Calculus

Problem 32401

Finde die Ableitung von $f(t) = (6 - 2t)^9$ mit der Kettenregel.

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Problem 32402

Find the limit using L'Hôpital's Rule: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (11 x)}{x}=\square$

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Problem 32403

Find the limit using L'Hôpital's Rule: $\lim _{t \rightarrow-10} \frac{t^{2}-100}{5 t^{2}+49 t-10}=\square$

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Problem 32404

Find the derivative of the function $f(x)=\frac{2}{3} x^{3}$ . What is $f^{\prime}(x)$ ?

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Problem 32405

Find the limit as $x$ approaches 0 for the expression $\frac{x^{2}-3 \sin (x)}{x}$ . Enter I for $\infty$ , -I for $-\infty$ , or DNE if it doesn't exist.

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Problem 32406

Find the limit using L'Hospital's rule: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-x-1}{5 x^{2}}$ .

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Problem 32407

Find the limit as $x$ approaches $-\infty$ : $\lim _{x \rightarrow-\infty} x^{2} e^{x}$ . Use I'Hospital's Rule if necessary.

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Problem 32408

Find the limit as $t$ approaches 0 for $\frac{\tan 9 t}{t \sec t}$ .

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Problem 32409

Evaluate the integral from 0 to 8: $\int_{0}^{8} \sqrt{\frac{20}{z}} \, dz =$

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Problem 32410

Find the limit: $\lim _{t \rightarrow 0} \frac{\sin 4 t}{\sin 6 t}$ . Enter DNE if it doesn't exist.

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Problem 32411

Find the limit as $x$ approaches 0 for $\frac{\tan(7x)}{\sin(3x)}$ .

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Problem 32412

Find the normal line equation for $f(x)=\sqrt[3]{x}+3$ at the point where $x=8$ .

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Problem 32413

Find the limit as $x$ approaches 0: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan 5 x}{\tan 8 x}=\square$

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Problem 32414

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow 0}-\frac{e^{x}-(1+x)}{2 x^{2}}=\square$

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Problem 32415

Find the limit as $x$ approaches infinity: $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 \ln (x)}{x^{2}}=\square$

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Problem 32416

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow \infty}-5 x \sin \left(\frac{1}{x}\right)=\square$

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Problem 32417

Gegeben ist $f_{a}(x)=(\ln x)^{2}+a \cdot \ln x-\frac{3}{4} a^{2}$ . Zeigen Sie, dass $f_{a}$ einen Extrempunkt hat und bestimmen Sie dessen Koordinaten. Finden Sie $a$ , damit Extremstelle Nullstelle ist. Bestimmen Sie die Tangente $t_{a}$ und den Wert von $a$ , für den das Dreieck im IV. Quadranten gleichschenklig ist.

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Problem 32418

Which limit shows the derivative of $f(x)=\frac{1}{x-1}$ at $x=2$ ? Choose from the options given.

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Problem 32419

Evaluate the limit using L'Hôpital's Rule:
$\lim _{x \rightarrow \pi} \frac{14 \sin x}{x-\pi}$
Enter INF, -INF, or DNE if it doesn't exist.

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Problem 32420

Find expressions for $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ and $\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ for $f(x)=x^{3}$ .

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Problem 32421

Gegeben ist die Funktion $f(x)=e^{2 x}+1$ . Skizzieren Sie den Graphen für $-3 \leq x \leq 0,5$ und analysieren Sie die Wertemenge.

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Problem 32422

Gegeben ist die Funktion $f(x)=e^{2 x}+1$ . Skizzieren Sie den Graphen für $-3 \leq x \leq 0,5$ und untersuchen Sie die Wertemenge.

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Problem 32423

What does the limit $\lim _{x \rightarrow 5} \frac{\frac{2}{x^{2}}-\frac{2}{5^{2}}}{x-5}$ represent?

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Problem 32424

Find the slope of the tangent line to $f(x)=x^{3}+x$ at the point $(2,10)$ . Enter the exact value.

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Problem 32425

Untersuchen Sie die Funktion $N(t)=\frac{24}{2+10 \cdot e^{-0,5 t}}$ : a) Graph für $-4<t \leq 10$ (Schrittweite 2). b) Anfangs- und Grenzbestand? c) Bestimmen Sie $N'$ und skizzieren Sie den Graphen.

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Problem 32426

Berechnen Sie die Flächeninhaltsfunktion $\mathrm{A}_{0}(\mathrm{x})$ für die Funktionen: a) $f(x)=x$ , b) $f(x)=2$ , c) $f(x)=x+2$ .

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Problem 32427

Zeigen Sie, dass die Funktion $\mathrm{A}_{0}(x)=x^{2}+3x$ die Flächeninhaltsfunktion von $f(x)=2x+3$ für $x \in [0, a]$ ist.

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Problem 32428

Bestimme die Seitenlängen $a$ und $b$ eines Rechtecks mit Umfang $u=40 \mathrm{~cm}$ für maximalen Flächeninhalt.

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Problem 32429

Ein Land hat 20 Millionen Einwohner. Nach 5 Jahren sind es 23 Millionen. Bestimme die Wachstumsfunktion $N(t)$ und skizziere den Graphen. Berechne den Prozentsatz des Grenzbestands nach 50 Jahren und wann 95\% erreicht sind.

