/s}$ , the other increases at $3 \mathrm{~cm/s}$ . Find the rate of area change.

See Solution

Problem 23550

Evaluate $\lim _{x \rightarrow-\infty} x e^{x}$ . Options: a) $+\infty$ b) $-\infty$ c) 1 d) 0.

See Solution

Problem 23551

Calculate the integral from 1 to 16 of $\frac{1}{t^{1/4}}$ dt.

See Solution

Problem 23552

Aufgabe:
a) Berechne die mittlere Abkühlgeschwindigkeit von $T(2,43)$ bis $T(8,5)$ .
b) Bestimme die Temperatur $T(\infty)$ des Kaffees nach langer Zeit und erkläre, warum diese Temperatur erreicht wird.

See Solution

Problem 23553

Find when the particle with position $s(t)=t^{3}-2 t^{2}+4 t-1$ is decelerating for $0 \leq t \leq 8$ .

See Solution

Problem 23554

A biologist studies bacteria over 35 days with $B(t)$ as the population model. Which statement is true? a) $B^{\prime}(14)>B^{\prime}(13)$ implies $B(14)>B(13)$ . b) $B^{\prime}(33)=0$ implies $B(33)=0$ . c) $B^{\prime}(8)<0$ implies $B(8)<B(7)$ . d) $B^{\prime}(t)=0$ occurs at most once for $0 \leq t \leq 35$ .

See Solution

Problem 23555

A square's side grows at $4 \mathrm{in} / \mathrm{sec}$ . Find area change rate when side length is 6 in.

See Solution

Problem 23556

Calculate the integral from 1 to 4 of $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ with respect to $x$ .

See Solution

Problem 23557

Untersuchen Sie die Funktionen auf lokale Extrempunkte und skizzieren Sie deren Graphen: a) $f(x)=-\frac{1}{3} x^{3}-x^{2}+3 x$ , b) $f(x)=-\frac{1}{4} x^{4}-2 x^{2}+2$ , c) $f(x)=3-\frac{1}{3} x^{3}$ , d) $f(x)=\frac{1}{6} x^{3}-1,5 x+1$ , e) $f(x)=\frac{1}{10} x^{4}+x^{2}-2$ , f) $f(x)=\frac{1}{10} x^{4}-x^{2}-2$ .

See Solution

Problem 23558

Gegeben sei die Folge $b_{n}=\operatorname{Re}\left(\left(\frac{1+\mathrm{i}}{\sqrt{2}}\right)^{n}\right)$ . Bestimme die Grenzwerte:
$\lim _{k \in \mathbb{N}} b_{8 k}, \quad \lim _{k \in \mathbb{N}} b_{8 k+1}, \quad \lim _{k \in \mathbb{N}} b_{8 k+2}, \quad \lim _{k \in \mathbb{N}} b_{8 k+5}$
und nenne die Häufungspunkte der Folge.

See Solution

Problem 23559

Gegeben ist $f(x)=\frac{1}{2}x^{3}-4x^{2}+8x$ . Bestimmen Sie die Schnittpunkte mit den Achsen, zeichnen Sie den Graphen für $x \in [0, 6]$ und berechnen Sie den Flächeninhalt zwischen $f$ und der x-Achse.

See Solution

Problem 23560

Find the sum of the series $S = \sum_{n=1}^{\infty} a n^{2} x^{n}$ for $a \neq 0$ and $|x|<1$ .

See Solution

Problem 23561

Find the integral for the surface area change of a cube when the side length increases from $s$ to $2s$ and evaluate it.

See Solution

Problem 23562

Write and evaluate an integral for the perimeter increase $P(s)$ of a square as side length $s$ goes from 2 to 4 units.

See Solution

Problem 23563

A sphere's radius increases at $0.04 \mathrm{~cm/sec}$ . Find rates of volume and area changes at given conditions.

See Solution

Problem 23564

Evaluate the series: $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{1}{2 n-1}$ .

See Solution

Problem 23565

Bestimme die Ableitung von $f(x)=2x+x^{3}$ .

