Solved on Dec 08, 2023

Compute the area between the graph of $f$ and the $x$ -axis on interval $I$ . a) $f(x)=3x-6, I=[-2; 6]$ b) $f(x)=\cos(x), I=[0; 2\pi]$

STEP 1

Annahmen
1. Die Funktion $f(x)$ ist gegeben und wir sollen den Flächeninhalt unter dem Graphen von $f$ über einem bestimmten Intervall $I$ bestimmen.
2. Für Teil a) ist die Funktion $f(x) = 3x - 6$ und das Intervall $I = [-2; 6]$ .
3. Für Teil b) ist die Funktion $f(x) = \cos(x)$ und das Intervall $I = [0; 2\pi]$ .
4. Der Flächeninhalt wird als der Betrag des bestimmten Integrals von $f(x)$ über das Intervall $I$ berechnet.

STEP 2

Berechnung des Flächeninhalts für Teil a).
Wir berechnen das bestimmte Integral der Funktion $f(x) = 3x - 6$ über das Intervall $[-2; 6]$ .
$A = \int_{-2}^{6} (3x - 6) \, dx$

STEP 3

Berechnen des Integrals.
$A = \left[ \frac{3}{2}x^2 - 6x \right]_{-2}^{6}$

STEP 4

Berechnen des Integrals an den Grenzen des Intervalls und Subtraktion der Werte.
$A = \left( \frac{3}{2} \cdot 6^2 - 6 \cdot 6 \right) - \left( \frac{3}{2} \cdot (-2)^2 - 6 \cdot (-2) \right)$

STEP 5

Vereinfachung der Berechnung.
$A = \left( \frac{3}{2} \cdot 36 - 36 \right) - \left( \frac{3}{2} \cdot 4 + 12 \right)$

STEP 6

Weitere Vereinfachung.
$A = \left( 54 - 36 \right) - \left( 6 + 12 \right)$

STEP 7

Berechnung des Flächeninhalts für Teil a).
$A = 18 - 18 = 0$
Der Flächeninhalt, den der Graph von $f(x) = 3x - 6$ über dem Intervall $[-2; 6]$ mit der $x$ -Achse einschließt, beträgt 0 Quadrateneinheiten.

STEP 8

Berechnung des Flächeninhalts für Teil b).
Wir berechnen das bestimmte Integral der Funktion $f(x) = \cos(x)$ über das Intervall $[0; 2\pi]$ .
$A = \int_{0}^{2\pi} \cos(x) \, dx$

STEP 9

Berechnen des Integrals.
$A = \left[ \sin(x) \right]_{0}^{2\pi}$

STEP 10

Berechnen des Integrals an den Grenzen des Intervalls und Subtraktion der Werte.
$A = \sin(2\pi) - \sin(0)$

STEP 11

Da $\sin(2\pi) = 0$ und $\sin(0) = 0$ , ergibt sich:
$A = 0 - 0$

STEP 12

Berechnung des Flächeninhalts für Teil b).
$A = 0$
Der Flächeninhalt, den der Graph von $f(x) = \cos(x)$ über dem Intervall $[0; 2\pi]$ mit der $x$ -Achse einschließt, beträgt ebenfalls 0 Quadrateneinheiten.
Zusammenfassend haben beide Funktionen über den jeweiligen Intervallen einen Flächeninhalt von 0 Quadrateneinheiten mit der $x$ -Achse.

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Compute the area between the graph of $f$ and the $x$ -axis on interval $I$ . a) $f(x)=3x-6, I=[-2; 6]$ b) $f(x)=\cos(x), I=[0; 2\pi]$

STEP 1

STEP 2

Berechnung des Flächeninhalts für Teil a).
Wir berechnen das bestimmte Integral der Funktion $f(x) = 3x - 6$ über das Intervall $[-2; 6]$ .
$A = \int_{-2}^{6} (3x - 6) \, dx$

STEP 3

Berechnen des Integrals.
$A = \left[ \frac{3}{2}x^2 - 6x \right]_{-2}^{6}$

STEP 4

Berechnen des Integrals an den Grenzen des Intervalls und Subtraktion der Werte.
$A = \left( \frac{3}{2} \cdot 6^2 - 6 \cdot 6 \right) - \left( \frac{3}{2} \cdot (-2)^2 - 6 \cdot (-2) \right)$

STEP 5

Vereinfachung der Berechnung.
$A = \left( \frac{3}{2} \cdot 36 - 36 \right) - \left( \frac{3}{2} \cdot 4 + 12 \right)$

STEP 6

Weitere Vereinfachung.
$A = \left( 54 - 36 \right) - \left( 6 + 12 \right)$

STEP 7

Berechnung des Flächeninhalts für Teil a).
$A = 18 - 18 = 0$
Der Flächeninhalt, den der Graph von $f(x) = 3x - 6$ über dem Intervall $[-2; 6]$ mit der $x$ -Achse einschließt, beträgt 0 Quadrateneinheiten.

