Calculus

Problem 6601

Find the derivative of $f(x)=2x\sqrt{x}+\frac{7}{x^{2}\sqrt{x}}$ .

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Problem 6602

Find the derivative of the function $f(x)=2 x \sqrt{x}+\frac{7}{x^{2} \sqrt{x}}$ . What is $f^{\prime}(x)$ ?

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Problem 6603

Find the function $f(x)$ and the number $a$ such that $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{h^{3}}{h} = f^{\prime}(a)$ . $f(x)=\square, \quad a=\square$

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Problem 6604

Ein Algenteppich wächst auf einem See, beginnend mit $2 m^{\wedge} 2$ und täglich um 5\%. Bestimme die Fläche nach 10 und 50 Tagen.

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Problem 6605

Find the second derivative of $h(t)=(t^{8}+9) \sin t$ .

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Problem 6606

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}}{1-\cos x}$ .

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Problem 6607

Find the derivative of $y=3x^8 + 2x + 1$ with respect to $x$ .

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Problem 6608

Find $d y / d x$ for the function $y=5 x^{9}$ .

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Problem 6609

Differentiate the function $g(t) = t^{5} \ln(6t)$ .

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Problem 6610

Find the derivative of the function $y=\frac{1}{2}(x^{4}+7)$ .

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Problem 6611

Find the derivative of $y=5 x^{9}$ with respect to $x$ .

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Problem 6612

Find the derivative of $y=\frac{1}{2}(x^{4}+7)$ with respect to $x$ .

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Problem 6613

Find the derivative of $f(x)=\sin^{-1}(e^{6x})$ .

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Problem 6614

Find the derivative of $y=-3 x^{12}$ with respect to $x$ .

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Problem 6615

Find the slope of the tangent line to the curve $y=x^{2}+4x+7$ at the point where $x=1$ .

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Problem 6616

Bestimme die Wendestellen und Sattelstellen für die Funktionen: a) $f(x)=2 x^{3}-2 x^{2}+1$ , b) $g(x)=3 x^{4}+8 x^{3}$ , c) $h(x)=-\frac{1}{4} x^{4}+\frac{10}{3} x^{3}-16 x^{2}+32 x$ .

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Problem 6617

Find the derivative of the function $y=-3x^{12}$ .

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Problem 6618

Gegeben ist die Funktion $f(x)=x^{3}-6,6 x^{2}+13,68 x-8,64$ . Bestimmen Sie die Nullstellen, den y-Achsen-Schnitt, die Steigung bei $x=-1$ und die Extrempunkte.

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Problem 6619

Soit $p(x)=x^{3}-3x^{2}+5x+1$ sur $[-3;4]$ . Étudiez ses variations, résolvez $p(x)=0$ , et trouvez $\alpha$ . Pour $f(x)=\frac{e^{x}}{1+x^{2}}$ , calculez $f'$ et justifiez une tangente horizontale en $x=1$ . Vérifiez si le profil du toboggan a deux points d'inflexion avec $f''(x)=\frac{p(x)(x-1)e^{x}}{(1+x^{2})^{3}}$ .

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Problem 6620

Führe eine Kurvendiskussion für $f(x)=3 e^{-3}+14 x^{2}$ durch, benutze nur Produkt- oder Kettenregel zum Ableiten.

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Problem 6621

Find the fourth derivative of $x^{3} \ln x$ .

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Problem 6622

Find the tangent line equation to the curve $y - \ln(x^{7} + y^{7}) = 0$ at the point (1,0).

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Problem 6623

Analysiere die Funktion $f(x)=3 e^{-3}+14 x^{2}$ : Finde Ableitungen, Nullstellen, Extrema, Wendepunkte und berechne das Integral.

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Problem 6624

Differentiate the function: $y=\ln \left(x^{3} \sin ^{2} x\right)$ .

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Problem 6625

Find the derivative of $y=x^{7 x}$ using logarithmic differentiation.

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Problem 6626

Differentiate the function $g(t) = t^{5} \ln(3t)$ .

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Problem 6627

Find the rate of surface area increase of a cube with edge length $90 \mathrm{~cm}$ , given volume increase of $10 \mathrm{cm}^{3}/\mathrm{min}$ .

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Problem 6628

A projectile is shot from $2.5 \mathrm{~m}$ high with an initial speed of $25.48 \mathrm{~m/s}$ . Find: a) Time to max height. b) Maximum height using $h=2.5+25.48 t-4.9 t^{2}$ .

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Problem 6629

Find when the particle's position $s=t^{3}-10.5 t^{2}-2 t$ has a velocity of $22 \mathrm{~m/s}$ for $t \geq 0$ .

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Problem 6630

Find the derivative of $y=\sqrt[5]{\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}}$ using logarithmic differentiation.

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Problem 6631

Berechnen Sie die unbestimmten Integrale: a) $\int x^{7} d x$ , b) $\int a^{2} z^{-4} d z$ , c) $\int -e^{t} d t$ , d) $\int \frac{k}{u} d u$ , e) $\int -\cos x d x$ , f) $\int r^{2.5} d r$ .