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Problem 32430

Q24 Given $y=f(x)$ and $y=g(x)$ intersecting at $x=a$ and $x=b$ , show why $\int_{a}^{b}|g(x)-f(x)| dx$ finds the area. Discuss its limitations.

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Problem 32431

Bestimme die Flächeninhaltsfunktion von $f$ mit unterer Grenze 0 für die Funktionen: a) $f(x)=x+1$ , b) $f(x)=x^{2}+2x+3$ , c) $f(x)=2x^{3}+4x+1$ , d) $f(x)=ax^{2}, a>0$ .

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Problem 32432

Übung 3: a) Bestimme die Flächeninhaltsfunktion $\mathrm{A}_{0}(\mathrm{x})$ für $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{3} \mathrm{x}^{2}$ . b) Berechne die Flächeninhalte für $[0; 1]$ und $[0; 2]$ . c) Finde den Flächeninhalt für $[1; 2]$ .

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Problem 32433

Find the derivative of the integral: $\frac{d}{d x}\left(\int_{2}^{x} \sin \left(t^{4}\right) d t\right)$ . What is it? (A) $\sin \left(x^{4}\right)$ (B) $4 x^{3} \cos \left(x^{4}\right)$ (C) $\sin \left(x^{4}\right)-\sin (16)$ (D) $4 x^{3} \cos \left(x^{4}\right)-32 \cos (16)$

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Problem 32434

Identify the right Riemann sum for $\int_{3}^{8} \sqrt{1+x} d x$ from the options given.

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Problem 32435

Find $h'(x)$ if $h(x)=\int_{-1}^{x^{3}} \sqrt{2+t^{2}} dt$ for $x \geq 0$ . Options: A) $\sqrt{2+x^{2}}$ , B) $\sqrt{2+x^{6}}$ , C) $3 x^{2} \sqrt{2+x^{2}}$ , D) $3 x^{2} \sqrt{2+x^{6}}$ .

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Problem 32436

Bestimme die Nullstelle von $f(x) = x^{3} + 2x - 2$ und $f(x) = x^{5} - x + 6$ mit dem Newton-Verfahren.

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Problem 32437

Berechnen Sie die Flächeninhaltsfunktion von $f$ mit unterer Grenze 0 für: a) $f(x)=x+1$ , b) $f(x)=x^{2}+2x+3$ , c) $f(x)=2x^{3}+4x+1$ , d) $f(x)=ax^{2}, a>0$ .

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Problem 32438

Bestimme die Flächeninhaltsfunktion von $f$ mit unterer Grenze 0 für: a) $f(x)=x+1$ , b) $f(x)=x^{2}+2x+3$ , c) $f(x)=2x^{3}+4x+1$ , d) $f(x)=ax^{2}, a>0$ .

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Problem 32439

Find the derivative of the integral $\frac{d}{d x} \int_{x}^{2}(\cos \sqrt[6]{t}) d t$ .

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Problem 32440

Find the average rate of change of $g(x)=4x^3+4$ from $x=-1$ to $x=2$ .

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Problem 32441

Differentiate the integral $\int_{e^{x}}^{6} \sin^{6} t \, dt$ with respect to $x$ .

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Problem 32442

Find the derivative of the integral $\int_{e}^{6} x\left(\sin^{6} t\right) dt$ with respect to $x$ .

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Problem 32443

Calculate the average rate of change of $g(x)=3 x^{2}+\frac{8}{x^{3}}$ over the interval $[-4,3]$ .

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Problem 32444

Find the derivative of the integral $\frac{d}{d x} \int_{0}^{x^{4}} \sqrt{1+t^{6}} \, dt$ .

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Problem 32445

Ein Land hat 20 Millionen Einwohner, wächst auf 23 Millionen in 5 Jahren und hat eine Grenze von 100 Millionen.
a) Bestimme die Wachstumsfunktion: $N(t) = \frac{N_{0} \cdot G}{N_{0} + (G - N_{0}) \cdot e^{-G \cdot k \cdot t}}$ Skizziere den Graphen für $0 < t \leq 100$ .
b) Wie viel Prozent des Grenzbestands sind nach 50 Jahren erreicht? Wann sind $95\%$ des Grenzbestands erreicht?

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Problem 32446

1. Find the limits: (a) $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{x}$ , (b) $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \operatorname{tg}(x) \ln (x)$ .
2. Show there exists $y \in \mathbb{R}$ such that $f(y)=\frac{1}{10} \sum_{k=1}^{10} f(x_{k})$ for continuous $f$ .
3. Derive $f$ : (a) $f(x)=\sin (x)^{\sin (x)}$ , (b) $f(x)=x \cos (x) \ln (x)$ .
4. Prove inequalities for $x>0$ : (a) $1-\frac{x^{2}}{2} \leqslant \cos (x)$ , (b) $x-\frac{x^{3}}{6} \leqslant \sin (x)$ .

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Problem 32447

Find $f^{\prime}(e)$ if $f(x)=x^{\ln x}$ . Choices: $e$ , 0, 1, 2.

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Problem 32448

Given $f(x)=3 x^{2}+C$ , find $B$ in $\frac{f(2+h)-f(2)}{h} = A h + B(2)$ , where $A=3$ .

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Problem 32449

Vergleich des Wachstums von zwei Staaten A und B mit den Funktionen $N_{A}(t)=\frac{1200}{20+40 \cdot e^{-0,048 t}}$ und $N_{B}(t)=\frac{600}{10+50 \cdot e^{-0,084 t}}$ . a) Graphen skizzieren für $0<t \leq 100$ . b) Anfangs- und Grenzbestände bestimmen. c) Zeit finden, wann $N_{A} = N_{B}$ .