See Solution

Problem 23566

Berechnen Sie die Ableitung von $f(x) = -(x-6)^{2} \cdot (x+1)$ .

See Solution

Problem 23567

Gegeben ist die Funktion $f(x)=-\frac{1}{12} x^{4}+\frac{10}{3} x^{2}-12$ .
1) Berechne $\int_{-6}^{6} f(x) \, dx$ und erkläre, warum dieser Wert nicht dem Flächeninhalt entspricht. 2) Bestimme den Flächeninhalt, die Nullstellen von $f$ , die Stammfunktion $F$ mit $F(0)=0$ , und den Flächeninhalt $A_{f}$ .

See Solution

Problem 23568

Berechnen Sie die Fläche zwischen der $x$ -Achse und den Graphen von $f$ in den Intervallen: a) $[2 ; 5]$ , b) $[1 ; 4]$ , c) $[0 ; 6]$ , d) $[2 ; 4]$ .

See Solution

Problem 23569

Aufgabe: Zeichnen Sie den Graphen der Funktion $f(x)=-0,5 x^{2}-5 x-7$ im Intervall $I=[-8;-3]$ und berechnen Sie die Fläche $A_f$ zwischen Graph und $x$ -Achse.

See Solution

Problem 23570

Bestimme die Ableitungen für die Funktionen: a) $f(x)=2 x+x^{3}$ , b) $f(x)=5 x$ , e) $f(x)=2 x^{2}+4 x$ , f) $f(x)=\frac{1}{2} x^{2}+5$ , c) $f(x)=a x^{2}$ , g) $f(x)=2 x^{3}-3 x^{2}+2$ , h) $f(x)=a x^{3}+b x$ . Für Übung 6: Bestimme $f^{\prime}$ und zeichne die Graphen für a) $f(x)=\frac{1}{2} x^{2}-2 x+2$ , b) $f(x)=4-x^{2}$ , c) $f(x)=\frac{1}{2} x^{3}-2 x$ , d) $f(x)=3 x-\frac{1}{3} x^{3}$ .

See Solution

Problem 23571

Bestimmen Sie die Ableitungen $f^{\prime}$ für die Funktionen und zeichnen Sie die Graphen von $f$ und $f^{\prime}$ .

See Solution

Problem 23572

Find $x$ values that meet the Mean Value Theorem for $f(x)=x^{3}-x$ on the interval $[1,2]$ .

See Solution

Problem 23573

Find the slope of the tangent line to $x^{2}+2 y^{2}=11$ at the point $(3,-1)$ .

See Solution

Problem 23574

Finde die Punkte, wo die Steigung von $f(x)=e^{x}-\frac{x}{4}$ und $g(x)=\frac{x^{3}}{3}-2 x^{2}-x-1$ Null ist. Bestimme die Tangentengleichung $\mathrm{t}$ an $f$ bei $x=-5$ .

See Solution

Problem 23575

Untersuchen Sie die Funktionen $a(x)=f(x)+g(x)$ , $b(x)=f(x) \cdot g(x)$ , $c(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$ auf Asymptoten und Symmetrien. Berechnen Sie die Steigung von $f(x)=e^{x}-\frac{x}{4}$ und $g(x)=\frac{x^{3}}{3}-2 x^{2}-x-1$ und geben Sie die Tangentengleichung $t$ an.

See Solution

Problem 23576

A rare fish's population $P(t)=375\left(\frac{1+0.5 t}{3+0.02 t}\right)$ after relocation. Find: A) initial count B) population after 5 years C) end behavior D) max sustainable population.

See Solution

Problem 23577

Bestimme die Bedeutung der mittleren Änderungsrate 0,005 für den Wanderweg zwischen Engelskirchen und Unterkaltenbach.

