Calculus

Problem 2601

Berechne die Höhe der Orte A-Dorf und B-Dorf mit $f(0)$ und $f(2)$ , finde die Steilheit des Weges und den maximalen Steigungsprozentsatz.

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Problem 2602

Berechne $f^{\prime}(x)$ und den Anstieg von $f$ bei $x_{0}$ für die folgenden Funktionen: a) $f(x)=2 x^{2}-2$ , $x_{0}=1$ ; b) $f(x)=\sqrt{x}$ , $x_{0}=4$ ; c) $f(x)=\frac{1}{x^{4}}$ , $x_{0}=1$ ; d) $f(x)=20 e^{x}$ , $x_{0}=0$ ; e) $f(x)=\frac{10}{\sqrt{x}}$ ; f) $f(x)=\frac{1}{e} \cdot e^{x}$ .

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Problem 2603

Bewerte die Aussage: „Jede gebrochen rationale Funktion konvergiert gegen 0 für $x \rightarrow \pm \infty$ ."

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Problem 2604

Bestimme die Stammfunktionen für die folgenden Funktionen: a) $f(x)=3 x^{2}$ , b) $f(x)=5 x^{4}$ , c) $f(x)=3 x^{3}+x^{2}$ , d) $f(x)=\frac{7}{3} x^{3}+\frac{4}{11} x^{2}$ , e) $f(x)=x^{2}+x+1$ , f) $f(x)=\frac{2}{7} x^{3}+\frac{1}{3}$ .

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Problem 2605

Bestimmen Sie alle Stammfunktionen von $g(x)=-4 x^{3}+7 x^{2}-0,8$ .

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Problem 2606

Bestimme den Break-even-Point, Gewinngrenze und maximalen Gewinn bei $K(x)=0,2 x^{3}-0,5 x^{2}+1,5 x+2$ und $p(x)=-10 x+100$ .

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Problem 2607

Untersuchen Sie die Funktion $f(x)=3 x^{4}+6 x^{3}$ auf Symmetrie, Extrempunkte, Wendepunkte und Tangente.

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Problem 2608

Untersuche die Funktion $f(x)=\frac{2}{3} x^{3}-\frac{8}{3} x$ auf Symmetrie, Nullstellen, Extrema und Wendepunkte. Zeichne den Graphen für $-2,5 \leq x \leq 2,5$ . Zeige, dass die Tangenten an den Nullstellen parallel sind. Bestimme die Wendetangente und ihren Steigungswinkel.

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Problem 2609

Find the limit as $n \to \infty$ for the Riemann sum of $f(x) = x^2 + 7$ on $[0, a]$ .

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Problem 2610

14. Abhänge Bestimme das durchschnittliche Gefälle von $f$ und die maximalen Steigungen von $f$ und $g$ . Funktionen: $f(x)=\frac{1}{16} x^{3}+\frac{3}{8} x^{2}, g(x)=-\frac{1}{8} x^{2}+\frac{18}{8} x-\frac{65}{8}$ .

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Problem 2611

Bestimme die Zeitpunkte mit maximaler und minimaler Zuflussgeschwindigkeit für $f(t)=0,25 t^{3}-12 t^{2}+144 t$ . Finde Nullstellen und den Zeitpunkt der stärksten Abnahme.

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Problem 2612

Aufgabe: Bestimme die Extrempunkte und Nullstellen der Funktion $f(t)=0,25 \cdot t^{3}-12 \cdot t^{2}+144 \cdot t$ . Analysiere die Zuflussgeschwindigkeit.

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Problem 2613

1 a) Erklären Sie $f(5)=82,0$ und $\frac{f(6)-f(5,5)}{6-5,5} \approx-0,1$ . Einheiten angeben. b) Was sagt $T(1)=25$ , $T(10)=31$ , $\frac{T(5)-T(3)}{5-3}=1$ über die Schokoladentemperatur? c) Deuten Sie $v(5)=25$ und $v^{\prime}(8)=16$ . Einheiten angeben. Was bedeutet $v^{\prime}(t)$ ?

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Problem 2614

Untersuche das Verhalten der Folge $a(n)=\frac{2 n}{n^{2}+1}$ für $n \rightarrow \infty$ mit Tabelle und Graph.

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Problem 2615

Finde die Abmessungen und den maximalen Flächeninhalt des Rechtecks mit den Ecken $A(-u,0)$ , $B(u,0)$ , $C(u,f(u))$ , $D(-u,f(-u))$ für $f(x)=-\frac{1}{3} x^{2}+3$ .

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Problem 2616

Berechnen Sie die Integrale a) bis f) und zeichnen Sie die Graphen von f im jeweiligen Intervall.

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Problem 2617

Bestimme den Wendepunkt der Funktion $f(x) = 7x^7 + 4x^3 - 88$ .

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Problem 2618

Bestimme die Kostenfunktion $K(x)=0,25 x^{3}-3 x^{2}+20 x+35$ , das durchschnittliche Kostenwachstum von $2$ bis $6$ und die Ableitung.

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Problem 2619

Zeichnen Sie den Graphen der Funktion $f(t)=(25-t) \cdot e^{0,1 \cdot t}$ für $0 \leqq t \leqq 25$ .

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Problem 2620

Ein Zylinder hat ein Volumen von 40 cm³. Finde Radius und Höhe, um die Oberfläche $A = 2\pi rh + 2\pi r^2$ zu minimieren.