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Problem 32450

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{5 x^{15}}{8 x^{12}+36 x^{15}}\right)$ .

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Problem 32451

Find the derivative of $f(x)=2 x^{2}+5 x+7$ using the limit definition. Simplify $f(x+h)-f(x)$ .

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Problem 32452

Gegeben ist $f_{a}(x)=(\ln x)^{2}+a \cdot \ln x-\frac{3}{4} a^{2}$ . Zeigen Sie, dass $f_{a}$ einen lokalen Extrempunkt hat. Bestimmen Sie $a$ , wenn Extremstelle Nullstelle ist. Finden Sie die Tangente $t_{a}$ , die ein gleichschenkliges Dreieck im vierten Quadranten bildet.

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Problem 32453

Find the derivative of $f(x)=2 x^{10}-x^{6}+8$ . What is $f^{\prime}(x)=?$

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Problem 32454

Find the derivative of $f(w)=w^{\frac{5}{6}}+4w$ and determine the domain of $f^{\prime}(w)$ in interval notation.

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Problem 32455

Find the derivative of $f(w)=(w^{(5/6)})+4w$ and state the domain of $f^{\prime}(w)$ in interval notation.

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Problem 32456

Find $(f g)^{\prime}(10)$ and $\left(\frac{f}{g}\right)^{\prime}(10)$ given $f(10)=5, f^{\prime}(10)=11, g(10)=-1, g^{\prime}(10)=8$ .

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Problem 32457

Expand $f(x)=\left(x^{2}+9\right)(2 x-7)$ , then find its derivative $f^{\prime}(x)$ .
$f(x)=$
$f^{\prime}(x)=$

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Problem 32458

Find the tangent line equation for $f(x)=(x^{2}+9)(x-2)$ at point $(0,-18)$ . $y=$

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Problem 32459

Find $\delta$ such that $|x^2 - 1| < 0.2$ for $0 < |x - 1| < \delta$ using the graph of $f(x) = x^2$ .

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Problem 32460

Find the derivative of $f(x)=(x^{2}+9)(2x-7)$ using the product rule. Define $g(x)=x^{2}+9$ and $h(x)=2x-7$ . Calculate $g'(x)$ , $h'(x)$ , and $f'(x)$ .

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Problem 32461

Finde den Wert von $z$ , der den maximalen Flächeninhalt $A$ des Rechtecks unter $f(x) = e^{x^2}$ ergibt.

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Problem 32462

Find the initial population of arctic flounder from $P(t)=\frac{9 t+168}{0.1 t^{2}+1}$ and calculate $P^{\prime}(10)$ .

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Problem 32463

Untersuchen Sie die Funktion $N(t)=\frac{24}{2+10 \cdot e^{-0,5 t}}$ : Graph skizzieren, Anfangsbestand, Grenzbestand, Ableitungsfunktion $N'$ bestimmen.

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Problem 32464

Find $\delta$ so that $|f(x)-0.25|<0.1$ for $0<|x-4|<\delta$ , where $f(x)=\frac{1}{x}$ .

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Problem 32465

Find the derivative of $f(x)=(x^{2}+9)(2x-7)$ using the product rule. Let $g(x)=x^{2}+9$ and $h(x)=2x-7$ .

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Problem 32466

Is the statement true or false? A function $f$ has a local max at $c$ if $\forall x \in I, f(x) \leq f(c)$ . Choose A, B, C, or D.

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Problem 32467

Ein Land hat 20 Millionen Einwohner, wächst auf 23 Millionen in 5 Jahren. Bestimme die Wachstumsfunktion $N(t)$ und Prozentsätze.

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Problem 32468

Determine where the function $g(x)=x^{5}-10 x^{3}$ is concave up from the options: a, b, c, or d.

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Problem 32469

Find the value of $c$ for the function $f(x)=3 x^{2}$ on $[0,3]$ that satisfies the Mean Value Theorem.

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Problem 32470

Find the absolute maximum of $f(x)=\frac{x}{\pi}+\tan x$ on $[0, \frac{\pi}{4}]$ . Options: a. $\frac{5}{4}$ b. $\frac{\pi}{4}$ c. 0 d. No maximum.

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Problem 32471

A particle moves with velocity $v(t)=-6 t+18$ . If $x(0)=2$ , find $x(2)$ .

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Problem 32472

Find the inflection point of the function $f(x)=x^{3}-x^{2}+3x+1$ . Options: a. 1, b. None, c. $\frac{1}{3}$ , d. 3.

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Problem 32473

Find the position of a particle at time $t=2$ given $v(t)=3 t^{2}-2 t$ and $x(0)=10$ .

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Problem 32474

Evaluate the integral from 2 to $e^{2}$ of $\frac{1+\ln x}{x \ln x} dx$ . Choices: a. $3+\ln 2$ , b. $1+\ln 2$ , c. $1-\ln 2$ , d. $2-\ln (\ln 2)$ .

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Problem 32475

Find $\frac{d f^{-1}}{d x}$ at $x=f(2)$ for $f(x)=2 x^{3}$ . Options: a. 16 b. none c. $\frac{1}{8}$ d. $\frac{1}{24}$ e. 4

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Problem 32476

Find the position of a particle at time $t=1$ given $v(t)=6 t^{2}+8 t+7$ and $x(3)=7$ .

