Calculus

Problem 3401

Find the value of $\frac{d}{d x}\left(\frac{4-x^{2}}{3 x-2}\right)$ when $x=2$ .

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Problem 3402

Find the limit of $g(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x+4}{x^{2}-16}, & x \neq 4 \\ 8, & x=4\end{array}\right.$ as $x \to 4$ and classify the discontinuity.

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Problem 3403

Find the limit as $x$ approaches 2 for the expression $\frac{x+3}{(x-2)^{2}}$ .

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Problem 3404

Untersuchen Sie, ob die Funktionen $g(x)=f(x) \cdot \cos (x)$ und $h(x)=(x+1) \cdot f(x)$ auch eine waagerechte Tangente bei $P(0 \mid 1)$ haben.

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Problem 3405

Berechne die Extrem- und Wendepunkte der Funktionen: a) $f(x)=(e^{x}-e)^{2}$ , b) $f(x)=(e^{x}-2e)^{2}$ .

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Problem 3406

Find the limit: $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{2+\Delta x+3}{(2+\Delta x-2)^{2}}$

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Problem 3407

Is the function $g(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{x+4}{x^{2}-16}, & x \neq 4 \\ 8, & x=4\end{array}\right.$ continuous? If not, is the discontinuity removable or essential?

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Problem 3408

Check if the function $g(x)=\left\{\frac{x+4}{x^{2}-16}, x \neq-4; 8, x=-4\right.$ is continuous. Identify and classify any discontinuity.

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Problem 3409

Complete the table and find the limit: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{9 \cos (x)-9}{x}$ . Round to four decimal places.

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Problem 3410

Find the limits: 1. $\lim _{x \rightarrow 4^{-}} \frac{7}{x-4}$ and 2. $\lim _{x \rightarrow 4^{+}} \frac{7}{x-4}$ .

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Problem 3411

Find the limit as $h$ approaches 0 for $\frac{2(2+h)^{2}-8}{h}$ .

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Problem 3412

Analyze the piecewise function $g(x)=\left\{\begin{array}{ll}2 x, & x \text { is an integer } \\ x^{2}, & \text { otherwise }\end{array}\right.$ for limits and continuity. Classify any discontinuities.

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Problem 3413

Define the piecewise function $f(x)$ and find the limits as $x$ approaches 4 and -8 from both sides.

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Problem 3414

Skizzieren Sie den Graphen einer Funktion $f$ mit den folgenden Eigenschaften: a) negative Steigung, b) Steigung 0 bei 0, positiv für $x>0$ , negativ für $x<0$ , c) nichtnegative Steigung mit $f^{\prime}(1)=0$ .

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Problem 3415

Skizzieren Sie den Graphen einer Funktion $f$ mit den folgenden Eigenschaften: a) negative Steigung überall; b) Steigung 0 bei $x=0$ , positiv für $x>0$ , negativ für $x<0$ ; c) nichtnegative Steigung und $f'(1)=0$ .

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Problem 3416

Skizzieren Sie den Graphen einer Funktion $f$ mit den folgenden Eigenschaften: a) negative Steigung überall, b) Steigung 0 bei 0, positiv für $x>0$ , negativ für $x<0$ , c) nichtnegative Steigung und $f^{\prime}(1)=0$ .

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Problem 3417

Leiten Sie die Funktionen ab: a) $f(x)=2 \sin (x)+x^{-3}$ b) $f(x)=2 \sqrt{x}-2 x$ c) $f(x)=x^{\frac{2}{3}}$ d) $f(x)=-x^{-2}+3 x$ e) $f(x)=10 x^{0,1}-5 \cos (x)$ f) $f(x)=x^{2}-x^{-\frac{1}{7}}$

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Problem 3418

Skizzieren Sie den Graphen und analysieren Sie das Monotonieverhalten von diesen Funktionen: a) $f(x) = \frac{2}{x}$ , b) $f(x) = \frac{-2}{x-3}+1$ , c) $f(x) = 3^{x}$ , d) $f(x) = 2^{-x}$ , e) $f(x) = x^{3}$ , f) $f(x) = \sin \left(\frac{x}{3}\right)$ , g) $f(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^{x}$ , h) $f(x) = (-x)^{2}$ .

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Problem 3419

Untersuchen Sie die Funktion $f(x)=\frac{1}{3300} x^{3}-\frac{1}{40} x^{2}+26,5$ auf ein Gefälle von mindestens -0,6.

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Problem 3420

Bestimmen Sie die Tangentengleichung an $f$ bei $P(a \mid f(a))$ für: a) $f(x)=x^{3}-2x$ , $a=-1$ ; b) $f(x)=\sqrt{x}+\frac{1}{x}$ , $a=1$ ; c) $f(x)=\sin(x)$ , $a=\pi$ .

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Problem 3421

Bestimme die Tangentengleichung an $f(x)=\sin(x)$ im Punkt $P(\pi \mid f(\pi))$ .

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Problem 3422

Eine Kugel fällt von einem Garagendach. Bestimme die Ableitung der Funktion $H(t)$ für $t=0,5$ , $t=1,5$ , $t=2,5$ und untersuche die Differenzierbarkeit bei $t=1$ und $t=1,8$ .

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Problem 3423

Zeigen Sie, dass die Funktion $f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d$ mit $b \neq 0$ genau eine Wendestelle hat.

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Problem 3424

Identify the error in finding the derivative of the function $f(x)=4 x^{2}+\frac{1}{x}+2$ , which was given as $f'(x)=8 x+\frac{1}{x^{2}}$ .

