Solved on Oct 24, 2023

Find the interval where the cubic function $f(x) = x^3 - 9x$ has a positive average rate of change.

STEP 1

Suposiciones1. La función es $f(x)=x^{3}-9 x$ . Necesitamos encontrar el intervalo donde $f$ tiene una tasa de cambio promedio positiva

STEP 2

Primero, necesitamos entender qué significa una tasa de cambio promedio positiva. La tasa de cambio promedio de una función $f$ en un intervalo $[a, b]$ se define como $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ Si esta cantidad es positiva, entonces la función tiene una tasa de cambio promedio positiva en ese intervalo.

STEP 3

Para encontrar el intervalo donde $f$ tiene una tasa de cambio promedio positiva, necesitamos encontrar los valores de $x$ donde la derivada de $f$ es positiva. La derivada de $f$ nos da la tasa de cambio instantánea de $f$ , y si esta es positiva, entonces $f$ está aumentando en ese punto.

STEP 4

Primero, encontramos la derivada de $f$ . La derivada de $f(x)=x^{3}-9 x$ es $f'(x) =3x^{2} -9$

STEP 5

Ahora, necesitamos encontrar los valores de $x$ donde $f'(x)$ es positiva. Resolvemos la desigualdad $f'(x) >0$ $3x^{2} -9 >0$

STEP 6

Resolvemos la desigualdad $x^{2} >3$

STEP 7

Tomamos la raíz cuadrada de ambos lados de la desigualdad para obtener $x > \sqrt{3},\, x < -\sqrt{3}$ Por lo tanto, la función $f$ tiene una tasa de cambio promedio positiva en los intervalos $(-\infty, -\sqrt{3})$ y $(\sqrt{3}, \infty)$ .

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Find the interval where the cubic function $f(x) = x^3 - 9x$ has a positive average rate of change.

STEP 1

Suposiciones1. La función es $f(x)=x^{3}-9 x$ . Necesitamos encontrar el intervalo donde $f$ tiene una tasa de cambio promedio positiva

STEP 2

STEP 3

Para encontrar el intervalo donde $f$ tiene una tasa de cambio promedio positiva, necesitamos encontrar los valores de $x$ donde la derivada de $f$ es positiva. La derivada de $f$ nos da la tasa de cambio instantánea de $f$ , y si esta es positiva, entonces $f$ está aumentando en ese punto.

STEP 4

Primero, encontramos la derivada de $f$ . La derivada de $f(x)=x^{3}-9 x$ es $f'(x) =3x^{2} -9$

STEP 5

Ahora, necesitamos encontrar los valores de $x$ donde $f'(x)$ es positiva. Resolvemos la desigualdad $f'(x) >0$ $3x^{2} -9 >0$

STEP 6

Resolvemos la desigualdad $x^{2} >3$

STEP 7

Tomamos la raíz cuadrada de ambos lados de la desigualdad para obtener $x > \sqrt{3},\, x < -\sqrt{3}$ Por lo tanto, la función $f$ tiene una tasa de cambio promedio positiva en los intervalos $(-\infty, -\sqrt{3})$ y $(\sqrt{3}, \infty)$ .

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Find the interval where the cubic function f(x)=x3−9xf(x) = x^3 - 9xf(x)=x3−9x has a positive average rate of change.

STEP 1

Suposiciones1. La función es f(x)=x3−9xf(x)=x^{3}-9 xf(x)=x3−9x . Necesitamos encontrar el intervalo donde fff tiene una tasa de cambio promedio positiva

STEP 2

STEP 3

Para encontrar el intervalo donde fff tiene una tasa de cambio promedio positiva, necesitamos encontrar los valores de xxx donde la derivada de fff es positiva. La derivada de fff nos da la tasa de cambio instantánea de fff, y si esta es positiva, entonces fff está aumentando en ese punto.

STEP 4

Primero, encontramos la derivada de fff. La derivada de f(x)=x3−9xf(x)=x^{3}-9 xf(x)=x3−9x esf′(x)=3x2−9f'(x) =3x^{2} -9f′(x)=3x2−9

STEP 5

Ahora, necesitamos encontrar los valores de xxx donde f′(x)f'(x)f′(x) es positiva. Resolvemos la desigualdad f′(x)>0f'(x) >0f′(x)>03x2−9>03x^{2} -9 >03x2−9>0

STEP 6

Resolvemos la desigualdadx2>3x^{2} >3x2>3

STEP 7

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Find the interval where the cubic function $f(x) = x^3 - 9x$ has a positive average rate of change.

Suposiciones1. La función es $f(x)=x^{3}-9 x$ . Necesitamos encontrar el intervalo donde $f$ tiene una tasa de cambio promedio positiva

Para encontrar el intervalo donde $f$ tiene una tasa de cambio promedio positiva, necesitamos encontrar los valores de $x$ donde la derivada de $f$ es positiva. La derivada de $f$ nos da la tasa de cambio instantánea de $f$ , y si esta es positiva, entonces $f$ está aumentando en ese punto.

Primero, encontramos la derivada de $f$ . La derivada de $f(x)=x^{3}-9 x$ es $f'(x) =3x^{2} -9$

Ahora, necesitamos encontrar los valores de $x$ donde $f'(x)$ es positiva. Resolvemos la desigualdad $f'(x) >0$ $3x^{2} -9 >0$

Resolvemos la desigualdad $x^{2} >3$