See Solution

Problem 32477

Find the position of a particle at time $t=1$ given $v(t)=6 t^{2}-6 t$ and $x=-8$ at $t=3$ .

See Solution

Problem 32478

Find the position of a particle at time $t=0$ if its velocity is $v(t)=3 t^{2}-8$ and $x(1)=3$ .

See Solution

Problem 32479

Find the position of a particle at time $t=1$ given $v(t)=6 t^{2}+8$ and $x=-6$ at $t=3$ .

See Solution

Problem 32480

Find the derivative $y'$ , where $y=\ln \frac{1}{x \sqrt{x+1}}$ . Options are: a, b, c, d, e.

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Problem 32481

Vergleichen Sie die Bevölkerungswachstumsfunktionen $N_{A}(t)=\frac{1200}{20+40 \cdot e^{-0,048 t}}$ und $N_{B}(t)=\frac{600}{10+50 \cdot e^{-0,084 t}}$ für $0<t \leq 100$ . Skizzieren Sie die Graphen.

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Problem 32482

Find the position of a particle at time $t=3$ given $v(t)=3 t^{2}+2 t$ and $x=-4$ at $t=1$ .

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Problem 32483

Find the rectangle's dimensions with maximum area inscribed in a circle of radius $10 \mathrm{~cm}$ .

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Problem 32484

Find $\frac{d y}{d x}$ if $e^{y}=6 x+3 y$ . Select the correct option from the choices given.

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Problem 32485

Find the integral: $\int \frac{x+6}{x^{2}+12 x+6} d x$

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Problem 32486

Evaluate the integral from 3 to 9 of $\frac{1}{x(\ln x)^{2}} \, dx$ . What is the result?

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Problem 32487

A cannonball fired parallel to the ground orbits Earth if it reaches a speed of $7.91 \times 10^{3} \mathrm{~m/s}$ . How long to orbit? $(1.40 \mathrm{~h})$

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Problem 32488

A rocket accelerates at $15.6 \mathrm{~m/s^2}$ for 6.94 s, then falls. Find time to peak, height at peak, and landing time.

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Problem 32489

Find the vertical and horizontal asymptotes of the function $f(x)=\frac{1}{x^{2}}$ .

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Problem 32490

Find the limits:
1. $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\log_{3}(9+h)-2}{h}$
2. $f^{\prime}(0)$ for $f(x)=\log_{3} x$
3. $f^{\prime}(2)$ for $f(x)=\log_{3} x$
4. $f^{\prime}(2)$ for $f(x)=\log_{3}(x+9)$
5. $f^{\prime}(9)$ for $f(x)=\log_{3} x$

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Problem 32491

Find the derivative $f^{\prime}(x)$ for $f(x)=\arctan(5 e^{-x})$ .

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Problem 32492

Find $\frac{d y}{d x}$ at $y=3$ for the equation $y^{2}+2 x^{3} y=3$ . Choices: $-\frac{15}{4}$ , $-\frac{9}{4}$ , 0, $-\frac{9}{2}$ .

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Problem 32493

Find intercepts, holes, asymptotes of $y=\frac{x^{3}-2 x^{2}-x+2}{x^{2}-x-6}$ and sketch. Also, estimate rate of change for: a) $f(x)=x^{3}+x^{2}$ at $x=2$ b) $f(x)=-x^{4}+1$ at $x=3$ using $\pm 0.001$ .

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Problem 32494

Find the limit: $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{4 \cdot 6 + 9 \cdot 4 + 14 \cdot 5 + \cdots + (5 n-1)(n+2)}{n^{3}}$ .

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Problem 32495

Determine if the series converges or diverges: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}}\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n^{2}}$

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Problem 32496

Solve the equation using Separation of Variables: $y' - \frac{9 x^{2}}{y^{3}}=0$ . Include the constant $C$ .

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Problem 32497

Solve the differential equation $y' + 16xy^8 = 0$ using separation of variables. Include the constant $C$ .

See Solution

Problem 32498

Solve the IVP: $y y' = x e^{-y^2}$ , with $y(0) = -5$ . Use exact numbers and symbolic notation.

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Problem 32499

Normalize the wave function $\Psi(x)=\sqrt{\frac{2}{L}} \sin \left(\frac{\pi x}{L}\right)$ for a particle in a box.

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Problem 32500

Estimate the instantaneous rate of change for: a) $f(x)=x^{3}+x^{2}$ at $x=2$ b) $f(x)=-x^{4}+1$ at $x=3$ Also, find the average rate of change of $P(t)=6t^{2}+110t+3000$ from 1995 to 2005.

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337

Calculus

Problem 32401

Finde die Ableitung von f(t)=(6−2t)9f(t) = (6 - 2t)^9f(t)=(6−2t)9 mit der Kettenregel.

Problem 32402

Find the limit using L'Hôpital's Rule: lim⁡x→0sin⁡(11x)x=□\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (11 x)}{x}=\squarex→0lim​xsin(11x)​=□

Problem 32403

Find the limit using L'Hôpital's Rule: lim⁡t→−10t2−1005t2+49t−10=□\lim _{t \rightarrow-10} \frac{t^{2}-100}{5 t^{2}+49 t-10}=\squaret→−10lim​5t2+49t−10t2−100​=□

Problem 32404

Find the derivative of the function f(x)=23x3f(x)=\frac{2}{3} x^{3}f(x)=32​x3. What is f′(x)f^{\prime}(x)f′(x)?

