Solved on Jan 13, 2024

Find the derivative $k'(x)$ of $k(x) = \sqrt[6]{-4 x^{2} + 10 x^{3}} \cdot (4 x^{3} - 7 x^{2})$ .

STEP 1

Annahmen
1. Die Funktion $k(x)$ ist gegeben durch $k(x) = \sqrt[6]{-4 x^{2} + 10 x^{3}} \cdot (4 x^{3} - 7 x^{2})$ .
2. Wir sollen die Ableitung $k'(x)$ der Funktion $k(x)$ finden.
3. Die Ableitung eines Produkts zweier Funktionen kann mit der Produktregel gefunden werden.
4. Die Ableitung einer Wurzelfunktion kann durch Umformung in eine Potenzfunktion und Anwendung der Kettenregel gefunden werden.

STEP 2

Die Produktregel besagt, dass die Ableitung eines Produkts $u(x) \cdot v(x)$ gegeben ist durch $u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$ .

STEP 3

Identifiziere die beiden Funktionen, die das Produkt bilden. Setze $u(x) = \sqrt[6]{-4 x^{2} + 10 x^{3}}$ und $v(x) = 4 x^{3} - 7 x^{2}$ .

STEP 4

Die Funktion $u(x)$ kann umgeformt werden in eine Potenzfunktion: $u(x) = (-4 x^{2} + 10 x^{3})^{\frac{1}{6}}$ .

STEP 5

Die Ableitung von $v(x)$ kann direkt berechnet werden, da es sich um ein Polynom handelt. Die Potenzregel besagt, dass die Ableitung von $x^n$ gleich $n \cdot x^{n-1}$ ist.

STEP 6

Berechne die Ableitung von $v(x)$ :
$v'(x) = \frac{d}{dx}(4 x^{3} - 7 x^{2}) = 12 x^{2} - 14 x$

STEP 7

Um die Ableitung von $u(x)$ zu finden, verwenden wir die Kettenregel, die besagt, dass die Ableitung von $f(g(x))$ gleich $f'(g(x)) \cdot g'(x)$ ist.

STEP 8

Identifiziere die äußere Funktion $f(z) = z^{\frac{1}{6}}$ und die innere Funktion $g(x) = -4 x^{2} + 10 x^{3}$ .

STEP 9

Berechne die Ableitung der äußeren Funktion $f'(z) = \frac{1}{6} z^{-\frac{5}{6}}$ .

STEP 10

Berechne die Ableitung der inneren Funktion $g'(x) = \frac{d}{dx}(-4 x^{2} + 10 x^{3}) = -8 x + 30 x^{2}$ .

STEP 11

Setze die Ableitungen in die Kettenregel ein, um $u'(x)$ zu finden:
$u'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \frac{1}{6} (-4 x^{2} + 10 x^{3})^{-\frac{5}{6}} \cdot (-8 x + 30 x^{2})$

STEP 12

Jetzt haben wir $u'(x)$ und $v'(x)$ . Wir setzen diese in die Produktregel ein, um $k'(x)$ zu finden:
$k'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$

STEP 13

Setze die berechneten Ableitungen und Funktionen in die Produktregel ein:
$k'(x) = \left(\frac{1}{6} (-4 x^{2} + 10 x^{3})^{-\frac{5}{6}} \cdot (-8 x + 30 x^{2})\right) \cdot (4 x^{3} - 7 x^{2}) + \left((-4 x^{2} + 10 x^{3})^{\frac{1}{6}}\right) \cdot (12 x^{2} - 14 x)$

STEP 14

Vereinfache den Ausdruck, indem du gleichartige Terme zusammenfasst und die Potenzgesetze anwendest.

STEP 15

Die Ableitung $k'(x)$ ist nun vollständig berechnet und vereinfacht.

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Find the derivative $k'(x)$ of $k(x) = \sqrt[6]{-4 x^{2} + 10 x^{3}} \cdot (4 x^{3} - 7 x^{2})$ .

STEP 1

STEP 2

Die Produktregel besagt, dass die Ableitung eines Produkts $u(x) \cdot v(x)$ gegeben ist durch $u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$ .

STEP 3

Identifiziere die beiden Funktionen, die das Produkt bilden. Setze $u(x) = \sqrt[6]{-4 x^{2} + 10 x^{3}}$ und $v(x) = 4 x^{3} - 7 x^{2}$ .