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Problem 2621

Ein Erdölfeld wird durch die Funktion $f(t)=(25-t) \cdot e^{0,1 \cdot t}$ beschrieben.
a) Skizzieren Sie $f$ für $0 \leq t \leq 25$ . b) Bestimmen Sie den Zeitpunkt der maximalen Förderrate. c) Bestimmen Sie, wann die Förderrate am schnellsten steigt. d) Berechnen Sie die gesamte geförderte Erdölmenge. e) Zeigen Sie, dass $F(t)=(350-10t) \cdot e^{0,1 \cdot t}$ eine Stammfunktion von $f$ ist. f) Bestimmen Sie, wann 90\% des Erdöls abgebaut sind.

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Problem 2622

Berechnen Sie die erste und zweite Ableitung der Funktionen: a) $f(x)=4 x^{2}+2 x+1$ b) $f(t)=t^{100}-t^{99}$ c) $f(t)=\frac{1}{2} t^{5}-\frac{2}{3} t^{4}+2 t$ d) $f(x)=-\sqrt{2} x^{3}+\frac{8}{7} x^{7}-x$ e) $f(x)=5$ f) $f(x)=x+2 x^{2}-\sqrt{3} x^{3}$ g) $f(t)=\sqrt{2}$ h) $f(t)=-2 t^{12}-\frac{1}{12} t^{6}+12$ i) $f(x)=-x^{8}+\sqrt{7} x^{5}-2$

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Problem 2623

Ein Erdölfeld wird mit der Funktion $f(t)=(25-t) \cdot e^{0,1 \cdot t}$ (t in Jahren) modelliert.
a) Skizzieren Sie $f$ für $0 \leq t \leq 25$ . b) Finden Sie den Zeitpunkt mit maximaler Förderrate. c) Bestimmen Sie, wann die Förderrate am schnellsten steigt. d) Berechnen Sie die gesamte geförderte Erdölmenge. e) Zeigen Sie, dass $F(t)=(350-10t) \cdot e^{0,1 \cdot t}$ eine Stammfunktion von $f$ ist und geben Sie die Gesamtmenge nach $t$ Jahren an. f) Wann ist das Erdölfeld zu $90\%$ abgebaut?

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Problem 2624

Skizzieren Sie den Graphen der Funktion $f$ , die $f(1)=0$ , $f^{\prime}(-3)=0$ , $f^{\prime}(2)=0$ , $f^{\prime \prime}(-3)<0$ , $f^{\prime \prime \prime}(2)>0$ erfüllt.

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Problem 2625

Zeichnen Sie den Graphen von $f(x) = 0,25 x^{2}+2$ für $0 < x < 4$ und schätzen Sie $\int_{0}^{4} f(x) dx$ .

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Problem 2626

Zeigen Sie, dass die Funktion $g(x)=x^{4}-4 x^{3}+2 x$ den Wendepunkt $W(0 \mid 0)$ hat und bestimmen Sie die Steigung der Wendetangente.

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Problem 2627

Gegeben ist die Funktion $f(x)=-x^{3}-x+4$ . Berechne $f^{\prime}(1)$ und die Tangentengleichung am Punkt $P(1 \mid f(1))$ .

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Problem 2628

Zeigen Sie, dass $f(x)=x^{4}-4x^{3}$ im Ursprung einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente hat. Für $g(x)=x^{4}-4x^{3}+2x$ , begründen Sie den Wendepunkt $W(0 \mid 0)$ und die Steigung der Wendetangente.

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Problem 2629

Find the first four nonzero terms of two power series solutions for $(\cos x) y^{\prime \prime}+x y^{\prime}-2 y=0$ . Use $y_{1}$ with $a_{0}=1$ , $a_{1}=0$ and $y_{2}$ with $a_{0}=0$ , $a_{1}=1$ . What is the expected radius of convergence?

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Problem 2630

Find the first four nonzero terms of two independent power series solutions for $(\cos x) y'' + x y' - 2y = 0$ . Set $a_0=1$ , $a_1=0$ for $y_1$ , and $a_0=0$ , $a_1=1$ for $y_2$ . What is the expected radius of convergence?

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Problem 2631

Gegeben ist die Funktion $f(x)=\frac{1}{64} x^{4}-\frac{3}{4} x^{3}+2 x^{2}$ .
a) Skizziere den Graphen im Intervall $[-1,3]$ . b) Bestimme die Krümmungsintervalle. c) Finde die Nullstellen. d) Berechne den Hochpunkt im Intervall. e) Bestimme den Wendepunkt und erläutere den Zusammenhang zu b). f) Finde die Tangentengleichung bei $x=1$ . g) Zeichne Nullstellen, Extrema und Wendepunkte in die Skizze.

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Problem 2632

Gegeben ist die Funktion $f(x)=\frac{1}{64} x^{4}-\frac{3}{4} x^{3}+2 x^{2}$ .
a) Skizziere den Graphen für $x \in [-1, 3]$ mit GTR. b) Finde die Krümmungsintervalle. c) Bestimme die Nullstellen von $f$ . d) Finde den Hochpunkt im Intervall. e) Bestimme den Wendepunkt und den Zusammenhang zu b). f) Berechne die Tangentengleichung bei $x=1$ . g) Zeichne Nullstellen, Extrema und Wendepunkte in die Skizze ein.

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Problem 2633

Find the derivative of $f(x)=2x+1+\frac{8}{x}$ .

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Problem 2634

Bestimme die Seitenlänge $x$ der herausgeschnittenen Quadrate aus einer $20 \mathrm{~cm} \times 20 \mathrm{~cm}$ Pappe, um das Volumen maximal zu machen.

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Problem 2635

Evaluate the integral: $\int \frac{d x}{\sin x \cos x}$ .