Problem 32405

Find the limit as xxx approaches 0 for the expression x2−3sin⁡(x)x\frac{x^{2}-3 \sin (x)}{x}xx2−3sin(x)​. Enter I for ∞\infty∞, -I for −∞-\infty−∞, or DNE if it doesn't exist.

Problem 32406

Find the limit using L'Hospital's rule: lim⁡x→0ex−x−15x2\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-x-1}{5 x^{2}}x→0lim​5x2ex−x−1​.

Problem 32407

Find the limit as x x x approaches −∞-\infty−∞: lim⁡x→−∞x2ex \lim _{x \rightarrow-\infty} x^{2} e^{x} limx→−∞​x2ex. Use I'Hospital's Rule if necessary.

Problem 32408

Find the limit as ttt approaches 0 for tan⁡9ttsec⁡t\frac{\tan 9 t}{t \sec t}tsecttan9t​.

Problem 32409

Evaluate the integral from 0 to 8: ∫0820z dz=\int_{0}^{8} \sqrt{\frac{20}{z}} \, dz = ∫08​z20​​dz=

Problem 32410

Find the limit: lim⁡t→0sin⁡4tsin⁡6t\lim _{t \rightarrow 0} \frac{\sin 4 t}{\sin 6 t}limt→0​sin6tsin4t​. Enter DNE if it doesn't exist.

Problem 32411

Find the limit as x x x approaches 0 for tan⁡(7x)sin⁡(3x) \frac{\tan(7x)}{\sin(3x)} sin(3x)tan(7x)​.

Problem 32412

Find the normal line equation for f(x)=x3+3f(x)=\sqrt[3]{x}+3f(x)=3x​+3 at the point where x=8x=8x=8.

Problem 32413

Find the limit as xxx approaches 0: lim⁡x→0tan⁡5xtan⁡8x=□\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan 5 x}{\tan 8 x}=\squarelimx→0​tan8xtan5x​=□

Problem 32414

Find the limit: lim⁡x→0−ex−(1+x)2x2=□\lim _{x \rightarrow 0}-\frac{e^{x}-(1+x)}{2 x^{2}}=\squarelimx→0​−2x2ex−(1+x)​=□

Problem 32415

Find the limit as xxx approaches infinity: lim⁡x→∞2ln⁡(x)x2=□\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 \ln (x)}{x^{2}}=\squarelimx→∞​x22ln(x)​=□

Problem 32416

Find the limit: lim⁡x→∞−5xsin⁡(1x)=□\lim _{x \rightarrow \infty}-5 x \sin \left(\frac{1}{x}\right)=\squarex→∞lim​−5xsin(x1​)=□

Problem 32417

Problem 32418

Which limit shows the derivative of f(x)=1x−1f(x)=\frac{1}{x-1}f(x)=x−11​ at x=2x=2x=2? Choose from the options given.

Problem 32419

Evaluate the limit using L'Hôpital's Rule: lim⁡x→π14sin⁡xx−π \lim _{x \rightarrow \pi} \frac{14 \sin x}{x-\pi} x→πlim​x−π14sinx​ Enter INF, -INF, or DNE if it doesn't exist.

Problem 32420

Find expressions for f(x+h)−f(x)h\frac{f(x+h)-f(x)}{h}hf(x+h)−f(x)​ and lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}limh→0​hf(x+h)−f(x)​ for f(x)=x3f(x)=x^{3}f(x)=x3.

Problem 32421

Gegeben ist die Funktion f(x)=e2x+1f(x)=e^{2 x}+1f(x)=e2x+1. Skizzieren Sie den Graphen für −3≤x≤0,5-3 \leq x \leq 0,5−3≤x≤0,5 und analysieren Sie die Wertemenge.

Problem 32422

Gegeben ist die Funktion f(x)=e2x+1f(x)=e^{2 x}+1f(x)=e2x+1. Skizzieren Sie den Graphen für −3≤x≤0,5-3 \leq x \leq 0,5−3≤x≤0,5 und untersuchen Sie die Wertemenge.

Problem 32423

What does the limit lim⁡x→52x2−252x−5\lim _{x \rightarrow 5} \frac{\frac{2}{x^{2}}-\frac{2}{5^{2}}}{x-5}limx→5​x−5x22​−522​​ represent?

Problem 32424

Find the slope of the tangent line to f(x)=x3+xf(x)=x^{3}+xf(x)=x3+x at the point (2,10)(2,10)(2,10). Enter the exact value.

Problem 32425

Untersuchen Sie die Funktion N(t)=242+10⋅e−0,5tN(t)=\frac{24}{2+10 \cdot e^{-0,5 t}}N(t)=2+10⋅e−0,5t24​: a) Graph für −4<t≤10-4<t \leq 10−4<t≤10 (Schrittweite 2). b) Anfangs- und Grenzbestand? c) Bestimmen Sie N′N'N′ und skizzieren Sie den Graphen.

Problem 32426

Berechnen Sie die Flächeninhaltsfunktion A0(x)\mathrm{A}_{0}(\mathrm{x})A0​(x) für die Funktionen: a) f(x)=xf(x)=xf(x)=x, b) f(x)=2f(x)=2f(x)=2, c) f(x)=x+2f(x)=x+2f(x)=x+2.