See Solution

Problem 23578

Find the areas under these curves between the given x-coordinates: (a) $y=4-x^{2}$ from $x=-2$ to $x=0$ (b) $y=x(3-x)$ from $x=0$ to $x=3$ (c) $y=\frac{1}{2} x^{2}$ from $x=1$ to $x=2$ (d) $y=3-2x-x^{2}$ from $x=-3$ to $x=1$ (e) $y=2-x^{2}$ from $x=-1$ to $x=1$ (f) $2y=1+x^{2}$ from $x=-2$ to $x=1$ (g) $y=x^{3}+2$ from $x=0$ to $x=2$ (h) $y=x^{2}-x-2$ from $x=-3$ to $x=-1$

See Solution

Problem 23579

Graph the function $y=x^{2}+2$ and find the limit $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)$ . State if the limit does not exist.

See Solution

Problem 23580

If $\int_{a}^{b} g(x)=10$ , then find $\int_{b}^{a} g(x)$ .

See Solution

Problem 23581

Find the area under the curve $y=\frac{3}{x^{3}}$ from $x=1$ to $x=4$ .

See Solution

Problem 23582

Calculate the integral from 0 to 1 of the constant function 5: $\int_{0}^{1} 5 \, dx$ .

See Solution

Problem 23583

Calculate the integral $\int_{-1}^{1} 3 x^{2} \, dx$ .

See Solution

Problem 23584

Find the derivatives of these functions: 1. $g(t)=(5 t-20)^{3}$ , 2. $y=e^{4-1}+5$ , 3. $f(x)=5^{2 t} \ln(3 t^{3}+4 t^{2})$ , 4. $g(\theta)=e^{2 \theta}(\cot(\theta)-\theta)$ .

See Solution

Problem 23585

Find the derivatives of these functions:
1. $g(t)=(5 t-20)^{3}$
2. $y=e^{t-6}+5$
3. $f(x)=5^{2 t} \ln(3 t^{3}+4 t^{2})$
4. $\theta(\theta)=e^{2 \theta}(\cot(\theta)-\theta)$
5. $f(t)=\left(\frac{t}{x+2}\right)^{3}$

See Solution

Problem 23586

Find the derivative of $f(t) = \left(\frac{4}{3t+2}\right)^3$ with respect to $t$ .

See Solution

Problem 23587

Find $f^{\prime}(2)$ if $f(x)=(x^{2}-4)^{3}$ . Options: 0, 1, 2, 3.

See Solution

Problem 23588

Insect population $P(t)=200 e^{0.01 t}$ : (a) Find $P(0)$ . (b) What is the growth rate? (c) Find $P(10)$ . (d) When is $P=260$ ? (e) When does $P$ double?

See Solution

Problem 23589

Evaluate the integral $\int_{-1}^{0} \frac{4 x^{4}}{\left(1-2 x^{5}\right)^{3}} d x$ .

See Solution

Problem 23590

Evaluate the integral $\int_{0}^{1-y} 3(x+y) \, dx$ .

See Solution

Problem 23591

Evaluate the integral: $\int 4(2 x+9)^{4} d x=$

See Solution

Problem 23592

Is the integral $\int_{3}^{\infty} \frac{d x}{x^{9 / 4}}$ convergent or divergent?

See Solution

Problem 23593

Find the area between the curves $f(x)=x^{4}-8x^{3}+18x^{2}$ and $g(x)=-25x+102$ from points $(-2,152)$ to $(3,27)$ . Area = $\square$ .

See Solution

Problem 23594

Find the first and second derivatives of the function $f(x)=8 \cdot \sin \left(\frac{\pi}{12} x-\frac{\pi}{2}\right)+6$ .

See Solution

Problem 23595

Find the marginal profit in 2020 using $P(t)=200000\left(\ln (t+1)+0.01 t^{2}-e^{-t}\right)$ .

See Solution

Problem 23596

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow 3} \frac{3 x-x^{2}}{1+\sqrt{1+x}}$ .

See Solution

Problem 23597

Evaluate the integral $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{x^{2}+y^{2}}{2}} dy$ .

See Solution

Problem 23598

Calculate the areas under these curves: (g) $y=x^3+2$ from $x=0$ to $x=2$ and (h) $y=x^2-x-2$ from $x=-3$ to $x=-1$ .

