Solved on Dec 03, 2023

Ein Behälter hat zu Beginn $2 m^{3}$ Öl. Zuflussrate ist $f(t)=0,1 e^{-0,1 t}$ . Bestimmen Sie die Ölmenge $g(t)$ für $t>0$ und die Zeit bis $2,5 m^{3}$ . Warum nie mehr als $3 m^{3}$ ?

STEP 1

Annahmen
1. Der Behälter enthält zu Beginn $(t=0)$ $2 m^{3}$ Öl.
2. Für $t>0$ wird in einer Zuleitung Öl zugeführt.
3. Für die momentane Zuflussrate $f$ gilt $f(t)=0,1 e^{-0,1 t}$ ( $t$ in Minuten, $f(t)$ in $\frac{m^{3}}{\min }$ ).

STEP 2

Zuerst müssen wir zeigen, dass die Ölmenge ständig zunimmt. Da die Zuflussrate $f(t)$ immer positiv ist (da $e^{-0,1 t}$ immer positiv ist), nimmt die Ölmenge ständig zu.

STEP 3

Um eine Funktion $g$ zu finden, die die Ölmenge im Behälter in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt, integrieren wir die Zuflussrate $f(t)$ .
$g(t) = \int f(t) dt$

STEP 4

Setzen Sie die gegebene Funktion $f(t)$ in das Integral ein.
$g(t) = \int 0,1 e^{-0,1 t} dt$

STEP 5

Integrieren Sie die Funktion.
$g(t) = -e^{-0,1 t} + C$

STEP 6

Da der Behälter zu Beginn $(t=0)$ $2 m^{3}$ Öl enthält, setzen wir $t=0$ und $g(0)=2$ in die Funktion ein, um den Wert von $C$ zu bestimmen.
$2 = -e^{-0,1 \cdot 0} + C$

STEP 7

Berechnen Sie den Wert von $C$ .
$C = 2 + 1 = 3$

STEP 8

Die Funktion, die die Ölmenge im Behälter in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt, ist daher:
$g(t) = -e^{-0,1 t} + 3$

STEP 9

Um zu bestimmen, wie lange es dauert, bis $2,5 m^{3}$ Öl im Behälter sind, setzen wir $g(t)=2,5$ in die Funktion ein und lösen nach $t$ auf.
$2,5 = -e^{-0,1 t} + 3$

STEP 10

Lösen Sie die Gleichung nach $t$ auf.
$e^{-0,1 t} = 3 - 2,5 = 0,5$

STEP 11

Nehmen Sie den natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten der Gleichung.
$-0,1 t = \ln(0,5)$

STEP 12

Lösen Sie die Gleichung nach $t$ auf.
$t = -\frac{\ln(0,5)}{0,1}$

STEP 13

Berechnen Sie den Wert von $t$ .
$t = -\frac{\ln(0,5)}{0,1} \approx 6,93147$
Es dauert also etwa 6,93 Minuten, bis $2,5 m^{3}$ Öl im Behälter sind.

STEP 14

Um zu begründen, warum sich nach diesem Modell nie mehr als $3 m^{3}$ Öl im Behälter befinden, betrachten wir die Funktion $g(t)$ . Da $e^{-0,1 t}$ immer positiv ist und mit zunehmendem $t$ gegen 0 geht, nähert sich $g(t)$ immer mehr dem Wert 3, überschreitet diesen aber nie.

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Ein Behälter hat zu Beginn $2 m^{3}$ Öl. Zuflussrate ist $f(t)=0,1 e^{-0,1 t}$ . Bestimmen Sie die Ölmenge $g(t)$ für $t>0$ und die Zeit bis $2,5 m^{3}$ . Warum nie mehr als $3 m^{3}$ ?

STEP 1

Annahmen
1. Der Behälter enthält zu Beginn $(t=0)$ $2 m^{3}$ Öl.
2. Für $t>0$ wird in einer Zuleitung Öl zugeführt.
3. Für die momentane Zuflussrate $f$ gilt $f(t)=0,1 e^{-0,1 t}$ ( $t$ in Minuten, $f(t)$ in $\frac{m^{3}}{\min }$ ).