Problem 32427

Zeigen Sie, dass die Funktion A0(x)=x2+3x\mathrm{A}_{0}(x)=x^{2}+3xA0​(x)=x2+3x die Flächeninhaltsfunktion von f(x)=2x+3f(x)=2x+3f(x)=2x+3 für x∈[0,a]x \in [0, a]x∈[0,a] ist.

Problem 32428

Bestimme die Seitenlängen aaa und bbb eines Rechtecks mit Umfang u=40 cmu=40 \mathrm{~cm}u=40 cm für maximalen Flächeninhalt.

Problem 32429

Ein Land hat 20 Millionen Einwohner. Nach 5 Jahren sind es 23 Millionen. Bestimme die Wachstumsfunktion N(t)N(t)N(t) und skizziere den Graphen. Berechne den Prozentsatz des Grenzbestands nach 50 Jahren und wann 95\% erreicht sind.

Problem 32430

Q24 Given y=f(x)y=f(x)y=f(x) and y=g(x)y=g(x)y=g(x) intersecting at x=ax=ax=a and x=bx=bx=b, show why ∫ab∣g(x)−f(x)∣dx\int_{a}^{b}|g(x)-f(x)| dx∫ab​∣g(x)−f(x)∣dx finds the area. Discuss its limitations.

Problem 32431

Bestimme die Flächeninhaltsfunktion von fff mit unterer Grenze 0 für die Funktionen: a) f(x)=x+1f(x)=x+1f(x)=x+1, b) f(x)=x2+2x+3f(x)=x^{2}+2x+3f(x)=x2+2x+3, c) f(x)=2x3+4x+1f(x)=2x^{3}+4x+1f(x)=2x3+4x+1, d) f(x)=ax2,a>0f(x)=ax^{2}, a>0f(x)=ax2,a>0.

Problem 32432

Übung 3: a) Bestimme die Flächeninhaltsfunktion A0(x)\mathrm{A}_{0}(\mathrm{x})A0​(x) für f(x)=13x2\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{3} \mathrm{x}^{2}f(x)=31​x2. b) Berechne die Flächeninhalte für [0;1][0; 1][0;1] und [0;2][0; 2][0;2]. c) Finde den Flächeninhalt für [1;2][1; 2][1;2].

Problem 32433

Problem 32434

Identify the right Riemann sum for ∫381+xdx\int_{3}^{8} \sqrt{1+x} d x∫38​1+x​dx from the options given.

Problem 32435

Find h′(x)h'(x)h′(x) if h(x)=∫−1x32+t2dth(x)=\int_{-1}^{x^{3}} \sqrt{2+t^{2}} dth(x)=∫−1x3​2+t2​dt for x≥0x \geq 0x≥0. Options: A) 2+x2\sqrt{2+x^{2}}2+x2​, B) 2+x6\sqrt{2+x^{6}}2+x6​, C) 3x22+x23 x^{2} \sqrt{2+x^{2}}3x22+x2​, D) 3x22+x63 x^{2} \sqrt{2+x^{6}}3x22+x6​.

Problem 32436

Bestimme die Nullstelle von f(x)=x3+2x−2f(x) = x^{3} + 2x - 2f(x)=x3+2x−2 und f(x)=x5−x+6f(x) = x^{5} - x + 6f(x)=x5−x+6 mit dem Newton-Verfahren.

Problem 32437

Berechnen Sie die Flächeninhaltsfunktion von fff mit unterer Grenze 0 für: a) f(x)=x+1f(x)=x+1f(x)=x+1, b) f(x)=x2+2x+3f(x)=x^{2}+2x+3f(x)=x2+2x+3, c) f(x)=2x3+4x+1f(x)=2x^{3}+4x+1f(x)=2x3+4x+1, d) f(x)=ax2,a>0f(x)=ax^{2}, a>0f(x)=ax2,a>0.

Problem 32438

Bestimme die Flächeninhaltsfunktion von fff mit unterer Grenze 0 für: a) f(x)=x+1f(x)=x+1f(x)=x+1, b) f(x)=x2+2x+3f(x)=x^{2}+2x+3f(x)=x2+2x+3, c) f(x)=2x3+4x+1f(x)=2x^{3}+4x+1f(x)=2x3+4x+1, d) f(x)=ax2,a>0f(x)=ax^{2}, a>0f(x)=ax2,a>0.

Problem 32439

Find the derivative of the integral ddx∫x2(cos⁡t6)dt\frac{d}{d x} \int_{x}^{2}(\cos \sqrt[6]{t}) d tdxd​∫x2​(cos6t​)dt.

Problem 32440

Find the average rate of change of g(x)=4x3+4g(x)=4x^3+4g(x)=4x3+4 from x=−1x=-1x=−1 to x=2x=2x=2.

Problem 32441

Finde die Ableitung von $f(t) = (6 - 2t)^9$ mit der Kettenregel.

Find the limit using L'Hôpital's Rule: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (11 x)}{x}=\square$

Find the limit using L'Hôpital's Rule: $\lim _{t \rightarrow-10} \frac{t^{2}-100}{5 t^{2}+49 t-10}=\square$

Find the derivative of the function $f(x)=\frac{2}{3} x^{3}$ . What is $f^{\prime}(x)$ ?

Find the limit as $x$ approaches 0 for the expression $\frac{x^{2}-3 \sin (x)}{x}$ . Enter I for $\infty$ , -I for $-\infty$ , or DNE if it doesn't exist.