See Solution

Problem 23599

Find the limit as $t$ approaches -1 for the expression $\frac{t^{2}+t}{\sqrt[3]{2 t+1}+\sqrt[3]{t+2}}$ .

See Solution

Problem 23600

Find the limit: $\lim _{t \rightarrow-1} \frac{t^{2}+t}{\sqrt[3]{2 t+1}+\sqrt[3]{t+2}}$

See Solution

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337

Calculus

Problem 23501

Find the antiderivative FFF of f(x)=2ex−8xf(x)=2 e^{x}-8 xf(x)=2ex−8x with F(0)=5F(0)=5F(0)=5. What is F(x)=□F(x)=\squareF(x)=□?

Problem 23502

Find the general antiderivative of f(θ)=7sin⁡(θ)−6sec⁡(θ)tan⁡(θ)f(\theta)=7 \sin (\theta)-6 \sec (\theta) \tan (\theta)f(θ)=7sin(θ)−6sec(θ)tan(θ) and check by differentiation.

Problem 23503

Find the function f(t)f(t)f(t) given that f′′′(t)=24+cos⁡(t)f'''(t) = 24 + \cos(t)f′′′(t)=24+cos(t), using constants CCC, DDD, and FFF.

Problem 23504

Calculate displacement and velocity at times (a) 0.500, (b) 1.00, (c) 1.50, (d) 2.00, (e) 2.50 s for a rock thrown down with initial velocity 14.0 m/s14.0 \mathrm{~m/s}14.0 m/s from 70.0 m70.0 \mathrm{~m}70.0 m.

Problem 23505

Problem 23506

Finde die Stammfunktion und berechne den Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der xxx-Achse für: (d) f(x)=−x2+6x+7f(x)=-x^{2}+6x+7f(x)=−x2+6x+7, (e) f(x)=(x−1)(x−2)(x−3)f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)f(x)=(x−1)(x−2)(x−3), (f) f(x)=x3−3x2−x+3f(x)=x^{3}-3x^{2}-x+3f(x)=x3−3x2−x+3.

Problem 23507

Evaluate the limit: lim⁡θ→0θtan⁡(3θ)\lim _{\theta \rightarrow 0} \theta \tan (3 \theta)limθ→0​θtan(3θ).

Problem 23508

Problem 23509

Evaluate the limit as xxx approaches 0 from the right: lim⁡x→0+(2x)x\lim _{x \rightarrow 0+}(2 x)^{x}limx→0+​(2x)x.

Problem 23510

Find the integral from 0 to 1 of the function 3x2ex33 x^{2} e^{x^{3}}3x2ex3.

Problem 23511

Evaluate the integral ∫014t31+t8dt\int_{0}^{1} \frac{4 t^{3}}{\sqrt{1+t^{8}}} \mathrm{dt}∫01​1+t8​4t3​dt.

Problem 23512

Evaluate the limit: lim⁡x→∞(1−3x)x\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{3}{x}\right)^{x}limx→∞​(1−x3​)x.

Problem 23513

An object is dropped from 75.0 m75.0 \mathrm{~m}75.0 m. Find: (a) distance in first second, (b) final velocity, (c) distance in last second.

Problem 23514

An object is dropped from 75.0 m. Find: (a) distance in the first second, (b) final velocity, (c) distance in the last second.

Problem 23515

Vereinfachen Sie 6x7+74x4\frac{6 x^{7}+7}{4 x^{4}}4x46x7+7​ und bestimmen Sie die Stammfunktion des Integrals.

Problem 23516

Evaluate the integral ∫01(1−x2)1/2dx\int_{0}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{1 / 2} d x∫01​(1−x2)1/2dx.

Problem 23517

Problem 23518

A coin is dropped from a balloon at 300 m300 \mathrm{~m}300 m height, rising at 10.0 m/s10.0 \mathrm{~m/s}10.0 m/s. Find (a) max height, (b) position & velocity after 4.00 s4.00 \mathrm{~s}4.00 s, (c) time to hit the ground.

Problem 23519

Find the temperature of a cup of tea at 80∘C80^{\circ} \mathrm{C}80∘C in a 20∘C20^{\circ} \mathrm{C}20∘C room after t=10t=10t=10 using eee.