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Problem 2636

Berechne die folgenden bestimmten Integrale:
1. $\int_{-1}^{0}(x^{2}+x) d x$
2. $\int_{-1}^{1}(t^{2}-4t+4) d t$
3. $\int_{0}^{1}(z^{3}-z^{2}) d z$
4. $\int_{2}^{3}(12k^{2}+25k+12) d k$
5. $\int_{-1}^{1}(2s^{3}-3s^{2}-1) d s$
6. $\int_{0}^{2}(x^{2}-2x) d x$
7. $\int_{-2}^{0}(u^{4}-4u^{2}) d u$
8. $\int_{-2}^{-1}(x^{5}-5x^{3}+4x) d x$
9. $\int_{-1}^{0}(y^{5}-5y^{3}+4y) d y$
10. $\int_{-3}^{-1}(t^{3}+3t^{2}-t-3) d t$
11. $\int_{-1}^{1}(12t^{2}+4t) d t$
12. $\int_{0}^{2}(3a^{2}) d a$
13. $\int_{0}^{4}(\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{8}x^{3}) d x$
14. $\int_{-1}^{2}(4y+y^{2}) d y$

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Problem 2637

Bestimme das Maximum der Funktion $e(t)=-\frac{1}{400} t^{2}(t-48)$ und die maximale Erkrankungsrate. Wann endet die Epidemie?

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Problem 2638

Finde die Extremstelle der Funktion $f(x)=5 e^{-3 x-2}$ .

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Problem 2639

Calculate the integral: $\int \frac{d x}{1-\cos x}$ .

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Problem 2640

Find the integral of $(\cot x + \tan x)^{2}$ with respect to $x$ .

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Problem 2641

Find the integral: $\int \frac{d x}{\sin 3 x \tan 3 x}$ .

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Problem 2642

Evaluate the integral: $\int \frac{4 \sin ^{2} x \cos ^{2} x}{\sin 2 x \cos 2 x} d x$

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Problem 2643

Evaluate the integral: $\int \frac{e^{x}-4 e^{-x}}{e^{x}} \, dx$

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Problem 2644

Find the integral of $\sqrt{e^{3 x}}$ with respect to $x$ .

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Problem 2645

Zeigen Sie, dass die Differenzenfolge $(a_{n}-g)$ für die folgenden Fälle eine Nullfolge ist: a) $(\frac{3 n-2}{n+2}) ; g=3$ b) $(\frac{n^{2}+n}{5 n^{2}}) ; g=0,2$ c) $(\frac{2^{n+1}}{2^{n}+1}) ; g=2$

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Problem 2646

Find the derivative of $f(x)=(6x-6)e^{0.5x}$ .

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Problem 2647

Evaluate the integral: $\int e^{\sin 4 x} \cos 4 x \, dx$

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Problem 2648

Bestimme die Ableitung von $f(x)=(6 x-6) e^{0,5 x}$ .

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Problem 2649

Find critical points of $f(x)=-\frac{1}{9}x^3+8x$ by solving $f'(x)=-\frac{2}{9}x+8=0$ .

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Problem 2650

Bestimme die Punkte, an denen die Funktion $f$ eine Steigung von 3 hat für: a) $f(x)=x^{2}$ , b) $f(x)=x^{3}$ , c) $f(x)=x^{-2}$ , d) $f(x)=\frac{1}{x}$ , e) $f(x)=\sqrt{x}$ .

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Problem 2651

Calculate the integral $\int \frac{e^{2 x}+2 e^{x}+1}{e^{x}+1} \, dx$ .

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Problem 2652

Evaluate the integral: $\int\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{2} d x$

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Problem 2653

Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge $a_{n}=\frac{n^{2}-1}{n^{2}}$ .

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Problem 2654

Find the minimum of $g(x)=f(2x-1)+2x^{2}-2x+\frac{1}{2}$ on $[-\frac{1}{2}, 1]$ . Options: A. $f(-1)+\frac{1}{2}$ , B. $f(-2)+2$ , C. $f(1)+\frac{1}{2}$ , D. $f(0)$ .

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Problem 2655

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion $f(x)=x^{2}+3$ . Was ist $f^{\prime}(x)$ ?

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Problem 2656

Bestimmen Sie die Ableitungen der Funktionen: a) $f(x)=5 x^{2}$ , b) $f(x)=2 x^{-1}$ , c) $f(x)=\frac{3}{x^{2}}$ , d) $f(x)=x^{2}-x^{3}$ , e) $f(x)=x+\sqrt{x}$ , f) $f(x)=3 x^{2}+3 x-2$ , g) $f(x)=-x^{4}+2 x$ , h) $f(x)=\frac{2}{x}+2$ , i) $f(x)=\frac{x}{2}+2$ , j) $f(x)=\frac{2}{x}+2 x$ .

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Problem 2657

Bestimmen Sie die Ableitung von $f(x)=3 x+4$ .

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Problem 2658

Find the derivative of the function $f(x)=12-2x$ .

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Problem 2659

Nach einem Brand steigt die PFT-Konzentration im See. Bestimme:
a) Zeitpunkt und Höhe der maximalen PFT-Konzentration. b) Wann fällt die PFT-Konzentration unter $50 \frac{\mathrm{ng}}{\mathrm{I}}$ ? c) Zeitpunkt der stärksten Abnahme der PFT-Konzentration. d) Langfristige PFT-Konzentration im Modell.