Find the limit using L'Hospital's rule: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-x-1}{5 x^{2}}$ .

Find the limit as $x$ approaches $-\infty$ : $\lim _{x \rightarrow-\infty} x^{2} e^{x}$ . Use I'Hospital's Rule if necessary.

Find the limit as $t$ approaches 0 for $\frac{\tan 9 t}{t \sec t}$ .

Evaluate the integral from 0 to 8: $\int_{0}^{8} \sqrt{\frac{20}{z}} \, dz =$

Find the limit: $\lim _{t \rightarrow 0} \frac{\sin 4 t}{\sin 6 t}$ . Enter DNE if it doesn't exist.

Find the limit as $x$ approaches 0 for $\frac{\tan(7x)}{\sin(3x)}$ .

Find the normal line equation for $f(x)=\sqrt[3]{x}+3$ at the point where $x=8$ .

Find the limit as $x$ approaches 0: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan 5 x}{\tan 8 x}=\square$

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow 0}-\frac{e^{x}-(1+x)}{2 x^{2}}=\square$

Find the limit as $x$ approaches infinity: $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 \ln (x)}{x^{2}}=\square$

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow \infty}-5 x \sin \left(\frac{1}{x}\right)=\square$

Which limit shows the derivative of $f(x)=\frac{1}{x-1}$ at $x=2$ ? Choose from the options given.

Evaluate the limit using L'Hôpital's Rule:
$\lim _{x \rightarrow \pi} \frac{14 \sin x}{x-\pi}$
Enter INF, -INF, or DNE if it doesn't exist.

Find expressions for $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ and $\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ for $f(x)=x^{3}$ .

Gegeben ist die Funktion $f(x)=e^{2 x}+1$ . Skizzieren Sie den Graphen für $-3 \leq x \leq 0,5$ und analysieren Sie die Wertemenge.

Gegeben ist die Funktion $f(x)=e^{2 x}+1$ . Skizzieren Sie den Graphen für $-3 \leq x \leq 0,5$ und untersuchen Sie die Wertemenge.

What does the limit $\lim _{x \rightarrow 5} \frac{\frac{2}{x^{2}}-\frac{2}{5^{2}}}{x-5}$ represent?

Find the slope of the tangent line to $f(x)=x^{3}+x$ at the point $(2,10)$ . Enter the exact value.

Untersuchen Sie die Funktion $N(t)=\frac{24}{2+10 \cdot e^{-0,5 t}}$ : a) Graph für $-4<t \leq 10$ (Schrittweite 2). b) Anfangs- und Grenzbestand? c) Bestimmen Sie $N'$ und skizzieren Sie den Graphen.

Berechnen Sie die Flächeninhaltsfunktion $\mathrm{A}_{0}(\mathrm{x})$ für die Funktionen: a) $f(x)=x$ , b) $f(x)=2$ , c) $f(x)=x+2$ .

Zeigen Sie, dass die Funktion $\mathrm{A}_{0}(x)=x^{2}+3x$ die Flächeninhaltsfunktion von $f(x)=2x+3$ für $x \in [0, a]$ ist.

Bestimme die Seitenlängen $a$ und $b$ eines Rechtecks mit Umfang $u=40 \mathrm{~cm}$ für maximalen Flächeninhalt.

Ein Land hat 20 Millionen Einwohner. Nach 5 Jahren sind es 23 Millionen. Bestimme die Wachstumsfunktion $N(t)$ und skizziere den Graphen. Berechne den Prozentsatz des Grenzbestands nach 50 Jahren und wann 95\% erreicht sind.

Q24 Given $y=f(x)$ and $y=g(x)$ intersecting at $x=a$ and $x=b$ , show why $\int_{a}^{b}|g(x)-f(x)| dx$ finds the area. Discuss its limitations.

Bestimme die Flächeninhaltsfunktion von $f$ mit unterer Grenze 0 für die Funktionen: a) $f(x)=x+1$ , b) $f(x)=x^{2}+2x+3$ , c) $f(x)=2x^{3}+4x+1$ , d) $f(x)=ax^{2}, a>0$ .

Übung 3: a) Bestimme die Flächeninhaltsfunktion $\mathrm{A}_{0}(\mathrm{x})$ für $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{3} \mathrm{x}^{2}$ . b) Berechne die Flächeninhalte für $[0; 1]$ und $[0; 2]$ . c) Finde den Flächeninhalt für $[1; 2]$ .

Identify the right Riemann sum for $\int_{3}^{8} \sqrt{1+x} d x$ from the options given.

Find $h'(x)$ if $h(x)=\int_{-1}^{x^{3}} \sqrt{2+t^{2}} dt$ for $x \geq 0$ . Options: A) $\sqrt{2+x^{2}}$ , B) $\sqrt{2+x^{6}}$ , C) $3 x^{2} \sqrt{2+x^{2}}$ , D) $3 x^{2} \sqrt{2+x^{6}}$ .

Bestimme die Nullstelle von $f(x) = x^{3} + 2x - 2$ und $f(x) = x^{5} - x + 6$ mit dem Newton-Verfahren.

Berechnen Sie die Flächeninhaltsfunktion von $f$ mit unterer Grenze 0 für: a) $f(x)=x+1$ , b) $f(x)=x^{2}+2x+3$ , c) $f(x)=2x^{3}+4x+1$ , d) $f(x)=ax^{2}, a>0$ .