STEP 2

Zuerst müssen wir zeigen, dass die Ölmenge ständig zunimmt. Da die Zuflussrate $f(t)$ immer positiv ist (da $e^{-0,1 t}$ immer positiv ist), nimmt die Ölmenge ständig zu.

STEP 3

Um eine Funktion $g$ zu finden, die die Ölmenge im Behälter in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt, integrieren wir die Zuflussrate $f(t)$ .
$g(t) = \int f(t) dt$

STEP 4

Setzen Sie die gegebene Funktion $f(t)$ in das Integral ein.
$g(t) = \int 0,1 e^{-0,1 t} dt$

STEP 5

Integrieren Sie die Funktion.
$g(t) = -e^{-0,1 t} + C$

STEP 6

Da der Behälter zu Beginn $(t=0)$ $2 m^{3}$ Öl enthält, setzen wir $t=0$ und $g(0)=2$ in die Funktion ein, um den Wert von $C$ zu bestimmen.
$2 = -e^{-0,1 \cdot 0} + C$

STEP 7

Berechnen Sie den Wert von $C$ .
$C = 2 + 1 = 3$

STEP 8

Die Funktion, die die Ölmenge im Behälter in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt, ist daher:
$g(t) = -e^{-0,1 t} + 3$

STEP 9

Um zu bestimmen, wie lange es dauert, bis $2,5 m^{3}$ Öl im Behälter sind, setzen wir $g(t)=2,5$ in die Funktion ein und lösen nach $t$ auf.
$2,5 = -e^{-0,1 t} + 3$

STEP 10

Lösen Sie die Gleichung nach $t$ auf.
$e^{-0,1 t} = 3 - 2,5 = 0,5$

STEP 11

Nehmen Sie den natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten der Gleichung.
$-0,1 t = \ln(0,5)$

STEP 12

Lösen Sie die Gleichung nach $t$ auf.
$t = -\frac{\ln(0,5)}{0,1}$

STEP 13

Berechnen Sie den Wert von $t$ .
$t = -\frac{\ln(0,5)}{0,1} \approx 6,93147$
Es dauert also etwa 6,93 Minuten, bis $2,5 m^{3}$ Öl im Behälter sind.

STEP 14

Um zu begründen, warum sich nach diesem Modell nie mehr als $3 m^{3}$ Öl im Behälter befinden, betrachten wir die Funktion $g(t)$ . Da $e^{-0,1 t}$ immer positiv ist und mit zunehmendem $t$ gegen 0 geht, nähert sich $g(t)$ immer mehr dem Wert 3, überschreitet diesen aber nie.

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Ein Behälter hat zu Beginn 2m32 m^{3}2m3 Öl. Zuflussrate ist f(t)=0,1e−0,1tf(t)=0,1 e^{-0,1 t}f(t)=0,1e−0,1t. Bestimmen Sie die Ölmenge g(t)g(t)g(t) für t>0t>0t>0 und die Zeit bis 2,5m32,5 m^{3}2,5m3. Warum nie mehr als 3m33 m^{3}3m3?

STEP 1

STEP 2

Zuerst müssen wir zeigen, dass die Ölmenge ständig zunimmt. Da die Zuflussrate f(t)f(t)f(t) immer positiv ist (da e−0,1te^{-0,1 t}e−0,1t immer positiv ist), nimmt die Ölmenge ständig zu.

STEP 3

Um eine Funktion ggg zu finden, die die Ölmenge im Behälter in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt, integrieren wir die Zuflussrate f(t)f(t)f(t).g(t)=∫f(t)dtg(t) = \int f(t) dtg(t)=∫f(t)dt

STEP 4

Setzen Sie die gegebene Funktion f(t)f(t)f(t) in das Integral ein.g(t)=∫0,1e−0,1tdtg(t) = \int 0,1 e^{-0,1 t} dtg(t)=∫0,1e−0,1tdt

STEP 5

Integrieren Sie die Funktion.g(t)=−e−0,1t+Cg(t) = -e^{-0,1 t} + Cg(t)=−e−0,1t+C

STEP 6

Da der Behälter zu Beginn (t=0)(t=0)(t=0) 2m32 m^{3}2m3 Öl enthält, setzen wir t=0t=0t=0 und g(0)=2g(0)=2g(0)=2 in die Funktion ein, um den Wert von CCC zu bestimmen.2=−e−0,1⋅0+C2 = -e^{-0,1 \cdot 0} + C2=−e−0,1⋅0+C