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Problem 6632

a) Nenne die Formel zur partiellen Integration. b) Finde die Stammfunktionen von $a(x)=2 e^{x}$ , $b(x)=a x \cdot e^{x}$ und $c(x)=\cos (x) x^{2}$ . c) Zeige, dass $F(x)=\frac{(\sin (x))^{2}}{2}+7$ eine Stammfunktion von $f(x)=\sin (x) \cos (x)$ ist. d) Berechne $\int_{0}^{1} e^{x} \cdot \frac{1}{2} x \, dx$ und $\int_{-2}^{2} \sin (x) x \, dx$ .

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Problem 6633

Find the position, velocity, speed, and acceleration of $s(t)=2 \sin t+5 \cos t$ at $t=\frac{\pi}{2}$ .

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Problem 6634

Gegeben ist die Funktion $g(x)=-\frac{1}{8} x^{3}+\frac{1}{2} x^{2}$ . Untersuche $g$ : Zeichne, finde Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte und maximale Steigung. Bestimme $g^{*}$ nach Spiegelung an der $y$ -Achse.

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Problem 6635

Finden Sie die zweite Ableitung der Funktion $g(x)=x^{2}-4 \sqrt{x}$ für $x \geq 0$ .

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Problem 6636

Bestimmen Sie die Grenzwerte der Folgen $c_{n}$ : a) $\frac{2}{n}+\frac{1}{n^{2}}$ , b) $\frac{3 n+1}{n+2}$ , c) $\frac{8 n+2}{n^{2}+n}$ , d) $\frac{n^{2}+n+4}{n(n+2)}$ , e) $\frac{2 n+3}{(n+1) \cdot 2^{n}}$ , f) $\left(4-\frac{1}{n^{2}}\right) \cdot\left(\frac{n+1}{n}\right)$ , g) $\frac{n-\frac{1}{n}}{n^{2}-\frac{1}{n^{2}}}$ , h) $\frac{\frac{2}{n}}{\frac{3}{n^{2}}-\frac{1}{n}}$ .

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Problem 6637

Find when the body is stationary, moving positively, and negatively for $s(t)=-3+4t-t^2$ . Sketch its position over time.

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Problem 6638

A cone's volume is $V=\frac{\pi}{3} r^{2} h$ . If gravel is dumped at $34 \mathrm{ft}^{3}/\mathrm{min}$ , find the height increase rate when $h=12 \mathrm{ft}$ .

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Problem 6639

Berechne die Integrale: a) $\int_{1}^{3} e^{x} d x$ b) $\int_{1}^{2} 3 e^{4 x} d x$ c) $\int_{2}^{4} 2 e^{-2 x}-3 d x$

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Problem 6640

Two cars leave an intersection, one west and one north. Find the rate of distance change between them after 4 sec.

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Problem 6641

Bestimme $f^{\prime}(x)$ für die Funktion $f(x)=x^{2}$ mit der $h$ Methode.

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Problem 6642

Gegeben ist die Funktion $f(x)=3 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{3} x}$ . Zeige, dass $f^{\prime}(x)=x e^{\frac{1}{3} x}(6+x)$ und $f^{\prime \prime}(x)=\frac{1}{3} e^{\frac{1}{3} x}(18+12 x+x^{2})$ gilt.

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Problem 6643

Untersuchen Sie die Grenzwerte der Funktionen an den Grenzen: a) $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x+1, & x \leq 0 \\ x-x^{2}, & 0<x<2 \\ \frac{2}{x}-3, & x \geq 2\end{array}\right.$ b) $f(x)=\left\{\begin{array}{l}|x|, \quad x \leq 1 \\ 2-x, 1<x \leq 4 \\ 6-a x^{2}, x \geq 4\end{array}\right.$ c) $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sqrt{4-x}, & x \leq 4 \\ \frac{1}{x-4}, & x>4\end{array}\right.$

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Problem 6644

Bestimme die Steigung und den Steigungswinkel von $f$ an $x_0$ für die Funktionen a) bis f) mit gegebenen $x_0$ .

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Problem 6645

Zeige, dass die Ableitungen $f^{\prime}(x)=x e^{\frac{1}{3} x}(6+x)$ und $f^{\prime \prime}(x)=\frac{1}{3} e^{\frac{1}{3} x}(18+12 x+x^{2})$ für $f(x)=3 x^{2} e^{\frac{1}{3} x}$ gelten.

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Problem 6646

Gegeben ist die Funktion $f(x)=3 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{3} x}$ . Zeige $f'$ und $f''$ , untersuche auf Nullstellen, Extrema und Wendepunkte.

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Problem 6647

Bestimme $a$ , sodass die Fläche unter $f(x)=x^{2}$ von $[0; 4]$ durch $x=a$ im Verhältnis $1:7$ geteilt wird.