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Problem 2660

Berechnen Sie die Ableitungen der Funktionen: a) $f(x)=3x+4$ , b) $f(x)=12-2x$ , c) $f(x)=x^4$ , d) $f(x)=x^{10}$ , e) $f(x)=3x^5$ , f) $f(x)=5x^{12}$ , g) $f(x)=0,5x^4$ , h) $f(x)=\frac{1}{9}x^6$ , i) $f(x)=x^2-3x+2$ , j) $f(x)=-4x^2+5x-1$ , k) $f(x)=3x^3+4x^2-5x$ , l) $f(x)=x^4-6x^3+5x^2+3$ , m) $f(x)=2x^3-12x^2+7x-8$ , n) $f(x)=\frac{1}{2}x^4+4x^3-5x^2$ , o) $f(x)=\frac{1}{6}x^3-\frac{3}{4}x^2+\frac{5}{2}x-\frac{1}{3}$ , p) $f(x)=\frac{1}{5}x^{10}+\frac{2}{-}x^6-\frac{5}{-}x^2$ .

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Problem 2661

Find the derivative of the function $g(t)=\frac{7}{\sqrt{t}}$ using the definition of derivative.

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Problem 2662

Gegeben ist die Funktion $f(x)=(x-1) \cdot e^{-0,5 x}$ . Bestimme die Tangente an der Nullstelle und bei $x_1=-1$ . Wo ist sie noch eine Ursprungsgerade? Zeichne die Graphen für $-1 \leq x \leq 6$ .

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Problem 2663

Bestimmen Sie die Grenzwerte von $f(x) = 2 \cdot 0.8^x$ für $x \to \infty$ und $x \to -\infty$ .

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Problem 2664

Differenzieren Sie die Funktionen mit Produkt- und Kettenregel. Finden Sie Fehler in den Rechnungen.

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Problem 2665

Find the derivatives of these functions using product and chain rules:
a) $f(x)=x \cdot e^{-4 x}$
b) $f(x)=\frac{e^{3 x-1}}{x}$
c) $f(x)=\sin (2 x+1) \cdot e^{-x}$
d) $f(x)=x^{2}-e^{x^{2}}$
e) $f(x)=x^{2} \cdot e^{-2 x}$
f) $f(x)=x \cdot e^{\frac{1}{x}}$

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Problem 2666

Find the derivative of $f(x)=(6-5x)^{2}$ using the chain rule.

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Problem 2667

Berechnen Sie die erste und zweite Ableitung der Funktionen a) $f(x)=4 x^{2}+2 x+1$ , b) $f(t)=t^{100}-t^{99}$ , c) $f(t)=\frac{1}{2} t^{5}-\frac{2}{3} t^{4}+2 t$ , d) $f(x)=-\sqrt{2} x^{3}+\frac{8}{7} x^{7}-x$ , e) $f(x)=5$ , f) $f(x)=x+2 x^{2}-\sqrt{3} x$ , g) $f(t)=\sqrt{2}$ , h) $f(t)=-2 t^{12}-\frac{1}{12} t^{6}+12$ , i) $f(x)=-x^{8}+\sqrt{7} x^{5}$ .

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Problem 2668

Finde die Tangentengleichung an $f$ bei $P(a \mid f(a))$ für: a) $f(x)=x^{3}-2x, a=-1$ b) $f(x)=\sqrt{x}+\frac{1}{x}, a=1$ c) $f(x)=\sin(x), a=\pi$ . Wo hat $f$ die Steigung $m$ ? a) $f(x)=x^{3}-2x-1; m=1$ b) $f(x)=\cos(x), 0<x<2\pi; m=-1$ . Gegeben ist $f(x)=x^{2}-2$ .

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Problem 2669

Bestimme die Punkte, an denen die Funktion $f$ die Steigung $m$ hat: a) $f(x)=x^{3}-2 x-1 ; m=1$ b) $f(x)=\cos (x), 0<x<2 \pi ; m=-1$

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Problem 2670

Bestimmen Sie den Wendepunkt und die Wendetangente für die Funktionen: a) $f(x)=0,5 x^{3}-3 x^{2}+5 x$ b) $f(x)=x^{3}+3 x^{2}+x+2$ c) $f(x)=-0,5 x^{3}-1,5 x^{2}$ d) $f(x)=x^{3}+9 x^{2}+7 x-18$ e) $f(x)=-x^{3}-3 x^{2}+4 x+4$ f) $f(x)=x^{3}-6 x^{2}+11 x$

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Problem 2671

Bestimmen Sie den Wendepunkt und die Wendetangente für die Funktionen: a) $f(x)=0,5 x^{3}-3 x^{2}+5 x$ , b) $f(x)=x^{3}+3 x^{2}+x+2$ , c) $f(x)=-0,5 x^{3}-1,5 x^{2}$ , d) $f(x)=x^{3}+9 x^{2}+7 x-18$ , e) $f(x)=-x^{3}-3 x^{2}+4 x+4$ , f) $f(x)=x^{3}-6 x^{2}+11 x$ .

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Problem 2672

Find the slope of $g(x)=x^{3}+x$ at $x=\frac{1}{2}$ using derivatives.

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Problem 2673

Berechnen Sie die folgenden Integrale: a) $\int_{0}^{6}(x^{3}-2 x^{2}) d x$ , b) $\int_{1}^{2}(0,5 x^{4}-5 x) d x$ , c) $\int_{0}^{10}(\frac{x^{2}-3 x}{5}+1) d x$ , d) $\int_{1}^{2}(\frac{x}{2}+\frac{1}{x^{2}}) d x$ , e) $\int_{0}^{2 \pi} \cos (x) d x$ , f) $\int_{0}^{1}(e^{x}+\frac{1}{2} x) d x$ , g) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(a \cdot \sin (x)+b \cdot \cos (x)) d x$ , h) $\int_{e}^{e^{2}}(2 \cdot \frac{1}{x}) d x$ , i) $\int_{i}^{4}(2 x^{3}-\frac{1}{4 \sqrt{x}}) d x$ . Berechnen Sie auch: a) $5 \cdot \int_{\pi}^{\pi} x^{2} d x$ , b) $\int_{2}^{5}(\frac{1}{x}+2) d x+\int_{5}^{10}(\frac{1}{x}+2) d x$ , c) $\int_{0}^{\pi}(\sin x+\cos x) d x$ .