STEP 8

Berechnung des Flächeninhalts für Teil b).
Wir berechnen das bestimmte Integral der Funktion $f(x) = \cos(x)$ über das Intervall $[0; 2\pi]$ .
$A = \int_{0}^{2\pi} \cos(x) \, dx$

STEP 9

Berechnen des Integrals.
$A = \left[ \sin(x) \right]_{0}^{2\pi}$

STEP 10

Berechnen des Integrals an den Grenzen des Intervalls und Subtraktion der Werte.
$A = \sin(2\pi) - \sin(0)$

STEP 11

Da $\sin(2\pi) = 0$ und $\sin(0) = 0$ , ergibt sich:
$A = 0 - 0$

STEP 12

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Compute the area between the graph of fff and the xxx-axis on interval III. a) f(x)=3x−6,I=[−2;6]f(x)=3x-6, I=[-2; 6]f(x)=3x−6,I=[−2;6] b) f(x)=cos⁡(x),I=[0;2π]f(x)=\cos(x), I=[0; 2\pi]f(x)=cos(x),I=[0;2π]

STEP 1

STEP 2

Berechnung des Flächeninhalts für Teil a).Wir berechnen das bestimmte Integral der Funktion f(x)=3x−6f(x) = 3x - 6f(x)=3x−6 über das Intervall [−2;6][-2; 6][−2;6].A=∫−26(3x−6) dxA = \int_{-2}^{6} (3x - 6) \, dxA=∫−26​(3x−6)dx

STEP 3

Berechnen des Integrals.A=[32x2−6x]−26A = \left[ \frac{3}{2}x^2 - 6x \right]_{-2}^{6}A=[23​x2−6x]−26​

STEP 4

Berechnen des Integrals an den Grenzen des Intervalls und Subtraktion der Werte.A=(32⋅62−6⋅6)−(32⋅(−2)2−6⋅(−2))A = \left( \frac{3}{2} \cdot 6^2 - 6 \cdot 6 \right) - \left( \frac{3}{2} \cdot (-2)^2 - 6 \cdot (-2) \right)A=(23​⋅62−6⋅6)−(23​⋅(−2)2−6⋅(−2))

STEP 5

Vereinfachung der Berechnung.A=(32⋅36−36)−(32⋅4+12)A = \left( \frac{3}{2} \cdot 36 - 36 \right) - \left( \frac{3}{2} \cdot 4 + 12 \right)A=(23​⋅36−36)−(23​⋅4+12)

STEP 6

Weitere Vereinfachung.A=(54−36)−(6+12)A = \left( 54 - 36 \right) - \left( 6 + 12 \right)A=(54−36)−(6+12)

STEP 7

Berechnung des Flächeninhalts für Teil a).A=18−18=0A = 18 - 18 = 0A=18−18=0Der Flächeninhalt, den der Graph von f(x)=3x−6f(x) = 3x - 6f(x)=3x−6 über dem Intervall [−2;6][-2; 6][−2;6] mit der xxx-Achse einschließt, beträgt 0 Quadrateneinheiten.

STEP 8

Berechnung des Flächeninhalts für Teil b).Wir berechnen das bestimmte Integral der Funktion f(x)=cos⁡(x)f(x) = \cos(x)f(x)=cos(x) über das Intervall [0;2π][0; 2\pi][0;2π].A=∫02πcos⁡(x) dxA = \int_{0}^{2\pi} \cos(x) \, dxA=∫02π​cos(x)dx

STEP 9

Berechnen des Integrals.A=[sin⁡(x)]02πA = \left[ \sin(x) \right]_{0}^{2\pi}A=[sin(x)]02π​

STEP 10

Berechnen des Integrals an den Grenzen des Intervalls und Subtraktion der Werte.A=sin⁡(2π)−sin⁡(0)A = \sin(2\pi) - \sin(0)A=sin(2π)−sin(0)

STEP 11

Da sin⁡(2π)=0\sin(2\pi) = 0sin(2π)=0 und sin⁡(0)=0\sin(0) = 0sin(0)=0, ergibt sich:A=0−0A = 0 - 0A=0−0

STEP 12

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Compute the area between the graph of $f$ and the $x$ -axis on interval $I$ . a) $f(x)=3x-6, I=[-2; 6]$ b) $f(x)=\cos(x), I=[0; 2\pi]$

Berechnung des Flächeninhalts für Teil a).
Wir berechnen das bestimmte Integral der Funktion $f(x) = 3x - 6$ über das Intervall $[-2; 6]$ .
$A = \int_{-2}^{6} (3x - 6) \, dx$

Berechnen des Integrals.
$A = \left[ \frac{3}{2}x^2 - 6x \right]_{-2}^{6}$

Berechnen des Integrals an den Grenzen des Intervalls und Subtraktion der Werte.
$A = \left( \frac{3}{2} \cdot 6^2 - 6 \cdot 6 \right) - \left( \frac{3}{2} \cdot (-2)^2 - 6 \cdot (-2) \right)$

Vereinfachung der Berechnung.
$A = \left( \frac{3}{2} \cdot 36 - 36 \right) - \left( \frac{3}{2} \cdot 4 + 12 \right)$

Weitere Vereinfachung.
$A = \left( 54 - 36 \right) - \left( 6 + 12 \right)$

Berechnung des Flächeninhalts für Teil a).
$A = 18 - 18 = 0$
Der Flächeninhalt, den der Graph von $f(x) = 3x - 6$ über dem Intervall $[-2; 6]$ mit der $x$ -Achse einschließt, beträgt 0 Quadrateneinheiten.

Berechnung des Flächeninhalts für Teil b).
Wir berechnen das bestimmte Integral der Funktion $f(x) = \cos(x)$ über das Intervall $[0; 2\pi]$ .
$A = \int_{0}^{2\pi} \cos(x) \, dx$

Berechnen des Integrals.
$A = \left[ \sin(x) \right]_{0}^{2\pi}$

Berechnen des Integrals an den Grenzen des Intervalls und Subtraktion der Werte.
$A = \sin(2\pi) - \sin(0)$

Da $\sin(2\pi) = 0$ und $\sin(0) = 0$ , ergibt sich:
$A = 0 - 0$