Solved on Jan 30, 2024

Find the derivatives of $X$ , $3xe^x$ , and $xe^x$ .

STEP 1

الافتراضات
1. نحتاج إلى إيجاد المشتقة الأولى والثانية للدالة $X$ .
2. الدالة $X$ غير محددة ويجب تحديدها قبل إيجاد المشتقات.
3. المشتقات المعطاة $3xe^x$ و $xe^x$ يمكن أن تكون المشتقة الأولى والثانية للدالة $X$ على التوالي، وسنفترض ذلك لحل المسألة.

STEP 2

لإيجاد الدالة $X$ ، نبدأ بالمشتقة الثانية $xe^x$ ونجد التكامل الأول لها للحصول على المشتقة الأولى.
$\int xe^x \,dx$

STEP 3

نستخدم تكامل بالتجزئة لإيجاد التكامل الأول للدالة $xe^x$ . لتكامل بالتجزئة نحتاج إلى اختيار $u$ و $dv$ بحيث:
$u = x, \quad dv = e^x \,dx$

STEP 4

نجد القيم $du$ و $v$ من خلال التفاضل والتكامل:
$du = dx, \quad v = e^x$

STEP 5

نطبق قاعدة التكامل بالتجزئة:
$\int u \,dv = uv - \int v \,du$

STEP 6

نستبدل $u$ , $dv$ , $du$ و $v$ في الصيغة:
$\int xe^x \,dx = x e^x - \int e^x \,dx$

STEP 7

نجد التكامل الثاني:
$\int e^x \,dx = e^x$

STEP 8

نضع القيمة في المعادلة:
$\int xe^x \,dx = x e^x - e^x + C$
حيث $C$ هو ثابت التكامل.

STEP 9

الآن لدينا المشتقة الأولى للدالة $X$ ، وهي:
$X' = xe^x - e^x + C$

STEP 10

نلاحظ أن المشتقة الأولى المعطاة هي $3xe^x$ ، وبالتالي يمكننا تحديد قيمة الثابت $C$ بمقارنتها مع $X'$ :
$3xe^x = xe^x - e^x + C$

STEP 11

نحل المعادلة لإيجاد $C$ :
$C = 3xe^x - xe^x + e^x$

STEP 12

نبسط المعادلة:
$C = 2xe^x + e^x$

STEP 13

الآن لدينا المشتقة الأولى الكاملة للدالة $X$ :
$X' = xe^x - e^x + 2xe^x + e^x$

STEP 14

نبسط المشتقة الأولى:
$X' = 3xe^x$

STEP 15

لإيجاد الدالة $X$ نحتاج إلى تكامل المشتقة الأولى $X'$ :
$\int 3xe^x \,dx$

STEP 16

نلاحظ أن التكامل الذي قمنا به في الخطوات السابقة يعطينا الدالة $X$ مباشرةً بإضافة ثابت التكامل، لأن $3xe^x$ هي المشتقة الأولى للدالة $X$ . لذلك، الدالة $X$ هي:
$X = xe^x - e^x + 2xe^x + e^x + C'$
حيث $C'$ هو ثابت التكامل الجديد.

STEP 17

نبسط الدالة $X$ :
$X = 3xe^x - e^x + C'$

STEP 18

بما أننا لا نملك معلومات إضافية لتحديد قيمة $C'$ ، فإن الحل النهائي للدالة $X$ هو:
$X = 3xe^x - e^x + C'$
حيث $C'$ هو ثابت يمكن تحديده إذا كانت هناك شروط أولية أو معلومات إضافية متاحة.

Was this helpful?

Find the derivatives of $X$ , $3xe^x$ , and $xe^x$ .

STEP 1

STEP 2

لإيجاد الدالة $X$ ، نبدأ بالمشتقة الثانية $xe^x$ ونجد التكامل الأول لها للحصول على المشتقة الأولى.
$\int xe^x \,dx$

STEP 3

نستخدم تكامل بالتجزئة لإيجاد التكامل الأول للدالة $xe^x$ . لتكامل بالتجزئة نحتاج إلى اختيار $u$ و $dv$ بحيث:
$u = x, \quad dv = e^x \,dx$

STEP 4

نجد القيم $du$ و $v$ من خلال التفاضل والتكامل:
$du = dx, \quad v = e^x$

STEP 5

نطبق قاعدة التكامل بالتجزئة:
$\int u \,dv = uv - \int v \,du$

STEP 6

نستبدل $u$ , $dv$ , $du$ و $v$ في الصيغة:
$\int xe^x \,dx = x e^x - \int e^x \,dx$

STEP 7

نجد التكامل الثاني:
$\int e^x \,dx = e^x$

STEP 8

نضع القيمة في المعادلة:
$\int xe^x \,dx = x e^x - e^x + C$
حيث $C$ هو ثابت التكامل.

STEP 9

الآن لدينا المشتقة الأولى للدالة $X$ ، وهي:
$X' = xe^x - e^x + C$

STEP 10

نلاحظ أن المشتقة الأولى المعطاة هي $3xe^x$ ، وبالتالي يمكننا تحديد قيمة الثابت $C$ بمقارنتها مع $X'$ :
$3xe^x = xe^x - e^x + C$

STEP 11

نحل المعادلة لإيجاد $C$ :
$C = 3xe^x - xe^x + e^x$

STEP 12

نبسط المعادلة:
$C = 2xe^x + e^x$

STEP 13

الآن لدينا المشتقة الأولى الكاملة للدالة $X$ :
$X' = xe^x - e^x + 2xe^x + e^x$

STEP 14

نبسط المشتقة الأولى:
$X' = 3xe^x$

STEP 15

لإيجاد الدالة $X$ نحتاج إلى تكامل المشتقة الأولى $X'$ :
$\int 3xe^x \,dx$

STEP 16

STEP 17

نبسط الدالة $X$ :
$X = 3xe^x - e^x + C'$

STEP 18

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

Find the derivatives of XXX, 3xex3xe^x3xex, and xexxe^xxex.