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Problem 2674

Fehlersuche: Finden Sie die Fehler in den Ableitungen a), b) und c) und geben Sie die richtigen Ergebnisse an.

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Problem 2675

Evaluate the limit: $\lim _{x \rightarrow-4} \frac{2 x+8}{e^{x+4}-1}$ using l'Hopital's rule.

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Problem 2676

Find the tangent line equation for the curve $y=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{3}{2} x^{2}+4 x-1$ at $x=3$ .

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Problem 2677

Find the limit as $x$ approaches -4 for $\frac{2x+8}{e^{x+4}-1}$ . Use l'Hopital's rule and Taylor series to verify results.

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Problem 2678

Integriere $\frac{1}{x^{2}}$ .

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Problem 2679

Calculate the elastic potential energy stored in a bungee cord with spring constant $100 \mathrm{~N} / \mathrm{m}$ stretched by $2 \mathrm{~m}$ .

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Problem 2680

Bestimmen Sie, ob die Integrale $\int_{10}^{80} x^{2} d x$ und $\int_{10}^{11}-x^{4} d x$ positiv, negativ oder null sind.

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Problem 2681

Bestimmen Sie die Flächenbilanz der Integrale a) $\int_{-4}^{3}-\frac{1}{3} x d x$ und b) $\int_{0}^{6}\left(\frac{1}{2} t-1\right) d t$ .

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Problem 2682

Bestimme die Tangentensteigung an den Punkten des Graphen von $f$ und skizziere $\mathrm{f}^{\prime}$ . Erkläre die Berechnung der Tangentensteigung.

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Problem 2683

Berechnen Sie die folgenden Integrale mit Stammfunktionen: a) $\int_{0}^{6}(x^{3}-2 x^{2}) dx$ , b) $\int_{1}^{2}(0,5 x^{4}-5 x) dx$ , c) $\int_{0}^{10}(\frac{x^{2}-3 x}{5}+1) dx$ , d) $\int_{1}^{2}(\frac{x}{2}+\frac{1}{x^{2}}) dx$ , e) $\int_{0}^{2 \pi} \cos(x) dx$ , f) $\int_{0}^{1}(e^{x}+\frac{1}{2} x) dx$ , g) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(a \cdot \sin(x)+b \cdot \cos(x)) dx$ , h) $\int_{e}^{e^{2}}(2 \cdot \frac{1}{x}) dx$ , i) $\int_{1}^{4}(2 x^{3}-\frac{1}{4 \sqrt{x}}) dx$ .

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Problem 2684

Calculate the integral: $\int\left(2 x^{7}-\frac{1}{4} x^{2}-3 x+1\right) d x$

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Problem 2685

Evaluate the limit $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2} \cos x}{e^{x}-x-1}$ using Taylor series expansions.

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Problem 2686

Evaluate the limit: $\lim _{x \rightarrow \pi} \frac{\sin x}{e^{\pi}-e^{x}}$ using Taylor series expansions.

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Problem 2687

Find the integral of $2 e^{3-2 x}$ with respect to $x$ .

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Problem 2688

Bestimmen Sie die Wendepunkte des Graphen von $f$ : a) $f(x)=x^{3}+2$ , b) $f(x)=4+2 x-x^{2}$ .

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Problem 2689

Calculate the integrals: $\int_{-2}^{3}(4 x^{2}-3 x+5) d x + \int_{-2}^{3}(3 x-5) d x$ .

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Problem 2690

Gegeben ist $f_{a}(x)=-a x^{3}+4 a x$ (mit $a \neq 0$ ). a) Zeigen Sie Punktsymmetrie. b) Bestimmen Sie Punkte $P(-2,0)$ und $Q(2,0)$ . c) Hoch- und Tiefpunkte nachweisen. d) Wendetangente mit $m=8$ finden.

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Problem 2691

Find the limit of $f(x) = \frac{3-7x}{1+x}$ as $x \to -\infty$ .

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Problem 2692

Gegeben ist die Funktion $f_{a}(x)=-a x^{3}+4 a x$ . Zeigen Sie: a) Symmetrie, b) Punkte $P(-2,0)$ und $Q(2,0)$ , c) Hoch- und Tiefpunkte, d) Wendetangente mit $m=8$ .

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Problem 2693

Bestimmen Sie die Angebotskurve aus der Kostenfunktion $K(x) = 0,5x^3 -3x^2 + 10x + 30$ im Bereich $D_{K} = [0;8]$ .

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Problem 2694

Bestimme die Tangentengleichung von $f(x)=2 e^{-x+3}$ am Punkt $P(4 | f(4))$ und berechne den Flächeninhalt des Dreiecks.

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Problem 2695

Find the drug amount using $D(h)=5e^{-0.34h}$ after 1 hour and 7 hours. Round to two decimal places.

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Problem 2696

Given 400g of strontium-90, find: (a) decay rate, (b) amount left after 10 years, (c) time for 100g left, (d) half-life.

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Problem 2697

Finde die Tangentengleichung an $f$ bei $P(a \mid f(a))$ für: a) $f(x)=x^{3}-2x$ , $a=-1$ ; b) $f(x)=\sqrt{x}+\frac{1}{x}$ , $a=1$ ; c) $f(x)=\sin(x)$ , $a=\pi$ .

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Problem 2698

Bestimme die langfristige Anzahl der Fische in Lake Hurst für $t \rightarrow \infty$ aus $N(t)=\frac{20}{1+10 \cdot 2^{-0.5 t}}$ .