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Problem 6648

Bestimmen Sie die Steigung und den Steigungswinkel von $f$ an der Stelle $x_0$ für die Funktion $f(x)=-2 \sqrt{x}$ .

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Problem 6649

Find the antiderivative of $f(x)=e^{\frac{1}{2} x}$ .

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Problem 6650

Untersuchen Sie die Stetigkeit der Funktion $f$ an $x_{0}=1$ : a) $f(x)=x \cdot|x-1|$ ; b) Geben Sie die Funktion für b) an.

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Problem 6651

Find the derivative of the function $f(t) = 3t^2 + 2t - 1$ .

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Problem 6652

Evaluate the following integrals: a) $\int_{2}^{3} a \, da$ , b) $\int_{2}^{3} a \, dt$ , c) $\int_{2}^{3} a \cdot s \, ds$ , d) $\int_{a}^{2a} 3x \, dx$ .

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Problem 6653

Find the derivative of $y=\frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt[3]{x}-5}$ .

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Problem 6654

Find the absolute extrema of $f(x)=4 x^{2}-16 x$ on $[0,7]$ . Provide $(x, f(x))$ for max and min.

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Problem 6655

Calculate the area using $A = \int_{0}^{3} f(x)-g(x) dx + \int_{3}^{6} h(x)-g(x) dx = 12$ .

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Problem 6656

Find the integral of $\tan (\theta) \sec ^{2}(\theta) d \theta$ .

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Problem 6657

Find the critical number(s) for the function $f(x)=12 x^{3}-27 x^{2}-36 x+8$ . First, calculate $f^{\prime}(x)$ .

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Problem 6658

Calculate the frequency of full moons and the length of a sidereal month if the moon is 4 times farther from Earth.

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Problem 6659

Find the critical number(s) for the function where $f^{\prime}(x)=36 x^{2}-54 x-36$ . Options: A. List critical numbers, B. None.

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Problem 6660

Find the integral of $e^{\sqrt{x}}$ with respect to $x$ : $\int e^{\sqrt{x}} d x$ .

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Problem 6661

Find the derivative of the function $f(x)=\sqrt{6x+3}$ , i.e., compute $f^{\prime}(x)$ .

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Problem 6662

Differentiate $y=\arcsin(5x+1)$ . Find $y'=$

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Problem 6663

Find the derivative of the function $f(x)=\frac{x}{x+\frac{3}{x}}$ : $f^{\prime}(x)=$

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Problem 6664

Differentiate $y=-2 x \sin \left(\frac{1}{x}\right)$ to find $y'$ .

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Problem 6665

Find the derivative of the function $f(x)=\sin(e^{3x})$ . What is $f^{\prime}(x)$ ?

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Problem 6666

Find the derivative of the function $f(x)=\sqrt{3 x+12}$ , i.e., determine $f^{\prime}(x)$ .

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Problem 6667

Find the derivative of the function $f(t)=\frac{1}{t^{2}}(\tan t-9)$ . What is $f^{\prime}(t)$ ?

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Problem 6668

Find the derivative of the function $f(x) = \frac{x^{4}}{3^{x}}$ . Simplify if helpful. What is $f^{\prime}(x)$ ?

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Problem 6669

Gib zwei Funktionen $F_{1}$ und $F_{2}$ an, deren Ableitungen die folgenden Funktionen $f$ ergeben: (1) $f(x)=10 x$ , (2) $f(x)=5 x^{2}$ , (3) $f(x)=-6 x^{3}$ , (4) $f(x)=\frac{1}{2} x^{5}$ , (5) $f(x)=x^{-3}$ , (6) $f(x)=\frac{1}{x^{5}}$ , (7) $f(x)=x^{0,5}$ , (8) $f(x)=x^{\frac{1}{2}}$ , (9) $f(x)=6 \sqrt{x}$ , (10) $f(x)=10 \cdot e^{x}$ , (11) $f(x)=3 \cdot \sin (x)$ , (12) $f(x)=3 \cdot \cos (x)$ .

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Problem 6670

Bestimme die Stammfunktion $F$ von $f(x)=3 x^{2}-2 x$ , die den Punkt P(2|-1) enthält. Wähle $C$ passend.

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Problem 6671

Bestimme die Stammfunktion $F$ von $f(x)=3x^{2}-2x$ , die durch den Punkt P(2|-1) verläuft. Wähle $C$ passend.

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Problem 6672

Differentiate $f(x)=\log_{10}\left(\frac{x}{x+3}\right)$ . Find $f'(x)$ .

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Problem 6673

Find the derivative of $f(x)=x^{18} e^{x}$ and evaluate it at $x=1$ : $f^{\prime}(1)=\ ?$

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Problem 6674

Find the derivative of $y=9^{x}+\frac{11}{x^{2}}$ . What is $y'$ ?

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Problem 6675

Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion mit dem Grenzwert des Differenzenquotienten für: a) $f(x)=0,5 x$ , b) $f(x)=2 x+3$ , c) $f(x)=x^{2}+5$ .