Bestimme die Flächeninhaltsfunktion von $f$ mit unterer Grenze 0 für: a) $f(x)=x+1$ , b) $f(x)=x^{2}+2x+3$ , c) $f(x)=2x^{3}+4x+1$ , d) $f(x)=ax^{2}, a>0$ .

Find the derivative of the integral $\frac{d}{d x} \int_{x}^{2}(\cos \sqrt[6]{t}) d t$ .

Find the average rate of change of $g(x)=4x^3+4$ from $x=-1$ to $x=2$ .

Differentiate the integral $\int_{e^{x}}^{6} \sin^{6} t \, dt$ with respect to $x$ .

Find the derivative of the integral $\int_{e}^{6} x\left(\sin^{6} t\right) dt$ with respect to $x$ .

Calculate the average rate of change of $g(x)=3 x^{2}+\frac{8}{x^{3}}$ over the interval $[-4,3]$ .

Find the derivative of the integral $\frac{d}{d x} \int_{0}^{x^{4}} \sqrt{1+t^{6}} \, dt$ .

Find $f^{\prime}(e)$ if $f(x)=x^{\ln x}$ . Choices: $e$ , 0, 1, 2.

Given $f(x)=3 x^{2}+C$ , find $B$ in $\frac{f(2+h)-f(2)}{h} = A h + B(2)$ , where $A=3$ .

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{5 x^{15}}{8 x^{12}+36 x^{15}}\right)$ .

Find the derivative of $f(x)=2 x^{2}+5 x+7$ using the limit definition. Simplify $f(x+h)-f(x)$ .

Find the derivative of $f(x)=2 x^{10}-x^{6}+8$ . What is $f^{\prime}(x)=?$

Find the derivative of $f(w)=w^{\frac{5}{6}}+4w$ and determine the domain of $f^{\prime}(w)$ in interval notation.

Find the derivative of $f(w)=(w^{(5/6)})+4w$ and state the domain of $f^{\prime}(w)$ in interval notation.

Find $(f g)^{\prime}(10)$ and $\left(\frac{f}{g}\right)^{\prime}(10)$ given $f(10)=5, f^{\prime}(10)=11, g(10)=-1, g^{\prime}(10)=8$ .

Expand $f(x)=\left(x^{2}+9\right)(2 x-7)$ , then find its derivative $f^{\prime}(x)$ .
$f(x)=$
$f^{\prime}(x)=$

Find the tangent line equation for $f(x)=(x^{2}+9)(x-2)$ at point $(0,-18)$ . $y=$

Find $\delta$ such that $|x^2 - 1| < 0.2$ for $0 < |x - 1| < \delta$ using the graph of $f(x) = x^2$ .

Find the derivative of $f(x)=(x^{2}+9)(2x-7)$ using the product rule. Define $g(x)=x^{2}+9$ and $h(x)=2x-7$ . Calculate $g'(x)$ , $h'(x)$ , and $f'(x)$ .

Finde den Wert von $z$ , der den maximalen Flächeninhalt $A$ des Rechtecks unter $f(x) = e^{x^2}$ ergibt.

Find the initial population of arctic flounder from $P(t)=\frac{9 t+168}{0.1 t^{2}+1}$ and calculate $P^{\prime}(10)$ .

Untersuchen Sie die Funktion $N(t)=\frac{24}{2+10 \cdot e^{-0,5 t}}$ : Graph skizzieren, Anfangsbestand, Grenzbestand, Ableitungsfunktion $N'$ bestimmen.

Find $\delta$ so that $|f(x)-0.25|<0.1$ for $0<|x-4|<\delta$ , where $f(x)=\frac{1}{x}$ .

Find the derivative of $f(x)=(x^{2}+9)(2x-7)$ using the product rule. Let $g(x)=x^{2}+9$ and $h(x)=2x-7$ .

Is the statement true or false? A function $f$ has a local max at $c$ if $\forall x \in I, f(x) \leq f(c)$ . Choose A, B, C, or D.

Ein Land hat 20 Millionen Einwohner, wächst auf 23 Millionen in 5 Jahren. Bestimme die Wachstumsfunktion $N(t)$ und Prozentsätze.

Determine where the function $g(x)=x^{5}-10 x^{3}$ is concave up from the options: a, b, c, or d.

Find the value of $c$ for the function $f(x)=3 x^{2}$ on $[0,3]$ that satisfies the Mean Value Theorem.

Find the absolute maximum of $f(x)=\frac{x}{\pi}+\tan x$ on $[0, \frac{\pi}{4}]$ . Options: a. $\frac{5}{4}$ b. $\frac{\pi}{4}$ c. 0 d. No maximum.

A particle moves with velocity $v(t)=-6 t+18$ . If $x(0)=2$ , find $x(2)$ .

Find the inflection point of the function $f(x)=x^{3}-x^{2}+3x+1$ . Options: a. 1, b. None, c. $\frac{1}{3}$ , d. 3.

Find the position of a particle at time $t=2$ given $v(t)=3 t^{2}-2 t$ and $x(0)=10$ .

Evaluate the integral from 2 to $e^{2}$ of $\frac{1+\ln x}{x \ln x} dx$ . Choices: a. $3+\ln 2$ , b. $1+\ln 2$ , c. $1-\ln 2$ , d. $2-\ln (\ln 2)$ .