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Problem 2699

Ein Betrieb hat die Kostenfunktion $K(x)=0,5 x^{3}-3 x^{2}+10 x+30$ für $D_{\text {ök }}(K)=[0 ; 8]$ .
a) Finde Betriebsoptimum, -minimum und Preisuntergrenzen. b) Bestimme die Angebotskurve und ihren Definitionsbereich. c) Bei Marktpreis von $20 \mathrm{GE}/\mathrm{ME}$ , berechne Stück- und Gesamtgewinn. d) Bestimme $b$ in $K(x)=0,5 x^{3}+b x^{2}+10 x+30$ für Betriebsoptimum bei $5 \mathrm{ME}$ .

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Problem 2700

Bestimme die Punkte, an denen die Funktion $f$ die Steigung $m$ hat: a) $f(x)=x^{3}-2x-1; m=1$ b) $f(x)=\cos(x), 0<x<2\pi; m=-1$

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337

Calculus

Problem 2601

Berechne die Höhe der Orte A-Dorf und B-Dorf mit f(0)f(0)f(0) und f(2)f(2)f(2), finde die Steilheit des Weges und den maximalen Steigungsprozentsatz.

Problem 2602

Problem 2603

Bewerte die Aussage: „Jede gebrochen rationale Funktion konvergiert gegen 0 für x→±∞x \rightarrow \pm \inftyx→±∞."

Problem 2604

Problem 2605

Bestimmen Sie alle Stammfunktionen von g(x)=−4x3+7x2−0,8g(x)=-4 x^{3}+7 x^{2}-0,8g(x)=−4x3+7x2−0,8.

Problem 2606

Bestimme den Break-even-Point, Gewinngrenze und maximalen Gewinn bei K(x)=0,2x3−0,5x2+1,5x+2K(x)=0,2 x^{3}-0,5 x^{2}+1,5 x+2K(x)=0,2x3−0,5x2+1,5x+2 und p(x)=−10x+100p(x)=-10 x+100p(x)=−10x+100.

Problem 2607

Untersuchen Sie die Funktion f(x)=3x4+6x3f(x)=3 x^{4}+6 x^{3}f(x)=3x4+6x3 auf Symmetrie, Extrempunkte, Wendepunkte und Tangente.

Problem 2608

Problem 2609

Find the limit as n→∞n \to \inftyn→∞ for the Riemann sum of f(x)=x2+7f(x) = x^2 + 7f(x)=x2+7 on [0,a][0, a][0,a].

Problem 2610

Problem 2611

Bestimme die Zeitpunkte mit maximaler und minimaler Zuflussgeschwindigkeit für f(t)=0,25t3−12t2+144tf(t)=0,25 t^{3}-12 t^{2}+144 tf(t)=0,25t3−12t2+144t. Finde Nullstellen und den Zeitpunkt der stärksten Abnahme.

Problem 2612

Aufgabe: Bestimme die Extrempunkte und Nullstellen der Funktion f(t)=0,25⋅t3−12⋅t2+144⋅tf(t)=0,25 \cdot t^{3}-12 \cdot t^{2}+144 \cdot tf(t)=0,25⋅t3−12⋅t2+144⋅t. Analysiere die Zuflussgeschwindigkeit.

Problem 2613

Problem 2614

Untersuche das Verhalten der Folge a(n)=2nn2+1a(n)=\frac{2 n}{n^{2}+1}a(n)=n2+12n​ für n→∞n \rightarrow \inftyn→∞ mit Tabelle und Graph.

Problem 2615

Finde die Abmessungen und den maximalen Flächeninhalt des Rechtecks mit den Ecken A(−u,0)A(-u,0)A(−u,0), B(u,0)B(u,0)B(u,0), C(u,f(u))C(u,f(u))C(u,f(u)), D(−u,f(−u))D(-u,f(-u))D(−u,f(−u)) für f(x)=−13x2+3f(x)=-\frac{1}{3} x^{2}+3f(x)=−31​x2+3.

Problem 2616

Berechnen Sie die Integrale a) bis f) und zeichnen Sie die Graphen von f im jeweiligen Intervall.

Problem 2617

Bestimme den Wendepunkt der Funktion f(x)=7x7+4x3−88f(x) = 7x^7 + 4x^3 - 88f(x)=7x7+4x3−88.

Problem 2618

Bestimme die Kostenfunktion K(x)=0,25x3−3x2+20x+35K(x)=0,25 x^{3}-3 x^{2}+20 x+35K(x)=0,25x3−3x2+20x+35, das durchschnittliche Kostenwachstum von 222 bis 666 und die Ableitung.

Problem 2619

Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f(t)=(25−t)⋅e0,1⋅tf(t)=(25-t) \cdot e^{0,1 \cdot t}f(t)=(25−t)⋅e0,1⋅t für 0≦t≦250 \leqq t \leqq 250≦t≦25.

Problem 2620

Ein Zylinder hat ein Volumen von 40 cm³. Finde Radius und Höhe, um die Oberfläche A=2πrh+2πr2A = 2\pi rh + 2\pi r^2A=2πrh+2πr2 zu minimieren.

Problem 2621

Problem 2622

Problem 2623

Problem 2624

Skizzieren Sie den Graphen der Funktion fff, die f(1)=0f(1)=0f(1)=0, f′(−3)=0f^{\prime}(-3)=0f′(−3)=0, f′(2)=0f^{\prime}(2)=0f′(2)=0, f′′(−3)<0f^{\prime \prime}(-3)<0f′′(−3)<0, f′′′(2)>0f^{\prime \prime \prime}(2)>0f′′′(2)>0 erfüllt.