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Problem 6676

Find the derivative of the function $f(x)=7 \tan^{-1}(2 e^{x})$ . What is $f^{\prime}(x)$ ?

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Problem 6677

Bestimmen Sie die Stammfunktion $F$ von $f(x)=3 x^{2}-2 x$ , die durch den Punkt P $(2 \mid-1)$ verläuft.

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Problem 6678

Finde die Stellen $\mathrm{x}_{0}$ , an denen die Funktion $\mathrm{f}$ die Steigung $\mathrm{m}$ hat: a) $f(x)=\frac{1}{4} x^{3}-2, m=3$ b) $f(x)=1-x, m=-1$ c) $f(x)=0,2 x^{5}+4 x^{2}, m=0$

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Problem 6679

Gib zwei Funktionen $F_{1}$ und $F_{2}$ an, deren Ableitungen die folgenden Funktionen $f$ ergeben: (1) $10x$ , (2) $5x^{2}$ , (3) $-6x^{3}$ , (4) $\frac{1}{2}x^{5}$ , (5) $x^{-3}$ , (6) $\frac{1}{x^{5}}$ , (7) $x^{0.5}$ , (8) $x^{\frac{1}{2}}$ , (9) $6\sqrt{x}$ , (10) $10e^{x}$ , (11) $3\sin(x)$ , (12) $3\cos(x)$ .

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Problem 6680

Find the derivative of $f(x)=\left(\frac{1}{2} x^{2}-5 x\right)^{4}$ .

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Problem 6681

Find the derivative of $f(t)=0.02 \cdot(t-1)^{4} \cdot(t-6)+6$ .

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Problem 6682

Find the derivative of $g(v)=v^{3}-75 v+6$ and solve $g^{\prime}(v)=0$ for $v$ .

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Problem 6683

Find the critical numbers of $g(v)=v^3-75v+6$ . List them separated by commas, or write DNE if none exist.

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Problem 6684

Leiten Sie die Funktionen ab und vereinfachen Sie die Ergebnisse: a) $f(x)=2 \cdot e^{3 x^{4}+x}$ , b) $f(x)=\left(e^{x}\right)^{2}$ , d) $f(x)=\frac{1}{3}\left(e^{x}\right)^{3}$ , e) $f(x)=\sqrt{3 x}$ , g) $f(x)=\sqrt{7 x-5}$ , h) $f(x)=\sqrt{7 x^{2}-5}$ .

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Problem 6685

Find the derivatives and simplify:
b) $f(x)=\frac{1}{(3x-1)^2}$
h) $f(x)=\frac{1}{2} e^{x+2}$

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Problem 6686

Given the function $f(x)=17+4x-x^{2}$ on $[0,5]$ , find its derivative, critical numbers, and absolute max/min values.

See Solution

Problem 6687

Bestimmen Sie die 2. und 3. Ableitung der Funktion $f(t)=0,02 \cdot(t-1)^{4} \cdot(t-6)+6$ .

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Problem 6688

Bestimmen Sie das Vorzeichen des Integrals und begründen Sie: a) $\int_{10}^{80} x^{2} d x$ b) $\int_{10}^{11}-x^{4} d x$ c) $\int_{0}^{2 \pi} \sin t d t$ d) $\int_{-4}^{2} u^{3} d u$

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Problem 6689

Find the derivative of the function $f(t)=t-\sqrt[3]{t}$ on $[-1,5]$ , its critical numbers, and absolute max/min values.

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Problem 6690

Check if the function $f$ meets the Mean Value Theorem on $[0,5]$ and find $c$ . Options: 1-6.

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Problem 6691

Bestimmen Sie, ob die Integrale a) $\int_{10}^{80} x^{2} dx$ und b) $\int_{10}^{11}-x^{4} dx$ positiv, negativ oder null sind.

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Problem 6692

A cone-shaped funnel is 4 m tall and 8 m wide. Water flows in at 0.8 $\mathrm{m}^{3}/\mathrm{min}$ . Find the rate of radius change when water height is $3 \mathrm{~m}$ . Round to 0.0000.

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Problem 6693

Identify which function from the list has the property that it is equal to its own derivative:
i. $y=\sin x$ ii. $y=x$ iii. $y=\sqrt{x}$ iv. $y=e^{x}$ v. $y=x^{2}$

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Problem 6694

Bestimmen Sie, ob die Integrale a) bis d) positiv, negativ oder null sind und begründen Sie Ihre Entscheidung. a) $\int_{10}^{80} x^{2} d x$ b) $\int_{10}^{11}-x^{4} d x$ c) $\int_{0}^{2 \pi} \sin t d t$ d) $\int_{-4}^{2} u^{3} d u$

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Problem 6695

Person $A$ is 100 feet west of runner $R$ , who runs north at 9 ft/s. After 10 seconds, find the rate of distance change in $\mathrm{ft}/\mathrm{s}$ .