Problem 23520

Problem 23521

Calculate the integral ∫154−(x−3)2 dx\int_{1}^{5} \sqrt{4-(x-3)^{2}} \, dx∫15​4−(x−3)2​dx.

Problem 23522

Find Δφ\Delta \varphiΔφ for φ=y2x+z\varphi=y^{2} x+zφ=y2x+z at (1,1,1)(1,1,1)(1,1,1) with Δx=Δy=Δz=0.1\Delta x=\Delta y=\Delta z=0.1Δx=Δy=Δz=0.1.

Problem 23523

Calculate the integral ∫−23(3−∣x∣)dx\int_{-2}^{3}(3-|x|) d x∫−23​(3−∣x∣)dx.

Problem 23524

Berechnen Sie das Integral von f(x)=18x3−32x2+92xf(x) = \frac{1}{8}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + \frac{9}{2}xf(x)=81​x3−23​x2+29​x.

Problem 23525

Problem 23526

Find the temperature change 3 hours after sunrise using T(h)=4sin⁡(π12h)+5T(h)=4 \sin \left(\frac{\pi}{12} h\right)+5T(h)=4sin(12π​h)+5. What is the rate?

Problem 23527

Bestimme die Fläche zwischen f(x)=14x2f(x) = \frac{1}{4}x^2f(x)=41​x2 und der xxx-Achse im Intervall [0,4][0, 4][0,4].

Problem 23528

Find dydx\frac{d y}{d x}dxdy​ for the curve y2−2xy−4x=8y^{2}-2 x y-4 x=8y2−2xy−4x=8. Choose the correct option from the given choices.

Problem 23529

Find the derivative of the integral ∫0xt dt\int_{0}^{\sqrt{x}} t \, dt∫0x​​tdt with respect to xxx.

Problem 23530

Find the age xxx (16 ≤ xxx ≤ 88) that minimizes the fatal-accident rate given by f(x)=0.0311x2−3.18x+116f(x)=0.0311 x^{2}-3.18 x+116f(x)=0.0311x2−3.18x+116.

Problem 23531

Bestimme den Differenzenquotienten für die Punkte G(−1)G(-1)G(−1) und G(1)G(1)G(1) der Funktion G(x)=3x3+1G(x) = 3x^3 + 1G(x)=3x3+1.

Problem 23532

Find T′(3) T'(3) T′(3) for T(h)=4sin⁡(π12h)+5 T(h) = 4 \sin \left(\frac{\pi}{12} h\right) + 5 T(h)=4sin(12π​h)+5.

Problem 23533

Find the derivative of the integral: ddx∫3xds16−s2\frac{d}{d x} \int_{3}^{x} \frac{d s}{\sqrt{16-s^{2}}}dxd​∫3x​16−s2​ds​.

Problem 23534

Find the area between the curve y=25−x2y=25-x^{2}y=25−x2 and the x-axis from x=−5x=-5x=−5 to x=5x=5x=5. Options: a. 2503\frac{250}{3}3250​, b. 5003\frac{500}{3}3500​, c. 7003\frac{700}{3}3700​, d. 1,4903\frac{1,490}{3}31,490​, e. 1,4003\frac{1,400}{3}31,400​.

Problem 23535

Johanna lässt ihren Kaffee 2,43 Minuten stehen. a) Berechne die mittlere Abkühlgeschwindigkeit bis 8,5 Minuten. b) Welche Temperatur hat der Kaffee nach langer Zeit?

Problem 23536

Bestimme die Ableitungen für die Funktionen: f(x)=1x2f(x)=\frac{1}{x^{2}}f(x)=x21​, f(x)=xf(x)=\sqrt{x}f(x)=x​, f(x)=−2(3x+1)10f(x)=-2(3x+1)^{10}f(x)=−2(3x+1)10, f(x)=(x2+1)⋅ln⁡(x)f(x)=(x^{2}+1) \cdot \ln(x)f(x)=(x2+1)⋅ln(x). Analysiere den Graphen Gf′G_{f'}Gf′​ der Ableitung.