Problem 2625

Zeichnen Sie den Graphen von f(x)=0,25x2+2f(x) = 0,25 x^{2}+2f(x)=0,25x2+2 für 0<x<40 < x < 40<x<4 und schätzen Sie ∫04f(x)dx\int_{0}^{4} f(x) dx∫04​f(x)dx.

Problem 2626

Zeigen Sie, dass die Funktion g(x)=x4−4x3+2xg(x)=x^{4}-4 x^{3}+2 xg(x)=x4−4x3+2x den Wendepunkt W(0∣0)W(0 \mid 0)W(0∣0) hat und bestimmen Sie die Steigung der Wendetangente.

Problem 2627

Gegeben ist die Funktion f(x)=−x3−x+4f(x)=-x^{3}-x+4f(x)=−x3−x+4. Berechne f′(1)f^{\prime}(1)f′(1) und die Tangentengleichung am Punkt P(1∣f(1))P(1 \mid f(1))P(1∣f(1)).

Problem 2628

Zeigen Sie, dass f(x)=x4−4x3f(x)=x^{4}-4x^{3}f(x)=x4−4x3 im Ursprung einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente hat. Für g(x)=x4−4x3+2xg(x)=x^{4}-4x^{3}+2xg(x)=x4−4x3+2x, begründen Sie den Wendepunkt W(0∣0)W(0 \mid 0)W(0∣0) und die Steigung der Wendetangente.

Problem 2629

Problem 2630

Problem 2631

Problem 2632

Problem 2633

Find the derivative of f(x)=2x+1+8xf(x)=2x+1+\frac{8}{x}f(x)=2x+1+x8​.

Problem 2634

Bestimme die Seitenlänge xxx der herausgeschnittenen Quadrate aus einer 20 cm×20 cm20 \mathrm{~cm} \times 20 \mathrm{~cm}20 cm×20 cm Pappe, um das Volumen maximal zu machen.

Problem 2635

Evaluate the integral: ∫dxsin⁡xcos⁡x\int \frac{d x}{\sin x \cos x}∫sinxcosxdx​.

Problem 2636

Problem 2637

Bestimme das Maximum der Funktion e(t)=−1400t2(t−48)e(t)=-\frac{1}{400} t^{2}(t-48)e(t)=−4001​t2(t−48) und die maximale Erkrankungsrate. Wann endet die Epidemie?

Problem 2638

Finde die Extremstelle der Funktion f(x)=5e−3x−2f(x)=5 e^{-3 x-2}f(x)=5e−3x−2.

Problem 2639

Calculate the integral: ∫dx1−cos⁡x\int \frac{d x}{1-\cos x}∫1−cosxdx​.

Problem 2640

Find the integral of (cot⁡x+tan⁡x)2(\cot x + \tan x)^{2}(cotx+tanx)2 with respect to xxx.

Problem 2641

Find the integral: ∫dxsin⁡3xtan⁡3x\int \frac{d x}{\sin 3 x \tan 3 x}∫sin3xtan3xdx​.

Problem 2642

Evaluate the integral: ∫4sin⁡2xcos⁡2xsin⁡2xcos⁡2xdx\int \frac{4 \sin ^{2} x \cos ^{2} x}{\sin 2 x \cos 2 x} d x∫sin2xcos2x4sin2xcos2x​dx

Problem 2643

Evaluate the integral: ∫ex−4e−xex dx\int \frac{e^{x}-4 e^{-x}}{e^{x}} \, dx∫exex−4e−x​dx

Problem 2644

Find the integral of e3x\sqrt{e^{3 x}}e3x​ with respect to xxx.

Problem 2645

Problem 2646

Find the derivative of f(x)=(6x−6)e0.5xf(x)=(6x-6)e^{0.5x}f(x)=(6x−6)e0.5x.

Problem 2647

Berechne die Höhe der Orte A-Dorf und B-Dorf mit $f(0)$ und $f(2)$ , finde die Steilheit des Weges und den maximalen Steigungsprozentsatz.

Bewerte die Aussage: „Jede gebrochen rationale Funktion konvergiert gegen 0 für $x \rightarrow \pm \infty$ ."

Bestimmen Sie alle Stammfunktionen von $g(x)=-4 x^{3}+7 x^{2}-0,8$ .

Bestimme den Break-even-Point, Gewinngrenze und maximalen Gewinn bei $K(x)=0,2 x^{3}-0,5 x^{2}+1,5 x+2$ und $p(x)=-10 x+100$ .

Untersuchen Sie die Funktion $f(x)=3 x^{4}+6 x^{3}$ auf Symmetrie, Extrempunkte, Wendepunkte und Tangente.

Find the limit as $n \to \infty$ for the Riemann sum of $f(x) = x^2 + 7$ on $[0, a]$ .

Bestimme die Zeitpunkte mit maximaler und minimaler Zuflussgeschwindigkeit für $f(t)=0,25 t^{3}-12 t^{2}+144 t$ . Finde Nullstellen und den Zeitpunkt der stärksten Abnahme.

Aufgabe: Bestimme die Extrempunkte und Nullstellen der Funktion $f(t)=0,25 \cdot t^{3}-12 \cdot t^{2}+144 \cdot t$ . Analysiere die Zuflussgeschwindigkeit.

Untersuche das Verhalten der Folge $a(n)=\frac{2 n}{n^{2}+1}$ für $n \rightarrow \infty$ mit Tabelle und Graph.

Finde die Abmessungen und den maximalen Flächeninhalt des Rechtecks mit den Ecken $A(-u,0)$ , $B(u,0)$ , $C(u,f(u))$ , $D(-u,f(-u))$ für $f(x)=-\frac{1}{3} x^{2}+3$ .