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Problem 3425

Untersuchen Sie, ob der Punkt $P$ auf dem Graphen von $f(x)=\frac{1}{6} x^{3}-\frac{3}{2} x$ ein Extremum für den Flächeninhalt des Dreiecks OPQ hat.

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Problem 3426

Find the limit as $x$ approaches 0 for the expression $\frac{x^{2}-3 \cdot x}{x^{2}-x-6}$ .

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Problem 3427

Bestimmen Sie das Symmetrieverhalten, Extrempunkte und Wendepunkte der Funktion $f(x)=\frac{1}{4} x^{4}-2 x^{2}+4$ .

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Problem 3428

Untersuchen Sie die Funktion $f$ : Symmetrie, Schnittpunkte mit der $x$ -Achse, Monotonie, Extrempunkte, Krümmung, Wendepunkte. a) $f(x)=\frac{1}{4} x^{4}-2 x^{2}+4$ b) $f(x)=-\frac{1}{3} x^{3}+3 x$

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Problem 3429

Bestimme die Funktionsgleichungen der Tangenten $t_{1}(x)$ an $f(x)=2 x^{2}-3 x+1$ bei $P(1 / f(1))$ und $t_{2}(x)$ an $g(x)=\frac{x^{3}}{3}+2$ bei $Q(3 / 11)$ .

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Problem 3430

Berechne die n-te Ableitung für: a) $f(x)=e^{k x}$ , b) $g(x)=e^{x}+x^{2}$ , c) $h(x)=e^{x}+e^{-x}$ .

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Problem 3431

Bestimme die Steigung der Funktion $f(x)=7 \cdot e^{2 x}$ bei $x=3$ und wo die Steigung 19 beträgt.

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Problem 3432

Leiten Sie die folgenden Funktionen dreimal ab: a) $f(x)=4 \cdot e^{2 x}$ , b) $f(x)=e^{x+4}$ , c) $f(x)=2 \cdot e^{2-4 x}$ , d) $f(x)=4 x-2 \cdot e^{-2 x}$ , e) $f(x)=x \cdot e^{-2 x}$ , f) $f(x)=2 x \cdot e^{2-x}$ , g) $f(x)=(x+2) \cdot e^{x}$ , h) $f(x)=(1-x) \cdot e^{\frac{1}{2} x}$ .

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Problem 3433

Bestimmen Sie die Extremstellen der Funktion $h$ mit $h^{\prime}(x)=x^{2}-2x-24$ .

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Problem 3434

Untersuche die Funktion $f(x) = -6e^{-0.5x} + 6e^{-3x} + 6$ auf Extrem- und Wendepunkte durch $f'(x)=0$ und $f''(x)=0$ .

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Problem 3435

Untersuche den Grenzwert von $f(x)=\frac{(x^{2}-1) \cdot x}{x-1}$ für $x \rightarrow \infty$ .

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Problem 3436

Untersuchen Sie die Funktion $f(x)=6e^{-0.5x}+6e^{-3x}+6$ auf Extrem- und Wendepunkte.

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Problem 3437

Berechnen Sie eine Stammfunktion $F$ für jede Funktion $f$ : a) $f(x)=3 x^{2}+6$ b) $f(x)=\frac{6}{x^{2}}$ c) $f(x)=4 e^{-x}$ d) $f(x)=-2 \cos x$ e) $f(x)=\sin (-x)$ f) $f(x)=e^{\frac{1}{2} x}$ g) $f(x)=4 x^{-3}$ h) $f(x)=e^{-k x}$

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Problem 3438

Find the third derivative of these functions:
j) $f(x)=t \cdot x \cdot e^{-\frac{1}{4} x}$
k) $f(x)=\ln (2 x-3)$
l) $f(x)=x \cdot \ln (x)-x$

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Problem 3439

Find $f(a)$ , $f(a+h)$ , and the difference quotient $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ for $f(x)=2x^2+9$ , where $h \neq 0$ .

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Problem 3440

Leiten Sie die folgenden Funktionen einmal ab: a) $f(x)=e^{-4 x}-e^{4 x}$ b) $f(x)=(x+1) e^{x}$ c) $f(x)=(3-2 x) e^{-\frac{1}{2} x}$ d) $f(x)=\left(e^{2 x}+e^{-x}\right)^{2}$ e) $f(x)=\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}$ f) $f(x)=\frac{3}{2} e^{-5 x^{2}-3 x}$ g) $f(x)=-4 e^{x}\left(e^{-x}+3\right)$ h) $f(x)=x \cdot \ln \left(x^{2}+3\right)$ i) $f(x)=\log _{2}(3 x+1)$ j) $f(x)=5 \cdot 2^{x}$ k) $f(x)=(2 x-1) \cdot \ln (x+1)$ l) $f(x)=3^{x}-5^{x}$

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Problem 3441

Calculate the integral $\int_{0}^{\pi / 2} \cos ^{2} \theta d \theta$ .

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Problem 3442

Berechne den Differenzenquotienten von $f$ in $[-4;-1]$ für die Funktionen: a) $f(x)=-3x+2$ , b) $f(x)=5x-5$ , c) $f(x)=-3x^{2}+1$ , d) $f(x)=12x^{2}-4$ , e) $f(x)=\frac{x-3}{x-4}$ , f) $f(x)=\frac{x^{2}-3}{x-9}$ .

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Problem 3443

Berechne die Ableitung von $f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-x^{2}-x+\frac{2}{3}$ .