STEP 7

Berechnen Sie den Wert von CCC.C=2+1=3C = 2 + 1 = 3C=2+1=3

STEP 8

Die Funktion, die die Ölmenge im Behälter in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt, ist daher:g(t)=−e−0,1t+3g(t) = -e^{-0,1 t} + 3g(t)=−e−0,1t+3

STEP 9

Um zu bestimmen, wie lange es dauert, bis 2,5m32,5 m^{3}2,5m3 Öl im Behälter sind, setzen wir g(t)=2,5g(t)=2,5g(t)=2,5 in die Funktion ein und lösen nach ttt auf.2,5=−e−0,1t+32,5 = -e^{-0,1 t} + 32,5=−e−0,1t+3

STEP 10

Lösen Sie die Gleichung nach ttt auf.e−0,1t=3−2,5=0,5e^{-0,1 t} = 3 - 2,5 = 0,5e−0,1t=3−2,5=0,5

STEP 11

Nehmen Sie den natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten der Gleichung.−0,1t=ln⁡(0,5)-0,1 t = \ln(0,5)−0,1t=ln(0,5)

STEP 12

Lösen Sie die Gleichung nach ttt auf.t=−ln⁡(0,5)0,1t = -\frac{\ln(0,5)}{0,1}t=−0,1ln(0,5)​

STEP 13

Berechnen Sie den Wert von ttt.t=−ln⁡(0,5)0,1≈6,93147t = -\frac{\ln(0,5)}{0,1} \approx 6,93147t=−0,1ln(0,5)​≈6,93147Es dauert also etwa 6,93 Minuten, bis 2,5m32,5 m^{3}2,5m3 Öl im Behälter sind.

STEP 14

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Ein Behälter hat zu Beginn $2 m^{3}$ Öl. Zuflussrate ist $f(t)=0,1 e^{-0,1 t}$ . Bestimmen Sie die Ölmenge $g(t)$ für $t>0$ und die Zeit bis $2,5 m^{3}$ . Warum nie mehr als $3 m^{3}$ ?

Zuerst müssen wir zeigen, dass die Ölmenge ständig zunimmt. Da die Zuflussrate $f(t)$ immer positiv ist (da $e^{-0,1 t}$ immer positiv ist), nimmt die Ölmenge ständig zu.

Um eine Funktion $g$ zu finden, die die Ölmenge im Behälter in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt, integrieren wir die Zuflussrate $f(t)$ .
$g(t) = \int f(t) dt$

Setzen Sie die gegebene Funktion $f(t)$ in das Integral ein.
$g(t) = \int 0,1 e^{-0,1 t} dt$

Integrieren Sie die Funktion.
$g(t) = -e^{-0,1 t} + C$

Da der Behälter zu Beginn $(t=0)$ $2 m^{3}$ Öl enthält, setzen wir $t=0$ und $g(0)=2$ in die Funktion ein, um den Wert von $C$ zu bestimmen.
$2 = -e^{-0,1 \cdot 0} + C$

Berechnen Sie den Wert von $C$ .
$C = 2 + 1 = 3$

Die Funktion, die die Ölmenge im Behälter in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt, ist daher:
$g(t) = -e^{-0,1 t} + 3$

Um zu bestimmen, wie lange es dauert, bis $2,5 m^{3}$ Öl im Behälter sind, setzen wir $g(t)=2,5$ in die Funktion ein und lösen nach $t$ auf.
$2,5 = -e^{-0,1 t} + 3$

Lösen Sie die Gleichung nach $t$ auf.
$e^{-0,1 t} = 3 - 2,5 = 0,5$

Nehmen Sie den natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten der Gleichung.
$-0,1 t = \ln(0,5)$

Lösen Sie die Gleichung nach $t$ auf.
$t = -\frac{\ln(0,5)}{0,1}$

Berechnen Sie den Wert von $t$ .
$t = -\frac{\ln(0,5)}{0,1} \approx 6,93147$
Es dauert also etwa 6,93 Minuten, bis $2,5 m^{3}$ Öl im Behälter sind.