STEP 1

STEP 2

لإيجاد الدالة XXX، نبدأ بالمشتقة الثانية xexxe^xxex ونجد التكامل الأول لها للحصول على المشتقة الأولى.∫xex dx\int xe^x \,dx∫xexdx

STEP 3

نستخدم تكامل بالتجزئة لإيجاد التكامل الأول للدالة xexxe^xxex. لتكامل بالتجزئة نحتاج إلى اختيار uuu و dvdvdv بحيث:u=x,dv=ex dxu = x, \quad dv = e^x \,dxu=x,dv=exdx

STEP 4

نجد القيم dududu و vvv من خلال التفاضل والتكامل:du=dx,v=exdu = dx, \quad v = e^xdu=dx,v=ex

STEP 5

نطبق قاعدة التكامل بالتجزئة:∫u dv=uv−∫v du\int u \,dv = uv - \int v \,du∫udv=uv−∫vdu

STEP 6

نستبدل uuu, dvdvdv, dududu و vvv في الصيغة:∫xex dx=xex−∫ex dx\int xe^x \,dx = x e^x - \int e^x \,dx∫xexdx=xex−∫exdx

STEP 7

نجد التكامل الثاني:∫ex dx=ex\int e^x \,dx = e^x∫exdx=ex

STEP 8

نضع القيمة في المعادلة:∫xex dx=xex−ex+C\int xe^x \,dx = x e^x - e^x + C∫xexdx=xex−ex+Cحيث CCC هو ثابت التكامل.

STEP 9

الآن لدينا المشتقة الأولى للدالة XXX، وهي:X′=xex−ex+CX' = xe^x - e^x + CX′=xex−ex+C

STEP 10

نلاحظ أن المشتقة الأولى المعطاة هي 3xex3xe^x3xex، وبالتالي يمكننا تحديد قيمة الثابت CCC بمقارنتها مع X′X'X′:3xex=xex−ex+C3xe^x = xe^x - e^x + C3xex=xex−ex+C

STEP 11

نحل المعادلة لإيجاد CCC:C=3xex−xex+exC = 3xe^x - xe^x + e^xC=3xex−xex+ex

STEP 12

نبسط المعادلة:C=2xex+exC = 2xe^x + e^xC=2xex+ex

STEP 13

الآن لدينا المشتقة الأولى الكاملة للدالة XXX:X′=xex−ex+2xex+exX' = xe^x - e^x + 2xe^x + e^xX′=xex−ex+2xex+ex

STEP 14

نبسط المشتقة الأولى:X′=3xexX' = 3xe^xX′=3xex

STEP 15

لإيجاد الدالة XXX نحتاج إلى تكامل المشتقة الأولى X′X'X′:∫3xex dx\int 3xe^x \,dx∫3xexdx

STEP 16

STEP 17

نبسط الدالة XXX:X=3xex−ex+C′X = 3xe^x - e^x + C'X=3xex−ex+C′

STEP 18

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

Find the derivatives of $X$ , $3xe^x$ , and $xe^x$ .

لإيجاد الدالة $X$ ، نبدأ بالمشتقة الثانية $xe^x$ ونجد التكامل الأول لها للحصول على المشتقة الأولى.
$\int xe^x \,dx$

نستخدم تكامل بالتجزئة لإيجاد التكامل الأول للدالة $xe^x$ . لتكامل بالتجزئة نحتاج إلى اختيار $u$ و $dv$ بحيث:
$u = x, \quad dv = e^x \,dx$

نجد القيم $du$ و $v$ من خلال التفاضل والتكامل:
$du = dx, \quad v = e^x$

نطبق قاعدة التكامل بالتجزئة:
$\int u \,dv = uv - \int v \,du$

نستبدل $u$ , $dv$ , $du$ و $v$ في الصيغة:
$\int xe^x \,dx = x e^x - \int e^x \,dx$

نجد التكامل الثاني:
$\int e^x \,dx = e^x$

نضع القيمة في المعادلة:
$\int xe^x \,dx = x e^x - e^x + C$
حيث $C$ هو ثابت التكامل.

الآن لدينا المشتقة الأولى للدالة $X$ ، وهي:
$X' = xe^x - e^x + C$

نلاحظ أن المشتقة الأولى المعطاة هي $3xe^x$ ، وبالتالي يمكننا تحديد قيمة الثابت $C$ بمقارنتها مع $X'$ :
$3xe^x = xe^x - e^x + C$

نحل المعادلة لإيجاد $C$ :
$C = 3xe^x - xe^x + e^x$

نبسط المعادلة:
$C = 2xe^x + e^x$

الآن لدينا المشتقة الأولى الكاملة للدالة $X$ :
$X' = xe^x - e^x + 2xe^x + e^x$

نبسط المشتقة الأولى:
$X' = 3xe^x$

لإيجاد الدالة $X$ نحتاج إلى تكامل المشتقة الأولى $X'$ :
$\int 3xe^x \,dx$

نبسط الدالة $X$ :
$X = 3xe^x - e^x + C'$