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Problem 3444

Gegeben ist eine Funktion $f(x)=a x^{4}+b x^{3}+c x^{2}+d x+e$ . Formulieren Sie Bedingungen für:
a) $f(7)=8$ b) $g(6)=-3$ c) $h'(2)=0$ d) $i(4)=0$ e) $j'(4)=0$ f) $k'(0)=0$ g) $m''(7)=0$

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Problem 3445

Untersuchen Sie die Funktionen $f(x)=\frac{1}{4} x+\frac{1}{x}$ und $g(x)=x^{4}-2 x^{2}$ auf Nullstellen, Extrema und Wendepunkte. Zeigen Sie, dass jede kubische Funktion $f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d$ einen Wendepunkt hat.

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Problem 3446

Find the derivative of $f(x)=\sin(x^2)$ .

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Problem 3447

Find the limit of $f(x)=\frac{2 \cdot e^{0.03 \cdot x}}{19+e^{0.03 \cdot x}}$ as $x$ approaches infinity.

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Problem 3448

Find the integral of $e^{-15 x}$ with respect to $x$ , using the substitution $u = -15 x$ .

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Problem 3449

Calculate the integral $\int_{0}^{\pi} \cos ^{4}(2 t) d t$ .

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Problem 3450

Finde den Zeitpunkt der stärksten Temperaturänderung für die Funktion $f(t)=-0,32 t^{3}+4,8 t^{2}+18,4$ . Bestimme die Temperatur und Änderungsrate. Erkläre die Krümmung.

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Problem 3451

Estimate $\sqrt{63}$ using linear approximation. Provide the answer to four decimal places. Where should you linearize?

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Problem 3452

Find the integral of $\frac{1}{7-6x}$ with respect to $x$ .

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Problem 3453

Finde die Funktion $f$ mit $f^{\prime \prime}(x)=e^{-x}+6 x$ , Minimum bei $P(0 \mid 2$ , $f^{\prime \prime \prime}(x)=6$ , Wendestelle bei $x=1$ , Nullstelle bei $x=2$ mit Steigung 1.

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Problem 3454

Calculate the integral of the function $\ln \left(x^{x}\right)$ with respect to $x$ : $\int \ln \left(x^{x}\right) d x$ .

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Problem 3455

Finde den Quader mit quadratischer Grundfläche und Volumen $1000 \mathrm{~cm}^{3}$ , der die minimale Oberfläche hat. Was gilt für ein anderes Volumen $V$ ?

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Problem 3456

Finde die Funktion $f$ mit $f^{\prime \prime}(x)=e^{-x}+6x$ , Minimum bei $P(0|2)$ und $f^{\prime \prime \prime}(x)=6$ , Wendestelle bei $x=1$ , Nullstelle bei $x=2$ mit Steigung 1.

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Problem 3457

Finde die Funktion $f$ mit $f^{\prime \prime}(x)=e^{-x}+6x$ , Minimum bei $P(0 \mid 2)$ , $f^{\prime \prime \prime}(x)=6$ , Wendestelle bei $x=1$ und Nullstelle bei $x=2$ mit Steigung 1.

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Problem 3458

Analyze the limits of $f(x)=x^{7}$ as $x \rightarrow -\infty$ and $x \rightarrow \infty$ . What are the results?

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Problem 3459

Find the limit as $x \rightarrow 0$ for the expression $(1+2x+O(x^3))(\sqrt{x}-x+O(x^2))$ . Choose the best answer.

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Problem 3460

Find the limit as $z$ approaches infinity: $\lim _{z \rightarrow \infty} \frac{(z-3)! z^{2} \ln(z^{3})}{z! \ln z}$ and compare growth rates.

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Problem 3461

Identify two functions in $O\left(x^{2}\right)$ as $x \rightarrow \infty$ . Choose two answers only from the options given.

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Problem 3462

Ein Zug muss vor einem $1000 \mathrm{~m}$ Signal anhalten. a) Wann stoppt der Zug und bleibt er vor dem Signal? b) Welche maximale Startgeschwindigkeit ist nötig, um rechtzeitig zu bremsen?

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Problem 3463

Analyze the long-term behavior of the functions: $\frac{x^{2}+1}{x^{3}+2}$ , $\frac{x^{3}+1}{x^{2}+2}$ , and $\frac{x^{2}+1}{x^{2}+2}$ .

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Problem 3464

Find the integral of the function: $\int \sec^{3} \theta \, d\theta$ .

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Problem 3465

5 Forscher beobachteten Bakterienwachstum. Gegeben ist $A(t)=-0,005 t^{3}+0,2 t^{2}+0,9 t+1$ . Finde $A(19)$ und max. Zunahme.

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Problem 3466

Estimate $\sqrt{63}$ using linear approximation and provide the answer to four decimal places. What value should be used for linearization?

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Problem 3467

Find the derivative of the function $f(x)=x^{\ln x}$ .

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Problem 3468

Find the integral of $x^{3} \cos \left(x^{2}\right)$ with respect to $x$ .

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Problem 3469

Calculate the limit and determine if the numerator or denominator grows faster: $\lim _{z \rightarrow \infty} \frac{(z-3) ! z^{2} \ln \left(z^{3}\right)}{z ! \ln z}$

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Problem 3470

Identify two functions that belong to $O\left(x^{2}\right)$ as $x \rightarrow \infty$ from the following options. Choose two only.
1. $(1+\sqrt{x})^{5}$
2. $\frac{x !}{x^{2} e^{x}}$
3. $x \sqrt{x^{2}-5 x+3}$
4. $x \ln ^{2} x$
5. $(x+\ln x)^{2} \ln x$

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Problem 3471

Calculate the integral of $\sin^{2}(7x)$ with respect to $x$ : $\int \sin^{2}(7 x) d x$ .