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Problem 6696

Ein Freizeitpark beobachtet Besucherzahlen. Die Änderungsrate wird durch $b(t)=-150 \cdot t^{2}+3600 \cdot t-19200$ beschrieben.
a) Beschreiben Sie den Verlauf der Änderungsrate und warum sie zuerst positiv, dann negativ ist.
b) Beschreiben Sie den Verlauf der momentanen Besucherzahl.
c) Bestimmen Sie $B(t)$ für die Besucherzahl in Abhängigkeit von $t$ . (Kontrollergebnis: $B(t)=-50 \cdot t^{3}+1800 \cdot t^{2}-19200 \cdot t+62000$ )
d) Berechnen Sie die Besucherzahl eine Stunde nach Öffnung und die stündlichen Neuankünfte.
e) Ab wann sind $4400$ Besucher im Park?
f) Wann ist der Andrang an den Kassen am größten? Berechnen Sie die erforderlichen Kassen.
g) Wann sind die meisten Besucher im Park und wie viele?
h) Bestimmen Sie den Zeitraum, in dem mindestens $9500$ Besucher im Park sind.
i) Wie viele Besucher sind beim Schließen noch im Park und wie viele verlassen stündlich?
j) Wann sind keine Besucher mehr im Park?
k) Berechnen Sie die maximale Besucherzahl, wenn um $10.00$ Uhr bereits $2000$ Besucher im Park sind.

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Problem 6697

Berechne die Ableitungen der Funktionen: a) $f(x)=\frac{2}{4 x-1}$ , b) $f(x)=\frac{5}{(2-x)^{3}}$ , c) $f(x)=\frac{-3}{(2 x+3)^{2}}$ .

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Problem 6698

Berechnen Sie die Ableitungen der Funktionen: a) $f(x)=\frac{2}{4 x-1}$ b) $f(x)=\frac{5}{(2-x)^{3}}$ c) $f(x)=\frac{-3}{(2 x+3)^{2}}$

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Problem 6699

Identify which function has a horizontal asymptote at $y=0$ : a) $f(x)=\frac{1}{3-x}$ , b) $f(x)=\frac{1}{17 x+4}$ , c) $f(x)=-\frac{1}{x+2}$ . Explain your reasoning.

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Problem 6700

Calculate the difference quotient $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ for the function $f(x)=9x+2$ , where $h \neq 0$ .

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337

Calculus

Problem 6601

Find the derivative of f(x)=2xx+7x2xf(x)=2x\sqrt{x}+\frac{7}{x^{2}\sqrt{x}}f(x)=2xx​+x2x​7​.

Problem 6602

Find the derivative of the function f(x)=2xx+7x2xf(x)=2 x \sqrt{x}+\frac{7}{x^{2} \sqrt{x}}f(x)=2xx​+x2x​7​. What is f′(x)f^{\prime}(x)f′(x)?

Problem 6603

Find the function f(x)f(x)f(x) and the number aaa such that lim⁡h→0h3h=f′(a)\lim _{h \rightarrow 0} \frac{h^{3}}{h} = f^{\prime}(a)limh→0​hh3​=f′(a). f(x)=□,a=□ f(x)=\square, \quad a=\square f(x)=□,a=□

Problem 6604

Ein Algenteppich wächst auf einem See, beginnend mit 2m∧22 m^{\wedge} 22m∧2 und täglich um 5\%. Bestimme die Fläche nach 10 und 50 Tagen.

Problem 6605

Find the second derivative of h(t)=(t8+9)sin⁡th(t)=(t^{8}+9) \sin th(t)=(t8+9)sint.

Problem 6606

Find the limit: lim⁡x→0x21−cos⁡x\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}}{1-\cos x}limx→0​1−cosxx2​.

Problem 6607

Find the derivative of y=3x8+2x+1y=3x^8 + 2x + 1y=3x8+2x+1 with respect to xxx.

Problem 6608

Find dy/dxd y / d xdy/dx for the function y=5x9y=5 x^{9}y=5x9.

Problem 6609

Differentiate the function g(t)=t5ln⁡(6t)g(t) = t^{5} \ln(6t)g(t)=t5ln(6t).

Problem 6610

Find the derivative of the function y=12(x4+7)y=\frac{1}{2}(x^{4}+7)y=21​(x4+7).

Problem 6611

Find the derivative of y=5x9y=5 x^{9}y=5x9 with respect to xxx.

Problem 6612

Find the derivative of y=12(x4+7)y=\frac{1}{2}(x^{4}+7)y=21​(x4+7) with respect to xxx.

Problem 6613

Find the derivative of f(x)=sin⁡−1(e6x)f(x)=\sin^{-1}(e^{6x})f(x)=sin−1(e6x).

Problem 6614

Find the derivative of y=−3x12y=-3 x^{12}y=−3x12 with respect to xxx.

Problem 6615

Find the slope of the tangent line to the curve y=x2+4x+7y=x^{2}+4x+7y=x2+4x+7 at the point where x=1x=1x=1.