STEP 4

Die Funktion $u(x)$ kann umgeformt werden in eine Potenzfunktion: $u(x) = (-4 x^{2} + 10 x^{3})^{\frac{1}{6}}$ .

STEP 5

Die Ableitung von $v(x)$ kann direkt berechnet werden, da es sich um ein Polynom handelt. Die Potenzregel besagt, dass die Ableitung von $x^n$ gleich $n \cdot x^{n-1}$ ist.

STEP 6

Berechne die Ableitung von $v(x)$ :
$v'(x) = \frac{d}{dx}(4 x^{3} - 7 x^{2}) = 12 x^{2} - 14 x$

STEP 7

Um die Ableitung von $u(x)$ zu finden, verwenden wir die Kettenregel, die besagt, dass die Ableitung von $f(g(x))$ gleich $f'(g(x)) \cdot g'(x)$ ist.

STEP 8

Identifiziere die äußere Funktion $f(z) = z^{\frac{1}{6}}$ und die innere Funktion $g(x) = -4 x^{2} + 10 x^{3}$ .

STEP 9

Berechne die Ableitung der äußeren Funktion $f'(z) = \frac{1}{6} z^{-\frac{5}{6}}$ .

STEP 10

Berechne die Ableitung der inneren Funktion $g'(x) = \frac{d}{dx}(-4 x^{2} + 10 x^{3}) = -8 x + 30 x^{2}$ .

STEP 11

Setze die Ableitungen in die Kettenregel ein, um $u'(x)$ zu finden:
$u'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \frac{1}{6} (-4 x^{2} + 10 x^{3})^{-\frac{5}{6}} \cdot (-8 x + 30 x^{2})$

STEP 12

Jetzt haben wir $u'(x)$ und $v'(x)$ . Wir setzen diese in die Produktregel ein, um $k'(x)$ zu finden:
$k'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$

STEP 13

Setze die berechneten Ableitungen und Funktionen in die Produktregel ein:
$k'(x) = \left(\frac{1}{6} (-4 x^{2} + 10 x^{3})^{-\frac{5}{6}} \cdot (-8 x + 30 x^{2})\right) \cdot (4 x^{3} - 7 x^{2}) + \left((-4 x^{2} + 10 x^{3})^{\frac{1}{6}}\right) \cdot (12 x^{2} - 14 x)$

STEP 14

Vereinfache den Ausdruck, indem du gleichartige Terme zusammenfasst und die Potenzgesetze anwendest.

STEP 15

Die Ableitung $k'(x)$ ist nun vollständig berechnet und vereinfacht.

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Find the derivative k′(x)k'(x)k′(x) of k(x)=−4x2+10x36⋅(4x3−7x2)k(x) = \sqrt[6]{-4 x^{2} + 10 x^{3}} \cdot (4 x^{3} - 7 x^{2})k(x)=6−4x2+10x3​⋅(4x3−7x2).

STEP 1

STEP 2

Die Produktregel besagt, dass die Ableitung eines Produkts u(x)⋅v(x)u(x) \cdot v(x)u(x)⋅v(x) gegeben ist durch u′(x)⋅v(x)+u(x)⋅v′(x)u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)u′(x)⋅v(x)+u(x)⋅v′(x).

STEP 3

Identifiziere die beiden Funktionen, die das Produkt bilden. Setze u(x)=−4x2+10x36u(x) = \sqrt[6]{-4 x^{2} + 10 x^{3}}u(x)=6−4x2+10x3​ und v(x)=4x3−7x2v(x) = 4 x^{3} - 7 x^{2}v(x)=4x3−7x2.

STEP 4

Die Funktion u(x)u(x)u(x) kann umgeformt werden in eine Potenzfunktion: u(x)=(−4x2+10x3)16u(x) = (-4 x^{2} + 10 x^{3})^{\frac{1}{6}}u(x)=(−4x2+10x3)61​.

STEP 5

Die Ableitung von v(x)v(x)v(x) kann direkt berechnet werden, da es sich um ein Polynom handelt. Die Potenzregel besagt, dass die Ableitung von xnx^nxn gleich n⋅xn−1n \cdot x^{n-1}n⋅xn−1 ist.