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Problem 3472

Find the integral of $\sin x \cos x$ with respect to $x$ .

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Problem 3473

Calculate $P_{3}$ using the logistic growth model with a rate of 5\% and $P_{2}=0.43$ . Round to four decimal places.

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Problem 3474

Given a growth rate of 5% and $P_{2}=0.43$ , find $P_{3}$ using the logistic model. $P_{3} \approx 0.4423$ . Explain $P_{3}$ . Choose A or B and fill in the blanks.

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Problem 3475

Calculate $P_{3}$ using a 5\% growth rate and $P_{2}=0.43$ . What does $P_{3}$ signify? Round to four decimal places.

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Problem 3476

An object falls from rest under gravity. Graph its speed and distance fallen from $t=0$ to $t=5.00$ s, ignoring air resistance.

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Problem 3477

Find the integral of $\frac{1}{x^{2}+6 x+9}$ .

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Problem 3478

Solve the IVP $(t^{2}-16t+28) \frac{dy}{dt}=y$ with $y(8)=1$ . Find $y(t)$ , its interval, and limits at ends.

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Problem 3479

Find the average rate of change for $g(x)=4 x^{2}-5 x+1$ over these intervals: a) $[2, 4]$ , b) $[2, 3]$ , c) $[2, 2.5]$ , d) $[2, 2]$ , e) $[2, 2]$ , f) $[2, 2]$ .

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Problem 3480

Solve the integral:
$\int_{\mathbb{R}} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{(x-y)^{2}}{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{y^{2}}{2}} d y$
and simplify to $\frac{1}{2 \pi} \int_{\mathbb{R}} e^{-\frac{(x-y)^{2}+y^{2}}{2}} d y.$

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Problem 3481

Find the limit: $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x+2}{\sqrt{9 x^{2}+1}}$ .

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Problem 3482

Find the slope of the tangent line for $f(x)=x^{2}-2x$ at $x=2$ .

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Problem 3483

Calculate $P_{3}$ using a 5\% growth rate and $P_{2}=0.43$ . Explain what $P_{3}$ signifies.

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Problem 3484

If $\lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=3$ and $\lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=7$ , does $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)$ exist? True or False?

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Problem 3485

Calculate $P_{3}$ using a 5% growth rate and $P_{2}=0.43$ . What does $P_{3} \approx 0.4423$ mean?

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Problem 3486

Find the limit as $x$ approaches 0 for $\frac{3^{x}-1}{x}$ and round to one decimal place.

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Problem 3487

Graph $y=\ln x$ and identify intervals of increase and decrease. Choose A, B, C, or D with interval notation.

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Problem 3488

Find the nearest integer for $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (6 x)}{x}$ .

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Problem 3489

Find the slope $m$ of the secant line for $f(x)=x^{2}-4x+10$ at $x=3$ and $h=1.5$ . What is $m$ ?

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Problem 3490

Graph $y=5 \ln x$ and identify its increasing/decreasing intervals. Choose A, B, C, or D and specify intervals.

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Problem 3491

Find the slope $m$ of the secant line for $f(x)=x^2-4x+10$ at $x=4.5$ with $h=0.5$ . What is $m$ ? $m=$

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Problem 3492

Find the derivative of $f(x)$ at $x=4$ , given the tangent line $6x-3y=15$ .

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Problem 3493

Given $f(x)=x^2-4x+10$ , find the slope of the secant line at $x=4.5$ and $x+h=5$ , then simplify $\frac{f(4.5+h)-f(4.5)}{h}$ .

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Problem 3494

How long for \$2,000 to grow to \$3,800 at a continuous compounding rate of 2.25%? (Round to 2 decimal places.)

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Problem 3495

Find the difference quotient, $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ , for $f(x)=\sqrt{x^{2}-x}$ .

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Problem 3496

Find the total distance traveled by a particle with velocity $v(t)=2-t^{2} \sin t$ from $t=0$ to $t=2$ .

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Problem 3497

Differentiate these functions with respect to $x$ : (i) $h(x)=\ln(x^{3}) \cos(-4x)$ , (ii) $y=\csc(3x)$ , (iii) $g(x)=2e^{\sqrt{x}}+\frac{\pi}{x^{2}}$ .

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Problem 3498

Berechnen Sie die Stammfunktionen F für die folgenden Funktionen: a) $f(x)=3 x^{2}+6$ , b) $f(x)=\frac{6}{x^{2}}$ , c) $f(x)=4 e^{-x}$ , d) $f(x)=-2 \cos x$ , e) $f(x)=\sin (-x)$ , f) $f(x)=e^{\frac{1}{2} x}$ , g) $f(x)=4 x^{-3}$ , h) $f(x)=e^{-k x}$ .

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Problem 3499

Find the derivative of $f(x)=x^{2}-1$ using $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x}$ .

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Problem 3500

Berechnen Sie eine Stammfunktion $F$ für die folgenden Funktionen: a) $3 x^{2}+6$ , b) $\frac{6}{x^{2}}$ , c) $4 e^{-x}$ , d) $-2 \cos x$ , e) $\sin (-x)$ , f) $e^{\frac{1}{2} x}$ , g) $4 x^{-3}$ , h) $e^{-k x}$ .

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337

Calculus

Problem 3401

Find the value of ddx(4−x23x−2)\frac{d}{d x}\left(\frac{4-x^{2}}{3 x-2}\right)dxd​(3x−24−x2​) when x=2x=2x=2.