Problem 6616

Bestimme die Wendestellen und Sattelstellen für die Funktionen: a) f(x)=2x3−2x2+1f(x)=2 x^{3}-2 x^{2}+1f(x)=2x3−2x2+1, b) g(x)=3x4+8x3g(x)=3 x^{4}+8 x^{3}g(x)=3x4+8x3, c) h(x)=−14x4+103x3−16x2+32xh(x)=-\frac{1}{4} x^{4}+\frac{10}{3} x^{3}-16 x^{2}+32 xh(x)=−41​x4+310​x3−16x2+32x.

Problem 6617

Find the derivative of the function y=−3x12y=-3x^{12}y=−3x12.

Problem 6618

Gegeben ist die Funktion f(x)=x3−6,6x2+13,68x−8,64f(x)=x^{3}-6,6 x^{2}+13,68 x-8,64f(x)=x3−6,6x2+13,68x−8,64. Bestimmen Sie die Nullstellen, den y-Achsen-Schnitt, die Steigung bei x=−1x=-1x=−1 und die Extrempunkte.

Problem 6619

Problem 6620

Führe eine Kurvendiskussion für f(x)=3e−3+14x2f(x)=3 e^{-3}+14 x^{2}f(x)=3e−3+14x2 durch, benutze nur Produkt- oder Kettenregel zum Ableiten.

Problem 6621

Find the fourth derivative of x3ln⁡xx^{3} \ln xx3lnx.

Problem 6622

Find the tangent line equation to the curve y−ln⁡(x7+y7)=0y - \ln(x^{7} + y^{7}) = 0y−ln(x7+y7)=0 at the point (1,0).

Problem 6623

Analysiere die Funktion f(x)=3e−3+14x2f(x)=3 e^{-3}+14 x^{2}f(x)=3e−3+14x2: Finde Ableitungen, Nullstellen, Extrema, Wendepunkte und berechne das Integral.

Problem 6624

Differentiate the function: y=ln⁡(x3sin⁡2x)y=\ln \left(x^{3} \sin ^{2} x\right)y=ln(x3sin2x).

Problem 6625

Find the derivative of y=x7xy=x^{7 x}y=x7x using logarithmic differentiation.

Problem 6626

Differentiate the function g(t)=t5ln⁡(3t)g(t) = t^{5} \ln(3t)g(t)=t5ln(3t).

Problem 6627

Find the rate of surface area increase of a cube with edge length 90 cm90 \mathrm{~cm}90 cm, given volume increase of 10cm3/min10 \mathrm{cm}^{3}/\mathrm{min}10cm3/min.

Problem 6628

A projectile is shot from 2.5 m2.5 \mathrm{~m}2.5 m high with an initial speed of 25.48 m/s25.48 \mathrm{~m/s}25.48 m/s. Find: a) Time to max height. b) Maximum height using h=2.5+25.48t−4.9t2h=2.5+25.48 t-4.9 t^{2}h=2.5+25.48t−4.9t2.

Problem 6629

Find when the particle's position s=t3−10.5t2−2ts=t^{3}-10.5 t^{2}-2 ts=t3−10.5t2−2t has a velocity of 22 m/s22 \mathrm{~m/s}22 m/s for t≥0t \geq 0t≥0.

Problem 6630

Find the derivative of y=x2+1x2−15y=\sqrt[5]{\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}}y=5x2−1x2+1​​ using logarithmic differentiation.

Problem 6631

Berechnen Sie die unbestimmten Integrale: a) ∫x7dx\int x^{7} d x∫x7dx, b) ∫a2z−4dz\int a^{2} z^{-4} d z∫a2z−4dz, c) ∫−etdt\int -e^{t} d t∫−etdt, d) ∫kudu\int \frac{k}{u} d u∫uk​du, e) ∫−cos⁡xdx\int -\cos x d x∫−cosxdx, f) ∫r2.5dr\int r^{2.5} d r∫r2.5dr.

Problem 6632

Problem 6633

Find the position, velocity, speed, and acceleration of s(t)=2sin⁡t+5cos⁡ts(t)=2 \sin t+5 \cos ts(t)=2sint+5cost at t=π2t=\frac{\pi}{2}t=2π​.

Problem 6634

Gegeben ist die Funktion g(x)=−18x3+12x2g(x)=-\frac{1}{8} x^{3}+\frac{1}{2} x^{2}g(x)=−81​x3+21​x2. Untersuche ggg: Zeichne, finde Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte und maximale Steigung. Bestimme g∗g^{*}g∗ nach Spiegelung an der yyy-Achse.

Problem 6635

Finden Sie die zweite Ableitung der Funktion g(x)=x2−4xg(x)=x^{2}-4 \sqrt{x}g(x)=x2−4x​ für x≥0x \geq 0x≥0.

Problem 6636

Problem 6637

Find when the body is stationary, moving positively, and negatively for s(t)=−3+4t−t2s(t)=-3+4t-t^2s(t)=−3+4t−t2. Sketch its position over time.