Problem 23537

Approximate the area under cos⁡(6x)\cos(6x)cos(6x) from 000 to π6\frac{\pi}{6}6π​ using 12 rectangles and left endpoints. Round to 4 decimals.

Problem 23538

Gegeben ist die Kurvenschar fa(x)=x2−axf_{a}(x)=x^{2}-a xfa​(x)=x2−ax. Bestimme Nullstellen, Extrema und die Kurve mit Steigung 1 bei x=3x=3x=3.

Problem 23539

Berechne die mittlere Abkühlgeschwindigkeit des Kaffees von T(2,43)T(2,43)T(2,43) bis T(8,5)T(8,5)T(8,5) mit der Funktion T(t)=60t2+247503t2+17,1t+219,6T(t)=\frac{60 t^{2}+24750}{3 t^{2}+17,1 t+219,6}T(t)=3t2+17,1t+219,660t2+24750​.

Problem 23540

Gegeben ist die Funktion f(x)=x4−12x2f(x)=x^{4}-\frac{1}{2} x^{2}f(x)=x4−21​x2. 1.1 Bestimme die Tangentengleichung an x0=1x_{0}=1x0​=1. 1.2 Berechne den Flächeninhalt der im 4. Quadranten eingeschlossenen Fläche.Für f(x)=4exf(x)=4 e^{x}f(x)=4ex, zeige, dass es keine Extrempunkte gibt.

Problem 23541

Problem 23542

Berechnen Sie die Uhrzeit, bei der die Temperatur 6∘C6^{\circ} \mathrm{C}6∘C ist, den Tageshöchstwert und die Nullstellen von f′(t)=−0,03t2+0,48tf^{\prime}(t)=-0,03 t^{2}+0,48 tf′(t)=−0,03t2+0,48t.

Problem 23543

Find the antiderivative $F$ of $f(x)=2 e^{x}-8 x$ with $F(0)=5$ . What is $F(x)=\square$ ?

Find the general antiderivative of $f(\theta)=7 \sin (\theta)-6 \sec (\theta) \tan (\theta)$ and check by differentiation.

Find the function $f(t)$ given that $f'''(t) = 24 + \cos(t)$ , using constants $C$ , $D$ , and $F$ .

Calculate displacement and velocity at times (a) 0.500, (b) 1.00, (c) 1.50, (d) 2.00, (e) 2.50 s for a rock thrown down with initial velocity $14.0 \mathrm{~m/s}$ from $70.0 \mathrm{~m}$ .

Finde die Stammfunktion und berechne den Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der $x$ -Achse für:
(d) $f(x)=-x^{2}+6x+7$ ,
(e) $f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)$ ,
(f) $f(x)=x^{3}-3x^{2}-x+3$ .

Evaluate the limit: $\lim _{\theta \rightarrow 0} \theta \tan (3 \theta)$ .

Evaluate the limit as $x$ approaches 0 from the right: $\lim _{x \rightarrow 0+}(2 x)^{x}$ .

Find the integral from 0 to 1 of the function $3 x^{2} e^{x^{3}}$ .

Evaluate the integral $\int_{0}^{1} \frac{4 t^{3}}{\sqrt{1+t^{8}}} \mathrm{dt}$ .

Evaluate the limit: $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{3}{x}\right)^{x}$ .

An object is dropped from $75.0 \mathrm{~m}$ . Find: (a) distance in first second, (b) final velocity, (c) distance in last second.

Vereinfachen Sie $\frac{6 x^{7}+7}{4 x^{4}}$ und bestimmen Sie die Stammfunktion des Integrals.

Evaluate the integral $\int_{0}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{1 / 2} d x$ .

A coin is dropped from a balloon at $300 \mathrm{~m}$ height, rising at $10.0 \mathrm{~m/s}$ . Find (a) max height, (b) position & velocity after $4.00 \mathrm{~s}$ , (c) time to hit the ground.