Problem 3402

Find the limit of g(x)={x+4x2−16,x≠48,x=4g(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x+4}{x^{2}-16}, & x \neq 4 \\ 8, & x=4\end{array}\right.g(x)={x2−16x+4​,8,​x=4x=4​ as x→4x \to 4x→4 and classify the discontinuity.

Problem 3403

Find the limit as xxx approaches 2 for the expression x+3(x−2)2\frac{x+3}{(x-2)^{2}}(x−2)2x+3​.

Problem 3404

Untersuchen Sie, ob die Funktionen g(x)=f(x)⋅cos⁡(x)g(x)=f(x) \cdot \cos (x)g(x)=f(x)⋅cos(x) und h(x)=(x+1)⋅f(x)h(x)=(x+1) \cdot f(x)h(x)=(x+1)⋅f(x) auch eine waagerechte Tangente bei P(0∣1)P(0 \mid 1)P(0∣1) haben.

Problem 3405

Berechne die Extrem- und Wendepunkte der Funktionen: a) f(x)=(ex−e)2f(x)=(e^{x}-e)^{2}f(x)=(ex−e)2, b) f(x)=(ex−2e)2f(x)=(e^{x}-2e)^{2}f(x)=(ex−2e)2.

Problem 3406

Find the limit: lim⁡Δx→02+Δx+3(2+Δx−2)2\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{2+\Delta x+3}{(2+\Delta x-2)^{2}}limΔx→0​(2+Δx−2)22+Δx+3​

Problem 3407

Is the function g(x)={x+4x2−16,x≠48,x=4g(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{x+4}{x^{2}-16}, & x \neq 4 \\ 8, & x=4\end{array}\right.g(x)={x2−16x+4​,8,​x=4x=4​ continuous? If not, is the discontinuity removable or essential?

Problem 3408

Check if the function g(x)={x+4x2−16,x≠−4;8,x=−4g(x)=\left\{\frac{x+4}{x^{2}-16}, x \neq-4; 8, x=-4\right.g(x)={x2−16x+4​,x=−4;8,x=−4 is continuous. Identify and classify any discontinuity.

Problem 3409

Complete the table and find the limit: lim⁡x→09cos⁡(x)−9x\lim _{x \rightarrow 0} \frac{9 \cos (x)-9}{x}x→0lim​x9cos(x)−9​. Round to four decimal places.

Problem 3410

Find the limits: 1. lim⁡x→4−7x−4\lim _{x \rightarrow 4^{-}} \frac{7}{x-4}limx→4−​x−47​ and 2. lim⁡x→4+7x−4\lim _{x \rightarrow 4^{+}} \frac{7}{x-4}limx→4+​x−47​.

Problem 3411

Find the limit as hhh approaches 0 for 2(2+h)2−8h\frac{2(2+h)^{2}-8}{h}h2(2+h)2−8​.

Problem 3412

Analyze the piecewise function g(x)={2x,x is an integer x2, otherwise g(x)=\left\{\begin{array}{ll}2 x, & x \text { is an integer } \\ x^{2}, & \text { otherwise }\end{array}\right.g(x)={2x,x2,​x is an integer otherwise ​ for limits and continuity. Classify any discontinuities.

Problem 3413

Define the piecewise function f(x)f(x)f(x) and find the limits as xxx approaches 4 and -8 from both sides.

Problem 3414

Skizzieren Sie den Graphen einer Funktion fff mit den folgenden Eigenschaften: a) negative Steigung, b) Steigung 0 bei 0, positiv für x>0x>0x>0, negativ für x<0x<0x<0, c) nichtnegative Steigung mit f′(1)=0f^{\prime}(1)=0f′(1)=0.

Problem 3415

Skizzieren Sie den Graphen einer Funktion fff mit den folgenden Eigenschaften: a) negative Steigung überall; b) Steigung 0 bei x=0x=0x=0, positiv für x>0x>0x>0, negativ für x<0x<0x<0; c) nichtnegative Steigung und f′(1)=0f'(1)=0f′(1)=0.

Problem 3416

Skizzieren Sie den Graphen einer Funktion fff mit den folgenden Eigenschaften: a) negative Steigung überall, b) Steigung 0 bei 0, positiv für x>0x>0x>0, negativ für x<0x<0x<0, c) nichtnegative Steigung und f′(1)=0f^{\prime}(1)=0f′(1)=0.

Problem 3417

Problem 3418

Problem 3419

Untersuchen Sie die Funktion f(x)=13300x3−140x2+26,5f(x)=\frac{1}{3300} x^{3}-\frac{1}{40} x^{2}+26,5f(x)=33001​x3−401​x2+26,5 auf ein Gefälle von mindestens -0,6.

Problem 3420

Bestimmen Sie die Tangentengleichung an fff bei P(a∣f(a))P(a \mid f(a))P(a∣f(a)) für: a) f(x)=x3−2xf(x)=x^{3}-2xf(x)=x3−2x, a=−1a=-1a=−1; b) f(x)=x+1xf(x)=\sqrt{x}+\frac{1}{x}f(x)=x​+x1​, a=1a=1a=1; c) f(x)=sin⁡(x)f(x)=\sin(x)f(x)=sin(x), a=πa=\pia=π.

Problem 3421

Bestimme die Tangentengleichung an f(x)=sin⁡(x)f(x)=\sin(x)f(x)=sin(x) im Punkt P(π∣f(π))P(\pi \mid f(\pi))P(π∣f(π)).

Problem 3422

Eine Kugel fällt von einem Garagendach. Bestimme die Ableitung der Funktion H(t)H(t)H(t) für t=0,5t=0,5t=0,5, t=1,5t=1,5t=1,5, t=2,5t=2,5t=2,5 und untersuche die Differenzierbarkeit bei t=1t=1t=1 und t=1,8t=1,8t=1,8.