STEP 6

Berechne die Ableitung von v(x)v(x)v(x):v′(x)=ddx(4x3−7x2)=12x2−14xv'(x) = \frac{d}{dx}(4 x^{3} - 7 x^{2}) = 12 x^{2} - 14 xv′(x)=dxd​(4x3−7x2)=12x2−14x

STEP 7

Um die Ableitung von u(x)u(x)u(x) zu finden, verwenden wir die Kettenregel, die besagt, dass die Ableitung von f(g(x))f(g(x))f(g(x)) gleich f′(g(x))⋅g′(x)f'(g(x)) \cdot g'(x)f′(g(x))⋅g′(x) ist.

STEP 8

Identifiziere die äußere Funktion f(z)=z16f(z) = z^{\frac{1}{6}}f(z)=z61​ und die innere Funktion g(x)=−4x2+10x3g(x) = -4 x^{2} + 10 x^{3}g(x)=−4x2+10x3.

STEP 9

Berechne die Ableitung der äußeren Funktion f′(z)=16z−56f'(z) = \frac{1}{6} z^{-\frac{5}{6}}f′(z)=61​z−65​.

STEP 10

Berechne die Ableitung der inneren Funktion g′(x)=ddx(−4x2+10x3)=−8x+30x2g'(x) = \frac{d}{dx}(-4 x^{2} + 10 x^{3}) = -8 x + 30 x^{2}g′(x)=dxd​(−4x2+10x3)=−8x+30x2.

STEP 11

STEP 12

Jetzt haben wir u′(x)u'(x)u′(x) und v′(x)v'(x)v′(x). Wir setzen diese in die Produktregel ein, um k′(x)k'(x)k′(x) zu finden:k′(x)=u′(x)⋅v(x)+u(x)⋅v′(x)k'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)k′(x)=u′(x)⋅v(x)+u(x)⋅v′(x)

STEP 13

STEP 14

Vereinfache den Ausdruck, indem du gleichartige Terme zusammenfasst und die Potenzgesetze anwendest.

STEP 15

Die Ableitung k′(x)k'(x)k′(x) ist nun vollständig berechnet und vereinfacht.

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Find the derivative $k'(x)$ of $k(x) = \sqrt[6]{-4 x^{2} + 10 x^{3}} \cdot (4 x^{3} - 7 x^{2})$ .

Die Produktregel besagt, dass die Ableitung eines Produkts $u(x) \cdot v(x)$ gegeben ist durch $u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$ .

Identifiziere die beiden Funktionen, die das Produkt bilden. Setze $u(x) = \sqrt[6]{-4 x^{2} + 10 x^{3}}$ und $v(x) = 4 x^{3} - 7 x^{2}$ .

Die Funktion $u(x)$ kann umgeformt werden in eine Potenzfunktion: $u(x) = (-4 x^{2} + 10 x^{3})^{\frac{1}{6}}$ .

Die Ableitung von $v(x)$ kann direkt berechnet werden, da es sich um ein Polynom handelt. Die Potenzregel besagt, dass die Ableitung von $x^n$ gleich $n \cdot x^{n-1}$ ist.

Berechne die Ableitung von $v(x)$ :
$v'(x) = \frac{d}{dx}(4 x^{3} - 7 x^{2}) = 12 x^{2} - 14 x$

Um die Ableitung von $u(x)$ zu finden, verwenden wir die Kettenregel, die besagt, dass die Ableitung von $f(g(x))$ gleich $f'(g(x)) \cdot g'(x)$ ist.

Identifiziere die äußere Funktion $f(z) = z^{\frac{1}{6}}$ und die innere Funktion $g(x) = -4 x^{2} + 10 x^{3}$ .

Berechne die Ableitung der äußeren Funktion $f'(z) = \frac{1}{6} z^{-\frac{5}{6}}$ .

Berechne die Ableitung der inneren Funktion $g'(x) = \frac{d}{dx}(-4 x^{2} + 10 x^{3}) = -8 x + 30 x^{2}$ .

Jetzt haben wir $u'(x)$ und $v'(x)$ . Wir setzen diese in die Produktregel ein, um $k'(x)$ zu finden:
$k'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$

Die Ableitung $k'(x)$ ist nun vollständig berechnet und vereinfacht.