Bestimme den Wendepunkt der Funktion $f(x) = 7x^7 + 4x^3 - 88$ .

Bestimme die Kostenfunktion $K(x)=0,25 x^{3}-3 x^{2}+20 x+35$ , das durchschnittliche Kostenwachstum von $2$ bis $6$ und die Ableitung.

Zeichnen Sie den Graphen der Funktion $f(t)=(25-t) \cdot e^{0,1 \cdot t}$ für $0 \leqq t \leqq 25$ .

Ein Zylinder hat ein Volumen von 40 cm³. Finde Radius und Höhe, um die Oberfläche $A = 2\pi rh + 2\pi r^2$ zu minimieren.

Skizzieren Sie den Graphen der Funktion $f$ , die $f(1)=0$ , $f^{\prime}(-3)=0$ , $f^{\prime}(2)=0$ , $f^{\prime \prime}(-3)<0$ , $f^{\prime \prime \prime}(2)>0$ erfüllt.

Zeichnen Sie den Graphen von $f(x) = 0,25 x^{2}+2$ für $0 < x < 4$ und schätzen Sie $\int_{0}^{4} f(x) dx$ .

Zeigen Sie, dass die Funktion $g(x)=x^{4}-4 x^{3}+2 x$ den Wendepunkt $W(0 \mid 0)$ hat und bestimmen Sie die Steigung der Wendetangente.

Gegeben ist die Funktion $f(x)=-x^{3}-x+4$ . Berechne $f^{\prime}(1)$ und die Tangentengleichung am Punkt $P(1 \mid f(1))$ .

Zeigen Sie, dass $f(x)=x^{4}-4x^{3}$ im Ursprung einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente hat. Für $g(x)=x^{4}-4x^{3}+2x$ , begründen Sie den Wendepunkt $W(0 \mid 0)$ und die Steigung der Wendetangente.

Find the derivative of $f(x)=2x+1+\frac{8}{x}$ .

Bestimme die Seitenlänge $x$ der herausgeschnittenen Quadrate aus einer $20 \mathrm{~cm} \times 20 \mathrm{~cm}$ Pappe, um das Volumen maximal zu machen.

Evaluate the integral: $\int \frac{d x}{\sin x \cos x}$ .

Bestimme das Maximum der Funktion $e(t)=-\frac{1}{400} t^{2}(t-48)$ und die maximale Erkrankungsrate. Wann endet die Epidemie?

Finde die Extremstelle der Funktion $f(x)=5 e^{-3 x-2}$ .

Calculate the integral: $\int \frac{d x}{1-\cos x}$ .

Find the integral of $(\cot x + \tan x)^{2}$ with respect to $x$ .

Find the integral: $\int \frac{d x}{\sin 3 x \tan 3 x}$ .

Evaluate the integral: $\int \frac{4 \sin ^{2} x \cos ^{2} x}{\sin 2 x \cos 2 x} d x$

Evaluate the integral: $\int \frac{e^{x}-4 e^{-x}}{e^{x}} \, dx$

Find the integral of $\sqrt{e^{3 x}}$ with respect to $x$ .

Find the derivative of $f(x)=(6x-6)e^{0.5x}$ .

Evaluate the integral: $\int e^{\sin 4 x} \cos 4 x \, dx$

Bestimme die Ableitung von $f(x)=(6 x-6) e^{0,5 x}$ .

Find critical points of $f(x)=-\frac{1}{9}x^3+8x$ by solving $f'(x)=-\frac{2}{9}x+8=0$ .

Bestimme die Punkte, an denen die Funktion $f$ eine Steigung von 3 hat für: a) $f(x)=x^{2}$ , b) $f(x)=x^{3}$ , c) $f(x)=x^{-2}$ , d) $f(x)=\frac{1}{x}$ , e) $f(x)=\sqrt{x}$ .

Calculate the integral $\int \frac{e^{2 x}+2 e^{x}+1}{e^{x}+1} \, dx$ .

Evaluate the integral: $\int\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{2} d x$

Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge $a_{n}=\frac{n^{2}-1}{n^{2}}$ .

Find the minimum of $g(x)=f(2x-1)+2x^{2}-2x+\frac{1}{2}$ on $[-\frac{1}{2}, 1]$ . Options: A. $f(-1)+\frac{1}{2}$ , B. $f(-2)+2$ , C. $f(1)+\frac{1}{2}$ , D. $f(0)$ .

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion $f(x)=x^{2}+3$ . Was ist $f^{\prime}(x)$ ?

Bestimmen Sie die Ableitung von $f(x)=3 x+4$ .

Find the derivative of the function $f(x)=12-2x$ .

Find the derivative of the function $g(t)=\frac{7}{\sqrt{t}}$ using the definition of derivative.

Gegeben ist die Funktion $f(x)=(x-1) \cdot e^{-0,5 x}$ . Bestimme die Tangente an der Nullstelle und bei $x_1=-1$ . Wo ist sie noch eine Ursprungsgerade? Zeichne die Graphen für $-1 \leq x \leq 6$ .

Bestimmen Sie die Grenzwerte von $f(x) = 2 \cdot 0.8^x$ für $x \to \infty$ und $x \to -\infty$ .

Find the derivative of $f(x)=(6-5x)^{2}$ using the chain rule.

Bestimme die Punkte, an denen die Funktion $f$ die Steigung $m$ hat: a) $f(x)=x^{3}-2 x-1 ; m=1$ b) $f(x)=\cos (x), 0<x<2 \pi ; m=-1$

Find the slope of $g(x)=x^{3}+x$ at $x=\frac{1}{2}$ using derivatives.