Problem 3423

Zeigen Sie, dass die Funktion f(x)=ax3+bx2+cx+df(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+df(x)=ax3+bx2+cx+d mit b≠0b \neq 0b=0 genau eine Wendestelle hat.

Problem 3424

Identify the error in finding the derivative of the function f(x)=4x2+1x+2f(x)=4 x^{2}+\frac{1}{x}+2f(x)=4x2+x1​+2, which was given as f′(x)=8x+1x2f'(x)=8 x+\frac{1}{x^{2}}f′(x)=8x+x21​.

Problem 3425

Untersuchen Sie, ob der Punkt PPP auf dem Graphen von f(x)=16x3−32xf(x)=\frac{1}{6} x^{3}-\frac{3}{2} xf(x)=61​x3−23​x ein Extremum für den Flächeninhalt des Dreiecks OPQ hat.

Problem 3426

Find the limit as xxx approaches 0 for the expression x2−3⋅xx2−x−6\frac{x^{2}-3 \cdot x}{x^{2}-x-6}x2−x−6x2−3⋅x​.

Problem 3427

Bestimmen Sie das Symmetrieverhalten, Extrempunkte und Wendepunkte der Funktion f(x)=14x4−2x2+4f(x)=\frac{1}{4} x^{4}-2 x^{2}+4f(x)=41​x4−2x2+4.

Problem 3428

Untersuchen Sie die Funktion fff: Symmetrie, Schnittpunkte mit der xxx-Achse, Monotonie, Extrempunkte, Krümmung, Wendepunkte. a) f(x)=14x4−2x2+4f(x)=\frac{1}{4} x^{4}-2 x^{2}+4f(x)=41​x4−2x2+4 b) f(x)=−13x3+3xf(x)=-\frac{1}{3} x^{3}+3 xf(x)=−31​x3+3x

Problem 3429

Bestimme die Funktionsgleichungen der Tangenten t1(x)t_{1}(x)t1​(x) an f(x)=2x2−3x+1f(x)=2 x^{2}-3 x+1f(x)=2x2−3x+1 bei P(1/f(1))P(1 / f(1))P(1/f(1)) und t2(x)t_{2}(x)t2​(x) an g(x)=x33+2g(x)=\frac{x^{3}}{3}+2g(x)=3x3​+2 bei Q(3/11)Q(3 / 11)Q(3/11).

Problem 3430

Berechne die n-te Ableitung für: a) f(x)=ekxf(x)=e^{k x}f(x)=ekx, b) g(x)=ex+x2g(x)=e^{x}+x^{2}g(x)=ex+x2, c) h(x)=ex+e−xh(x)=e^{x}+e^{-x}h(x)=ex+e−x.

Problem 3431

Bestimme die Steigung der Funktion f(x)=7⋅e2xf(x)=7 \cdot e^{2 x}f(x)=7⋅e2x bei x=3x=3x=3 und wo die Steigung 19 beträgt.

Problem 3432

Problem 3433

Bestimmen Sie die Extremstellen der Funktion hhh mit h′(x)=x2−2x−24h^{\prime}(x)=x^{2}-2x-24h′(x)=x2−2x−24.

Problem 3434

Untersuche die Funktion f(x)=−6e−0.5x+6e−3x+6f(x) = -6e^{-0.5x} + 6e^{-3x} + 6f(x)=−6e−0.5x+6e−3x+6 auf Extrem- und Wendepunkte durch f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0 und f′′(x)=0f''(x)=0f′′(x)=0.

Problem 3435

Untersuche den Grenzwert von f(x)=(x2−1)⋅xx−1f(x)=\frac{(x^{2}-1) \cdot x}{x-1}f(x)=x−1(x2−1)⋅x​ für x→∞x \rightarrow \inftyx→∞.

Problem 3436

Untersuchen Sie die Funktion f(x)=6e−0.5x+6e−3x+6f(x)=6e^{-0.5x}+6e^{-3x}+6f(x)=6e−0.5x+6e−3x+6 auf Extrem- und Wendepunkte.

Problem 3437

Problem 3438

Find the third derivative of these functions: j) f(x)=t⋅x⋅e−14xf(x)=t \cdot x \cdot e^{-\frac{1}{4} x}f(x)=t⋅x⋅e−41​x k) f(x)=ln⁡(2x−3)f(x)=\ln (2 x-3)f(x)=ln(2x−3) l) f(x)=x⋅ln⁡(x)−xf(x)=x \cdot \ln (x)-xf(x)=x⋅ln(x)−x

Problem 3439

Find f(a)f(a)f(a), f(a+h)f(a+h)f(a+h), and the difference quotient f(a+h)−f(a)h\frac{f(a+h)-f(a)}{h}hf(a+h)−f(a)​ for f(x)=2x2+9f(x)=2x^2+9f(x)=2x2+9, where h≠0h \neq 0h=0.

Problem 3440

Problem 3441

Calculate the integral ∫0π/2cos⁡2θdθ\int_{0}^{\pi / 2} \cos ^{2} \theta d \theta∫0π/2​cos2θdθ.

Problem 3442

Problem 3443

Find the value of $\frac{d}{d x}\left(\frac{4-x^{2}}{3 x-2}\right)$ when $x=2$ .

Find the limit of $g(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x+4}{x^{2}-16}, & x \neq 4 \\ 8, & x=4\end{array}\right.$ as $x \to 4$ and classify the discontinuity.

