Solved on Jan 15, 2024

Simplify $\ln e^{3} + 2 \ln \sqrt{e} + e^{3 \ln 4} - 2 e^{-\ln 2}$ .

STEP 1

Hypothèses
1. Les propriétés des logarithmes et des exponentielles seront utilisées pour simplifier l'expression.
2. $\ln e^{x} = x$ car $\ln$ est le logarithme naturel de base $e$ .
3. $2 \ln \sqrt{e} = \ln (\sqrt{e})^2$ en utilisant la propriété du logarithme $a \ln b = \ln b^a$ .
4. $e^{3 \ln 4} = (e^{\ln 4})^3$ en utilisant la propriété des exponentielles $a^{bc} = (a^b)^c$ .
5. $e^{-\ln 2} = \frac{1}{e^{\ln 2}}$ en utilisant la propriété des exponentielles $a^{-b} = \frac{1}{a^b}$ .

STEP 2

Simplifier le premier terme en utilisant la propriété du logarithme naturel.
$\ln e^{3} = 3$

STEP 3

Simplifier le deuxième terme en utilisant la propriété du logarithme.
$2 \ln \sqrt{e} = \ln (\sqrt{e})^2 = \ln e = 1$

STEP 4

Simplifier le troisième terme en utilisant la propriété des exponentielles.
$e^{3 \ln 4} = (e^{\ln 4})^3 = 4^3$

STEP 5

Calculer la valeur numérique du troisième terme.
$4^3 = 64$

STEP 6

Simplifier le quatrième terme en utilisant la propriété des exponentielles.
$e^{-\ln 2} = \frac{1}{e^{\ln 2}} = \frac{1}{2}$

STEP 7

Maintenant, nous allons combiner tous les termes simplifiés.
$\ln e^{3}+2 \ln \sqrt{e}+e^{3 \ln 4}-2 e^{-\ln 2} = 3 + 1 + 64 - 2 \cdot \frac{1}{2}$

STEP 8

Calculer la valeur numérique de l'expression.
$3 + 1 + 64 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 3 + 1 + 64 - 1 = 67$
La solution est $67$ .

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Simplify $\ln e^{3} + 2 \ln \sqrt{e} + e^{3 \ln 4} - 2 e^{-\ln 2}$ .

STEP 1

STEP 2

Simplifier le premier terme en utilisant la propriété du logarithme naturel.
$\ln e^{3} = 3$

STEP 3

Simplifier le deuxième terme en utilisant la propriété du logarithme.
$2 \ln \sqrt{e} = \ln (\sqrt{e})^2 = \ln e = 1$

STEP 4

Simplifier le troisième terme en utilisant la propriété des exponentielles.
$e^{3 \ln 4} = (e^{\ln 4})^3 = 4^3$

STEP 5

Calculer la valeur numérique du troisième terme.
$4^3 = 64$

STEP 6

Simplifier le quatrième terme en utilisant la propriété des exponentielles.
$e^{-\ln 2} = \frac{1}{e^{\ln 2}} = \frac{1}{2}$

STEP 7

Maintenant, nous allons combiner tous les termes simplifiés.
$\ln e^{3}+2 \ln \sqrt{e}+e^{3 \ln 4}-2 e^{-\ln 2} = 3 + 1 + 64 - 2 \cdot \frac{1}{2}$

STEP 8

Calculer la valeur numérique de l'expression.
$3 + 1 + 64 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 3 + 1 + 64 - 1 = 67$
La solution est $67$ .

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Simplify ln⁡e3+2ln⁡e+e3ln⁡4−2e−ln⁡2\ln e^{3} + 2 \ln \sqrt{e} + e^{3 \ln 4} - 2 e^{-\ln 2}lne3+2lne​+e3ln4−2e−ln2.

STEP 1

STEP 2

Simplifier le premier terme en utilisant la propriété du logarithme naturel.ln⁡e3=3\ln e^{3} = 3lne3=3

STEP 3

Simplifier le deuxième terme en utilisant la propriété du logarithme.2ln⁡e=ln⁡(e)2=ln⁡e=12 \ln \sqrt{e} = \ln (\sqrt{e})^2 = \ln e = 12lne​=ln(e​)2=lne=1

STEP 4

Simplifier le troisième terme en utilisant la propriété des exponentielles.e3ln⁡4=(eln⁡4)3=43e^{3 \ln 4} = (e^{\ln 4})^3 = 4^3e3ln4=(eln4)3=43

STEP 5

Calculer la valeur numérique du troisième terme.43=644^3 = 6443=64

STEP 6

Simplifier le quatrième terme en utilisant la propriété des exponentielles.e−ln⁡2=1eln⁡2=12e^{-\ln 2} = \frac{1}{e^{\ln 2}} = \frac{1}{2}e−ln2=eln21​=21​

STEP 7

Maintenant, nous allons combiner tous les termes simplifiés.ln⁡e3+2ln⁡e+e3ln⁡4−2e−ln⁡2=3+1+64−2⋅12\ln e^{3}+2 \ln \sqrt{e}+e^{3 \ln 4}-2 e^{-\ln 2} = 3 + 1 + 64 - 2 \cdot \frac{1}{2}lne3+2lne​+e3ln4−2e−ln2=3+1+64−2⋅21​

STEP 8

Calculer la valeur numérique de l'expression.3+1+64−2⋅12=3+1+64−1=673 + 1 + 64 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 3 + 1 + 64 - 1 = 673+1+64−2⋅21​=3+1+64−1=67La solution est 676767.

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Simplify $\ln e^{3} + 2 \ln \sqrt{e} + e^{3 \ln 4} - 2 e^{-\ln 2}$ .

Simplifier le premier terme en utilisant la propriété du logarithme naturel.
$\ln e^{3} = 3$

Simplifier le deuxième terme en utilisant la propriété du logarithme.
$2 \ln \sqrt{e} = \ln (\sqrt{e})^2 = \ln e = 1$

Simplifier le troisième terme en utilisant la propriété des exponentielles.
$e^{3 \ln 4} = (e^{\ln 4})^3 = 4^3$

Calculer la valeur numérique du troisième terme.
$4^3 = 64$

Simplifier le quatrième terme en utilisant la propriété des exponentielles.
$e^{-\ln 2} = \frac{1}{e^{\ln 2}} = \frac{1}{2}$

Maintenant, nous allons combiner tous les termes simplifiés.
$\ln e^{3}+2 \ln \sqrt{e}+e^{3 \ln 4}-2 e^{-\ln 2} = 3 + 1 + 64 - 2 \cdot \frac{1}{2}$

Calculer la valeur numérique de l'expression.
$3 + 1 + 64 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 3 + 1 + 64 - 1 = 67$
La solution est $67$ .