Find the temperature of a cup of tea at $80^{\circ} \mathrm{C}$ in a $20^{\circ} \mathrm{C}$ room after $t=10$ using $e$ .

Calculate the integral $\int_{1}^{5} \sqrt{4-(x-3)^{2}} \, dx$ .

Find $\Delta \varphi$ for $\varphi=y^{2} x+z$ at $(1,1,1)$ with $\Delta x=\Delta y=\Delta z=0.1$ .

Calculate the integral $\int_{-2}^{3}(3-|x|) d x$ .

Berechnen Sie das Integral von $f(x) = \frac{1}{8}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + \frac{9}{2}x$ .

Find the temperature change 3 hours after sunrise using $T(h)=4 \sin \left(\frac{\pi}{12} h\right)+5$ . What is the rate?

Bestimme die Fläche zwischen $f(x) = \frac{1}{4}x^2$ und der $x$ -Achse im Intervall $[0, 4]$ .

Find $\frac{d y}{d x}$ for the curve $y^{2}-2 x y-4 x=8$ . Choose the correct option from the given choices.

Find the derivative of the integral $\int_{0}^{\sqrt{x}} t \, dt$ with respect to $x$ .

Find the age $x$ (16 ≤ $x$ ≤ 88) that minimizes the fatal-accident rate given by $f(x)=0.0311 x^{2}-3.18 x+116$ .

Bestimme den Differenzenquotienten für die Punkte $G(-1)$ und $G(1)$ der Funktion $G(x) = 3x^3 + 1$ .

Find $T'(3)$ for $T(h) = 4 \sin \left(\frac{\pi}{12} h\right) + 5$ .

Find the derivative of the integral: $\frac{d}{d x} \int_{3}^{x} \frac{d s}{\sqrt{16-s^{2}}}$ .

Find the area between the curve $y=25-x^{2}$ and the x-axis from $x=-5$ to $x=5$ . Options: a. $\frac{250}{3}$ , b. $\frac{500}{3}$ , c. $\frac{700}{3}$ , d. $\frac{1,490}{3}$ , e. $\frac{1,400}{3}$ .

Bestimme die Ableitungen für die Funktionen: $f(x)=\frac{1}{x^{2}}$ , $f(x)=\sqrt{x}$ , $f(x)=-2(3x+1)^{10}$ , $f(x)=(x^{2}+1) \cdot \ln(x)$ . Analysiere den Graphen $G_{f'}$ der Ableitung.

Approximate the area under $\cos(6x)$ from $0$ to $\frac{\pi}{6}$ using 12 rectangles and left endpoints. Round to 4 decimals.

Gegeben ist die Kurvenschar $f_{a}(x)=x^{2}-a x$ . Bestimme Nullstellen, Extrema und die Kurve mit Steigung 1 bei $x=3$ .

Berechne die mittlere Abkühlgeschwindigkeit des Kaffees von $T(2,43)$ bis $T(8,5)$ mit der Funktion $T(t)=\frac{60 t^{2}+24750}{3 t^{2}+17,1 t+219,6}$ .

Gegeben ist die Funktion $f(x)=x^{4}-\frac{1}{2} x^{2}$ .
1.1 Bestimme die Tangentengleichung an $x_{0}=1$ . 1.2 Berechne den Flächeninhalt der im 4. Quadranten eingeschlossenen Fläche.
Für $f(x)=4 e^{x}$ , zeige, dass es keine Extrempunkte gibt.

Berechnen Sie die Uhrzeit, bei der die Temperatur $6^{\circ} \mathrm{C}$ ist, den Tageshöchstwert und die Nullstellen von $f^{\prime}(t)=-0,03 t^{2}+0,48 t$ .

For projectile motion on level ground, answer: (a) Is velocity ever zero? (b) When is it minimum? Maximum? (c) Can velocity equal initial velocity at times other than $t=0$ ? (d) Can speed equal initial speed at times other than $t=0$ ?

Differentiate the integral $\int_{\cos x}^{1} \sqrt{1-t^{2}} dt$ with respect to $x$ .