Find the limit as $x$ approaches 2 for the expression $\frac{x+3}{(x-2)^{2}}$ .

Untersuchen Sie, ob die Funktionen $g(x)=f(x) \cdot \cos (x)$ und $h(x)=(x+1) \cdot f(x)$ auch eine waagerechte Tangente bei $P(0 \mid 1)$ haben.

Berechne die Extrem- und Wendepunkte der Funktionen: a) $f(x)=(e^{x}-e)^{2}$ , b) $f(x)=(e^{x}-2e)^{2}$ .

Find the limit: $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{2+\Delta x+3}{(2+\Delta x-2)^{2}}$

Is the function $g(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{x+4}{x^{2}-16}, & x \neq 4 \\ 8, & x=4\end{array}\right.$ continuous? If not, is the discontinuity removable or essential?

Check if the function $g(x)=\left\{\frac{x+4}{x^{2}-16}, x \neq-4; 8, x=-4\right.$ is continuous. Identify and classify any discontinuity.

Complete the table and find the limit: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{9 \cos (x)-9}{x}$ . Round to four decimal places.

Find the limits: 1. $\lim _{x \rightarrow 4^{-}} \frac{7}{x-4}$ and 2. $\lim _{x \rightarrow 4^{+}} \frac{7}{x-4}$ .

Find the limit as $h$ approaches 0 for $\frac{2(2+h)^{2}-8}{h}$ .

Analyze the piecewise function $g(x)=\left\{\begin{array}{ll}2 x, & x \text { is an integer } \\ x^{2}, & \text { otherwise }\end{array}\right.$ for limits and continuity. Classify any discontinuities.

Define the piecewise function $f(x)$ and find the limits as $x$ approaches 4 and -8 from both sides.

Skizzieren Sie den Graphen einer Funktion $f$ mit den folgenden Eigenschaften: a) negative Steigung, b) Steigung 0 bei 0, positiv für $x>0$ , negativ für $x<0$ , c) nichtnegative Steigung mit $f^{\prime}(1)=0$ .

Skizzieren Sie den Graphen einer Funktion $f$ mit den folgenden Eigenschaften: a) negative Steigung überall; b) Steigung 0 bei $x=0$ , positiv für $x>0$ , negativ für $x<0$ ; c) nichtnegative Steigung und $f'(1)=0$ .

Skizzieren Sie den Graphen einer Funktion $f$ mit den folgenden Eigenschaften: a) negative Steigung überall, b) Steigung 0 bei 0, positiv für $x>0$ , negativ für $x<0$ , c) nichtnegative Steigung und $f^{\prime}(1)=0$ .

Untersuchen Sie die Funktion $f(x)=\frac{1}{3300} x^{3}-\frac{1}{40} x^{2}+26,5$ auf ein Gefälle von mindestens -0,6.

Bestimmen Sie die Tangentengleichung an $f$ bei $P(a \mid f(a))$ für: a) $f(x)=x^{3}-2x$ , $a=-1$ ; b) $f(x)=\sqrt{x}+\frac{1}{x}$ , $a=1$ ; c) $f(x)=\sin(x)$ , $a=\pi$ .

Bestimme die Tangentengleichung an $f(x)=\sin(x)$ im Punkt $P(\pi \mid f(\pi))$ .

Eine Kugel fällt von einem Garagendach. Bestimme die Ableitung der Funktion $H(t)$ für $t=0,5$ , $t=1,5$ , $t=2,5$ und untersuche die Differenzierbarkeit bei $t=1$ und $t=1,8$ .

Zeigen Sie, dass die Funktion $f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d$ mit $b \neq 0$ genau eine Wendestelle hat.

Identify the error in finding the derivative of the function $f(x)=4 x^{2}+\frac{1}{x}+2$ , which was given as $f'(x)=8 x+\frac{1}{x^{2}}$ .

Untersuchen Sie, ob der Punkt $P$ auf dem Graphen von $f(x)=\frac{1}{6} x^{3}-\frac{3}{2} x$ ein Extremum für den Flächeninhalt des Dreiecks OPQ hat.

Find the limit as $x$ approaches 0 for the expression $\frac{x^{2}-3 \cdot x}{x^{2}-x-6}$ .

Bestimmen Sie das Symmetrieverhalten, Extrempunkte und Wendepunkte der Funktion $f(x)=\frac{1}{4} x^{4}-2 x^{2}+4$ .

Untersuchen Sie die Funktion $f$ : Symmetrie, Schnittpunkte mit der $x$ -Achse, Monotonie, Extrempunkte, Krümmung, Wendepunkte. a) $f(x)=\frac{1}{4} x^{4}-2 x^{2}+4$ b) $f(x)=-\frac{1}{3} x^{3}+3 x$

Bestimme die Funktionsgleichungen der Tangenten $t_{1}(x)$ an $f(x)=2 x^{2}-3 x+1$ bei $P(1 / f(1))$ und $t_{2}(x)$ an $g(x)=\frac{x^{3}}{3}+2$ bei $Q(3 / 11)$ .

Berechne die n-te Ableitung für: a) $f(x)=e^{k x}$ , b) $g(x)=e^{x}+x^{2}$ , c) $h(x)=e^{x}+e^{-x}$ .

Bestimme die Steigung der Funktion $f(x)=7 \cdot e^{2 x}$ bei $x=3$ und wo die Steigung 19 beträgt.

Bestimmen Sie die Extremstellen der Funktion $h$ mit $h^{\prime}(x)=x^{2}-2x-24$ .