Problem 6638

A cone's volume is V=π3r2hV=\frac{\pi}{3} r^{2} hV=3π​r2h. If gravel is dumped at 34ft3/min34 \mathrm{ft}^{3}/\mathrm{min}34ft3/min, find the height increase rate when h=12fth=12 \mathrm{ft}h=12ft.

Problem 6639

Berechne die Integrale: a) ∫13exdx\int_{1}^{3} e^{x} d x∫13​exdx b) ∫123e4xdx\int_{1}^{2} 3 e^{4 x} d x∫12​3e4xdx c) ∫242e−2x−3dx\int_{2}^{4} 2 e^{-2 x}-3 d x∫24​2e−2x−3dx

Problem 6640

Two cars leave an intersection, one west and one north. Find the rate of distance change between them after 4 sec.

Problem 6641

Bestimme f′(x)f^{\prime}(x)f′(x) für die Funktion f(x)=x2f(x)=x^{2}f(x)=x2 mit der hhh Methode.

Find the derivative of $f(x)=2x\sqrt{x}+\frac{7}{x^{2}\sqrt{x}}$ .

Find the derivative of the function $f(x)=2 x \sqrt{x}+\frac{7}{x^{2} \sqrt{x}}$ . What is $f^{\prime}(x)$ ?

Find the function $f(x)$ and the number $a$ such that $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{h^{3}}{h} = f^{\prime}(a)$ . $f(x)=\square, \quad a=\square$

Ein Algenteppich wächst auf einem See, beginnend mit $2 m^{\wedge} 2$ und täglich um 5\%. Bestimme die Fläche nach 10 und 50 Tagen.

Find the second derivative of $h(t)=(t^{8}+9) \sin t$ .

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}}{1-\cos x}$ .

Find the derivative of $y=3x^8 + 2x + 1$ with respect to $x$ .

Find $d y / d x$ for the function $y=5 x^{9}$ .

Differentiate the function $g(t) = t^{5} \ln(6t)$ .

Find the derivative of the function $y=\frac{1}{2}(x^{4}+7)$ .

Find the derivative of $y=5 x^{9}$ with respect to $x$ .

Find the derivative of $y=\frac{1}{2}(x^{4}+7)$ with respect to $x$ .

Find the derivative of $f(x)=\sin^{-1}(e^{6x})$ .

Find the derivative of $y=-3 x^{12}$ with respect to $x$ .

Find the slope of the tangent line to the curve $y=x^{2}+4x+7$ at the point where $x=1$ .

Bestimme die Wendestellen und Sattelstellen für die Funktionen: a) $f(x)=2 x^{3}-2 x^{2}+1$ , b) $g(x)=3 x^{4}+8 x^{3}$ , c) $h(x)=-\frac{1}{4} x^{4}+\frac{10}{3} x^{3}-16 x^{2}+32 x$ .

Find the derivative of the function $y=-3x^{12}$ .

Gegeben ist die Funktion $f(x)=x^{3}-6,6 x^{2}+13,68 x-8,64$ . Bestimmen Sie die Nullstellen, den y-Achsen-Schnitt, die Steigung bei $x=-1$ und die Extrempunkte.

Führe eine Kurvendiskussion für $f(x)=3 e^{-3}+14 x^{2}$ durch, benutze nur Produkt- oder Kettenregel zum Ableiten.

Find the fourth derivative of $x^{3} \ln x$ .

Find the tangent line equation to the curve $y - \ln(x^{7} + y^{7}) = 0$ at the point (1,0).

Analysiere die Funktion $f(x)=3 e^{-3}+14 x^{2}$ : Finde Ableitungen, Nullstellen, Extrema, Wendepunkte und berechne das Integral.

Differentiate the function: $y=\ln \left(x^{3} \sin ^{2} x\right)$ .

Find the derivative of $y=x^{7 x}$ using logarithmic differentiation.

Differentiate the function $g(t) = t^{5} \ln(3t)$ .

Find the rate of surface area increase of a cube with edge length $90 \mathrm{~cm}$ , given volume increase of $10 \mathrm{cm}^{3}/\mathrm{min}$ .

A projectile is shot from $2.5 \mathrm{~m}$ high with an initial speed of $25.48 \mathrm{~m/s}$ . Find: a) Time to max height. b) Maximum height using $h=2.5+25.48 t-4.9 t^{2}$ .

Find when the particle's position $s=t^{3}-10.5 t^{2}-2 t$ has a velocity of $22 \mathrm{~m/s}$ for $t \geq 0$ .

Find the derivative of $y=\sqrt[5]{\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}}$ using logarithmic differentiation.

Berechnen Sie die unbestimmten Integrale: a) $\int x^{7} d x$ , b) $\int a^{2} z^{-4} d z$ , c) $\int -e^{t} d t$ , d) $\int \frac{k}{u} d u$ , e) $\int -\cos x d x$ , f) $\int r^{2.5} d r$ .

Find the position, velocity, speed, and acceleration of $s(t)=2 \sin t+5 \cos t$ at $t=\frac{\pi}{2}$ .