Find the derivative of the integral $\frac{d}{d x} \int_{1}^{e^{x}} \ln u^{2} d u$ .

Analyze projectile motion on level ground: (a) Is velocity ever zero? (b) When is it minimum/maximum? (c) Can velocity equal initial at $t \neq 0$ ? (d) Can speed equal initial at $t \neq 0$ ?

Berechnen Sie den Inhalt des Intervalls für $f(x)=6 x-x^{2}$ im Bereich $[2 ; 5]$ . Skizzieren Sie die Funktion.

Evaluate the limit: $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{x}}{x^{2}}$ . Choose from: a) $-\infty$ , b) $+\infty$ , c) 1, d) 0.

A triangle has legs of $3 \mathrm{~cm}$ and $4 \mathrm{~cm}$ . One leg decreases at $4 \mathrm{~cm/s}$ , the other increases at $3 \mathrm{~cm/s}$ . Find the rate of area change.

Evaluate $\lim _{x \rightarrow-\infty} x e^{x}$ . Options: a) $+\infty$ b) $-\infty$ c) 1 d) 0.

Calculate the integral from 1 to 16 of $\frac{1}{t^{1/4}}$ dt.

Aufgabe:
a) Berechne die mittlere Abkühlgeschwindigkeit von $T(2,43)$ bis $T(8,5)$ .
b) Bestimme die Temperatur $T(\infty)$ des Kaffees nach langer Zeit und erkläre, warum diese Temperatur erreicht wird.

Find when the particle with position $s(t)=t^{3}-2 t^{2}+4 t-1$ is decelerating for $0 \leq t \leq 8$ .

A square's side grows at $4 \mathrm{in} / \mathrm{sec}$ . Find area change rate when side length is 6 in.

Calculate the integral from 1 to 4 of $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ with respect to $x$ .

Gegeben ist $f(x)=\frac{1}{2}x^{3}-4x^{2}+8x$ . Bestimmen Sie die Schnittpunkte mit den Achsen, zeichnen Sie den Graphen für $x \in [0, 6]$ und berechnen Sie den Flächeninhalt zwischen $f$ und der x-Achse.

Find the sum of the series $S = \sum_{n=1}^{\infty} a n^{2} x^{n}$ for $a \neq 0$ and $|x|<1$ .

Find the integral for the surface area change of a cube when the side length increases from $s$ to $2s$ and evaluate it.

Write and evaluate an integral for the perimeter increase $P(s)$ of a square as side length $s$ goes from 2 to 4 units.

A sphere's radius increases at $0.04 \mathrm{~cm/sec}$ . Find rates of volume and area changes at given conditions.

Evaluate the series: $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{1}{2 n-1}$ .

Bestimme die Ableitung von $f(x)=2x+x^{3}$ .

Berechnen Sie die Ableitung von $f(x) = -(x-6)^{2} \cdot (x+1)$ .

Berechnen Sie die Fläche zwischen der $x$ -Achse und den Graphen von $f$ in den Intervallen: a) $[2 ; 5]$ , b) $[1 ; 4]$ , c) $[0 ; 6]$ , d) $[2 ; 4]$ .

Aufgabe: Zeichnen Sie den Graphen der Funktion $f(x)=-0,5 x^{2}-5 x-7$ im Intervall $I=[-8;-3]$ und berechnen Sie die Fläche $A_f$ zwischen Graph und $x$ -Achse.

Bestimmen Sie die Ableitungen $f^{\prime}$ für die Funktionen und zeichnen Sie die Graphen von $f$ und $f^{\prime}$ .

Find $x$ values that meet the Mean Value Theorem for $f(x)=x^{3}-x$ on the interval $[1,2]$ .

Find the slope of the tangent line to $x^{2}+2 y^{2}=11$ at the point $(3,-1)$ .

Finde die Punkte, wo die Steigung von $f(x)=e^{x}-\frac{x}{4}$ und $g(x)=\frac{x^{3}}{3}-2 x^{2}-x-1$ Null ist. Bestimme die Tangentengleichung $\mathrm{t}$ an $f$ bei $x=-5$ .