Untersuche die Funktion $f(x) = -6e^{-0.5x} + 6e^{-3x} + 6$ auf Extrem- und Wendepunkte durch $f'(x)=0$ und $f''(x)=0$ .

Untersuche den Grenzwert von $f(x)=\frac{(x^{2}-1) \cdot x}{x-1}$ für $x \rightarrow \infty$ .

Untersuchen Sie die Funktion $f(x)=6e^{-0.5x}+6e^{-3x}+6$ auf Extrem- und Wendepunkte.

Find the third derivative of these functions:
j) $f(x)=t \cdot x \cdot e^{-\frac{1}{4} x}$
k) $f(x)=\ln (2 x-3)$
l) $f(x)=x \cdot \ln (x)-x$

Find $f(a)$ , $f(a+h)$ , and the difference quotient $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ for $f(x)=2x^2+9$ , where $h \neq 0$ .

Calculate the integral $\int_{0}^{\pi / 2} \cos ^{2} \theta d \theta$ .

Berechne die Ableitung von $f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-x^{2}-x+\frac{2}{3}$ .

Find the derivative of $f(x)=\sin(x^2)$ .

Find the limit of $f(x)=\frac{2 \cdot e^{0.03 \cdot x}}{19+e^{0.03 \cdot x}}$ as $x$ approaches infinity.

Find the integral of $e^{-15 x}$ with respect to $x$ , using the substitution $u = -15 x$ .

Calculate the integral $\int_{0}^{\pi} \cos ^{4}(2 t) d t$ .

Finde den Zeitpunkt der stärksten Temperaturänderung für die Funktion $f(t)=-0,32 t^{3}+4,8 t^{2}+18,4$ . Bestimme die Temperatur und Änderungsrate. Erkläre die Krümmung.

Estimate $\sqrt{63}$ using linear approximation. Provide the answer to four decimal places. Where should you linearize?

Find the integral of $\frac{1}{7-6x}$ with respect to $x$ .

Finde die Funktion $f$ mit $f^{\prime \prime}(x)=e^{-x}+6 x$ , Minimum bei $P(0 \mid 2$ , $f^{\prime \prime \prime}(x)=6$ , Wendestelle bei $x=1$ , Nullstelle bei $x=2$ mit Steigung 1.

Calculate the integral of the function $\ln \left(x^{x}\right)$ with respect to $x$ : $\int \ln \left(x^{x}\right) d x$ .

Finde den Quader mit quadratischer Grundfläche und Volumen $1000 \mathrm{~cm}^{3}$ , der die minimale Oberfläche hat. Was gilt für ein anderes Volumen $V$ ?

Finde die Funktion $f$ mit $f^{\prime \prime}(x)=e^{-x}+6x$ , Minimum bei $P(0|2)$ und $f^{\prime \prime \prime}(x)=6$ , Wendestelle bei $x=1$ , Nullstelle bei $x=2$ mit Steigung 1.

Finde die Funktion $f$ mit $f^{\prime \prime}(x)=e^{-x}+6x$ , Minimum bei $P(0 \mid 2)$ , $f^{\prime \prime \prime}(x)=6$ , Wendestelle bei $x=1$ und Nullstelle bei $x=2$ mit Steigung 1.

Analyze the limits of $f(x)=x^{7}$ as $x \rightarrow -\infty$ and $x \rightarrow \infty$ . What are the results?

Find the limit as $x \rightarrow 0$ for the expression $(1+2x+O(x^3))(\sqrt{x}-x+O(x^2))$ . Choose the best answer.

Find the limit as $z$ approaches infinity: $\lim _{z \rightarrow \infty} \frac{(z-3)! z^{2} \ln(z^{3})}{z! \ln z}$ and compare growth rates.

Identify two functions in $O\left(x^{2}\right)$ as $x \rightarrow \infty$ . Choose two answers only from the options given.

Ein Zug muss vor einem $1000 \mathrm{~m}$ Signal anhalten. a) Wann stoppt der Zug und bleibt er vor dem Signal? b) Welche maximale Startgeschwindigkeit ist nötig, um rechtzeitig zu bremsen?

Analyze the long-term behavior of the functions: $\frac{x^{2}+1}{x^{3}+2}$ , $\frac{x^{3}+1}{x^{2}+2}$ , and $\frac{x^{2}+1}{x^{2}+2}$ .

Find the integral of the function: $\int \sec^{3} \theta \, d\theta$ .

5 Forscher beobachteten Bakterienwachstum. Gegeben ist $A(t)=-0,005 t^{3}+0,2 t^{2}+0,9 t+1$ . Finde $A(19)$ und max. Zunahme.

Estimate $\sqrt{63}$ using linear approximation and provide the answer to four decimal places. What value should be used for linearization?

Find the derivative of the function $f(x)=x^{\ln x}$ .

Find the integral of $x^{3} \cos \left(x^{2}\right)$ with respect to $x$ .

Calculate the limit and determine if the numerator or denominator grows faster: $\lim _{z \rightarrow \infty} \frac{(z-3) ! z^{2} \ln \left(z^{3}\right)}{z ! \ln z}$

Calculate the integral of $\sin^{2}(7x)$ with respect to $x$ : $\int \sin^{2}(7 x) d x$ .

Find the integral of $\sin x \cos x$ with respect to $x$ .

Calculate $P_{3}$ using the logistic growth model with a rate of 5\% and $P_{2}=0.43$ . Round to four decimal places.

Given a growth rate of 5% and $P_{2}=0.43$ , find $P_{3}$ using the logistic model. $P_{3} \approx 0.4423$ . Explain $P_{3}$ . Choose A or B and fill in the blanks.