Gegeben ist die Funktion $g(x)=-\frac{1}{8} x^{3}+\frac{1}{2} x^{2}$ . Untersuche $g$ : Zeichne, finde Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte und maximale Steigung. Bestimme $g^{*}$ nach Spiegelung an der $y$ -Achse.

Finden Sie die zweite Ableitung der Funktion $g(x)=x^{2}-4 \sqrt{x}$ für $x \geq 0$ .

Find when the body is stationary, moving positively, and negatively for $s(t)=-3+4t-t^2$ . Sketch its position over time.

A cone's volume is $V=\frac{\pi}{3} r^{2} h$ . If gravel is dumped at $34 \mathrm{ft}^{3}/\mathrm{min}$ , find the height increase rate when $h=12 \mathrm{ft}$ .

Berechne die Integrale: a) $\int_{1}^{3} e^{x} d x$ b) $\int_{1}^{2} 3 e^{4 x} d x$ c) $\int_{2}^{4} 2 e^{-2 x}-3 d x$

Bestimme $f^{\prime}(x)$ für die Funktion $f(x)=x^{2}$ mit der $h$ Methode.

Bestimme die Steigung und den Steigungswinkel von $f$ an $x_0$ für die Funktionen a) bis f) mit gegebenen $x_0$ .

Gegeben ist die Funktion $f(x)=3 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{3} x}$ . Zeige $f'$ und $f''$ , untersuche auf Nullstellen, Extrema und Wendepunkte.

Bestimme $a$ , sodass die Fläche unter $f(x)=x^{2}$ von $[0; 4]$ durch $x=a$ im Verhältnis $1:7$ geteilt wird.

Bestimmen Sie die Steigung und den Steigungswinkel von $f$ an der Stelle $x_0$ für die Funktion $f(x)=-2 \sqrt{x}$ .

Find the antiderivative of $f(x)=e^{\frac{1}{2} x}$ .

Untersuchen Sie die Stetigkeit der Funktion $f$ an $x_{0}=1$ : a) $f(x)=x \cdot|x-1|$ ; b) Geben Sie die Funktion für b) an.

Find the derivative of the function $f(t) = 3t^2 + 2t - 1$ .

Evaluate the following integrals: a) $\int_{2}^{3} a \, da$ , b) $\int_{2}^{3} a \, dt$ , c) $\int_{2}^{3} a \cdot s \, ds$ , d) $\int_{a}^{2a} 3x \, dx$ .

Find the derivative of $y=\frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt[3]{x}-5}$ .

Find the absolute extrema of $f(x)=4 x^{2}-16 x$ on $[0,7]$ . Provide $(x, f(x))$ for max and min.

Calculate the area using $A = \int_{0}^{3} f(x)-g(x) dx + \int_{3}^{6} h(x)-g(x) dx = 12$ .

Find the integral of $\tan (\theta) \sec ^{2}(\theta) d \theta$ .

Find the critical number(s) for the function $f(x)=12 x^{3}-27 x^{2}-36 x+8$ . First, calculate $f^{\prime}(x)$ .

Find the critical number(s) for the function where $f^{\prime}(x)=36 x^{2}-54 x-36$ . Options: A. List critical numbers, B. None.

Find the integral of $e^{\sqrt{x}}$ with respect to $x$ : $\int e^{\sqrt{x}} d x$ .

Find the derivative of the function $f(x)=\sqrt{6x+3}$ , i.e., compute $f^{\prime}(x)$ .

Differentiate $y=\arcsin(5x+1)$ . Find $y'=$

Find the derivative of the function $f(x)=\frac{x}{x+\frac{3}{x}}$ : $f^{\prime}(x)=$

Differentiate $y=-2 x \sin \left(\frac{1}{x}\right)$ to find $y'$ .

Find the derivative of the function $f(x)=\sin(e^{3x})$ . What is $f^{\prime}(x)$ ?

Find the derivative of the function $f(x)=\sqrt{3 x+12}$ , i.e., determine $f^{\prime}(x)$ .

Find the derivative of the function $f(t)=\frac{1}{t^{2}}(\tan t-9)$ . What is $f^{\prime}(t)$ ?

Find the derivative of the function $f(x) = \frac{x^{4}}{3^{x}}$ . Simplify if helpful. What is $f^{\prime}(x)$ ?

Bestimme die Stammfunktion $F$ von $f(x)=3 x^{2}-2 x$ , die den Punkt P(2|-1) enthält. Wähle $C$ passend.

Bestimme die Stammfunktion $F$ von $f(x)=3x^{2}-2x$ , die durch den Punkt P(2|-1) verläuft. Wähle $C$ passend.

Differentiate $f(x)=\log_{10}\left(\frac{x}{x+3}\right)$ . Find $f'(x)$ .

Find the derivative of $f(x)=x^{18} e^{x}$ and evaluate it at $x=1$ : $f^{\prime}(1)=\ ?$

Find the derivative of $y=9^{x}+\frac{11}{x^{2}}$ . What is $y'$ ?